Всероссийская олимпиада школьников начальная школа. Где найти типовые задания по олимпиаде
Представляет собой целую систему олимпиад по предметам, входящим в обязательную программу общеобразовательных учреждений страны. Участие в такой олимпиаде – почетная и ответственная миссия, ведь это шанс школьника показать накопленный багаж знаний, защитить честь своего учебного заведения, а в случае победы – еще и возможность получить денежное стимулирование и заработать привилегию при поступлении в лучшие университеты России.
Практика проведения предметных олимпиад существует в стране более ста лет – еще в далеком 1886 году представители органов образования инициировали соревнования между юными талантами. Во времена Советского Союза это движение не просто не прекратило существование, но и получило дополнительный импульс к развитию. Начиная с 60-х годов прошлого века практически по всем основным школьным дисциплинам стали проводиться интеллектуальные состязания всесоюзного, а затем и всероссийского масштаба.
Какие предметы входят в олимпиадный перечень?
В 2017-2018 учебном году школьники страны смогут побороться за призовые места в нескольких категориях дисциплин:
- в точных науках, к числу которых относятся информатика и математический блок;
- в естественных науках, к которым относят географию, биологию, астрономию, физику, химию и экологию;
- в области филологии, включающей олимпиады по немецкому, английскому, китайскому, французскому, итальянскому языкам, а также русскому языку и литературе;
- в сфере гуманитарных наук, состоящей из истории, обществознания, права и экономики;
- по другим дисциплинам, к которым относятся физкультура, мировая художественная культура, технологии и безопасность жизнедеятельности.
В олимпиадных заданиях по каждой из перечисленных дисциплин обычно выделяются два блока заданий: часть, проверяющая теоретическую подготовку, и часть, направленная на выявление практических навыков.
Основные этапы олимпиады 2017-2018 года
Проведение Всероссийской школьной олимпиады включает в себя организацию четырех этапов состязаний, проводимых на различных уровнях. Итоговое расписание интеллектуальных битв между школьниками определяют представители школ и региональных образовательных властей, однако, вы можете ориентироваться на такие периоды времени.
Школьников ожидают 4 этапа соревнований разного уровня сложности
- Этап 1. Школьный. Соревнования между представителями одной школы будет проводиться в сентябре-октябре 2017 года. Олимпиада проводится между учащимися параллели, начиная с пятого класса. Разработка заданий для проведения предметных олимпиад в данном случае возлагается на членов методкомиссии городского уровня.
- Этап 2. Муниципальный. Этап, на котором проходят состязания между победителями школ одного города, представляющими 7-11 классы, будет проведен с декабря 2017 по январь 2018 года. Миссия составления олимпиадных заданий возлагается на организаторов регионального уровня, а за вопросы, связанные с предоставлением места и обеспечения процедуры олимпиад, отвечают местные чиновники.
- Этап 3. Региональный. Третий уровень олимпиады, который будет проводиться в январе-феврале 2018 года. На этом этапе в состязаниях принимают участие школьники, получившие призовые места на городской олимпиаде, и те, кто победил в региональных отборах прошлого года.
- Этап 4. Всероссийский. Самый высокий уровень предметных олимпиад будет организован представителями Минобразования Российской Федерации в марте-апреле 2018 года. На него приглашаются победители регионального уровня и ребята, победившие в прошлом году. Однако не каждый победитель регионального отбора может стать участником данного этапа. Исключение составляют школьники, получившие у себя в регионе 1 место, но отстающие по очкам от победителей на уровне других городов. Призеры Всероссийского этапа могут потом отправиться на соревнования международного уровня, которые проходят в летнее время.
Где найти типовые задания по олимпиаде?
Конечно, чтобы достойно выступить в этом мероприятии, нужно иметь высокий уровень подготовки. Всероссийская олимпиада представлена в сети собственный сайтом – rosolymp.ru, – на котором ученики могут ознакомиться с заданиями прошлых лет, проверить свой уровень при помощи ответов на них, узнать конкретные даты и требования к организационным моментам.
Всероссийская олимпиада школьников 2017/2018 будет представлять собой соревнование среди учеников средних учебных заведений по дисциплинам, которые включены в школьную программу. В такой олимпиаде принимают участие только самые умные и одарённые ребята. Им предоставляется уникальная возможность продемонстрировать свой ум и защитить репутацию своей школы, а победители получают ещё и гарантированное денежное поощрение и преимущество для поступления в элитные ВУЗы страны. В школьном году олимпиада будет проходить с сентября по апрель.
Предметы
В новом школьном году ученики будут демонстрировать приобретённые знания по таким школьным предметам, как:
- алгебра, геометрия;
- мировая география, все разделы биологии, астрономия, физика, основы экологии, химия;
- русский, немецкий, английский, французский, итальянский языки, а также русская и зарубежная литература;
- история России и мира, обществознание, экономика и право;
- физическая культура, мировая культура, технология, БЖД.
По каждому из этих предметов задание для олимпиады будет состоять из двух частей: теории и практики. В первой части школьникам нужно будет продемонстрировать свои знания правил, а во второй – их практическое применение.
Главные этапы олимпиады
Точный график всероссийской олимпиады школьников 2017/2018 будут определять представители средних учебных заведений и областных органов власти, однако уже известно примерное время проведения состязаний для каждого из 4 этапов.
Первый школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2017/2018 будет проходить примерно в конце сентября – начале октября. Соревнования будут между учениками параллельных классов, начиная с пятого. Задания для этого этапа разрабатываются на местном уровне, а проверку осуществляет комиссия, состоящая из учителей и представителя комитета образования.
Второй этап – городской. В этом этапе соревнуются уже определившиеся фавориты различных средних учебных заведений, но из одного населённого пункта. Он будет проходить в декабре – январе. Олимпиадные задания составляют организаторы областного уровня, а местные чиновники обязаны предоставить место для её проведения.
Третий этап – областной. Сроки его проведения – с середины января 2018 года по февраль. В состязании участвуют школьники, занявшие призовые места в предыдущем этапе в этом учебном году, а также те, кто одержал победу в прошлом.
Четвёртый этап – общероссийский. Будет проходить с марта по апрель. В нём участвуют ребята, которые заняли первое место в областном этапе этого и прошлого учебных годов. Но к участию в этом этапе олимпиады приглашают лишь тех ребят, которые набрали наивысшее количество балов.
Следующий этап уже международный. Он будет проходить во время летних каникул.
Задания и ключи школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике
Скачать:
Предварительный просмотр:
Школьный этап
4 класс
1. Площадь прямоугольника 91
Предварительный просмотр:
Задачи Всероссийской олимпиады школьников по математике
Школьный этап
5 класс
Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов
3. Разрежьте фигуру на три одинаковые (совпадающие при наложении) фигурки:
4. Замените букву А
Предварительный просмотр:
Задачи Всероссийской олимпиады школьников по математике
Школьный этап
6 класс
Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов
Предварительный просмотр:
Задачи Всероссийской олимпиады школьников по математике
Школьный этап
7 класс
Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов
1. – различные цифры.
4. Замените буквы Y, E, A и R цифрами так, чтобы получилось верное равенство:
YYYY ─ EEE ─ AA + R = 2017 .
5. На острове жив ё т неч ё тное число людей, прич ё ё
Предварительный просмотр:
Задачи Всероссийской олимпиады школьников по математике
Школьный этап
8 класс
Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов
АВМ , CLD и ADK соответственно. Найдите ∠ МKL .
6. Докажите, что если a, b, c и - целые числа, то и дробь будет целым числом.
Предварительный просмотр:
Задачи Всероссийской олимпиады школьников по математике
Школьный этап
9 класс
Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов
2. Числа a и b таковы, что уравнения и тоже имеет решение.
6. При каких натуральных x выражение
Предварительный просмотр:
Задачи Всероссийской олимпиады школьников по математике
Школьный этап
10 класс
Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов
4 – 5 – 7 – 11 – 19 = 22
3. В уравнении
5. В треугольнике ABC провели биссектрису BL . Оказалось, что . Докажите, что треугольник ABL – равнобедренный.
6. По определению,
Предварительный просмотр:
Задачи Всероссийской олимпиады школьников по математике
Школьный этап
11 класс
Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов
1. Сумма двух чисел равна 1. Может ли их произведение быть больше 0,3?
2. Отрезки AM и BH ABC .
Известно, что AH = 1 и . Найти длину стороны BC .
3. а неравенство верно при всех значениях х ?
Предварительный просмотр:
4 класс
1. Площадь прямоугольника 91 . Длина одной из его сторон 13 см. Чему равна сумма всех сторон прямоугольника?
Ответ. 40
Решение. Длину неизвестной стороны прямоугольника находим из площади и известной стороны: 91 :13 см = 7 см.
Сумма всех сторон прямоугольника равна 13 + 7 + 13 + 7 = 40 см.
2. Разрежьте фигуру на три одинаковые (совпадающие при наложении) фигурки:
Решение.
3. Восстановите пример на сложение, где цифры слагаемых заменены звездочками: *** + *** = 1997.
Ответ. 999 + 998 = 1997.
4 . Четыре девочки ели конфеты. Аня съела больше, чем Юля, Ира – больше, чем Света, но меньше, чем Юля. Расставьте имена девочек в порядке возрастания съеденных конфет.
Ответ. Света, Ира, Юля, Аня.
Предварительный просмотр:
Ключи школьной олимпиады по математике
5 класс
1. Не меняя порядка расположения цифр 1 2 3 4 5, поставьте между ними знаки арифметических действий и скобки так, чтобы в результате получилась единица. «Склеивать» соседние цифры в одно число нельзя.
Решение. Например, ((1 + 2) : 3 + 4) : 5 = 1. Возможны другие решения.
2. На скотном дворе гуляли гуси и поросята. Мальчик сосчитал количество голов, их оказалось 30, а затем он сосчитал количество ног, их оказалось 84. Сколько гусей и сколько поросят было на школьном дворе?
Ответ. 12 поросят и 18 гусей.
Решение.
1 шаг. Представьте, что все поросята подняли по две ноги вверх.
2 шаг. На земле осталось стоять 30 ∙ 2 = 60 ног.
3 шаг. Подняли вверх 84 - 60 = 24 ноги.
4 шаг. Подняли 24: 2 = 12 поросят.
5 шаг. 30 - 12 = 18 гусей.
3. Разрежьте фигуру на три одинаковые (совпадающие при наложении) фигурки:
Решение.
4. Замените букву А на ненулевую цифру, чтобы получилось верное равенство. Достаточно привести один пример.
Ответ. А = 3.
Решение.
Несложно показать, что
А
= 3 подходит, докажем, что других решений нет. Сократим равенство на
А
. Получим
.
Если
А
,
если
А
> 3, то
.
5. Девочки и мальчики по дороге в школу зашли в магазин. Каждый ученик купил по 5 тонких тетрадей. Кроме этого, каждая девочка купила 5 ручек и 2 карандаша, а каждый мальчик купил 3 карандаша и 4 ручки. Сколько было куплено тетрадей, если всего ручек и карандашей дети купили 196 штук?
Ответ. 140 тетрадей.
Решение. Каждый из учеников купил по 7 ручек и карандашей. Всего было куплено 196 ручек и карандашей.
196: 7 = 28 учеников.
Каждый из учеников купил по 5 тетрадей, значит, всего куплено
28
⋅
5=140 тетрадей.
Предварительный просмотр:
Ключи школьной олимпиады по математике
6 класс
1. На прямой 30 точек, расстояние между любыми двумя соседними равно 2 см. Какое расстояние между двумя крайними точками?
Ответ. 58 см.
Решение. Между крайними точками помещается 29 частей по 2 см.
2 см * 29 = 58 см.
2. Будет ли сумма чисел 1 + 2 + 3 + ......+ 2005 + 2006 + 2007 делиться на 2007? Ответ обоснуйте.
Ответ. Будет.
Решение.
Представим данную сумму в виде следующих слагаемых:
(1 + 2006) + (2 + 2005) + …..+ (1003 + 1004) + 2007.
Так как каждое слагаемое делится на 2007, то и вся сумма будет делиться на 2007.
3. Разрежьте фигурку на 6 равных клетчатых фигурок.
Решение. Фигурку можно разрезать только так
4. Настя расставляет в клетках квадрата 3 на 3 числа 1, 3, 5, 7, 9. Она хочет, чтобы сумма чисел по всем горизонталям, вертикалям и диагоналям делилась на 5. Приведите пример такой расстановки, при условии, что каждое число Настя собирается использовать не более двух раз.
Решение. Ниже приведена одна из расстановок. Существуют и другие решения.
5. Обычно за Павликом после уроков приезжает папа на машине. Однажды уроки закончились раньше обычного и Павлик пошел домой пешком. Спустя 20 минут он встретил папу, сел в машину и приехал домой на 10 минут раньше. На сколько минут раньше закончились уроки в этот день?
Ответ. На 25 минут раньше.
Решение. Машина приехала домой раньше, потому что ей не пришлось доезжать с места встречи до школы и обратно, значит, удвоенный этот путь машина проезжает за 10 минут, а в одну сторону – за 5 минут. Итак, машина встретилась с Павликом за 5 минут до обычного окончания уроков. К этому моменту Павлик уже шел 20 минут. Таким образом, уроки закончились на 25 минут раньше.
Предварительный просмотр:
Ключи школьной олимпиады по математике
7 класс
1. Найдите решение числового ребуса a,bb + bb,ab = 60 , где a и b – различные цифры.
Ответ. 4,55 + 55,45 = 60
2. После того, как Наташа съела половину персиков из банки, уровень компота понизился на одну треть. На какую часть (от полученного уровня) понизится уровень компота, если съесть половину от оставшихся персиков?
Ответ. На одну четверть.
Решение. Из условия ясно, что половина персиков занимает треть банки. Значит, после того как Наташа съела половину персиков, в банке персиков и компота осталось поровну (по одной трети). Значит, половина от числа оставшихся персиков составляет четверть от всего объёма содержимого
банки. Если съесть эту половину оставшихся персиков, уровень компота понизится на четверть.
3. Разрежьте по линиям сетки прямоугольник, изображённый на рисунке, на пять прямоугольников различной площади.
Решение. Например, так
4. Замените буквы Y, E, A и R цифрами так, чтобы получилось верное равенство: YYYY ─ EEE ─ AA + R = 2017 .
Ответ. При Y=2, E=1, A=9, R=5 получаем 2222 ─ 111 ─ 99 + 5 = 2017.
5. На острове жив ё т неч ё тное число людей, прич ё м каждый из них либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лж ё т. Как-то раз все рыцари заявили: ― «Я дружу только с 1 лжецом», а все лжецы: ― «Я не дружу с рыцарями». Кого на острове больше, рыцарей или лжецов?
Ответ. Рыцарей больше
Решение. Каждый лжец дружит хотя бы с одним рыцарем. Но так как каждый рыцарь дружит ровно с одним лжецом, у двух лжецов не может быть общего друга-рыцаря. Тогда каждому лжецу можно поставить в соответствие его друга рыцаря, откуда получается, что рыцарей, по крайней мере, столько же, сколько и лжецов. Так как всего жителей на острове неч ё тное число, то равенство невозможно. Значит, рыцарей больше.
Предварительный просмотр:
Ключи школьной олимпиады по математике
8 класс
1. В семье 4 человека. Если Маше удвоят стипендию, общий доход всей семьи возрастет на 5%, если вместо этого маме удвоят зарплату – на 15%, если же зарплату удвоят папе – на 25%. На сколько процентов возрастет доход всей семьи, если дедушке удвоят пенсию?
Ответ. На 55%.
Решение . При удвоении стипендии Маши общий доход семьи увеличивается ровно на величину этой стипендии, поэтому она составляет 5% от дохода. Аналогично, зарплаты мамы и папы составляют 15% и 25%. Значит, пенсия дедушки составляет 100 – 5 – 15 - 25 = 55%, и если е ё удвоят, то доход семьи вырастет на 55%.
2. На сторонах АВ , CD и AD квадрата АВСD вовне построены равносторонние треугольники АВМ , CLD и ADK соответственно. Найдите ∠ МKL .
Ответ. 90°.
Решение. Рассмотрим треугольник MAK : угол MAK равен 360° - 90° - 60° - 60° = 150°. MA = AK по условию, значит, треугольник MAK равнобедренный, ∠ AMK = ∠ AKM = (180° - 150°) : 2 = 15°.
Аналогично получаем, что угол DKL равен 15°. Тогда искомый угол MKL равен сумме ∠ MKA + ∠ AKD + ∠ DKL = 15° + 60° + 15° = 90°.
3. Ниф-Ниф, Наф-Наф и Нуф-Нуф делили три кусочка трюфеля массами 4 г., 7 г. и 10 г. Волк решил им помочь. Он может от любых двух кусочков одновременно отрезать и съесть по 1 г. трюфеля. Сможет ли волк оставить поросятам равные кусочки трюфеля? Если да, то как?
Ответ. Да.
Решение. Волк может сначала три раза отрезать по 1 г от кусочков в 4 г и 10 г. Получатся один кусок в 1 г и два куска по 7 г. Теперь осталось шесть раз отрезать и съесть по 1 г от кусочков в 7 г., тогда поросятам достанется по 1 г. трюфеля.
4. Сколько всего есть четырехзначных чисел, которые делятся на 19 и оканчиваются на 19?
Ответ. 5 .
Решение.
Пусть
– такое число. Тогда
тоже кратно 19. Но
Поскольку 100 и 19 взаимно просты, то двузначное число делится на 19. А таких всего пять: 19, 38, 57, 76 и 95.
Легко убедиться, что все числа 1919, 3819, 5719, 7619 и 9519 нам подходят.
5. Команда из Пети, Васи и одноместного самоката участвует в гонке. Дистанция разделена на участки одинаковой длины, их количество равно 42, в начале каждого – контрольный пункт. Петя пробегает участок за 9 мин, Вася – за 11 мин, а на самокате любой из них проезжает участок за 3 мин. Стартуют они одновременно, а на финише учитывается время того, кто пришел последним. Ребята договорились, что один проезжает первую часть пути на самокате, остаток бегом, а другой - наоборот (самокат можно оставить на любом контрольном пункте). Сколько участков Петя должен проехать на самокате, чтобы команда показала наилучшее время?
Ответ. 18
Решение. Если время одного станет меньше времени другого из ребят, то увеличится время другого и, следовательно, время команды. Значит, время ребят должно совпадать. Обозначив число проезжаемых Петей участков через x и решив уравнение , получим x = 18.
6. Докажите, что если a, b, c и - целые числа, то и дробь будет целым числом.
Решение.
Рассмотрим , по условию это число целое.
Тогда и будет тоже целым числом как разность N и удвоенного целого числа .
Предварительный просмотр:
Ключи школьной олимпиады по математике
9 класс
1. Саше и Юре сейчас вместе 35 лет. Саше сейчас вдвое больше лет, чем было Юре тогда, когда Саше было столько лет, сколько Юре сейчас. Сколько лет сейчас Саше и сколько – Юре?
Ответ. Саше 20 лет, Юре 15 лет .
Решение. Пусть Саше сейчас x лет, тогда Юре , а когда Саше было лет, то Юре, по условию, . Но времени и для Саши и для Юры прошло поровну, поэтому получаем уравнение
из которого .
2. Числа a и b таковы, что уравнения и имеют решения. Докажите, что уравнение тоже имеет решение.
Решение. Если первые уравнения имеют решения, то их дискриминанты неотрицательны, откуда и . Перемножая эти неравенства, получаем или , откуда следует, что дискриминант последнего уравнения также неотрицателен и уравнение имеет решение.
3. Рыбак выловил большое число рыб весом 3,5 кг. и 4,5 кг. Его рюкзак вмещает не более 20 кг. Какой максимальный вес рыбы он может взять с собой? Ответ обоснуйте.
Ответ. 19.5 кг.
Решение.
В рюкзак можно поместить 0, 1, 2, 3 или 4 рыбы весом 4,5 кг.
(не больше, поскольку
). Для каждого из этих вариантов остаток вместимости рюкзака не делится нацело на 3,5 и в лучшем случае удастся упаковать
кг. рыбы.
4. Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков.
Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?
Ответ. В семерку – 1 попадание, в восьмерку – 2 попадания, в девятку – 3 попадания.
Решение. Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (так как по крайней мере по одному разу в семерку, восьмерку и девятку стрелок попал) он наберет очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8 + 9 + 9 = 26. Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.
5 . Середины соседних сторон в выпуклом четырехугольнике соединены отрезками. Докажите, что площадь получившегося четырехугольника в два раза меньше площади первоначального.
Решение. Обозначим четырёхугольник за ABCD , а середины сторон AB , BC , CD , DA за P , Q , S , T соответственно. Заметим, что в треугольнике ABC отрезок PQ является средней линией, значит, она отсекает от него треугольник PBQ в четыре раза меньше площади, чем площадь ABC . Аналогично, . Но треугольники ABC и CDA в сумме составляют весь четырёхугольник ABCD , значит Аналогично получаем, что Тогда суммарная площадь этих четырёх треугольников составляет половину площади четырёхугольника ABCD и площадь оставшегося четырёхугольника PQST равна также половине площади ABCD .
6. При каких натуральных x выражение является квадратом натурального числа?
Ответ. При x = 5.
Решение. Пусть . Отметим, что – также квадрат некоторого целого числа , меньшего t . Получаем, что . Числа и – натуральные и первое больше второго. Значит , а . Решив эту систему, получаем , , что дает .
Предварительный просмотр:
Ключи школьной олимпиады по математике
10 класс
1. Расставьте знаки модуля так, чтобы получилось верное равенство
4 – 5 – 7 – 11 – 19 = 22
Решение. Например,
2. Когда Винни-Пух пришел в гости к Кролику, он съел 3 тарелки мёда, 4 тарелки сгущёнки и 2 тарелки варенья, а после этого не смог выйти наружу из-за того, что сильно растолстел от такой еды. Но известно, что если бы он съел 2 тарелки мёда, 3 тарелки сгущёнки и 4 тарелки варенья или 4 тарелки мёда, 2 тарелки сгущёнки и 3 тарелки варенья, то спокойно смог бы покинуть нору гостеприимного Кролика. От чего больше толстеют: от варенья или от сгущёнки?
Ответ. От сгущенки.
Решение. Обозначим через М – питательность мёда, через С – питательность сгущёнки, через В – питательность варенья.
По условию 3М + 4С + 2В > 2М + 3С + 4В, откуда М + С > 2В. (*)
По условию же 3М + 4С + 2В > 4М + 2С + 3В, откуда 2С > М + В (**).
Складывая неравенство (**) с неравенством (*), получаем М + 3С > М + 3В, откуда С > В.
3. В уравнении одно из чисел заменено точками. Найти это число, если известно, что один из корней равен 2.
Ответ. 2.
Решение. Так как 2 является корнем уравнения, имеем:
откуда получаем, что , а значит вместо многоточия было записано число 2.
4. Из города в деревню вышла Марья Ивановна, а навстречу ей из деревни в город одновременно вышла Катерина Михайловна. Найти расстояние между деревней и городом, если известно, что расстояние между пешеходами равнялось 2 км дважды: сначала, когда Марья Ивановна прошла половину пути до деревни, и потом, когда Катерина Михайловна прошла треть пути до города.
Ответ. 6 км.
Решение. Обозначим расстояние между деревней и городом за S км, скорости Марьи Ивановны и Катерины Михайловны за x и y , и посчитаем время, потраченное пешеходами в первом и втором случаях. Получим в первом случае
Во втором
.
Отсюда, исключая
x
и
y
, имеем
, откуда
S =
6 км.
5. В треугольнике ABC провели биссектрису BL . Оказалось, что . Докажите, что треугольник ABL – равнобедренный.
Решение. По свойству биссектрисы имеем BC:AB = CL:AL. Умножая это равенство на , получаем , откуда BC:CL = AC:BC . Последнее равенство влечет подобие треугольников ABC и BLC по углу C и прилегающим к нему сторонам. Из равенства соответствующих углов в подобных треугольниках получаем , откуда в
треугольнике ABL углы при вершинах A и B равны, т.е. он равнобедренный: AL = BL .
6. По определению, . Какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения , чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого натурального числа?
Ответ. 10!
Решение. Заметим, что
x = 0,5 и составляет 0,25.2. Отрезки AM и BH - соответственно медиана и высота треугольника ABC .
Известно, что AH = 1 и . Найти длину стороны BC .
Ответ. 2 см.
Решение. Проведём отрезок МН, он будет медианой прямоугольного треугольника BHC , проведённой к гипотенузе BC и равен её половине. Тогда – равнобедренный, поэтому , значит, , поэтому, AH = HM = MC = 1 и BC = 2MC = 2 см.
3. При каких значениях числового параметра а неравенство верно при всех значениях х ?
Ответ . .
Решение . При имеем , что неверно.
При 1 сократим неравенство на , сохраняя знак:
Такое неравенство верно для всех х только при .
При сократим неравенство на , меняя знак на противоположный: . Но квадрат числа никогда не бывает отрицательным.
4. Есть один килограмм 20%-ного соляного раствора. Лаборант поместил колбу с этим раствором в аппарат, в котором выпаривается вода из раствора и одновременно с этим в него с постоянной скоростью, равной 300 г./ч., подливается 30%-ный раствор этой же соли. Скорость выпаривания также постоянна и составляет 200 г./ч. Процесс останавливается, как только в колбе окажется 40%-ный раствор. Какова будет масса полученного раствора?
Ответ. 1,4 килограмма.
Решение.
Пусть t - время, в течение которого работал аппарат. Тогда по окончании работы в колбе получилось 1 + (0,3 – 0,2)t = 1 + 0,1t кг. раствора. При этом масса соли в этом растворе равна 1 · 0,2 + 0,3 · 0,3 · t = 0,2 + 0,09t. Так как полученный раствор содержит 40% соли, получаем
0,2 + 0,09t = 0,4(1 + 0,1t), то есть 0,2 + 0,09t = 0,4 + 0,04t, отсюда t = 4 ч. Следовательно, масса полученного раствора равна 1 + 0,1 · 4 = 1,4 кг.
5. Сколькими способами среди всех натуральных чисел от 1 до 25 можно выбрать 13 различных так, чтобы сумма любых двух выбранных чисел не равнялась 25 или 26?
Ответ. Единственным.
Решение. Запишем все наши числа в следующем порядке: 25,1,24,2,23,3,…,14,12,13. Ясно, что любые два из них равны в сумме 25 или 26 тогда и только тогда, когда являются в этой последовательности соседними. Таким образом, среди выбранных нами тринадцати чисел не должно быть соседних, откуда сразу получаем, что это должны быть все члены этой последовательности с нечётными номерами – выбор единственный.
6. Пусть k – натуральное число. Известно, что среди 29 последовательных чисел 30k+1, 30k+2, ..., 30k+29 имеется 7 простых. Докажите, что первое и последнее из них – простые.
Решение. Вычеркнем из этого ряда числа, кратные 2, 3 или 5. Останется 8 чисел: 30k+1, 30k+7, 30k+11, 30k+13, 30k+17, 30k+19, 30k+23, 30k+29. Допустим, что среди них есть составное число. Докажем, что это число кратно 7. Первые семь этих чисел дают разные остатки при делении на 7, т. к. числа 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23 дают разные остатки при делении на 7. Значит, одно из этих чисел кратно 7. Заметим, что число 30k+1 не кратно 7, иначе 30k+29 также будет кратно 7, а составное число должно быть ровно одно. Значит, числа 30k+1 и 30k+29 - простые.
