Wie man Brüche mit unterschiedlichen Nennern vergleicht. Vergleich gewöhnlicher Brüche

Die Regeln für den Vergleich gewöhnlicher Brüche hängen von der Art des Bruchs (echter, unechter, gemischter Bruch) und von der signifikanten (gleichen oder unterschiedlichen) der verglichenen Brüche ab.

In diesem Abschnitt werden Optionen zum Vergleichen von Brüchen behandelt, die denselben Zähler oder Nenner haben.

Regel. Um zwei Brüche mit demselben Nenner zu vergleichen, musst du ihre Zähler vergleichen. Mehr (weniger) ist der Bruch, dessen Zähler größer (kleiner) ist.

Vergleichen Sie zum Beispiel Brüche:

Regel. Um echte Brüche mit denselben Zählern zu vergleichen, müssen Sie ihre Nenner vergleichen. Mehr (weniger) ist der Bruch, dessen Nenner kleiner (größer) ist.

Vergleichen Sie zum Beispiel Brüche:

Vergleich von echten, unechten und gemischten Brüchen miteinander

Regel. Unechte und gemischte Brüche sind immer größer als jeder echte Bruch.

Ein echter Bruch ist per Definition kleiner als 1, also sind unechte und gemischte Brüche (mit einer Zahl gleich oder größer als 1) größer als ein echter Bruch.

Regel. Von zwei gemischten Brüchen ist der größere (kleinere) derjenige, bei dem der ganzzahlige Teil des Bruchs größer (kleiner) ist. Wenn die ganzzahligen Teile gemischter Brüche gleich sind, ist der Bruch mit dem größeren (kleineren) Bruchteil größer (kleiner).

Im Alltag müssen wir oft Bruchwerte vergleichen. Meistens bereitet dies keine Probleme. Tatsächlich versteht jeder, dass ein halber Apfel größer ist als ein Viertel. Aber wenn es notwendig ist, es als mathematischen Ausdruck aufzuschreiben, kann es schwierig sein. Indem Sie die folgenden mathematischen Regeln anwenden, können Sie dieses Problem leicht lösen.

Wie man Brüche mit gleichem Nenner vergleicht

Diese Brüche sind am einfachsten zu vergleichen. Verwenden Sie in diesem Fall die Regel:

Von zwei Brüchen mit gleichem Nenner, aber unterschiedlichem Zähler ist der größere derjenige, dessen Zähler größer ist, und der kleinere derjenige, dessen Zähler kleiner ist.

Vergleichen Sie zum Beispiel die Brüche 3/8 und 5/8. Die Nenner in diesem Beispiel sind gleich, also wenden wir diese Regel an. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

In der Tat, wenn Sie zwei Pizzen in 8 Scheiben schneiden, dann sind 3/8 Scheiben immer weniger als 5/8.

Brüche mit gleichen Zählern und unterschiedlichen Nennern vergleichen

Dabei werden die Größen der Nenneranteile verglichen. Es gilt die Regel:

Haben zwei Brüche denselben Zähler, so ist der größere Bruch derjenige mit dem kleineren Nenner.

Vergleichen Sie zum Beispiel die Brüche 3/4 und 3/8. In diesem Beispiel sind die Zähler gleich, also verwenden wir die zweite Regel. Der 3/4-Bruch hat einen kleineren Nenner als der 3/8-Bruch. Also 3/4 > 3/8

In der Tat, wenn Sie 3 Scheiben Pizza in 4 Teile geteilt essen, werden Sie satter sein, als wenn Sie 3 Scheiben Pizza in 8 Teile geteilt essen.

Brüche mit unterschiedlichen Zählern und Nennern vergleichen

Wir wenden die dritte Regel an:

Der Vergleich von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern sollte mit Brüchen mit demselben Nenner verglichen werden. Dazu musst du die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen und die erste Regel anwenden.

Zum Beispiel müssen Sie Brüche und vergleichen. Um den größeren Bruch zu bestimmen, bringen wir diese beiden Brüche auf einen gemeinsamen Nenner:

• Lassen Sie uns nun den zweiten zusätzlichen Faktor finden: 6:3=2. Wir schreiben es über den zweiten Bruch:

Unterrichtsziele:

1. Tutorials: lernen, gewöhnliche Brüche verschiedener Typen mit verschiedenen Techniken zu vergleichen;
2. Entwicklung: Entwicklung grundlegender Methoden der geistigen Aktivität, Verallgemeinerungen des Vergleichs, Hervorhebung der Hauptsache; Entwicklung von Gedächtnis, Sprache.
3. Lehrreich: lernen, einander zuzuhören, gegenseitige Hilfe, eine Kommunikations- und Verhaltenskultur zu fördern.

Unterrichtsschritte:

1. Organisatorisch.

Beginnen wir die Lektion mit den Worten des französischen Schriftstellers A. France: "Lernen kann Spaß machen ... Um Wissen zu verdauen, muss man es mit Appetit aufnehmen."

Befolgen wir diesen Ratschlag, versuchen wir aufmerksam zu sein, nehmen wir Wissen mit großem Verlangen auf, denn. Sie werden uns in Zukunft nützlich sein.

2. Aktualisierung des Wissens der Schüler.

1.) Frontale mündliche Arbeit der Studierenden.

Zweck: den behandelten Stoff zu wiederholen, was beim Erlernen eines neuen Stoffs erforderlich ist:

A) reguläre und unechte Brüche;
B) Brüche auf einen neuen Nenner bringen;
C) Finden des kleinsten gemeinsamen Nenners;

(Dateien werden bearbeitet. Die Schüler haben sie in jeder Unterrichtsstunde zur Verfügung. Antworten werden mit einem Marker darauf geschrieben, und dann werden unnötige Informationen gelöscht.)

Aufgaben für die mündliche Arbeit.

1. Nennen Sie einen zusätzlichen Bruch in der Kette:

A) 5/6; 1/3; 7/10; 11/3; 4/7.
B) 2/6; 18.06.; 1/3; 4/5; 4/12.

2. Brüche auf einen neuen Nenner 30 bringen:

1/2; 2/3; 4/5; 5/6; 1/10.

Finde den kleinsten gemeinsamen Nenner von Brüchen:

1/5 und 2/7; 3/4 und 1/6; 2/9 und 1/2.

2.) Spielsituation.

Guys, unser vertrauter Clown (die Schüler trafen ihn zu Beginn des Schuljahres) bat mich, ihm bei der Lösung des Problems zu helfen. Aber ich denke, ihr könnt unserem Freund auch ohne mich helfen. Und die nächste Aufgabe.

„Brüche vergleichen:

a) 1/2 und 1/6;
b) 3/5 und 1/3;
c) 5/6 und 1/6;
d) 12/7 und 4/7;
e) 3 1/7 und 3 1/5;
f) 7 5/6 und 3 1/2;
g) 1/10 und 1;
h) 10/3 und 1;
i) 7/7 und 1.“

Leute, um dem Clown zu helfen, was sollen wir lernen?

Der Zweck des Unterrichts, Aufgaben (Schüler formulieren selbstständig).

Der Lehrer hilft ihnen, indem er Fragen stellt:

a) Welche der Bruchpaare können wir bereits vergleichen?

b) Welches Werkzeug brauchen wir, um Brüche zu vergleichen?

3. Jungs in Gruppen (in permanentem Multilevel).

Jede Gruppe erhält eine Aufgabe und Anweisungen zur Umsetzung.

Erste Gruppe : Gemischte Brüche vergleichen:

a) 1 1/2 und 2 5/6;
b) 3 1/2 und 3 4/5

und eine Regel zur Gleichsetzung von gemischten Brüchen mit gleichen und unterschiedlichen ganzzahligen Anteilen herleiten.

Anleitung: Gemischte Brüche vergleichen (mit Zahlenstrahl)

1. vergleiche die ganzen Teile von Brüchen und ziehe eine Schlussfolgerung;
2. Bruchteile vergleichen (Regel zum Vergleichen von Bruchteilen nicht anzeigen);
3. mach eine Regel - Algorithmus:

Zweite Gruppe: Brüche mit unterschiedlichen Nennern und unterschiedlichen Zählern vergleichen. (Nummernstrahl verwenden)

a) 7.6. und 14.9.;
b) 11.5. und 22.1

Anweisung

1. Nenner vergleichen
2. Überlegen Sie, ob es möglich ist, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen
3. Beginnen Sie die Regel mit den Worten: „Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu vergleichen, müssen Sie ...“

Dritte Gruppe: Vergleich von Brüchen mit Eins.

a) 2/3 und 1;
b) 8/7 und 1;
c) 10/10 und 1 und formulieren Sie eine Regel.

Anweisung

Betrachten Sie alle Fälle: (verwenden Sie den Zahlenstrahl)

a) Wenn der Zähler eines Bruchs gleich dem Nenner ist, ………;
b) Wenn der Zähler eines Bruchs kleiner als der Nenner ist, ………;
c) Wenn der Zähler eines Bruchs größer als der Nenner ist, ………. .

Formulieren Sie eine Regel.

Vierte Gruppe: Brüche vergleichen:

a) 5/8 und 3/8;
b) 1/7 und 4/7 und formulieren Sie eine Vergleichsregel für Brüche mit gleichem Nenner.

Anweisung

Verwenden Sie den Zahlenstrahl.

Vergleichen Sie die Zähler und ziehen Sie eine Schlussfolgerung, beginnend mit den Worten: „Aus zwei Brüchen mit gleichem Nenner ……“.

Fünfte Gruppe: Brüche vergleichen:

a) 1/6 und 1/3;
b) 4/9 und 4/3 unter Verwendung des Zahlenstrahls:

0__.__.__1/6__.__.__1/3__.__.4/9__.__.__.__.__.__.__.__.__.__1__.__.__.__.__.__4/3__.__

Formulieren Sie eine Regel für den Vergleich von Brüchen mit gleichem Zähler.

Anweisung

Vergleichen Sie die Nenner und ziehen Sie eine Schlussfolgerung, beginnend mit den Worten:

„Aus zwei Brüchen mit gleichen Zählern ………..“

Sechste Gruppe: Brüche vergleichen:

a) 4/3 und 5/6; b) 7/2 und 1/2 unter Verwendung des Zahlenstrahls

0__.__.__1/2__.__5/6__1__.__4/3__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__7/2__.__

Formulieren Sie eine Regel für den Vergleich von echten und unechten Brüchen.

Anweisung.

Überlegen Sie, welcher Bruch immer größer ist, richtig oder falsch.

4. Diskussion der Schlussfolgerungen in Gruppen.

Wort an jede Gruppe. Formulierung der Regeln der Schüler und deren Vergleich mit den Standards der entsprechenden Regeln. Als nächstes werden jedem Schüler Ausdrucke der Regeln zum Vergleichen verschiedener Arten von gewöhnlichen Brüchen gegeben.

5. Wir kehren zu der Aufgabe zurück, die zu Beginn der Lektion gestellt wurde. (Wir lösen das Clownproblem gemeinsam).

6. Arbeiten Sie in Notizbüchern. Anhand der Regeln zum Vergleichen von Brüchen vergleichen die Schüler unter Anleitung eines Lehrers Brüche:

a) 13.8. und 25.8.;
b) 11/42 und 3/42;
c) 7/5 und 1/5;
d) 18/21 und 7/3;
e) 2 1/2 und 3 1/5;
f) 5 1/2 und 5 4/3;

(es ist möglich, einen Studenten in den Vorstand einzuladen).

7. Die Schüler werden aufgefordert, einen Test durchzuführen, bei dem Brüche für zwei Optionen verglichen werden.

1 Möglichkeit.

1) Brüche vergleichen: 1/8 und 1/12

a) 1/8 > 1/12;
b) 1/8<1/12;
c) 1/8=1/12

2) Was ist größer: 5/13 oder 7/13?

a) 5/13;
b) 13.7.;
c) sind gleich

3) Was ist kleiner: 2/3 oder 4/6?

a) 2/3;
b) 4/6;
c) sind gleich

4) Welcher der Brüche ist kleiner als 1: 3/5; 17.9.; 7/7?

a) 3/5;
b) 17.9.;
c) 7/7

5) Welcher der Brüche ist größer als 1: ?; 7/8; 4/3?

a) 1/2;
b) 7/8;
c) 4/3

6) Brüche vergleichen: 2 1/5 und 1 7/9

a) 2 1/5<1 7/9;
b) 2 1/5 = 1 7/9;
c) 2 1/5 > 1 7/9

Option 2.

1) Brüche vergleichen: 3/5 und 3/10

a) 3/5 > 3/10;
b) 3/5<3/10;
c) 3/5=3/10

2) Was ist größer: 10/12 oder 1/12?

a) gleich sind;
b) 12.10.;
c) 1/12

3) Was ist kleiner: 3/5 oder 1/10?

a) 3/5;
b) 1/10;
c) sind gleich

4) Welcher der Brüche ist kleiner als 1: 4/3; 1/15; 16/16?

a) 4/3;
b) 1/15;
c) 16/16

5) Welcher der Brüche ist größer als 1: 2/5, 9/8, 11/12?

a) 2/5;
b) 9/8;
c) 11.12

6) Brüche vergleichen: 3 1/4 und 3 2/3

a) 3 1/4 = 3 2/3;
b) 3 1/4 > 3 2/3;
c) 3 1/4< 3 2/3

Antworten zum Test:

Möglichkeit 1: 1a, 2b, 3c, 4a, 5b, 6a

Möglichkeit 2: 2a, 2b, 3b, 4b, 5b, 6c

8. Wir kehren noch einmal zum Zweck der Lektion zurück.

Wir prüfen die Vergleichsregeln und geben eine differenzierte Hausaufgabe:

1,2,3 Gruppen – Überlege dir zwei Beispiele für jede Regel und löse sie.

4,5,6 Gruppen - Nr. 83 a, b, c, Nr. 84 a, b, c (aus dem Lehrbuch).

Zwei ungleiche Brüche werden einem weiteren Vergleich unterzogen, um herauszufinden, welcher Bruch größer und welcher kleiner ist. Um zwei Brüche zu vergleichen, gibt es eine Regel zum Vergleichen von Brüchen, die wir im Folgenden formulieren, und wir werden auch Beispiele für die Anwendung dieser Regel beim Vergleichen von Brüchen mit gleichem und unterschiedlichem Nenner analysieren. Abschließend zeigen wir, wie man Brüche mit denselben Zählern vergleicht, ohne sie auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, und betrachten auch, wie man einen gewöhnlichen Bruch mit einer natürlichen Zahl vergleicht.

Seitennavigation.

Brüche mit gleichem Nenner vergleichen

Brüche mit gleichem Nenner vergleichen ist im Wesentlichen ein Vergleich der Anzahl gleicher Aktien. Zum Beispiel bestimmt der gemeinsame Bruch 3/7 3 Teile 1/7 und der Bruch 8/7 entspricht 8 Teilen 1/7, also kommt es beim Vergleich von Brüchen mit denselben Nennern 3/7 und 8/7 darauf an, die Zahlen zu vergleichen 3 und 8, also , um Zähler zu vergleichen.

Aus diesen Überlegungen folgt Regel zum Vergleichen von Brüchen mit gleichem Nenner: Von zwei Brüchen mit gleichem Nenner ist der größere Bruch derjenige, dessen Zähler größer ist, und der kleinere Bruch, dessen Zähler kleiner ist.

Die angegebene Regel erklärt, wie man Brüche mit gleichem Nenner vergleicht. Betrachten Sie ein Beispiel für die Anwendung der Regel zum Vergleichen von Brüchen mit demselben Nenner.

Beispiel.

Welcher Bruch ist größer: 65/126 oder 87/126?

Lösung.

Die Nenner der verglichenen gewöhnlichen Brüche sind gleich, und der Zähler 87 des Bruchs 87/126 ist größer als der Zähler 65 des Bruchs 65/126 (siehe ggf. Vergleich natürlicher Zahlen). Daher ist gemäß der Regel zum Vergleichen von Brüchen mit gleichem Nenner der Bruch 87/126 größer als der Bruch 65/126.

Antworten:

Vergleichen von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern

Vergleichen von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern kann auf den Vergleich von Brüchen mit gleichem Nenner reduziert werden. Dazu müssen Sie lediglich die verglichenen gewöhnlichen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Um also zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu vergleichen, brauchen Sie

• Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen;
• Vergleichen Sie die resultierenden Brüche mit denselben Nennern.

Schauen wir uns eine Beispiellösung an.

Beispiel.

Vergleichen Sie den Bruch 5/12 mit dem Bruch 9/16.

Lösung.

Zuerst bringen wir diese Brüche mit unterschiedlichen Nennern auf einen gemeinsamen Nenner (siehe Regel und Beispiele zum Kürzen von Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner). Nehmen Sie als gemeinsamen Nenner den kleinsten gemeinsamen Nenner gleich LCM(12, 16)=48 . Dann ist der zusätzliche Faktor des Bruchs 5/12 die Zahl 48:12=4 , und der zusätzliche Faktor des Bruchs 9/16 ist die Zahl 48:16=3 . Wir bekommen und .

Wenn wir die resultierenden Brüche vergleichen, haben wir . Daher ist der Bruch 5/12 kleiner als der Bruch 9/16. Damit ist der Vergleich von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern abgeschlossen.

Antworten:

Lassen Sie uns eine andere Möglichkeit finden, Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu vergleichen, die es Ihnen ermöglicht, Brüche zu vergleichen, ohne sie auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, und all die Schwierigkeiten, die mit diesem Prozess verbunden sind.

Um die Brüche a / b und c / d zu vergleichen, können sie auf einen gemeinsamen Nenner b d reduziert werden, der gleich dem Produkt der Nenner der verglichenen Brüche ist. In diesem Fall sind die zusätzlichen Faktoren der Brüche a/b und c/d die Zahlen d bzw. b, und die ursprünglichen Brüche werden auf Brüche und mit einem gemeinsamen Nenner b d reduziert. Unter Hinweis auf die Regel zum Vergleichen von Brüchen mit gleichem Nenner schließen wir, dass der Vergleich der ursprünglichen Brüche a/b und c/d auf den Vergleich der Produkte von a d und c b reduziert wurde.

Daraus folgt folgendes Regel zum Vergleichen von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern: wenn a d>b c , dann , und wenn a d

Ziehen Sie in Betracht, Brüche mit unterschiedlichen Nennern auf diese Weise zu vergleichen.

Beispiel.

Vergleiche die gemeinsamen Brüche 5/18 und 23/86.

Lösung.

In diesem Beispiel sind a=5 , b=18 , c=23 und d=86 . Berechnen wir die Produkte a d und b c . Wir haben a d=5 86=430 und b c=18 23=414 . Da 430 > 414 ist, ist der Bruch 5/18 größer als der Bruch 23/86.

Antworten:

Brüche mit gleichem Zähler vergleichen

Brüche mit gleichem Zähler und unterschiedlichem Nenner lassen sich sicherlich mit den im vorigen Absatz besprochenen Regeln vergleichen. Das Ergebnis des Vergleichs solcher Brüche ist jedoch leicht zu erhalten, indem man die Nenner dieser Brüche vergleicht.

Es gibt solche Regel zum Vergleichen von Brüchen mit gleichem Zähler: Von zwei Brüchen mit gleichem Zähler ist der mit dem kleineren Nenner der größere und der mit dem größeren Nenner der kleinere.

Betrachten wir eine Beispiellösung.

Beispiel.

Vergleichen Sie die Brüche 54/19 und 54/31.

Lösung.

Da die Zähler der verglichenen Brüche gleich sind und der Nenner 19 des Bruchs 54/19 kleiner ist als der Nenner 31 des Bruchs 54/31, dann ist 54/19 größer als 54/31.