ఏ అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నాన్ని మిశ్రమం అంటారు. వాటిపై సాధారణ మరియు దశాంశ భిన్నాలు మరియు కార్యకలాపాలు

ఇప్పటికే ప్రవేశించింది ప్రాథమిక పాఠశాలవిద్యార్థులు భిన్నాలను ఎదుర్కొంటారు. ఆపై వారు ప్రతి అంశంలో కనిపిస్తారు. మీరు ఈ సంఖ్యలతో చర్యలను మర్చిపోలేరు. అందువలన, మీరు సాధారణ మరియు గురించి మొత్తం సమాచారాన్ని తెలుసుకోవాలి దశాంశాలు. ఈ భావనలు సంక్లిష్టంగా లేవు, ప్రధాన విషయం క్రమంలో ప్రతిదీ అర్థం చేసుకోవడం.

భిన్నాలు ఎందుకు అవసరం?

మన చుట్టూ ఉన్న ప్రపంచం మొత్తం వస్తువులను కలిగి ఉంటుంది. అందువల్ల, వాటాల అవసరం లేదు. కానీ రోజువారీ జీవితంవస్తువులు మరియు వస్తువుల భాగాలతో పని చేయడానికి ప్రజలను నిరంతరం నెట్టివేస్తుంది.

ఉదాహరణకు, చాక్లెట్ అనేక ముక్కలను కలిగి ఉంటుంది. అతని టైల్ పన్నెండు దీర్ఘ చతురస్రాల ద్వారా ఏర్పడిన పరిస్థితిని పరిగణించండి. మీరు దానిని రెండుగా విభజిస్తే, మీరు 6 భాగాలు పొందుతారు. దీన్ని సులభంగా మూడుగా విభజించవచ్చు. కానీ ఐదుగురికి మొత్తం చాక్లెట్ ముక్కలను ఇవ్వడం సాధ్యం కాదు.

మార్గం ద్వారా, ఈ ముక్కలు ఇప్పటికే భిన్నాలు. మరియు వారి తదుపరి విభజన మరింత సంక్లిష్ట సంఖ్యల రూపానికి దారితీస్తుంది.

"భిన్నం" అంటే ఏమిటి?

ఇది యూనిట్ యొక్క భాగాలతో రూపొందించబడిన సంఖ్య. బాహ్యంగా, ఇది క్షితిజ సమాంతర లేదా స్లాష్‌తో వేరు చేయబడిన రెండు సంఖ్యల వలె కనిపిస్తుంది. ఈ లక్షణాన్ని పాక్షికం అంటారు. ఎగువన (ఎడమ) వ్రాసిన సంఖ్యను న్యూమరేటర్ అంటారు. దిగువన (కుడి) ఉన్నది హారం.

ముఖ్యంగా, స్లాష్ విభజన చిహ్నంగా మారుతుంది. అంటే, లవణాన్ని డివిడెండ్ అని, హారంను డివైజర్ అని పిలవవచ్చు.

ఏ భిన్నాలు ఉన్నాయి?

గణితంలో రెండు రకాలు మాత్రమే ఉన్నాయి: సాధారణ మరియు దశాంశ భిన్నాలు. పాఠశాల పిల్లలు మొదట కలుస్తారు ప్రాథమిక పాఠశాల, వాటిని కేవలం "భిన్నాలు" అని పిలుస్తారు. తర్వాత 5వ తరగతిలో నేర్చుకుంటారు. అప్పుడే ఈ పేర్లు కనిపిస్తున్నాయి.

సాధారణ భిన్నాలు అనేవి ఒక పంక్తితో వేరు చేయబడిన రెండు సంఖ్యలుగా వ్రాయబడినవి. ఉదాహరణకు, 4/7. దశాంశం అనేది ఒక సంఖ్య, దీనిలో భిన్న భాగం స్థాన సంజ్ఞామానాన్ని కలిగి ఉంటుంది మరియు మొత్తం సంఖ్య నుండి కామాతో వేరు చేయబడుతుంది. ఉదాహరణకు, 4.7. ఇచ్చిన రెండు ఉదాహరణలు పూర్తిగా భిన్నమైన సంఖ్యలు అని విద్యార్థులు స్పష్టంగా అర్థం చేసుకోవాలి.

ప్రతి సాధారణ భిన్నందశాంశ రూపంలో వ్రాయవచ్చు. ఈ ప్రకటన రివర్స్‌లో దాదాపు ఎల్లప్పుడూ నిజం. దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నంగా వ్రాయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే నియమాలు ఉన్నాయి.

ఈ రకమైన భిన్నాలు ఏ ఉప రకాలను కలిగి ఉన్నాయి?

ప్రారంభించడం మంచిది కాలక్రమానుసారం, వారు అధ్యయనం చేస్తున్నారు. సాధారణ భిన్నాలు మొదట వస్తాయి. వాటిలో, 5 ఉపజాతులను వేరు చేయవచ్చు.

సరైనది. దీని లవం ఎల్లప్పుడూ దాని హారం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

తప్పు. దాని లవం దాని హారం కంటే ఎక్కువ లేదా సమానంగా ఉంటుంది.

తగ్గించదగిన / తగ్గించలేని. ఇది సరైనది లేదా తప్పుగా మారవచ్చు. మరో ముఖ్యమైన విషయం ఏమిటంటే, న్యూమరేటర్ మరియు హారం ఉమ్మడి కారకాలను కలిగి ఉన్నాయా. ఉంటే, అప్పుడు భిన్నం యొక్క రెండు భాగాలను వాటి ద్వారా విభజించడం అవసరం, అనగా దానిని తగ్గించండి.

మిక్స్డ్. పూర్ణాంకం సంఖ్య దాని సాధారణ సాధారణ (తప్పు) భిన్న భాగానికి కేటాయించబడుతుంది. అంతేకాక, ఇది ఎల్లప్పుడూ ఎడమ వైపున ఉంటుంది.

మిశ్రమ. ఇది ఒకదానికొకటి విభజించబడిన రెండు భిన్నాల నుండి ఏర్పడుతుంది. అంటే, ఇది ఒకేసారి మూడు భిన్న రేఖలను కలిగి ఉంటుంది.

దశాంశ భిన్నాలు కేవలం రెండు ఉప రకాలు మాత్రమే కలిగి ఉంటాయి:

పరిమిత, అంటే, పాక్షిక భాగం పరిమితం చేయబడినది (ముగింపు కలిగి ఉంటుంది);

అనంతం - దశాంశ బిందువు తర్వాత అంకెలు ముగియని సంఖ్య (అవి అనంతంగా వ్రాయబడతాయి).

దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నానికి ఎలా మార్చాలి?

ఇది పరిమిత సంఖ్య అయితే, నియమం ఆధారంగా అనుబంధం వర్తించబడుతుంది - నేను విన్నట్లుగా, నేను వ్రాస్తాను. అంటే, మీరు దానిని సరిగ్గా చదవాలి మరియు దానిని వ్రాయాలి, కానీ కామా లేకుండా, కానీ పాక్షిక పట్టీతో.

అవసరమైన హారం గురించి సూచనగా, ఇది ఎల్లప్పుడూ ఒకటి మరియు అనేక సున్నాలు అని మీరు గుర్తుంచుకోవాలి. సందేహాస్పద సంఖ్య యొక్క పాక్షిక భాగంలో ఎన్ని అంకెలు ఉన్నాయో మీరు అంతిమంగా వ్రాయాలి.

దశాంశ భిన్నాలు వాటి పూర్ణాంకం తప్పిపోయినట్లయితే, అంటే సున్నాకి సమానమైనట్లయితే వాటిని సాధారణ భిన్నాలుగా మార్చడం ఎలా? ఉదాహరణకు, 0.9 లేదా 0.05. పేర్కొన్న నియమాన్ని వర్తింపజేసిన తర్వాత, మీరు సున్నా పూర్ణాంకాలను వ్రాయవలసి ఉంటుంది. కానీ అది సూచించబడలేదు. పాక్షిక భాగాలను వ్రాయడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది. మొదటి సంఖ్య 10 హారం కలిగి ఉంటుంది, రెండవది 100 హారం కలిగి ఉంటుంది. అంటే, ఇచ్చిన ఉదాహరణలు క్రింది సంఖ్యలను సమాధానాలుగా కలిగి ఉంటాయి: 9/10, 5/100. అంతేకాకుండా, రెండోది 5 ద్వారా తగ్గించబడుతుందని తేలింది. అందువల్ల, దాని ఫలితాన్ని 1/20గా వ్రాయడం అవసరం.

పూర్ణాంక భాగం సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటే, దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నంగా ఎలా మార్చవచ్చు? ఉదాహరణకు, 5.23 లేదా 13.00108. రెండు ఉదాహరణలలో, మొత్తం భాగం చదవబడుతుంది మరియు దాని విలువ వ్రాయబడింది. మొదటి సందర్భంలో ఇది 5, రెండవది 13. అప్పుడు మీరు పాక్షిక భాగానికి వెళ్లాలి. వారితో కూడా అదే ఆపరేషన్ చేయాలన్నారు. మొదటి సంఖ్య 23/100, రెండవది - 108/100000 కనిపిస్తుంది. రెండవ విలువను మళ్లీ తగ్గించాల్సిన అవసరం ఉంది. సమాధానం ఇలా కనిపిస్తుంది మిశ్రమ భిన్నాలు: 5 23/100 మరియు 13 27/25000.

అనంతమైన దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నానికి ఎలా మార్చాలి?

ఇది నాన్-పీరియాడిక్ అయితే, అటువంటి ఆపరేషన్ సాధ్యం కాదు. ఈ వాస్తవం ప్రతి దశాంశ భిన్నం ఎల్లప్పుడూ పరిమిత లేదా ఆవర్తన భిన్నం వలె మార్చబడుతుంది.

అటువంటి భిన్నంతో మీరు చేయగలిగే ఏకైక విషయం దానిని గుండ్రంగా చేయడం. కానీ అప్పుడు దశాంశం ఆ అనంతానికి దాదాపు సమానంగా ఉంటుంది. ఇది ఇప్పటికే సాధారణమైనదిగా మార్చబడుతుంది. కానీ రివర్స్ ప్రక్రియ: దశాంశానికి మార్చడం ఎప్పటికీ ప్రారంభ విలువను ఇవ్వదు. అంటే, అనంతమైన నాన్-ఆవర్తన భిన్నాలు సాధారణ భిన్నాలుగా మార్చబడవు. ఇది గుర్తుంచుకోవలసిన అవసరం ఉంది.

అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నంగా ఎలా వ్రాయాలి?

ఈ సంఖ్యలలో, పునరావృతమయ్యే దశాంశ బిందువు తర్వాత ఎల్లప్పుడూ ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ అంకెలు ఉంటాయి. వాటిని కాలం అంటారు. ఉదాహరణకు, 0.3(3). ఇక్కడ "3" వ్యవధిలో ఉంది. అవి హేతుబద్ధమైనవిగా వర్గీకరించబడ్డాయి ఎందుకంటే అవి సాధారణ భిన్నాలుగా మార్చబడతాయి.

ఆవర్తన భిన్నాలను ఎదుర్కొన్న వారికి అవి స్వచ్ఛంగా లేదా మిశ్రమంగా ఉండవచ్చని తెలుసు. మొదటి సందర్భంలో, కాలం కామా నుండి వెంటనే ప్రారంభమవుతుంది. రెండవదానిలో, పాక్షిక భాగం కొన్ని సంఖ్యలతో ప్రారంభమవుతుంది, ఆపై పునరావృతం ప్రారంభమవుతుంది.

రూపంలో వ్రాయవలసిన నియమం సాధారణ భిన్నంఅనంతమైన దశాంశం, సూచించిన రెండు రకాల సంఖ్యలకు భిన్నంగా ఉంటుంది. స్వచ్ఛమైన ఆవర్తన భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలుగా వ్రాయడం చాలా సులభం. పరిమిత వాటితో పాటు, అవి మార్చబడాలి: లవంలో కాలాన్ని వ్రాయండి మరియు హారం సంఖ్య 9 అవుతుంది, ఆ వ్యవధిలో ఎన్ని అంకెలు ఉన్నాయో అంత ఎక్కువ సార్లు పునరావృతమవుతుంది.

ఉదాహరణకు, 0,(5). సంఖ్యకు పూర్ణాంకం భాగం లేదు, కాబట్టి మీరు వెంటనే పాక్షిక భాగంతో ప్రారంభించాలి. 5ని న్యూమరేటర్‌గా మరియు 9ని హారంగా రాయండి అంటే, సమాధానం 5/9 అవుతుంది.

మిశ్రమంగా ఉండే సాధారణ దశాంశ ఆవర్తన భిన్నాన్ని ఎలా వ్రాయాలి అనే నియమం.

కాలం యొక్క పొడవు చూడండి. అంటే హారం ఎన్ని 9లు ఉంటుంది.

హారం వ్రాయండి: మొదటి తొమ్మిది, తరువాత సున్నాలు.

సంఖ్యను నిర్ణయించడానికి, మీరు రెండు సంఖ్యల వ్యత్యాసాన్ని వ్రాయాలి. దశాంశ బిందువు తర్వాత అన్ని సంఖ్యలు వ్యవధితో పాటు కనిష్టీకరించబడతాయి. తీసివేయదగినది - ఇది వ్యవధి లేకుండా ఉంటుంది.

ఉదాహరణకు, 0.5(8) - ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నంగా వ్రాయండి. కాలానికి ముందు పాక్షిక భాగం ఒక అంకెను కలిగి ఉంటుంది. కాబట్టి ఒక సున్నా ఉంటుంది. వ్యవధిలో ఒకే ఒక సంఖ్య కూడా ఉంది - 8. అంటే, ఒక తొమ్మిది మాత్రమే ఉంది. అంటే, మీరు హారంలో 90 వ్రాయాలి.

న్యూమరేటర్‌ని నిర్ణయించడానికి, మీరు 58 నుండి 5ని తీసివేయాలి. అది 53 అవుతుంది. ఉదాహరణకు, మీరు సమాధానాన్ని 53/90గా రాయాలి.

భిన్నాలు దశాంశాలకు ఎలా మార్చబడతాయి?

అత్యంత సాధారణ ఎంపికహారం 10, 100 మొదలైన సంఖ్యలను కలిగి ఉన్న సంఖ్యగా మారుతుంది. అప్పుడు హారం విస్మరించబడుతుంది మరియు పాక్షిక మరియు పూర్ణాంకాల భాగాల మధ్య కామా ఉంచబడుతుంది.

హారం సులభంగా 10, 100, మొదలైనవిగా మారినప్పుడు పరిస్థితులు ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, సంఖ్యలు 5, 20, 25. వాటిని వరుసగా 2, 5 మరియు 4 ద్వారా గుణిస్తే సరిపోతుంది. మీరు హారం మాత్రమే కాకుండా, లవంను కూడా అదే సంఖ్యతో గుణించాలి.

అన్ని ఇతర సందర్భాల్లో, ఒక సాధారణ నియమం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది: లవంను హారం ద్వారా విభజించండి. ఈ సందర్భంలో, మీరు రెండు సాధ్యమైన సమాధానాలను పొందవచ్చు: పరిమిత లేదా ఆవర్తన దశాంశ భిన్నం.

సాధారణ భిన్నాలతో కార్యకలాపాలు

కూడిక మరియు తీసివేత

విద్యార్థులు ఇతరుల కంటే ముందుగానే వారితో పరిచయం కలిగి ఉంటారు. మరియు మొదట భిన్నాలకు అదే హారం, ఆపై భిన్నంగా. సాధారణ నియమాలుఅటువంటి ప్రణాళికకు తగ్గించవచ్చు.

హారం యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనండి.

అన్ని సాధారణ భిన్నాలకు అదనపు కారకాలను వ్రాయండి.

వాటి కోసం పేర్కొన్న కారకాల ద్వారా న్యూమరేటర్లు మరియు హారంలను గుణించండి.

భిన్నాల సంఖ్యలను జోడించి (తీసివేయండి) మరియు సాధారణ హారం మారకుండా ఉంచండి.

మైన్యూఎండ్ యొక్క న్యూమరేటర్ సబ్‌ట్రాహెండ్ కంటే తక్కువగా ఉంటే, మనకు మిశ్రమ సంఖ్య ఉందా లేదా సరైన భిన్నం ఉందా అని మనం కనుగొనాలి.

మొదటి సందర్భంలో, మీరు మొత్తం భాగం నుండి ఒకదాన్ని తీసుకోవలసి ఉంటుంది. భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్‌కు హారం జోడించండి. ఆపై వ్యవకలనం చేయండి.

రెండవదానిలో, చిన్న సంఖ్య నుండి పెద్ద సంఖ్యను తీసివేయడం అనే నియమాన్ని వర్తింపజేయడం అవసరం. అంటే, సబ్‌ట్రాహెండ్ యొక్క మాడ్యూల్ నుండి, మైన్యూఎండ్ యొక్క మాడ్యూల్‌ను తీసివేయండి మరియు ప్రతిస్పందనగా “-” గుర్తును ఉంచండి.

అదనంగా (వ్యవకలనం) ఫలితాన్ని జాగ్రత్తగా చూడండి. మీరు సరికాని భిన్నాన్ని పొందినట్లయితే, మీరు మొత్తం భాగాన్ని ఎంచుకోవాలి. అంటే, న్యూమరేటర్‌ను హారంతో భాగించండి.

గుణకారం మరియు విభజన

వాటిని నిర్వహించడానికి, భిన్నాలను సాధారణ హారంకు తగ్గించాల్సిన అవసరం లేదు. ఇది చర్యలను సులభతరం చేస్తుంది. కానీ వారు ఇప్పటికీ మీరు నియమాలను అనుసరించాలని కోరుతున్నారు.

భిన్నాలను గుణించేటప్పుడు, మీరు న్యూమరేటర్లు మరియు హారంలోని సంఖ్యలను చూడాలి. ఏదైనా న్యూమరేటర్ మరియు హారం ఉమ్మడి కారకాన్ని కలిగి ఉంటే, వాటిని తగ్గించవచ్చు.

న్యూమరేటర్లను గుణించండి.

హారంలను గుణించండి.

ఫలితం తగ్గించదగిన భిన్నం అయితే, అది మళ్లీ సరళీకృతం చేయబడాలి.

విభజించేటప్పుడు, మీరు మొదట భాగహారాన్ని గుణకారంతో మరియు భాగహారాన్ని (రెండవ భిన్నం) పరస్పర భిన్నంతో భర్తీ చేయాలి (లవం మరియు హారం మార్పిడి).

అప్పుడు గుణకారం వలె కొనసాగండి (పాయింట్ 1 నుండి ప్రారంభమవుతుంది).

మీరు పూర్ణాంకం ద్వారా గుణించాల్సిన (భాగించాల్సిన) పనిలో, రెండోది రూపంలో వ్రాయాలి సరికాని భిన్నం. అంటే, 1 యొక్క హారంతో. ఆపై పైన వివరించిన విధంగా పని చేయండి.



దశాంశాలతో కార్యకలాపాలు

కూడిక మరియు తీసివేత

వాస్తవానికి, మీరు ఎల్లప్పుడూ దశాంశాన్ని భిన్నంగా మార్చవచ్చు. మరియు ఇప్పటికే వివరించిన ప్రణాళిక ప్రకారం పని చేయండి. కానీ కొన్నిసార్లు ఈ అనువాదం లేకుండా నటించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. అప్పుడు వారి కూడిక మరియు తీసివేత నియమాలు సరిగ్గా ఒకే విధంగా ఉంటాయి.

సంఖ్య యొక్క పాక్షిక భాగంలో, అంటే దశాంశ బిందువు తర్వాత అంకెల సంఖ్యను సమం చేయండి. దానికి తప్పిపోయిన సున్నాల సంఖ్యను జోడించండి.

కామా కామా క్రింద ఉండేలా భిన్నాలను వ్రాయండి.

సహజ సంఖ్యల వలె జోడించండి (తీసివేయండి).

కామాను తీసివేయండి.

గుణకారం మరియు విభజన

మీరు ఇక్కడ సున్నాలను జోడించాల్సిన అవసరం లేదు. ఉదాహరణలో ఇచ్చిన విధంగా భిన్నాలను వదిలివేయాలి. ఆపై ప్రణాళిక ప్రకారం వెళ్ళండి.

గుణించడానికి, మీరు కామాలను విస్మరించి, భిన్నాలను ఒకదానికొకటి క్రింద వ్రాయాలి.

సహజ సంఖ్యల వలె గుణించండి.

సమాధానంలో కామాను ఉంచండి, సమాధానం యొక్క కుడి చివర నుండి రెండు కారకాల యొక్క భిన్న భాగాలలో ఉన్నన్ని అంకెలను లెక్కించండి.

విభజించడానికి, మీరు మొదట డివైజర్‌ను మార్చాలి: దానిని సహజ సంఖ్యగా చేయండి. అంటే, 10, 100 మొదలైన వాటితో గుణించండి, భాగహారం యొక్క పాక్షిక భాగంలో ఎన్ని అంకెలు ఉన్నాయి.

డివిడెండ్‌ను అదే సంఖ్యతో గుణించండి.

సహజ సంఖ్యతో దశాంశ భిన్నాన్ని భాగించండి.

మొత్తం భాగం యొక్క విభజన ముగిసినప్పుడు మీ సమాధానంలో కామాను ఉంచండి.



ఒక ఉదాహరణ రెండు రకాల భిన్నాలను కలిగి ఉంటే ఏమి చేయాలి?

అవును, గణితంలో మీరు సాధారణ మరియు దశాంశ భిన్నాలపై ఆపరేషన్లు చేయవలసిన ఉదాహరణలు తరచుగా ఉన్నాయి. అటువంటి పనులలో రెండు సాధ్యమైన పరిష్కారాలు ఉన్నాయి. మీరు నిష్పాక్షికంగా సంఖ్యలను తూకం వేయాలి మరియు సరైనదాన్ని ఎంచుకోవాలి.

మొదటి మార్గం: సాధారణ దశాంశాలను సూచిస్తుంది

విభజన లేదా అనువాదం పరిమిత భిన్నాలకు దారితీసినట్లయితే ఇది అనుకూలంగా ఉంటుంది. కనీసం ఒక సంఖ్య ఆవర్తన భాగాన్ని ఇస్తే, ఈ సాంకేతికత నిషేధించబడింది. అందువల్ల, సాధారణ భిన్నాలతో పనిచేయడం మీకు ఇష్టం లేకపోయినా, మీరు వాటిని లెక్కించవలసి ఉంటుంది.

రెండవ మార్గం: దశాంశ భిన్నాలను సాధారణమైనదిగా వ్రాయండి

దశాంశ బిందువు తర్వాత భాగం 1-2 అంకెలను కలిగి ఉంటే ఈ సాంకేతికత సౌకర్యవంతంగా మారుతుంది. వాటిలో ఎక్కువ ఉంటే, మీరు చాలా పెద్ద సాధారణ భిన్నంతో ముగించవచ్చు మరియు దశాంశ సంజ్ఞామానం పనిని వేగంగా మరియు సులభంగా లెక్కించేలా చేస్తుంది. అందువల్ల, మీరు ఎల్లప్పుడూ పనిని తెలివిగా అంచనా వేయాలి మరియు సరళమైన పరిష్కార పద్ధతిని ఎంచుకోవాలి.

ఈ వ్యాసంలో మనం ఎలా చూస్తాము భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చడం, మరియు రివర్స్ ప్రక్రియను కూడా పరిగణించండి - దశాంశ భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలుగా మార్చడం. ఇక్కడ మేము భిన్నాలను మార్చడానికి నియమాలను వివరిస్తాము మరియు సాధారణ ఉదాహరణలకు వివరణాత్మక పరిష్కారాలను అందిస్తాము.

పేజీ నావిగేషన్.

భిన్నాలను దశాంశాలకు మారుస్తోంది

మనం వ్యవహరించే క్రమాన్ని సూచిస్తాము భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చడం.

ముందుగా, 10, 100, 1,000, ... హారంలతో భిన్నాలను దశాంశాలుగా ఎలా సూచించాలో చూద్దాం. దశాంశ భిన్నాలు తప్పనిసరిగా 10, 100, .... హారంలతో సాధారణ భిన్నాలను వ్రాయడానికి ఒక కాంపాక్ట్ రూపం అనే వాస్తవం ద్వారా ఇది వివరించబడింది.

ఆ తర్వాత, మేము మరింత ముందుకు వెళ్లి, ఏదైనా సాధారణ భిన్నాన్ని (డినామినేటర్లు 10, 100, ... మాత్రమే కాకుండా) దశాంశ భిన్నంగా ఎలా వ్రాయాలో చూపుతాము. సాధారణ భిన్నాలను ఈ విధంగా పరిగణించినప్పుడు, పరిమిత దశాంశ భిన్నాలు మరియు అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాలు రెండూ లభిస్తాయి.

ఇప్పుడు ప్రతిదీ క్రమంలో మాట్లాడుకుందాం.

10, 100, ... హారంతో ఉన్న సాధారణ భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చడం

కొన్ని సరైన భిన్నాలకు దశాంశాలకు మార్చడానికి ముందు "ప్రిలిమినరీ ప్రిపరేషన్" అవసరం. ఇది సాధారణ భిన్నాలకు వర్తిస్తుంది, లవంలోని అంకెల సంఖ్య హారంలోని సున్నాల సంఖ్య కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, సాధారణ భిన్నం 2/100 తప్పనిసరిగా దశాంశ భిన్నానికి మార్చడానికి ముందుగా సిద్ధం కావాలి, అయితే 9/10 భిన్నానికి ఎలాంటి తయారీ అవసరం లేదు.

దశాంశ భిన్నాలుగా మార్చడానికి సరైన సాధారణ భిన్నాల "ప్రిలిమినరీ ప్రిపరేషన్" అనేది న్యూమరేటర్‌లో ఎడమ వైపున చాలా సున్నాలను జోడించడం ద్వారా అక్కడ ఉన్న మొత్తం అంకెల సంఖ్య హారంలోని సున్నాల సంఖ్యకు సమానం అవుతుంది. ఉదాహరణకు, సున్నాలను జోడించిన తర్వాత ఒక భిన్నం ఇలా కనిపిస్తుంది.

మీరు సరైన భిన్నాన్ని సిద్ధం చేసిన తర్వాత, మీరు దానిని దశాంశానికి మార్చడం ప్రారంభించవచ్చు.

ఇద్దాం 10, లేదా 100, లేదా 1,000, ... యొక్క హారంతో సరైన సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశ భిన్నంలోకి మార్చడానికి నియమం. ఇది మూడు దశలను కలిగి ఉంటుంది:

• 0 వ్రాయండి;
• దాని తరువాత మేము దశాంశ బిందువును ఉంచాము;
• మేము న్యూమరేటర్ నుండి సంఖ్యను వ్రాస్తాము (జోడించిన సున్నాలతో పాటు, మేము వాటిని జోడించినట్లయితే).

ఉదాహరణలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఈ నియమం యొక్క అనువర్తనాన్ని పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ.

సరైన భిన్నం 37/100ని దశాంశానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.

హారం రెండు సున్నాలను కలిగి ఉన్న 100 సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది. న్యూమరేటర్ సంఖ్య 37ని కలిగి ఉంది, దాని సంజ్ఞామానంలో రెండు అంకెలు ఉన్నాయి, కాబట్టి, ఈ భిన్నం దశాంశ భిన్నానికి మార్చడానికి సిద్ధం చేయవలసిన అవసరం లేదు.

ఇప్పుడు మనం 0 వ్రాస్తాము, దశాంశ బిందువును ఉంచాము మరియు లవం నుండి 37 సంఖ్యను వ్రాస్తాము మరియు మనకు దశాంశ భిన్నం 0.37 వస్తుంది.

సమాధానం:

0,37 .

సరైన సాధారణ భిన్నాలను 10, 100, ... దశాంశ భిన్నాలుగా మార్చే నైపుణ్యాలను బలోపేతం చేయడానికి, మేము మరొక ఉదాహరణకి పరిష్కారాన్ని విశ్లేషిస్తాము.

ఉదాహరణ.

రాసుకో సరైన భిన్నం 107/10,000,000 దశాంశంగా.

పరిష్కారం.

న్యూమరేటర్‌లోని అంకెల సంఖ్య 3, మరియు హారంలోని సున్నాల సంఖ్య 7, కాబట్టి ఈ సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చడానికి సిద్ధం చేయాలి. మనం 7-3=4 సున్నాలను ఎడమవైపుకు జోడించాలి, తద్వారా అక్కడ ఉన్న మొత్తం అంకెల సంఖ్య హారంలోని సున్నాల సంఖ్యకు సమానంగా మారుతుంది. మేము పొందుతాము.

అవసరమైన దశాంశ భిన్నాన్ని సృష్టించడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది. దీన్ని చేయడానికి, మొదట, మేము 0 అని వ్రాస్తాము, రెండవది, మేము కామాను ఉంచుతాము, మూడవదిగా, మేము 0000107 సున్నాలతో కలిపి సంఖ్యను వ్రాస్తాము, ఫలితంగా మనకు దశాంశ భిన్నం 0.0000107 ఉంటుంది.

సమాధానం:

0,0000107 .

దశాంశాలకు మార్చేటప్పుడు సరికాని భిన్నాలకు ఎలాంటి తయారీ అవసరం లేదు. కింది వాటికి కట్టుబడి ఉండాలి 10, 100, ... హారంతో సరికాని భిన్నాలను దశాంశాలుగా మార్చడానికి నియమాలు:

• న్యూమరేటర్ నుండి సంఖ్యను వ్రాయండి;
• అసలు భిన్నం యొక్క హారంలో సున్నాలు ఉన్నందున కుడి వైపున ఉన్న అనేక అంకెలను వేరు చేయడానికి మేము దశాంశ బిందువును ఉపయోగిస్తాము.

ఒక ఉదాహరణను పరిష్కరించేటప్పుడు ఈ నియమం యొక్క అనువర్తనాన్ని చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

సరికాని భిన్నం 56,888,038,009/100,000 దశాంశానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.

మొదట, మేము సంఖ్య 56888038009 నుండి సంఖ్యను వ్రాస్తాము మరియు రెండవది, అసలు భిన్నం యొక్క హారం 5 సున్నాలను కలిగి ఉన్నందున, మేము కుడి వైపున ఉన్న 5 అంకెలను దశాంశ బిందువుతో వేరు చేస్తాము. ఫలితంగా, మనకు దశాంశ భిన్నం 568880.38009.

సమాధానం:

568 880,38009 .

మిశ్రమ సంఖ్యను దశాంశ భిన్నంలోకి మార్చడానికి, 10, లేదా 100, లేదా 1,000, పాక్షిక భాగం యొక్క హారం ..., మీరు మిశ్రమ సంఖ్యను సరికాని సాధారణ భిన్నంగా మార్చవచ్చు, ఆపై ఫలితాన్ని మార్చవచ్చు. భిన్నం దశాంశ భిన్నం. కానీ మీరు ఈ క్రింది వాటిని కూడా ఉపయోగించవచ్చు 10, లేదా 100, లేదా 1,000, ... యొక్క పాక్షిక హారంతో మిశ్రమ సంఖ్యలను దశాంశ భిన్నాలుగా మార్చడానికి నియమం:

• అవసరమైతే, అమలు చేయండి " ప్రాథమిక తయారీ» అసలైన మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క పాక్షిక భాగం, జోడించడం అవసరమైన పరిమాణంన్యూమరేటర్‌లో ఎడమవైపు సున్నాలు;
• అసలు మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క పూర్ణాంక భాగాన్ని వ్రాయండి;
• దశాంశ బిందువును ఉంచండి;
• మేము జోడించిన సున్నాలతో పాటు న్యూమరేటర్ నుండి సంఖ్యను వ్రాస్తాము.

మిశ్రమ సంఖ్యను దశాంశ భిన్నం వలె సూచించడానికి అవసరమైన అన్ని దశలను పూర్తి చేసే ఉదాహరణను చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

మిశ్రమ సంఖ్యను దశాంశానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.

పాక్షిక భాగం యొక్క హారం 4 సున్నాలను కలిగి ఉంటుంది, మరియు న్యూమరేటర్ 2 అంకెలతో కూడిన 17 సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి, లవంలోని ఎడమ వైపున రెండు సున్నాలను జోడించాలి, తద్వారా అక్కడ ఉన్న అంకెల సంఖ్య సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది. హారంలో సున్నాలు. ఇలా చేసిన తర్వాత, న్యూమరేటర్ 0017 అవుతుంది.

ఇప్పుడు మనం అసలు సంఖ్య యొక్క మొత్తం భాగాన్ని వ్రాస్తాము, అనగా 23 సంఖ్య, ఒక దశాంశ బిందువును ఉంచుతాము, దాని తర్వాత మేము జోడించిన సున్నాలతో పాటు లవం నుండి సంఖ్యను వ్రాస్తాము, అనగా 0017, మరియు మనకు కావలసిన దశాంశం వస్తుంది. భిన్నం 23.0017.

మొత్తం పరిష్కారాన్ని క్లుప్తంగా వ్రాస్దాం: .

వాస్తవానికి, ముందుగా మిశ్రమ సంఖ్యను సరికాని భిన్నం వలె సూచించడం మరియు దానిని దశాంశ భిన్నానికి మార్చడం సాధ్యమైంది. ఈ విధానంతో, పరిష్కారం ఇలా కనిపిస్తుంది: .

సమాధానం:

23,0017 .

భిన్నాలను పరిమిత మరియు అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశాలకు మార్చడం

10, 100, ... హారం ఉన్న సాధారణ భిన్నాలను మాత్రమే కాకుండా, ఇతర హారంతో ఉన్న సాధారణ భిన్నాలను దశాంశ భిన్నాలుగా మార్చవచ్చు. ఇది ఎలా జరుగుతుందో ఇప్పుడు మనం కనుగొంటాము.

కొన్ని సందర్భాల్లో, అసలు సాధారణ భిన్నం 10, లేదా 100, లేదా 1,000, ... (ఒక సాధారణ భిన్నాన్ని కొత్త హారంకు తీసుకురావడం చూడండి), దాని తర్వాత ఫలిత భిన్నాన్ని సూచించడం కష్టం కాదు. దశాంశ భిన్నం వలె. ఉదాహరణకు, 2/5 భిన్నాన్ని హారం 10తో భిన్నానికి తగ్గించవచ్చని స్పష్టంగా ఉంది, దీని కోసం మీరు న్యూమరేటర్ మరియు హారంను 2 ద్వారా గుణించాలి, ఇది భిన్నం 4/10 ఇస్తుంది, దీని ప్రకారం మునుపటి పేరాలో చర్చించబడిన నియమాలు, దశాంశ భిన్నం 0, 4కి సులభంగా మార్చబడతాయి.

ఇతర సందర్భాల్లో, మీరు సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశంగా మార్చడానికి మరొక పద్ధతిని ఉపయోగించాలి, దానిని మేము ఇప్పుడు పరిగణలోకి తీసుకుంటాము.

సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశ భిన్నానికి మార్చడానికి, భిన్నం యొక్క లవం హారంతో భాగించబడుతుంది, లవం మొదట దశాంశ బిందువు తర్వాత ఎన్ని సున్నాలతో సమాన దశాంశ భిన్నంతో భర్తీ చేయబడుతుంది (మేము దీని గురించి సమానమైన విభాగంలో మాట్లాడాము మరియు అసమాన దశాంశ భిన్నాలు). ఈ సందర్భంలో, విభజన అనేది సహజ సంఖ్యల నిలువు వరుస ద్వారా విభజించబడిన విధంగానే నిర్వహించబడుతుంది మరియు డివిడెండ్ యొక్క మొత్తం భాగం యొక్క విభజన ముగిసినప్పుడు గుణకంలో దశాంశ బిందువు ఉంచబడుతుంది. దిగువ ఇవ్వబడిన ఉదాహరణల పరిష్కారాల నుండి ఇవన్నీ స్పష్టంగా కనిపిస్తాయి.

ఉదాహరణ.

621/4 భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.

న్యూమరేటర్ 621లోని సంఖ్యను దశాంశ భిన్నం వలె సూచిస్తాము, దాని తర్వాత దశాంశ బిందువు మరియు అనేక సున్నాలను జోడించడం. ముందుగా, 2 అంకెలు 0ని చేర్చుదాం, తరువాత, అవసరమైతే, మనం ఎల్లప్పుడూ మరిన్ని సున్నాలను జోడించవచ్చు. కాబట్టి, మాకు 621.00 ఉంది.

ఇప్పుడు 621,000 సంఖ్యను నిలువు వరుసతో 4 ద్వారా భాగిద్దాం. మొదటి మూడు దశలు దీర్ఘ విభజన నుండి భిన్నంగా లేవు సహజ సంఖ్యలు, వాటి తర్వాత మేము ఈ క్రింది చిత్రానికి వస్తాము:

ఈ విధంగా మనం డివిడెండ్‌లో దశాంశ బిందువుకు చేరుకుంటాము మరియు మిగిలినది సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, మేము గుణకంలో దశాంశ బిందువును ఉంచాము మరియు కామాలకు శ్రద్ధ చూపకుండా నిలువు వరుసలో విభజించడాన్ని కొనసాగిస్తాము:

ఇది విభజనను పూర్తి చేస్తుంది మరియు ఫలితంగా మనకు దశాంశ భిన్నం 155.25 వస్తుంది, ఇది అసలు సాధారణ భిన్నానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.

సమాధానం:

155,25 .

పదార్థాన్ని ఏకీకృతం చేయడానికి, మరొక ఉదాహరణకి పరిష్కారాన్ని పరిగణించండి.

ఉదాహరణ.

21/800 భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.

ఈ సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చడానికి, మేము దశాంశ భిన్నం 21,000...తో 800తో భాగిస్తాము. మొదటి దశ తర్వాత, మనం గుణకంలో దశాంశ బిందువును ఉంచాలి, ఆపై విభజనను కొనసాగించాలి:

చివరగా, మాకు మిగిలిన 0 వచ్చింది, ఇది సాధారణ భిన్నం 21/400ని దశాంశ భిన్నానికి మార్చడాన్ని పూర్తి చేస్తుంది మరియు మేము దశాంశ భిన్నం 0.02625కి చేరుకున్నాము.

సమాధానం:

0,02625 .

సాధారణ భిన్నం యొక్క హారంతో న్యూమరేటర్‌ను విభజించినప్పుడు, మనకు ఇప్పటికీ 0 యొక్క శేషం లభించదు. ఈ సందర్భాలలో, విభజన నిరవధికంగా కొనసాగించవచ్చు. అయితే, ఒక నిర్దిష్ట దశ నుండి ప్రారంభించి, మిగిలినవి క్రమానుగతంగా పునరావృతం చేయడం ప్రారంభిస్తాయి మరియు గుణకంలోని సంఖ్యలు కూడా పునరావృతమవుతాయి. దీని అర్థం అసలు భిన్నం అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నానికి మార్చబడుతుంది. దీన్ని ఒక ఉదాహరణతో చూపిద్దాం.

ఉదాహరణ.

19/44 భిన్నాన్ని దశాంశంగా వ్రాయండి.

పరిష్కారం.

సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చడానికి, నిలువు వరుస ద్వారా విభజన చేయండి:

విభజన సమయంలో 8 మరియు 36 అవశేషాలు పునరావృతం కావడం ఇప్పటికే స్పష్టంగా ఉంది, అయితే 1 మరియు 8 సంఖ్యలు పునరావృతమవుతాయి. అందువలన, అసలు సాధారణ భిన్నం 19/44 ఆవర్తన దశాంశ భిన్నం 0.43181818...=0.43(18)గా మార్చబడుతుంది.

సమాధానం:

0,43(18) .

ఈ పాయింట్‌ను ముగించడానికి, ఏ సాధారణ భిన్నాలను పరిమిత దశాంశ భిన్నాలుగా మార్చవచ్చో మరియు ఏవి ఆవర్తన వాటిని మాత్రమే మార్చవచ్చో మేము కనుగొంటాము.

మన ముందు తగ్గించలేని సాధారణ భిన్నాన్ని (భిన్నం తగ్గించగలిగితే, మేము మొదట భిన్నాన్ని తగ్గిస్తాము), మరియు దానిని ఏ దశాంశ భిన్నంలోకి మార్చవచ్చో మనం కనుగొనాలి - పరిమిత లేదా ఆవర్తన.

ఒక సాధారణ భిన్నాన్ని 10, 100, 1,000, ... అనే హారంలలో ఒకదానికి తగ్గించగలిగితే, ఫలిత భిన్నాన్ని మునుపటి పేరాలో చర్చించిన నిబంధనల ప్రకారం సులభంగా తుది దశాంశ భిన్నంగా మార్చవచ్చు. కానీ హారం 10, 100, 1,000, మొదలైనవి. అన్ని సాధారణ భిన్నాలు ఇవ్వబడవు. 10, 100, ... సంఖ్యలలో కనీసం ఒకటిగా ఉండే భిన్నాలు మాత్రమే అటువంటి హారంలకు తగ్గించబడతాయి మరియు 10, 100, ...? 10, 100, ... సంఖ్యలు ఈ ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడానికి మాకు అనుమతిస్తాయి మరియు అవి క్రింది విధంగా ఉన్నాయి: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1,000 = 2 2 2 5 5 5, .... విభజనలు 10, 100, 1,000, మొదలైనవి అని ఇది అనుసరిస్తుంది. ప్రధాన కారకాలుగా కుళ్ళిపోవడం 2 మరియు (లేదా) 5 సంఖ్యలను మాత్రమే కలిగి ఉండే సంఖ్యలు మాత్రమే ఉంటాయి.

ఇప్పుడు మనం సాధారణ భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చడం గురించి సాధారణ తీర్మానం చేయవచ్చు:

• ప్రధాన కారకాలుగా హారం యొక్క కుళ్ళిపోవడంలో 2 మరియు (లేదా) 5 సంఖ్యలు మాత్రమే ఉంటే, ఈ భిన్నాన్ని చివరి దశాంశ భిన్నంగా మార్చవచ్చు;
• ఒకవేళ, రెండులు మరియు ఐదులతో పాటు, హారం యొక్క విస్తరణలో ఇతర ప్రధాన సంఖ్యలు ఉంటే, అప్పుడు ఈ భిన్నం అనంతమైన దశాంశ ఆవర్తన భిన్నానికి మార్చబడుతుంది.

ఉదాహరణ.

సాధారణ భిన్నాలను దశాంశాలుగా మార్చకుండా, 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 భిన్నాలలో ఏది తుది దశాంశ భిన్నంగా మార్చబడుతుందో మరియు వాటిని మాత్రమే ఆవర్తన భిన్నంలోకి మార్చగలదో చెప్పండి.

పరిష్కారం.

భిన్నం 47/20 యొక్క హారం ప్రధాన కారకాలుగా 20=2·2·5గా కారకం చేయబడింది. ఈ విస్తరణ రెండు మరియు ఐదులను మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి ఈ భిన్నాన్ని 10, 100, 1,000, ... (ఈ ఉదాహరణలో, హారం 100కి) ఒకటికి తగ్గించవచ్చు, కాబట్టి, తుది దశాంశ భిన్నానికి మార్చవచ్చు.

7/12 భిన్నం యొక్క హారం ప్రధాన కారకాలుగా కుళ్ళిపోవడం 12=2·2·3 రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఇది 2 మరియు 5 నుండి భిన్నమైన 3 యొక్క ప్రధాన కారకాన్ని కలిగి ఉన్నందున, ఈ భిన్నం పరిమిత దశాంశంగా సూచించబడదు, కానీ ఆవర్తన దశాంశంగా మార్చబడుతుంది.

భిన్నం 21/56 - సంకోచం, సంకోచం తర్వాత అది 3/8 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. హారంను ప్రధాన కారకాలుగా మార్చడం 2కి సమానమైన మూడు కారకాలను కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి, సాధారణ భిన్నం 3/8, అందువలన సమాన భిన్నం 21/56, తుది దశాంశ భిన్నం వలె మార్చబడుతుంది.

చివరగా, భిన్నం 31/17 యొక్క హారం యొక్క విస్తరణ 17 దానంతట అదే, కాబట్టి ఈ భిన్నం పరిమిత దశాంశ భిన్నం వలె మార్చబడదు, కానీ అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నం వలె మార్చబడుతుంది.

సమాధానం:

47/20 మరియు 21/56 పరిమిత దశాంశ భిన్నానికి మార్చబడతాయి, కానీ 7/12 మరియు 31/17 మాత్రమే ఆవర్తన భిన్నానికి మార్చబడతాయి.

సాధారణ భిన్నాలు అనంతమైన నాన్-ఆవర్తన దశాంశాలుగా మారవు

మునుపటి పేరాలోని సమాచారం ప్రశ్నకు దారి తీస్తుంది: "ఒక భిన్నం యొక్క సంఖ్యను హారం ద్వారా విభజించడం వలన అనంతమైన నాన్-ఆవర్తన భిన్నం ఏర్పడుతుందా?"

సమాధానం: లేదు. సాధారణ భిన్నాన్ని మార్చేటప్పుడు, ఫలితం పరిమిత దశాంశ భిన్నం లేదా అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నం కావచ్చు. ఇది ఎందుకు జరుగుతుందో వివరిద్దాం.

శేషంతో విభజనపై సిద్ధాంతం నుండి, శేషం ఎల్లప్పుడూ భాజకం కంటే తక్కువగా ఉంటుందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది, అంటే, మనం కొంత పూర్ణాంకాన్ని పూర్ణాంకం qతో భాగిస్తే, మిగిలినది 0, 1, 2 సంఖ్యలలో ఒకటి మాత్రమే కావచ్చు. , ..., q−1. కాలమ్ సాధారణ భిన్నం యొక్క పూర్ణాంక భాగాన్ని హారం q ద్వారా విభజించడాన్ని పూర్తి చేసిన తర్వాత, q కంటే ఎక్కువ దశల్లో కింది రెండు పరిస్థితులలో ఒకటి తలెత్తదు:

• లేదా మేము 0 యొక్క మిగిలిన భాగాన్ని పొందుతాము, ఇది విభజనను ముగుస్తుంది మరియు మేము చివరి దశాంశ భిన్నాన్ని పొందుతాము;
• లేదా మేము ఇంతకు ముందు కనిపించిన శేషాన్ని పొందుతాము, దాని తర్వాత మిగిలినవి మునుపటి ఉదాహరణలో పునరావృతం అవుతాయి (సమాన సంఖ్యలను q ద్వారా విభజించినప్పుడు, సమాన శేషాలు లభిస్తాయి, ఇది ఇప్పటికే పేర్కొన్న విభజన సిద్ధాంతం నుండి వస్తుంది), ఇది అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నానికి దారి తీస్తుంది.

ఏ ఇతర ఎంపికలు ఉండవు, కాబట్టి, ఒక సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశ భిన్నానికి మార్చేటప్పుడు, అనంతమైన నాన్-ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాన్ని పొందలేము.

ఈ పేరాలో ఇవ్వబడిన తార్కికం నుండి, దశాంశ భిన్నం యొక్క వ్యవధి యొక్క పొడవు ఎల్లప్పుడూ సంబంధిత సాధారణ భిన్నం యొక్క హారం విలువ కంటే తక్కువగా ఉంటుందని కూడా అనుసరిస్తుంది.

దశాంశాలను భిన్నాలుగా మారుస్తోంది

ఇప్పుడు దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నంగా ఎలా మార్చాలో తెలుసుకుందాం. చివరి దశాంశ భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలకు మార్చడం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం. దీని తరువాత, మేము అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాలను విలోమం చేయడానికి ఒక పద్ధతిని పరిశీలిస్తాము. ముగింపులో, అనంతమైన నాన్-ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలుగా మార్చడం అసంభవం గురించి చెప్పండి.

వెనుక దశాంశాలను భిన్నాలుగా మారుస్తోంది

చివరి దశాంశంగా వ్రాయబడిన భిన్నాన్ని పొందడం చాలా సులభం. తుది దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నానికి మార్చే నియమంమూడు దశలను కలిగి ఉంటుంది:

• ముందుగా, దశాంశ బిందువును మరియు ఎడమవైపున ఉన్న అన్ని సున్నాలను విస్మరించి, ఇవ్వబడిన దశాంశ భిన్నాన్ని న్యూమరేటర్‌లో వ్రాయండి;
• రెండవది, అసలు దశాంశ భిన్నంలో దశాంశ బిందువు తర్వాత ఎన్ని అంకెలు ఉంటే అంత సున్నాలను హారంలో వ్రాసి దానికి అనేక సున్నాలను జోడించండి;
• మూడవదిగా, అవసరమైతే, ఫలిత భిన్నాన్ని తగ్గించండి.

ఉదాహరణలకు పరిష్కారాలను చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

దశాంశ 3.025ను భిన్నానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.

అసలు దశాంశ భిన్నం నుండి దశాంశ బిందువును తీసివేస్తే, మనకు 3,025 సంఖ్య వస్తుంది. ఎడమవైపు మనం విస్మరించే సున్నాలు లేవు. కాబట్టి, మేము కోరుకున్న భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్‌లో 3,025 వ్రాస్తాము.

అసలు దశాంశ భిన్నంలో దశాంశ బిందువు తర్వాత 3 అంకెలు ఉన్నందున, మేము 1 సంఖ్యను హారంలో వ్రాసి దాని కుడి వైపున 3 సున్నాలను జోడిస్తాము.

కాబట్టి మేము సాధారణ భిన్నం 3,025/1,000 పొందాము. ఈ భిన్నాన్ని 25 తగ్గించవచ్చు, మనకు లభిస్తుంది .

సమాధానం:

.

ఉదాహరణ.

దశాంశ భిన్నం 0.0017ను భిన్నానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.

దశాంశ బిందువు లేకుండా, అసలు దశాంశ భిన్నం 00017 లాగా కనిపిస్తుంది, ఎడమ వైపున ఉన్న సున్నాలను విస్మరిస్తే మనకు కావలసిన సాధారణ భిన్నం యొక్క లవం 17 వస్తుంది.

అసలు దశాంశ భిన్నం దశాంశ బిందువు తర్వాత 4 అంకెలను కలిగి ఉన్నందున, మేము హారంలో నాలుగు సున్నాలతో ఒకటి వ్రాస్తాము.

ఫలితంగా, మనకు సాధారణ భిన్నం 17/10,000 ఉంటుంది. ఈ భిన్నం తగ్గించలేనిది మరియు దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నానికి మార్చడం పూర్తయింది.

సమాధానం:

.

అసలైన చివరి దశాంశ భిన్నం యొక్క పూర్ణాంకం సున్నా కానిది అయినప్పుడు, అది వెంటనే సాధారణ భిన్నాన్ని దాటవేసి మిశ్రమ సంఖ్యగా మార్చబడుతుంది. ఇద్దాం చివరి దశాంశ భిన్నాన్ని మిశ్రమ సంఖ్యగా మార్చడానికి నియమం:

• దశాంశ బిందువు ముందు సంఖ్యను తప్పనిసరిగా కావలసిన మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క పూర్ణాంకం వలె వ్రాయాలి;
• పాక్షిక భాగం యొక్క న్యూమరేటర్‌లో మీరు ఎడమవైపు ఉన్న అన్ని సున్నాలను విస్మరించిన తర్వాత అసలు దశాంశ భిన్నం యొక్క పాక్షిక భాగం నుండి పొందిన సంఖ్యను వ్రాయాలి;
• పాక్షిక భాగం యొక్క హారంలో మీరు సంఖ్య 1 ను వ్రాయాలి, అసలు దశాంశ భిన్నంలో దశాంశ బిందువు తర్వాత అంకెలు ఉన్నంతవరకు కుడివైపున అనేక సున్నాలను జోడించండి;
• అవసరమైతే, ఫలిత మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క పాక్షిక భాగాన్ని తగ్గించండి.

దశాంశ భిన్నాన్ని మిశ్రమ సంఖ్యగా మార్చే ఉదాహరణను చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

దశాంశ భిన్నం 152.06005 మిశ్రమ సంఖ్యగా వ్యక్తపరచండి

ఈ వ్యాసం గురించి దశాంశాలు. ఇక్కడ మేము వ్యవహరిస్తాము దశాంశ సంజ్ఞామానం భిన్న సంఖ్యలు, మేము దశాంశ భిన్నం యొక్క భావనను పరిచయం చేస్తాము మరియు దశాంశ భిన్నాలకు ఉదాహరణలు ఇస్తాము. తరువాత మేము దశాంశ భిన్నాల సంఖ్యల గురించి మాట్లాడుతాము మరియు అంకెల పేర్లను ఇస్తాము. దీని తరువాత, మేము అనంతమైన దశాంశ భిన్నాలపై దృష్టి పెడతాము, ఆవర్తన మరియు నాన్-ఆవర్తన భిన్నాల గురించి మాట్లాడుదాం. తరువాత మేము దశాంశ భిన్నాలతో ప్రాథమిక కార్యకలాపాలను జాబితా చేస్తాము. ముగింపులో, కోఆర్డినేట్ బీమ్‌పై దశాంశ భిన్నాల స్థానాన్ని ఏర్పాటు చేద్దాం.

పేజీ నావిగేషన్.

పాక్షిక సంఖ్య యొక్క దశాంశ సంజ్ఞామానం

దశాంశాలను చదవడం

దశాంశ భిన్నాలను చదవడానికి నియమాల గురించి కొన్ని మాటలు చెప్పండి.

సరైన సాధారణ భిన్నాలకు అనుగుణంగా ఉండే దశాంశ భిన్నాలు ఈ సాధారణ భిన్నాల మాదిరిగానే చదవబడతాయి, మొదట “సున్నా పూర్ణాంకం” మాత్రమే జోడించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, దశాంశ భిన్నం 0.12 సాధారణ భిన్నం 12/100కి అనుగుణంగా ఉంటుంది (“పన్నెండు వందల” చదవండి), కాబట్టి, 0.12 “సున్నా పాయింట్ పన్నెండు వందల”గా చదవబడుతుంది.

మిశ్రమ సంఖ్యలకు అనుగుణంగా ఉండే దశాంశ భిన్నాలు ఈ మిశ్రమ సంఖ్యల మాదిరిగానే చదవబడతాయి. ఉదాహరణకు, దశాంశ భిన్నం 56.002 మిశ్రమ సంఖ్యకు అనుగుణంగా ఉంటుంది, కాబట్టి దశాంశ భిన్నం 56.002 "యాభై-ఆరు పాయింట్ రెండు వేల వంతు"గా చదవబడుతుంది.

దశాంశాలలో స్థలాలు

దశాంశ భిన్నాలను వ్రాయడంలో, అలాగే సహజ సంఖ్యలను వ్రాయడంలో, ప్రతి అంకె యొక్క అర్థం దాని స్థానంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. నిజానికి, దశాంశ భిన్నం 0.3లోని సంఖ్య 3 అంటే మూడు పదవ వంతు, దశాంశ భిన్నంలో 0.0003 - మూడు పదివేలు, మరియు దశాంశ భిన్నంలో 30,000.152 - మూడు పదివేలు. కాబట్టి మనం మాట్లాడుకోవచ్చు దశాంశ స్థానాలు, అలాగే సహజ సంఖ్యలలోని అంకెల గురించి.

దశాంశ బిందువు వరకు దశాంశ భిన్నంలోని అంకెల పేర్లు సహజ సంఖ్యలలోని అంకెల పేర్లతో పూర్తిగా ఏకీభవిస్తాయి. మరియు దశాంశ బిందువు తర్వాత దశాంశ స్థానాల పేర్లను క్రింది పట్టిక నుండి చూడవచ్చు.

ఉదాహరణకు, దశాంశ భిన్నం 37.051లో, అంకె 3 పదుల స్థానంలో, 7 ఒక స్థానంలో, 0 పదవ స్థానంలో, 5 వందవ స్థానంలో మరియు 1 వేల స్థానంలో ఉంది.

దశాంశ భిన్నాలలో స్థలాలు ప్రాధాన్యతలో కూడా భిన్నంగా ఉంటాయి. దశాంశ భిన్నాన్ని వ్రాసేటప్పుడు మనం అంకెల నుండి అంకెలకు ఎడమ నుండి కుడికి తరలిస్తే, మనం దీని నుండి కదులుతాము సీనియర్లుకు జూనియర్ ర్యాంకులు. ఉదాహరణకు, వందల స్థానం పదవ స్థానం కంటే పాతది మరియు మిలియన్ల స్థానం వందవ స్థానం కంటే తక్కువ. ఇచ్చిన చివరి దశాంశ భిన్నంలో, మేము పెద్ద మరియు చిన్న అంకెల గురించి మాట్లాడవచ్చు. ఉదాహరణకు, దశాంశ భిన్నం 604.9387 సీనియర్ (అత్యధిక)స్థలం వందల స్థలం, మరియు జూనియర్ (అత్యల్ప)- పదివేల వంతు అంకెలు.

దశాంశ భిన్నాలకు, అంకెల్లోకి విస్తరణ జరుగుతుంది. ఇది సహజ సంఖ్యల అంకెల్లోకి విస్తరించడాన్ని పోలి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, 45.6072 దశాంశ స్థానాలకు విస్తరణ క్రింది విధంగా ఉంది: 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002. మరియు దశాంశ భిన్నం యొక్క కుళ్ళిపోవడం నుండి అంకెలకు జోడించడం యొక్క లక్షణాలు ఈ దశాంశ భిన్నం యొక్క ఇతర ప్రాతినిధ్యాలకు వెళ్లడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి, ఉదాహరణకు, 45.6072=45+0.6072, లేదా 45.6072=40.6+5.007+0.0002, లేదా 4.7202, లేదా 450=45. 0.6

ముగింపు దశాంశాలు

ఈ పాయింట్ వరకు, మేము దశాంశ భిన్నాల గురించి మాత్రమే మాట్లాడాము, వీటిలో దశాంశ బిందువు తర్వాత పరిమిత సంఖ్యలో అంకెలు ఉంటాయి. అటువంటి భిన్నాలను పరిమిత దశాంశాలు అంటారు.

నిర్వచనం.

ముగింపు దశాంశాలు- ఇవి దశాంశ భిన్నాలు, వీటి రికార్డుల్లో పరిమిత సంఖ్యలో అక్షరాలు (అంకెలు) ఉంటాయి.

చివరి దశాంశ భిన్నాలకు ఇక్కడ కొన్ని ఉదాహరణలు ఉన్నాయి: 0.317, 3.5, 51.1020304958, 230,032.45.

అయితే, ప్రతి భిన్నం తుది దశాంశంగా సూచించబడదు. ఉదాహరణకు, 5/13 భిన్నం 10, 100, ... అనే హారంలో ఒకదానితో సమానమైన భిన్నంతో భర్తీ చేయబడదు, కాబట్టి, తుది దశాంశ భిన్నంగా మార్చబడదు. సాధారణ భిన్నాలను దశాంశాలకు మారుస్తూ, సిద్ధాంత విభాగంలో దీని గురించి మరింత మాట్లాడతాము.

అనంతమైన దశాంశాలు: ఆవర్తన భిన్నాలు మరియు నాన్-ఆవర్తన భిన్నాలు

దశాంశ బిందువు తర్వాత దశాంశ భిన్నాన్ని వ్రాసేటప్పుడు, మీరు అనంతమైన అంకెల సంఖ్యను ఊహించవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, మేము అనంతమైన దశాంశ భిన్నాలు అని పిలవబడే వాటిని పరిగణలోకి తీసుకుంటాము.

నిర్వచనం.

అనంత దశాంశాలు- ఇవి దశాంశ భిన్నాలు, ఇవి అనంతమైన అంకెలను కలిగి ఉంటాయి.

మేము పూర్తి రూపంలో అనంతమైన దశాంశ భిన్నాలను వ్రాయలేమని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది, కాబట్టి వారి రచనలో మనం దశాంశ బిందువు తర్వాత నిర్దిష్ట పరిమిత సంఖ్యలో అంకెలకు మాత్రమే పరిమితం చేస్తాము మరియు అంకెలు అనంతంగా కొనసాగే క్రమాన్ని సూచించే దీర్ఘవృత్తాకారాన్ని ఉంచుతాము. ఇక్కడ అనంత దశాంశ భిన్నాలకు కొన్ని ఉదాహరణలు ఉన్నాయి: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….

మీరు చివరి రెండు అనంతమైన దశాంశ భిన్నాలను నిశితంగా పరిశీలిస్తే, 2.111111111 భిన్నంలో... అనంతంగా పునరావృతమయ్యే సంఖ్య 1 స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది మరియు భిన్నం 69.74152152152..., మూడవ దశాంశ స్థానం నుండి ప్రారంభించి, పునరావృతమయ్యే సంఖ్యల సమూహం 1, 5 మరియు 2 స్పష్టంగా కనిపిస్తాయి. అటువంటి అనంతమైన దశాంశ భిన్నాలను ఆవర్తన అంటారు.

నిర్వచనం.

ఆవర్తన దశాంశాలు(లేదా కేవలం ఆవర్తన భిన్నాలు) అంతులేని దశాంశ భిన్నాలు, వీటి రికార్డింగ్‌లో, ఒక నిర్దిష్ట దశాంశ స్థానం నుండి ప్రారంభించి, కొంత సంఖ్య లేదా సంఖ్యల సమూహం అనంతంగా పునరావృతమవుతుంది, దీనిని అంటారు భిన్నం యొక్క కాలం.

ఉదాహరణకు, ఆవర్తన భిన్నం 2.111111111... అనేది అంకె 1, మరియు భిన్నం 69.74152152152... అనేది ఫారమ్ 152 యొక్క అంకెల సమూహం.

అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాల కోసం, సంజ్ఞామానం యొక్క ప్రత్యేక రూపం స్వీకరించబడింది. సంక్షిప్తత కోసం, కుండలీకరణాల్లో చేర్చి, వ్యవధిని ఒకసారి వ్రాయడానికి మేము అంగీకరించాము. ఉదాహరణకు, ఆవర్తన భిన్నం 2.111111111... 2,(1) , మరియు ఆవర్తన భిన్నం 69.74152152152... 69.74(152) అని వ్రాయబడింది.

ఒకే ఆవర్తన దశాంశ భిన్నానికి వేర్వేరు కాలాలను పేర్కొనవచ్చని గమనించాలి. ఉదాహరణకు, ఆవర్తన దశాంశ భిన్నం 0.73333... 3 వ్యవధితో భిన్నం 0.7(3)గా పరిగణించబడుతుంది మరియు 33 వ్యవధితో భిన్నం 0.7(33) మరియు 0.7(333), 0.7 (3333), ... మీరు ఆవర్తన భిన్నం 0.73333ని కూడా చూడవచ్చు... ఇలా: 0.733(3), లేదా ఇలా 0.73(333), మొదలైనవి. ఇక్కడ, అస్పష్టత మరియు వ్యత్యాసాలను నివారించడానికి, దశాంశ భిన్నం యొక్క వ్యవధిని పునరావృతమయ్యే అంకెల యొక్క అన్ని శ్రేణులలో చిన్నదిగా పరిగణించడానికి మేము అంగీకరిస్తున్నాము మరియు దశాంశ బిందువుకు దగ్గరి స్థానం నుండి ప్రారంభించి. అంటే, దశాంశ భిన్నం యొక్క కాలం 0.73333... ఒక అంకె 3 యొక్క క్రమంగా పరిగణించబడుతుంది మరియు ఆవర్తన దశాంశ బిందువు తర్వాత రెండవ స్థానం నుండి ప్రారంభమవుతుంది, అంటే 0.73333...=0.7(3). మరొక ఉదాహరణ: ఆవర్తన భిన్నం 4.7412121212... 12 వ్యవధిని కలిగి ఉంటుంది, ఆవర్తన దశ దశాంశ బిందువు తర్వాత మూడవ అంకె నుండి ప్రారంభమవుతుంది, అంటే 4.7412121212...=4.74(12).

2 మరియు 5 కాకుండా ఇతర ప్రధాన కారకాలను కలిగి ఉన్న హారం సాధారణ భిన్నాలను దశాంశ భిన్నాలుగా మార్చడం ద్వారా అనంత దశాంశ ఆవర్తన భిన్నాలు పొందబడతాయి.

ఇక్కడ 9 వ్యవధితో ఆవర్తన భిన్నాలను పేర్కొనడం విలువ. అటువంటి భిన్నాలకు ఉదాహరణలను ఇద్దాం: 6.43(9) , 27,(9) . ఈ భిన్నాలు పీరియడ్ 0తో ఆవర్తన భిన్నాలకు మరొక సంజ్ఞామానం, మరియు అవి సాధారణంగా పీరియడ్ 0తో ఆవర్తన భిన్నాలతో భర్తీ చేయబడతాయి. దీన్ని చేయడానికి, పీరియడ్ 9ని పీరియడ్ 0తో భర్తీ చేస్తారు మరియు తదుపరి అత్యధిక అంకె విలువ ఒకటి పెరిగింది. ఉదాహరణకు, ఫారమ్ 7.24(9) యొక్క వ్యవధి 9తో ఉన్న భిన్నం 7.25(0) లేదా సమానమైన చివరి దశాంశ భిన్నం 7.25 యొక్క పీరియడ్ 0తో ఆవర్తన భిన్నంతో భర్తీ చేయబడుతుంది. మరొక ఉదాహరణ: 4,(9)=5,(0)=5. ఈ దశాంశ భిన్నాలను సమాన సాధారణ భిన్నాలతో భర్తీ చేసిన తర్వాత 9వ వ్యవధితో భిన్నం యొక్క సమానత్వం మరియు వ్యవధి 0తో దాని సంబంధిత భిన్నం సులభంగా స్థాపించబడుతుంది.

చివరగా, అనంతమైన దశాంశ భిన్నాలను నిశితంగా పరిశీలిద్దాం, అవి అనంతంగా పునరావృతమయ్యే అంకెల క్రమాన్ని కలిగి ఉండవు. వాటిని నాన్-పీరియాడిక్ అంటారు.

నిర్వచనం.

పునరావృతం కాని దశాంశాలు(లేదా కేవలం నాన్-ఆవర్తన భిన్నాలు) కాలం లేని అనంతమైన దశాంశ భిన్నాలు.

కొన్నిసార్లు నాన్-ఆవర్తన భిన్నాలు ఆవర్తన భిన్నాల మాదిరిగానే ఒక రూపాన్ని కలిగి ఉంటాయి, ఉదాహరణకు, 8.02002000200002... అనేది ఆవర్తన రహిత భిన్నం. ఈ సందర్భాలలో, మీరు తేడాను గమనించడానికి ప్రత్యేకించి జాగ్రత్తగా ఉండాలి.

నాన్-ఆవర్తన భిన్నాలు సాధారణ భిన్నాలుగా మారవు అని గమనించండి;

దశాంశాలతో కార్యకలాపాలు

దశాంశ భిన్నాలతో కూడిన ఆపరేషన్లలో ఒకటి పోలిక, మరియు నాలుగు ప్రాథమిక అంకగణిత విధులు కూడా నిర్వచించబడ్డాయి దశాంశాలతో కార్యకలాపాలు: కూడిక, తీసివేత, గుణకారం మరియు భాగహారం. దశాంశ భిన్నాలతో ప్రతి చర్యను విడిగా పరిశీలిద్దాం.

దశాంశాల పోలికముఖ్యంగా పోల్చబడిన దశాంశ భిన్నాలకు సంబంధించిన సాధారణ భిన్నాల పోలిక ఆధారంగా. అయినప్పటికీ, దశాంశ భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలుగా మార్చడం అనేది శ్రమతో కూడుకున్న ప్రక్రియ, మరియు అనంతమైన నాన్-ఆవర్తన భిన్నాలను సాధారణ భిన్నం వలె సూచించలేము, కాబట్టి దశాంశ భిన్నాల యొక్క స్థల వారీ పోలికను ఉపయోగించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. దశాంశ భిన్నాల స్థల వారీగా పోలిక సహజ సంఖ్యల పోలికను పోలి ఉంటుంది. మరింత పొందడానికి వివరణాత్మక సమాచారంమీరు వ్యాసంలోని విషయాన్ని అధ్యయనం చేయాలని మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము: దశాంశ భిన్నాలు, నియమాలు, ఉదాహరణలు, పరిష్కారాల పోలిక.

మనం ముందుకు వెళ్దాం తదుపరి చర్య - దశాంశాలను గుణించడం. పరిమిత దశాంశ భిన్నాల గుణకారం దశాంశ భిన్నాల వ్యవకలనం, నియమాలు, ఉదాహరణలు, సహజ సంఖ్యల కాలమ్ ద్వారా గుణకారానికి పరిష్కారాల మాదిరిగానే నిర్వహించబడుతుంది. ఆవర్తన భిన్నాల విషయంలో, గుణకారాన్ని సాధారణ భిన్నాల గుణకారంగా తగ్గించవచ్చు. ప్రతిగా, వాటిని చుట్టుముట్టిన తర్వాత అనంతమైన నాన్-ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాల గుణకారం పరిమిత దశాంశ భిన్నాల గుణకారానికి తగ్గించబడుతుంది. వ్యాసంలోని పదార్థాన్ని మరింత అధ్యయనం చేయడానికి మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము: దశాంశ భిన్నాల గుణకారం, నియమాలు, ఉదాహరణలు, పరిష్కారాలు.

కోఆర్డినేట్ రేపై దశాంశాలు

పాయింట్లు మరియు దశాంశాల మధ్య ఒకదానికొకటి అనురూప్యం ఉంది.

ఇచ్చిన దశాంశ భిన్నానికి అనుగుణంగా కోఆర్డినేట్ రేపై పాయింట్లు ఎలా నిర్మించబడతాయో తెలుసుకుందాం.

మేము పరిమిత దశాంశ భిన్నాలు మరియు అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాలను సమాన సాధారణ భిన్నాలతో భర్తీ చేయవచ్చు, ఆపై కోఆర్డినేట్ రేపై సంబంధిత సాధారణ భిన్నాలను నిర్మించవచ్చు. ఉదాహరణకు, దశాంశ భిన్నం 1.4 సాధారణ భిన్నం 14/10కి అనుగుణంగా ఉంటుంది, కాబట్టి కోఆర్డినేట్ 1.4తో ఉన్న పాయింట్ మూలం నుండి సానుకూల దిశలో 14 విభాగాల ద్వారా యూనిట్ విభాగంలో పదవ వంతుకు సమానంగా తొలగించబడుతుంది.

దశాంశ భిన్నాలను కోఆర్డినేట్ రేపై గుర్తించవచ్చు, ఇచ్చిన దశాంశ భిన్నం అంకెలుగా కుళ్ళిపోవడం నుండి ప్రారంభమవుతుంది. ఉదాహరణకు, 16.3007=16+0.3+0.0007 నుండి కోఆర్డినేట్ 16.3007తో ఒక పాయింట్‌ను నిర్మించాలి, ఆపై మూలం నుండి 16 యూనిట్ విభాగాలను వరుసగా వేయడం ద్వారా మనం ఈ స్థితికి చేరుకోవచ్చు, 3 విభాగాల పొడవు ఒక పదో వంతుకు సమానం. యూనిట్, మరియు 7 విభాగాలు, దీని పొడవు యూనిట్ విభాగంలో పది-వేల వంతుకు సమానం.

భవనం యొక్క ఈ మార్గం దశాంశ సంఖ్యలుకోఆర్డినేట్ కిరణంలో మీరు అనంతమైన దశాంశ భిన్నానికి సంబంధించిన బిందువుకు మీకు నచ్చినంత దగ్గరగా ఉండటానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

కొన్నిసార్లు అనంతమైన దశాంశ భిన్నానికి సంబంధించిన పాయింట్‌ను ఖచ్చితంగా ప్లాట్ చేయడం సాధ్యపడుతుంది. ఉదాహరణకు, , అప్పుడు ఈ అనంతమైన దశాంశ భిన్నం 1.41421... కోఆర్డినేట్ రేపై ఒక బిందువుకు అనుగుణంగా ఉంటుంది, 1 యూనిట్ సెగ్మెంట్ వైపు ఉన్న చతురస్రం యొక్క వికర్ణం పొడవు ద్వారా కోఆర్డినేట్‌ల మూలం నుండి దూరంగా ఉంటుంది.

కోఆర్డినేట్ రేపై ఇచ్చిన బిందువుకు సంబంధించిన దశాంశ భిన్నాన్ని పొందే రివర్స్ ప్రక్రియ అని పిలవబడేది సెగ్మెంట్ యొక్క దశాంశ కొలత. ఇది ఎలా జరుగుతుందో తెలుసుకుందాం.

మూలం నుండి కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో ఇచ్చిన పాయింట్‌కి చేరుకోవడం (లేదా మనం చేరుకోలేకపోతే దానిని అనంతంగా చేరుకోవడం) మా పని. సెగ్మెంట్ యొక్క దశాంశ కొలతతో, మేము మూలం నుండి ఎన్ని యూనిట్ సెగ్మెంట్లనైనా, ఆపై యూనిట్‌లో పదవ వంతుకు సమానమైన సెగ్మెంట్‌లను, ఆపై యూనిట్‌లో వందవ వంతుకు సమానమైన సెగ్మెంట్‌లను వరుసగా తీసివేయవచ్చు. పక్కన పెట్టిన ప్రతి పొడవు యొక్క విభాగాల సంఖ్యను రికార్డ్ చేయడం ద్వారా, మేము కోఆర్డినేట్ రేపై ఇచ్చిన బిందువుకు సంబంధించిన దశాంశ భిన్నాన్ని పొందుతాము.

ఉదాహరణకు, పై చిత్రంలో M పాయింట్‌ని పొందడానికి, మీరు 1 యూనిట్ సెగ్‌మెంట్ మరియు 4 విభాగాలను పక్కన పెట్టాలి, దీని పొడవు యూనిట్‌లో పదో వంతుకు సమానం. అందువలన, పాయింట్ M దశాంశ భిన్నం 1.4కి అనుగుణంగా ఉంటుంది.

దశాంశ కొలత ప్రక్రియలో చేరుకోలేని కోఆర్డినేట్ రే యొక్క పాయింట్లు అనంతమైన దశాంశ భిన్నాలకు అనుగుణంగా ఉన్నాయని స్పష్టమవుతుంది.

సూచనలు.

• గణితం: పాఠ్య పుస్తకం 5వ తరగతి కోసం. సాధారణ విద్య సంస్థలు / N. యా విలెన్కిన్, V. I. జోఖోవ్, A. S. చెస్నోకోవ్, S. I. ష్వార్ట్స్బర్డ్. - 21వ ఎడిషన్, తొలగించబడింది. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: అనారోగ్యం. ISBN 5-346-00699-0.
• గణితం. 6వ తరగతి: విద్యా. సాధారణ విద్య కోసం సంస్థలు / [ఎన్. యా. విలెంకిన్ మరియు ఇతరులు]. - 22వ ఎడిషన్., రెవ. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: అనారోగ్యం. ISBN 978-5-346-00897-2.
• బీజగణితం:పాఠ్యపుస్తకం 8వ తరగతి కోసం. సాధారణ విద్య సంస్థలు / [యు. N. మకరిచెవ్, N. G. మిండియుక్, K. I. నెష్కోవ్, S. B. సువోరోవా]; ద్వారా సవరించబడింది S. A. టెల్యకోవ్స్కీ. - 16వ ఎడిషన్. - M.: ఎడ్యుకేషన్, 2008. - 271 p. : అనారోగ్యం. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• గుసేవ్ V. A., మోర్డ్కోవిచ్ A. G.గణితం (సాంకేతిక పాఠశాలల్లో ప్రవేశించే వారి కోసం ఒక మాన్యువల్): Proc. భత్యం.- M.; ఎక్కువ పాఠశాల, 1984.-351 p., అనారోగ్యం.

దశాంశాల గురించిన మొదటి పాఠంలో దశాంశాలుగా సూచించలేని సంఖ్యా భిన్నాలు ఉన్నాయని నేను ఎలా చెప్పానో గుర్తుందా (“ దశాంశాలు” పాఠం చూడండి)? 2 మరియు 5 కాకుండా ఇతర సంఖ్యలు ఏమైనా ఉన్నాయో లేదో చూడటానికి భిన్నాల హారంలను ఎలా లెక్కించాలో కూడా మేము నేర్చుకున్నాము.

కాబట్టి: నేను అబద్ధం చెప్పాను. మరియు ఈ రోజు మనం ఖచ్చితంగా ఏదైనా సంఖ్యా భిన్నాన్ని దశాంశంగా ఎలా మార్చాలో నేర్చుకుంటాము. అదే సమయంలో, మేము అనంతమైన ముఖ్యమైన భాగంతో మొత్తం తరగతి భిన్నాలతో పరిచయం పొందుతాము.

ఆవర్తన దశాంశం అంటే ఏదైనా దశాంశం:

1. ముఖ్యమైన భాగం అనంతమైన అంకెలను కలిగి ఉంటుంది;
2. నిర్దిష్ట వ్యవధిలో, ముఖ్యమైన భాగంలోని సంఖ్యలు పునరావృతమవుతాయి.

ముఖ్యమైన భాగాన్ని తయారు చేసే పునరావృత అంకెల సమితిని భిన్నం యొక్క ఆవర్తన భాగం అని పిలుస్తారు మరియు ఈ సెట్‌లోని అంకెల సంఖ్యను భిన్నం యొక్క కాలం అంటారు. ముఖ్యమైన భాగం యొక్క మిగిలిన భాగాన్ని పునరావృతం చేయని భాగాన్ని నాన్-ఆవర్తన భాగం అంటారు.

అనేక నిర్వచనాలు ఉన్నందున, ఈ భిన్నాలలో అనేక వివరాలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం విలువ:

ఈ భిన్నం చాలా తరచుగా సమస్యలలో కనిపిస్తుంది. నాన్-ఆవర్తన భాగం: 0; ఆవర్తన భాగం: 3; వ్యవధి పొడవు: 1.

నాన్-ఆవర్తన భాగం: 0.58; ఆవర్తన భాగం: 3; వ్యవధి పొడవు: మళ్లీ 1.

నాన్-ఆవర్తన భాగం: 1; ఆవర్తన భాగం: 54; వ్యవధి పొడవు: 2.

నాన్-ఆవర్తన భాగం: 0; ఆవర్తన భాగం: 641025; వ్యవధి పొడవు: 6. సౌలభ్యం కోసం, పునరావృతమయ్యే భాగాలు ఒకదానికొకటి ఖాళీ ద్వారా వేరు చేయబడతాయి - ఈ పరిష్కారంలో ఇది అవసరం లేదు.

నాన్-ఆవర్తన భాగం: 3066; ఆవర్తన భాగం: 6; వ్యవధి పొడవు: 1.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ఆవర్తన భిన్నం యొక్క నిర్వచనం భావనపై ఆధారపడి ఉంటుంది సంఖ్య యొక్క ముఖ్యమైన భాగం. అందువల్ల, అది ఏమిటో మీరు మరచిపోయినట్లయితే, దాన్ని పునరావృతం చేయాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను - "" పాఠాన్ని చూడండి.

ఆవర్తన దశాంశ భిన్నానికి పరివర్తన

రూపం a /b యొక్క సాధారణ భిన్నాన్ని పరిగణించండి. దాని హారం ప్రధాన కారకాలుగా కారకం చేద్దాం. రెండు ఎంపికలు ఉన్నాయి:

1. విస్తరణలో 2 మరియు 5 కారకాలు మాత్రమే ఉన్నాయి. ఈ భిన్నాలు సులభంగా దశాంశాలకు మార్చబడతాయి - “దశాంశాలు” పాఠాన్ని చూడండి. అటువంటి వ్యక్తుల పట్ల మాకు ఆసక్తి లేదు;
2. విస్తరణలో 2 మరియు 5 కాకుండా వేరొకటి ఉంది. ఈ సందర్భంలో, భిన్నం దశాంశంగా సూచించబడదు, కానీ అది ఆవర్తన దశాంశంగా మార్చబడుతుంది.

ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాన్ని నిర్వచించడానికి, మీరు దాని ఆవర్తన మరియు నాన్-ఆవర్తన భాగాలను కనుగొనాలి. ఎలా? భిన్నాన్ని సరికాని భిన్నానికి మార్చండి, ఆపై మూలను ఉపయోగించి లవంను హారం ద్వారా విభజించండి.

కింది విధంగా జరుగుతుంది:

1. ముందుగా విడిపోతుంది మొత్తం భాగం, అది ఉనికిలో ఉంటే;
2. దశాంశ బిందువు తర్వాత అనేక సంఖ్యలు ఉండవచ్చు;
3. కొంత సమయం తరువాత, సంఖ్యలు ప్రారంభమవుతాయి పునరావృతం.

అంతే! దశాంశ బిందువు తర్వాత పునరావృతమయ్యే సంఖ్యలు ఆవర్తన భాగం ద్వారా సూచించబడతాయి మరియు ముందు ఉన్నవి నాన్-ఆవర్తన భాగం ద్వారా సూచించబడతాయి.

టాస్క్. సాధారణ భిన్నాలను ఆవర్తన దశాంశాలకు మార్చండి:

పూర్ణాంక భాగం లేకుండా అన్ని భిన్నాలు, కాబట్టి మేము "మూలలో" హారంతో లవంను భాగిస్తాము:

మీరు గమనిస్తే, మిగిలినవి పునరావృతమవుతాయి. భిన్నాన్ని “సరైన” రూపంలో వ్రాస్దాం: 1.733 ... = 1.7(3).

ఫలితం భిన్నం: 0.5833 ... = 0.58(3).

మేము దానిని సాధారణ రూపంలో వ్రాస్తాము: 4.0909 ... = 4,(09).

మేము భిన్నాన్ని పొందుతాము: 0.4141 ... = 0.(41).

ఆవర్తన దశాంశ భిన్నం నుండి సాధారణ భిన్నానికి మార్పు

ఆవర్తన దశాంశ భిన్నం X = abc (a 1 b 1 c 1) పరిగణించండి. దీన్ని క్లాసిక్ "రెండు-అంతస్తుల"గా మార్చడం అవసరం. దీన్ని చేయడానికి, నాలుగు సాధారణ దశలను అనుసరించండి:

1. భిన్నం యొక్క కాలాన్ని కనుగొనండి, అనగా. ఆవర్తన భాగంలో ఎన్ని అంకెలు ఉన్నాయో లెక్కించండి. ఇది k సంఖ్యగా ఉండనివ్వండి;
2. వ్యక్తీకరణ X · 10 k విలువను కనుగొనండి. ఇది దశాంశ బిందువును పూర్తి కాలానికి కుడివైపుకి మార్చడానికి సమానం - "దశాంశాలను గుణించడం మరియు విభజించడం" అనే పాఠాన్ని చూడండి;
3. ఫలిత సంఖ్య నుండి అసలు వ్యక్తీకరణ తప్పనిసరిగా తీసివేయబడాలి. ఈ సందర్భంలో, ఆవర్తన భాగం "కాలిపోయింది" మరియు మిగిలిపోయింది సాధారణ భిన్నం;
4. ఫలిత సమీకరణంలో Xని కనుగొనండి. మేము అన్ని దశాంశ భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలకు మారుస్తాము.

టాస్క్. సంఖ్యను సాధారణ సరికాని భిన్నానికి మార్చండి:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

మేము మొదటి భిన్నంతో పని చేస్తాము: X = 9, (6) = 9.666 ...

కుండలీకరణాలు ఒక అంకెను మాత్రమే కలిగి ఉంటాయి, కాబట్టి వ్యవధి k = 1. తర్వాత, మేము ఈ భిన్నాన్ని 10 k = 10 1 = 10తో గుణిస్తాము. మనకు ఇవి ఉన్నాయి:

10X = 10 9.6666... ​​= 96.666...

అసలు భిన్నాన్ని తీసివేసి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:

10X - X = 96.666 ... - 9.666 ... = 96 - 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

ఇప్పుడు రెండవ భాగాన్ని చూద్దాం. కాబట్టి X = 32,(39) = 32.393939...

కాలం k = 2, కాబట్టి అన్నింటినీ 10 k = 10 2 = 100తో గుణించండి:

100X = 100 · 32.393939 ... = 3239.3939 ...

అసలు భిన్నాన్ని మళ్లీ తీసివేసి, సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:

100X - X = 3239.3939 ... − 32.3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

మూడవ భాగానికి వెళ్దాం: X = 0.30(5) = 0.30555 ... రేఖాచిత్రం ఒకేలా ఉంటుంది, కాబట్టి నేను గణనలను ఇస్తాను:

కాలం k = 1 ⇒ ప్రతిదీ 10 k = 10 1 = 10 ద్వారా గుణించండి;

10X = 10 0.30555... = 3.05555...
10X - X = 3.0555 ... - 0.305555 ... = 2.75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

చివరగా, చివరి భిన్నం: X = 0,(2475) = 0.2475 2475... మళ్ళీ, సౌలభ్యం కోసం, ఆవర్తన భాగాలు ఒకదానికొకటి ఖాళీల ద్వారా వేరు చేయబడతాయి. మాకు ఉన్నాయి:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10,000;
10,000X = 10,000 0.2475 2475 = 2475.2475 ...
10,000X - X = 2475.2475 ... - 0.2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

తెలిసినట్లుగా, హేతుబద్ధ సంఖ్యల సమితి (Q) పూర్ణాంకాల సమితిని (Z) కలిగి ఉంటుంది, ఇది సహజ సంఖ్యల (N) సమితిని కలిగి ఉంటుంది. పూర్ణ సంఖ్యలతో పాటు, హేతుబద్ధ సంఖ్యలు భిన్నాలను కలిగి ఉంటాయి.

అలాంటప్పుడు మొత్తం హేతుబద్ధ సంఖ్యల సమితిని కొన్నిసార్లు అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాలుగా ఎందుకు పరిగణిస్తారు? నిజానికి, భిన్నాలతో పాటు, అవి పూర్ణాంకాలతో పాటు ఆవర్తన రహిత భిన్నాలను కూడా కలిగి ఉంటాయి.

వాస్తవం ఏమిటంటే, అన్ని పూర్ణాంకాలు, అలాగే ఏదైనా భిన్నం, అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నం వలె సూచించబడతాయి. అంటే, అన్ని హేతుబద్ధ సంఖ్యల కోసం మీరు ఒకే రికార్డింగ్ పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు.

అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశం ఎలా సూచించబడుతుంది? అందులో, దశాంశ బిందువు తర్వాత పునరావృతమయ్యే సంఖ్యల సమూహం బ్రాకెట్లలో ఉంచబడుతుంది. ఉదాహరణకు, 1.56(12) అనేది 12 అంకెల సమూహం పునరావృతమయ్యే భిన్నం, అనగా భిన్నం 1.561212121212 విలువను కలిగి ఉంటుంది... మరియు అనంతంగా ఉంటుంది. పునరావృతమయ్యే సంఖ్యల సమూహాన్ని కాలం అంటారు.

అయినప్పటికీ, మనం ఈ రూపంలో ఏదైనా సంఖ్యను సూచించగలము, దాని వ్యవధిని 0 సంఖ్యగా పరిగణించినట్లయితే, అది కూడా అనంతంగా పునరావృతమవుతుంది. ఉదాహరణకు, సంఖ్య 2 2.00000 వలె ఉంటుంది.... కాబట్టి, దీనిని అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నం వలె వ్రాయవచ్చు, అనగా 2,(0).

ఏదైనా పరిమిత భిన్నంతో కూడా అదే చేయవచ్చు. ఉదాహరణకు:

0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)

అయినప్పటికీ, ఆచరణలో వారు పరిమిత భిన్నాన్ని అనంతమైన ఆవర్తనంగా మార్చడాన్ని ఉపయోగించరు. అందువల్ల, అవి పరిమిత భిన్నాలు మరియు అనంతమైన ఆవర్తన వాటిని వేరు చేస్తాయి. కాబట్టి, హేతుబద్ధ సంఖ్యలు కూడా ఉన్నాయని చెప్పడం మరింత సరైనది

• అన్ని పూర్ణాంకాలు
• చివరి భిన్నాలు,
• అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నాలు.

అదే సమయంలో, పూర్ణాంకాలు మరియు పరిమిత భిన్నాలు అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నాల రూపంలో సిద్ధాంతంలో ప్రాతినిధ్యం వహిస్తాయని గుర్తుంచుకోండి.

మరోవైపు, పరిమిత భావనలు మరియు అనంతమైన భిన్నందశాంశ భిన్నాలకు వర్తిస్తుంది. భిన్నాల విషయానికి వస్తే, పరిమిత మరియు అనంతమైన దశాంశాలు రెండింటినీ ప్రత్యేకంగా భిన్నం వలె సూచించవచ్చు. దీని అర్థం సాధారణ భిన్నాల కోణం నుండి, ఆవర్తన మరియు పరిమిత భిన్నాలు ఒకే విషయం. అదనంగా, మేము సంఖ్యను 1 ద్వారా భాగిస్తున్నామని ఊహించడం ద్వారా పూర్ణ సంఖ్యలను కూడా భిన్నం వలె సూచించవచ్చు.

దశాంశ అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నం వలె ఎలా సూచించాలి? సాధారణంగా ఉపయోగించే అల్గోరిథం ఇలా ఉంటుంది:

1. భిన్నాన్ని తగ్గించండి, తద్వారా దశాంశ బిందువు తర్వాత ఒక కాలం మాత్రమే ఉంటుంది.
2. అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నాన్ని 10 లేదా 100తో గుణించండి లేదా ... తద్వారా దశాంశ బిందువు కుడివైపుకి ఒక వ్యవధితో కదులుతుంది (అనగా, ఒక వ్యవధి మొత్తం భాగంలో ముగుస్తుంది).
3. అసలైన భిన్నాన్ని (a) వేరియబుల్ xకి సమం చేయండి మరియు N నుండి Nx సంఖ్యతో గుణించడం ద్వారా పొందిన భిన్నం (b)ని సమం చేయండి.
4. Nx నుండి xని తీసివేయండి. b నుండి నేను a తీసివేస్తాను. అంటే, అవి Nx – x = b – a అనే సమీకరణాన్ని తయారు చేస్తాయి.
5. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు, ఫలితం సాధారణ భిన్నం.

అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నంలోకి మార్చడానికి ఉదాహరణ:
x = 1.13333...
10x = 11.3333...
10x * 10 = 11.33333... * 10
100x = 113.3333...
100x – 10x = 113.3333... – 11.3333...
90x = 102
x =