దానిని సాధారణ భిన్నం వలె ఎలా సూచించాలి. సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశంగా మార్చడం మరియు దీనికి విరుద్ధంగా, నియమాలు, ఉదాహరణలు

సూచనలు

లోపల ఉంటే రూపం భిన్నాలుమనం మొత్తం ఊహించుకోవాలి సంఖ్య, ఆపై ఒక దానిని హారం వలె ఉపయోగించండి మరియు అసలైన విలువను న్యూమరేటర్‌లో ఉంచండి. సంజ్ఞామానం యొక్క ఈ రూపాన్ని సరికాని సాధారణ భిన్నం అని పిలుస్తారు, ఎందుకంటే దాని న్యూమరేటర్ యొక్క మాడ్యులస్ హారం యొక్క మాడ్యులస్ కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, సంఖ్య 74ని 74/1 అని వ్రాయవచ్చు మరియు సంఖ్య-12 - వంటి -12/1. అవసరమైతే, మీరు న్యూమరేటర్ మరియు హారం ఇన్ చేయవచ్చు అదే మొత్తంసార్లు - విలువ భిన్నాలుఈ సందర్భంలో అది ఇప్పటికీ అసలు సంఖ్యతో సరిపోలుతుంది. ఉదాహరణకు, 74=74/1=222/3 లేదా -12=-12/1=-84/7.

అసలు ఉంటే సంఖ్యదశాంశ ఆకృతిలో ప్రదర్శించబడింది భిన్నాలు, ఆపై మొత్తం భాగాన్ని మార్చకుండా వదిలివేసి, వేరు చేసే కామాను ఖాళీతో భర్తీ చేయండి. పాక్షిక భాగాన్ని న్యూమరేటర్‌లో ఉంచండి మరియు హారం అసలు సంఖ్య యొక్క భిన్నంలోని అంకెల సంఖ్యకు సమానమైన ఘాతాంకంతో శక్తికి పెంచబడిన పదిని ఉపయోగిస్తుంది. లవం మరియు హారం ఒకే విధంగా విభజించడం ద్వారా ఫలిత పాక్షిక భాగాన్ని తగ్గించవచ్చు సంఖ్య. ఉదాహరణకు, దశాంశ భిన్నాలు 7.625 సాధారణ భిన్నం 7 625/1000కి అనుగుణంగా ఉంటుంది, ఇది తగ్గింపు తర్వాత 7 5/8 విలువను తీసుకుంటుంది. సంజ్ఞామానం యొక్క ఈ రూపం సాధారణం భిన్నాలుమిశ్రమ. అవసరమైతే, పూర్ణాంకాల భాగాన్ని హారంతో గుణించడం ద్వారా మరియు ఫలితాన్ని సంఖ్యకు జోడించడం ద్వారా తప్పు సాధారణ రూపానికి తగ్గించవచ్చు: 7.625 = 7,625/1000 = 7 5/8 = 61/8.

అసలు దశాంశ భిన్నం కూడా కాలానుగుణంగా ఉంటే, ఉదాహరణకు, ఫార్మాట్‌లో సమానమైన దానిని లెక్కించడానికి సమీకరణాల వ్యవస్థను ఉపయోగించండి. భిన్నాలుసాధారణ. అసలు భిన్నం 3.5(3) అయితే, మనకు ఒక గుర్తింపు ఉంటుంది: 100*x-10*x=100*3.5(3)-10*3.5(3). దాని నుండి మనం 90*x=318 సమానత్వాన్ని తీసివేయవచ్చు మరియు కావలసిన భిన్నం 318/90కి సమానంగా ఉంటుంది, ఇది తగ్గింపు తర్వాత సాధారణ భిన్నం 3 24/45 ఇస్తుంది.

మూలాలు:

• 450,000 సంఖ్యను 2 సంఖ్యల ఉత్పత్తిగా సూచించవచ్చా?

రోజువారీ జీవితంలో, సహజం కాని సంఖ్యలు చాలా తరచుగా ఎదుర్కొంటారు: 1, 2, 3, 4, మొదలైనవి. (5 కిలోల బంగాళదుంపలు), మరియు పాక్షిక, పూర్ణాంకం కాని సంఖ్యలు (5.4 కిలోల ఉల్లిపాయలు). వాటిలో చాలా వరకు ప్రదర్శించబడ్డాయి రూపందశాంశ భిన్నాలు. కానీ దశాంశ భిన్నాన్ని సూచించండి రూపం భిన్నాలుతగినంత సాధారణ.

సూచనలు

ఉదాహరణకు, "0.12" సంఖ్య ఇవ్వబడింది. ఈ భిన్నం కాకపోతే మరియు దానిని ఉన్నట్లుగా ఊహించుకుంటే, అది ఇలా ఉంటుంది: 12/100 ("పన్నెండు"). లో వందను వదిలించుకోవడానికి, మీరు న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటినీ వాటి సంఖ్యలను విభజించే సంఖ్యతో విభజించాలి. ఈ సంఖ్య 4. అప్పుడు, న్యూమరేటర్ మరియు హారం విభజించడం, మేము సంఖ్యను పొందుతాము: 3/25.

మేము మరింత రోజువారీ ఉత్పత్తిని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, దాని బరువు 0.478 కిలోలు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ అని ధర ట్యాగ్లో తరచుగా స్పష్టంగా ఉంటుంది రూపం భిన్నాలు:
478/1000 = 239/500. ఈ భిన్నం చాలా అసహ్యంగా ఉంది మరియు అది సాధ్యమైతే, ఈ దశాంశ భిన్నాన్ని మరింత తగ్గించవచ్చు. మరియు అన్నీ ఒకే పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాయి: న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటినీ విభజించే సంఖ్యను ఎంచుకోవడం. ఈ సంఖ్య గొప్ప సాధారణ కారకాన్ని కలిగి ఉంది. కారకం “అతిపెద్దది” ఎందుకంటే లవం మరియు హారం రెండింటినీ 2 ద్వారా రెండుసార్లు విభజించడం కంటే 4 (మొదటి ఉదాహరణలో వలె) వెంటనే విభజించడం చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.

అంశంపై వీడియో

దశాంశం భిన్నం- వివిధ భిన్నాలు, ఇది హారంలో “రౌండ్” సంఖ్యను కలిగి ఉంది: 10, 100, 1000, మొదలైనవి, ఉదాహరణకు, భిన్నం 5/10 ఉంది దశాంశ సంజ్ఞామానం 0.5 ఈ సూత్రం ఆధారంగా, భిన్నంలో ప్రాతినిధ్యం వహించవచ్చు రూపందశాంశ భిన్నాలు.

సూచనలు

మేము డిజిటల్ ప్రపంచంలో జీవిస్తున్నాము. గతంలో ప్రధాన విలువలు భూమి, డబ్బు లేదా ఉత్పత్తి సాధనాలు అయితే, ఇప్పుడు సాంకేతికత మరియు సమాచారం ప్రతిదీ నిర్ణయిస్తాయి. విజయం సాధించాలనుకునే ప్రతి వ్యక్తి ఏ సంఖ్యలను ఏ రూపంలో సమర్పించినప్పటికీ వాటిని అర్థం చేసుకోవడానికి కట్టుబడి ఉంటాడు. సంజ్ఞామానం యొక్క సాధారణ దశాంశ రూపానికి అదనంగా, అనేక ఇతరాలు ఉన్నాయి అనుకూలమైన మార్గాలుసంఖ్యల ప్రాతినిధ్యం (నిర్దిష్ట విధి పరిస్థితులలో). వాటిలో సర్వసాధారణమైన వాటిని చూద్దాం.

మీకు అవసరం అవుతుంది

• కాలిక్యులేటర్

సూచనలు

ప్రదర్శన కోసం దశాంశ సంఖ్యరూపంలో సాధారణ భిన్నంమీరు మొదట అది ఏమిటో చూడాలి - లేదా నిజమైనది. మొత్తం సంఖ్యకామాకు అస్సలు కామా లేదు, లేదా కామా తర్వాత సున్నా ఉంటుంది (లేదా చాలా సున్నాలు, అదే విషయం). దశాంశ బిందువు తర్వాత కొన్ని సంఖ్యలు ఉంటే, ఇది సంఖ్యనిజమైన వాటిని సూచిస్తుంది. మొత్తం సంఖ్యభిన్నం వలె సూచించడం చాలా సులభం: న్యూమరేటర్ దానిలోకి వెళుతుంది సంఖ్య, మరియు హారం . దశాంశంతో ఇది దాదాపు ఒకే విధంగా ఉంటుంది, మేము న్యూమరేటర్‌లోని కామాను వదిలించుకునే వరకు భిన్నం యొక్క రెండు వైపులా పదితో గుణిస్తాము.

"భిన్నాలు" అనే పదం చాలా మందికి గూస్‌బంప్‌లను ఇస్తుంది. ఎందుకంటే నాకు పాఠశాల మరియు గణితంలో పరిష్కరించబడిన పనులు గుర్తున్నాయి. ఇది నిర్వర్తించాల్సిన కర్తవ్యం. పజిల్ వంటి సరైన మరియు సరికాని భిన్నాలతో కూడిన సమస్యలను మీరు చికిత్స చేస్తే? అన్నింటికంటే, చాలా మంది పెద్దలు డిజిటల్ మరియు జపనీస్ క్రాస్‌వర్డ్‌లను పరిష్కరిస్తారు. మేము నియమాలను కనుగొన్నాము మరియు అంతే. ఇక్కడ కూడా అంతే. ఒకరు సిద్ధాంతాన్ని లోతుగా పరిశోధించవలసి ఉంటుంది - మరియు ప్రతిదీ స్థానంలోకి వస్తుంది. మరియు ఉదాహరణలు మీ మెదడుకు శిక్షణ ఇచ్చే మార్గంగా మారుతాయి.

ఏ రకమైన భిన్నాలు ఉన్నాయి?

అది ఏమిటో ప్రారంభిద్దాం. భిన్నం అనేది ఒకదానిలో కొంత భాగాన్ని కలిగి ఉండే సంఖ్య. దీనిని రెండు రూపాలలో వ్రాయవచ్చు. మొదటిదాన్ని సాధారణ అంటారు. అంటే, క్షితిజ సమాంతర లేదా ఏటవాలు రేఖను కలిగి ఉంటుంది. ఇది విభజన గుర్తుకు సమానం.

అటువంటి సంజ్ఞామానంలో, లైన్ పైన ఉన్న సంఖ్యను న్యూమరేటర్ అని పిలుస్తారు మరియు దాని క్రింద ఉన్న సంఖ్యను హారం అంటారు.

సాధారణ భిన్నాలలో, సరైన మరియు సరికాని భిన్నాలు వేరు చేయబడతాయి. పూర్వం కోసం, లవం యొక్క సంపూర్ణ విలువ ఎల్లప్పుడూ హారం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. తప్పుడు వాటిని అలా పిలుస్తారు, ఎందుకంటే వారికి ప్రతిదీ ఇతర మార్గంలో ఉంది. సరైన భిన్నం యొక్క విలువ ఎల్లప్పుడూ ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. సరికానిది ఎల్లప్పుడూ ఈ సంఖ్య కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.

మిశ్రమ సంఖ్యలు కూడా ఉన్నాయి, అనగా పూర్ణాంకం మరియు భిన్న భాగాన్ని కలిగి ఉంటాయి.

రెండవ రకం సంజ్ఞామానం దశాంశ భిన్నం. ఆమె గురించి ప్రత్యేక సంభాషణ ఉంది.

సరికాని భిన్నాలు మిశ్రమ సంఖ్యల నుండి ఎలా భిన్నంగా ఉంటాయి?

సారాంశంలో, ఏమీ లేదు. ఇవి ఒకే సంఖ్య యొక్క విభిన్న రికార్డింగ్‌లు మాత్రమే. సరికాని భిన్నాలుసాధారణ దశల తర్వాత అవి సులభంగా మిశ్రమ సంఖ్యలుగా మారతాయి. మరియు వైస్ వెర్సా.

ఇది అన్ని ఆధారపడి ఉంటుంది నిర్దిష్ట పరిస్థితి. కొన్నిసార్లు పనులలో ఉపయోగించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది సరైన భిన్నం. మరియు కొన్నిసార్లు దానిని మిశ్రమ సంఖ్యగా మార్చడం అవసరం, ఆపై ఉదాహరణ చాలా సులభంగా పరిష్కరించబడుతుంది. అందువల్ల, ఏమి ఉపయోగించాలి: సరికాని భిన్నాలు, మిశ్రమ సంఖ్యలు, సమస్యను పరిష్కరించే వ్యక్తి యొక్క పరిశీలన నైపుణ్యాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

మిశ్రమ సంఖ్యను పూర్ణాంక భాగం మరియు భిన్న భాగం మొత్తంతో కూడా పోల్చారు. అంతేకాక, రెండవది ఎల్లప్పుడూ ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

మిశ్రమ సంఖ్యను సరికాని భిన్నం వలె ఎలా సూచించాలి?

మీరు వ్రాయబడిన అనేక సంఖ్యలతో ఏదైనా చర్య చేయవలసి వస్తే వివిధ రకాల, అప్పుడు మీరు వాటిని ఒకే విధంగా చేయాలి. సంఖ్యలను సరికాని భిన్నాలుగా సూచించడం ఒక పద్ధతి.

ఈ ప్రయోజనం కోసం, మీరు క్రింది అల్గోరిథంను అమలు చేయాలి:

• హారం మొత్తం భాగంతో గుణించండి;
• ఫలితానికి న్యూమరేటర్ విలువను జోడించండి;
• లైన్ పైన సమాధానం వ్రాయండి;
• హారంను అలాగే వదిలేయండి.

మిశ్రమ సంఖ్యల నుండి సరికాని భిన్నాలను ఎలా వ్రాయాలో ఇక్కడ ఉదాహరణలు ఉన్నాయి:

• 17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
• 39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.

సరికాని భిన్నాన్ని మిశ్రమ సంఖ్యగా ఎలా వ్రాయాలి?

తదుపరి సాంకేతికత పైన చర్చించిన దానికి విరుద్ధంగా ఉంటుంది. అంటే, అన్ని మిశ్రమ సంఖ్యలు సరికాని భిన్నాలతో భర్తీ చేయబడినప్పుడు. చర్యల అల్గోరిథం క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

• మిగిలిన భాగాన్ని పొందేందుకు లవంను హారంతో విభజించండి;
• మిశ్రమ భాగం యొక్క మొత్తం భాగానికి బదులుగా గుణకాన్ని వ్రాయండి;
• మిగిలిన రేఖ పైన ఉంచాలి;
• భాగహారం హారం అవుతుంది.

అటువంటి పరివర్తనకు ఉదాహరణలు:

76/14; 76:14 = 5 మిగిలిన 6; సమాధానం 5 మొత్తం మరియు 6/14; ఈ ఉదాహరణలో పాక్షిక భాగాన్ని 2 తగ్గించాలి, ఫలితంగా 3/7; చివరి సమాధానం 5 పాయింట్ 3/7.

108/54; విభజన తర్వాత, 2 యొక్క గుణకం శేషం లేకుండా పొందబడుతుంది; దీనర్థం అన్ని సరికాని భిన్నాలు రూపంలో సూచించబడవు మిశ్రమ సంఖ్య; సమాధానం పూర్ణాంకం - 2.

పూర్తి సంఖ్యను సరికాని భిన్నంగా ఎలా మార్చాలి?

అటువంటి చర్య అవసరమైనప్పుడు పరిస్థితులు ఉన్నాయి. తెలిసిన హారంతో సరికాని భిన్నాలను పొందడానికి, మీరు క్రింది అల్గారిథమ్‌ను అమలు చేయాలి:

• కావలసిన హారం ద్వారా పూర్ణాంకాన్ని గుణించండి;
• ఈ విలువను లైన్ పైన వ్రాయండి;
• దాని క్రింద హారం ఉంచండి.

హారం ఉన్నప్పుడు సరళమైన ఎంపిక ఒకరికి సమానం. అప్పుడు మీరు దేనినీ గుణించాల్సిన అవసరం లేదు. ఉదాహరణలో ఇవ్వబడిన పూర్ణాంకాన్ని వ్రాసి, పంక్తి క్రింద ఒకదాన్ని ఉంచడం సరిపోతుంది.

ఉదాహరణ: 5ని 3 హారంతో సరికాని భిన్నం చేయండి. 5ని 3తో గుణిస్తే 15 వస్తుంది. ఈ సంఖ్య హారం అవుతుంది. విధికి సమాధానం భిన్నం: 15/3.

విభిన్న సంఖ్యలతో సమస్యలను పరిష్కరించడానికి రెండు విధానాలు

ఉదాహరణకి మొత్తం మరియు వ్యత్యాసాన్ని, అలాగే రెండు సంఖ్యల ఉత్పత్తి మరియు గుణకాన్ని లెక్కించడం అవసరం: 2 పూర్ణాంకాలు 3/5 మరియు 14/11.

మొదటి విధానంలోమిశ్రమ సంఖ్య సరికాని భిన్నం వలె సూచించబడుతుంది.

పైన వివరించిన దశలను చేసిన తర్వాత, మీరు క్రింది విలువను పొందుతారు: 13/5.

మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు భిన్నాలను తగ్గించాలి అదే హారం. 13/5ని 11తో గుణించిన తర్వాత 143/55 అవుతుంది. మరియు 5తో గుణించిన తర్వాత 14/11 ఇలా కనిపిస్తుంది: 70/55. మొత్తాన్ని లెక్కించడానికి, మీరు 143 మరియు 70 సంఖ్యలను మాత్రమే జోడించాలి, ఆపై ఒక హారంతో సమాధానాన్ని వ్రాయండి. 213/55 - ఈ సరికాని భిన్నం సమస్యకు సమాధానం.

వ్యత్యాసాన్ని కనుగొన్నప్పుడు, అదే సంఖ్యలు తీసివేయబడతాయి: 143 - 70 = 73. సమాధానం భిన్నం: 73/55.

13/5 మరియు 14/11 గుణించేటప్పుడు, మీరు వాటిని సాధారణ హారంకు తగ్గించాల్సిన అవసరం లేదు. న్యూమరేటర్లు మరియు హారంలను జంటలుగా గుణిస్తే సరిపోతుంది. సమాధానం: 182/55.

విభజన విషయంలోనూ అదే జరుగుతుంది. కోసం సరైన నిర్ణయంమీరు విభజనను గుణకారంతో భర్తీ చేయాలి మరియు భాగహారాన్ని మార్చాలి: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

రెండవ విధానంలోసరికాని భిన్నం మిశ్రమ సంఖ్య అవుతుంది.

అల్గోరిథం యొక్క చర్యలను అమలు చేసిన తర్వాత, 14/11 1 యొక్క పూర్ణాంకం భాగం మరియు 3/11 యొక్క పాక్షిక భాగంతో మిశ్రమ సంఖ్యగా మారుతుంది.

మొత్తాన్ని లెక్కించేటప్పుడు, మీరు మొత్తం మరియు పాక్షిక భాగాలను విడిగా జోడించాలి. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. చివరి సమాధానం 3 పాయింట్ 48/55. మొదటి విధానంలో భిన్నం 213/55. మీరు దానిని మిశ్రమ సంఖ్యగా మార్చడం ద్వారా దాని ఖచ్చితత్వాన్ని తనిఖీ చేయవచ్చు. 213ని 55తో భాగించిన తర్వాత, గుణకం 3 మరియు మిగిలినది 48. సమాధానం సరైనదని సులభంగా చూడవచ్చు.

తీసివేసేటప్పుడు, "+" గుర్తు "-"తో భర్తీ చేయబడుతుంది. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. తనిఖీ చేయడానికి, మునుపటి విధానం నుండి సమాధానాన్ని మిశ్రమ సంఖ్యగా మార్చాలి: 73 55తో భాగించబడుతుంది మరియు గుణకం 1 మరియు మిగిలినది 18.

ఉత్పత్తి మరియు గుణకాన్ని కనుగొనడానికి, మిశ్రమ సంఖ్యలను ఉపయోగించడం అసౌకర్యంగా ఉంటుంది. ఇక్కడ సరికాని భిన్నాలకు వెళ్లాలని ఎల్లప్పుడూ సిఫార్సు చేయబడింది.

దశాంశ భిన్నం అనేది భిన్నం, దీనిలో హారం 10 యొక్క సహజ శక్తి. ఇది, ఉదాహరణకు, భిన్నం, ఈ భిన్నాన్ని క్రింది రూపంలో వ్రాయవచ్చు: లవం యొక్క అంకెలను ఒక పంక్తిపై వ్రాసి, అనేక వాటిని వేరు చేయండి. హారంలో సున్నాలు ఉన్నందున వాటిని కుడి వైపున కామాతో ఉంటాయి, అవి:

అటువంటి సంజ్ఞామానంలో, దశాంశానికి ఎడమ వైపున ఉన్న సంఖ్యలు పూర్ణాంక భాగాన్ని ఏర్పరుస్తాయి మరియు దశాంశానికి కుడి వైపున ఉన్న సంఖ్యలు ఇచ్చిన దశాంశ భిన్నం యొక్క పాక్షిక భాగాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

p/q కొంత సానుకూల హేతుబద్ధ సంఖ్యగా ఉండనివ్వండి. అంకగణితం నుండి, విభజన ప్రక్రియ బాగా తెలుసు, ఇది ఒక సంఖ్యను దశాంశ భిన్నం వలె సూచించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. విభజన ప్రక్రియ యొక్క సారాంశం ఏమిటంటే, ముందుగా pలో q ఉన్న అతిపెద్ద పూర్ణాంకాల సంఖ్యను కనుగొనడం; p అనేది q యొక్క గుణకం అయితే, ఇక్కడే విభజన ప్రక్రియ ముగుస్తుంది. లేకపోతే, మిగిలినది కనిపిస్తుంది. తర్వాత, ఈ అవశేషాలు qలో ఎన్ని పదవ వంతులు ఉందో వారు కనుగొంటారు మరియు ఈ దశలో ప్రక్రియ ముగియవచ్చు లేదా కొత్త అవశేషాలు కనిపిస్తాయి. IN తరువాతి కేసు qలో ఎన్ని వందల వంతు ఉందో కనుక్కోండి.

హారం qకి 2 లేదా 5 కంటే ఇతర ప్రధాన కారకాలు లేనట్లయితే, పరిమిత సంఖ్యలో దశల తర్వాత మిగిలినవి సున్నాకి సమానం, విభజన ప్రక్రియ ముగుస్తుంది మరియు ఈ సాధారణ భిన్నం తుది దశాంశ భిన్నం అవుతుంది. వాస్తవానికి, ఈ సందర్భంలో, పూర్ణాంకాన్ని ఎంచుకోవడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యపడుతుంది, దాని ద్వారా ఇచ్చిన భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారంను గుణించిన తర్వాత, సమాన భిన్నం పొందబడుతుంది, దీనిలో హారం పది యొక్క సహజ శక్తిని సూచిస్తుంది. ఉదాహరణకు, ఇది భిన్నం

వీటిని ఇలా సూచించవచ్చు:

అయితే, ఈ పరివర్తనలు చేయకుండా, లవంను హారం ద్వారా విభజించి, రీడర్ అదే ఫలితాన్ని పొందుతారు:

తగ్గించలేని భిన్నం యొక్క హారం 2 లేదా 5 కాకుండా కనీసం ఒక ప్రధాన భాగహారాన్ని కలిగి ఉంటే, అప్పుడు q ద్వారా విభజన ప్రక్రియ ఎప్పటికీ ముగియదు (తదుపరి శేషాలలో ఏదీ సున్నాకి వెళ్లదు).

విభజన చేసిన తరువాత, మేము కనుగొన్నాము

ఈ ఉదాహరణలో పొందిన ఫలితాన్ని వ్రాయడానికి, క్రమానుగతంగా పునరావృతమయ్యే 0 మరియు 6 సంఖ్యలు కుండలీకరణాల్లో జతచేయబడి వ్రాయబడతాయి:

ఈ ఉదాహరణలో మరియు ఇతర సారూప్య సందర్భాలలో, విభజన యొక్క చర్య దారితీయదు తుది ఫలితందశాంశ భిన్నం వలె. దశాంశ భిన్నం యొక్క భావనను సాధారణీకరించడం ద్వారా, 965/132 అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నం ద్వారా సూచించబడుతుందని ఇప్పటికీ చెప్పవచ్చు, పునరావృతమయ్యే సంఖ్యలు 06 ఈ భిన్నం యొక్క కాలం అని పిలుస్తారు మరియు వాటి సంఖ్య మా ఉదాహరణలో సమానంగా ఉంటుంది. కాలం యొక్క పొడవు.

భిన్నం యొక్క ఆవర్తన దృగ్విషయం యొక్క కారణాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి, ఉదాహరణకు, 7 ద్వారా విభజించే ప్రక్రియను విశ్లేషిద్దాం. విభజన పూర్తిగా నిర్వహించబడకపోతే, మిగిలినది కనిపిస్తుంది, ఇది క్రింది విలువలలో ఒకదాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది: 1, 2, 3, 4, 5, 6. మరియు ఈ క్రింది దశల నుండి ప్రతిదానిలో మిగిలినవి మళ్లీ ఈ ఆరు విలువలలో ఒకదాన్ని కలిగి ఉంటాయి. అందువల్ల, ఏడవ దశ కంటే తరువాత, మేము ఇప్పటికే కనిపించిన మిగిలిన విలువలలో ఒకదాన్ని అనివార్యంగా ఎదుర్కొంటాము, ఈ పాయింట్ నుండి ప్రారంభించి, విభజన ప్రక్రియ ఆవర్తనమవుతుంది. బ్యాలెన్స్‌ల విలువలు మరియు గుణకం యొక్క సంఖ్యలు రెండూ క్రమానుగతంగా పునరావృతమవుతాయి. ఇదే తార్కికం ఏదైనా ఇతర విభజనకు వర్తిస్తుంది.

అందువలన, ప్రతి సాధారణ భిన్నం పరిమిత లేదా అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నం వలె సూచించబడుతుంది. దీనికి విరుద్ధంగా, ప్రతి ఆవర్తన దశాంశ భిన్నం సాధారణ భిన్నం వలె సూచించబడటం విశేషం. ఈ చర్య ఎలా నిర్వహించబడుతుందో చూపిద్దాం. ఈ సందర్భంలో, అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి మొత్తానికి ఫార్ములా ఉపయోగించబడుతుంది (నిబంధన 92).

ఈ విధంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు:

ఇక్కడ కుడి వైపున ఉన్న పదాలు, రెండవది నుండి మొదలై, హారం మరియు మొదటి పదంతో అనంతమైన రేఖాగణిత పురోగతిని ఏర్పరుస్తాయి

సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం (92.2):

అదే ప్రక్రియ ఏదైనా అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నం రూపంలో సూచించడానికి అనుమతిస్తుంది (మరియు, చూపినట్లుగా, విభజన ప్రక్రియలో, ఇచ్చిన అనంతం ఆవర్తన భిన్నం) అయితే, ఇక్కడ ఒక మినహాయింపు ఉంది. భిన్నాన్ని పరిగణించండి

మరియు దానిని సాధారణ భిన్నానికి మార్చే ప్రక్రియను వర్తింపజేయండి:

మేము 1/2 సంఖ్యకు చేరుకున్నాము, ఇది పరిమిత దశాంశ భిన్నం వలె కనిపిస్తుంది

ఇచ్చిన వ్యవధిలో ఎప్పుడైనా ఇదే విధమైన ఫలితం పొందబడుతుంది అనంతమైన భిన్నంరూపం (9) ఉంది. కాబట్టి, మేము జంట సంఖ్యలను గుర్తిస్తాము, ఉదాహరణకు,

కొన్నిసార్లు ఫారమ్ యొక్క రికార్డులను అనుమతించడం కూడా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది

అధికారికంగా పరిమిత దశాంశ భిన్నాలను వ్యవధి (0)తో అనంతంగా సూచిస్తుంది.

ఒక సాధారణ భిన్నాన్ని ఆవర్తన దశాంశ భిన్నంలోకి మార్చడం గురించి ప్రతిదీ చెప్పబడింది మరియు దీనికి విరుద్ధంగా సానుకూల హేతుబద్ధ సంఖ్యలకు వర్తించబడుతుంది. ప్రతికూల సంఖ్య విషయంలో, మీరు దీన్ని రెండు విధాలుగా చేయవచ్చు.

1) ఇచ్చిన ప్రతికూల సంఖ్యకు ఎదురుగా ఉన్న ధన సంఖ్యను తీసుకుని, దానిని దశాంశానికి మార్చండి, ఆపై దాని ముందు మైనస్ గుర్తును ఉంచండి. ఉదాహరణకు, కోసం - 5/3 మేము పొందుతాము

2) ఇచ్చిన ప్రతికూల హేతుబద్ధ సంఖ్యను దాని పూర్ణాంకం భాగం (ప్రతికూల) మరియు దాని పాక్షిక భాగం (నాన్-నెగటివ్) మొత్తంగా ప్రదర్శించండి, ఆపై సంఖ్య యొక్క ఈ పాక్షిక భాగాన్ని మాత్రమే దశాంశ భిన్నంలోకి మార్చండి. ఉదాహరణకు:

వారి ప్రతికూల పూర్ణాంకం భాగం మరియు పరిమిత లేదా అనంతమైన దశాంశ భిన్నం యొక్క మొత్తంగా సమర్పించబడిన సంఖ్యలను వ్రాయడానికి, క్రింది సంజ్ఞామానం ఆమోదించబడుతుంది (ప్రతికూల సంఖ్యను వ్రాయడానికి ఒక కృత్రిమ రూపం):

ఇక్కడ మైనస్ గుర్తు మొత్తం భిన్నం ముందు కాకుండా, దాని మొత్తం భాగం పైన మాత్రమే ఉంచబడింది మొత్తం భాగంప్రతికూలంగా ఉంటుంది మరియు దశాంశ బిందువును అనుసరించే పాక్షిక భాగం సానుకూలంగా ఉంటుంది.

ఈ సంజ్ఞామానం సానుకూల మరియు ప్రతికూల దశాంశ భిన్నాల సంజ్ఞామానంలో ఏకరూపతను సృష్టిస్తుంది మరియు భవిష్యత్తులో దశాంశ సంవర్గమానాల సిద్ధాంతంలో ఉపయోగించబడుతుంది (విభాగం 28). అభ్యాసం కోసం, ఉదాహరణలలో ఒక రికార్డ్ నుండి మరొక రికార్డుకు మారడాన్ని తనిఖీ చేయడానికి మేము రీడర్‌ను ఆహ్వానిస్తున్నాము:

ఇప్పుడు మనం తుది ముగింపును రూపొందించవచ్చు: ప్రతి హేతుబద్ధ సంఖ్యను అనంతమైన దశాంశ ఆవర్తన భిన్నం ద్వారా సూచించవచ్చు మరియు దీనికి విరుద్ధంగా, అటువంటి ప్రతి భిన్నం హేతుబద్ధ సంఖ్యను నిర్దేశిస్తుంది. పరిమిత దశాంశ భిన్నం అనంతమైన దశాంశ భిన్నం రూపంలో రెండు రకాల వ్రాతలను కూడా అనుమతిస్తుంది: వ్యవధి (0)తో మరియు వ్యవధితో (9).

ఈ వ్యాసంలో మనం ఎలా చూస్తాము భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చడం, మరియు కూడా పరిగణించండి రివర్స్ ప్రక్రియ- దశాంశ భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలుగా మార్చడం. ఇక్కడ మేము భిన్నాలను మార్చడానికి నియమాలను వివరిస్తాము మరియు సాధారణ ఉదాహరణలకు వివరణాత్మక పరిష్కారాలను అందిస్తాము.

పేజీ నావిగేషన్.

భిన్నాలను దశాంశాలకు మారుస్తోంది

మనం వ్యవహరించే క్రమాన్ని సూచిస్తాము భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చడం.

ముందుగా, 10, 100, 1,000, ... హారంలతో భిన్నాలను దశాంశాలుగా ఎలా సూచించాలో చూద్దాం. దశాంశ భిన్నాలు తప్పనిసరిగా 10, 100, .... హారంలతో సాధారణ భిన్నాలను వ్రాయడానికి ఒక కాంపాక్ట్ రూపం అనే వాస్తవం ద్వారా ఇది వివరించబడింది.

ఆ తర్వాత, మేము మరింత ముందుకు వెళ్లి, ఏదైనా సాధారణ భిన్నాన్ని (డినామినేటర్లు 10, 100, ... మాత్రమే కాకుండా) దశాంశ భిన్నంగా ఎలా వ్రాయాలో చూపుతాము. సాధారణ భిన్నాలను ఈ విధంగా పరిగణించినప్పుడు, పరిమిత దశాంశ భిన్నాలు మరియు అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాలు రెండూ లభిస్తాయి.

ఇప్పుడు ప్రతిదీ క్రమంలో మాట్లాడుకుందాం.

10, 100, ... హారంతో భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చడం

కొన్ని సరైన భిన్నాలకు దశాంశాలకు మార్చడానికి ముందు "ప్రిలిమినరీ ప్రిపరేషన్" అవసరం. ఇది సాధారణ భిన్నాలకు వర్తిస్తుంది, లవంలోని అంకెల సంఖ్య హారంలోని సున్నాల సంఖ్య కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, సాధారణ భిన్నం 2/100 తప్పనిసరిగా దశాంశ భిన్నానికి మార్చడానికి ముందుగా సిద్ధం కావాలి, అయితే 9/10 భిన్నానికి ఎలాంటి తయారీ అవసరం లేదు.

దశాంశ భిన్నాలుగా మార్చడానికి సరైన సాధారణ భిన్నాల "ప్రిలిమినరీ ప్రిపరేషన్" అనేది న్యూమరేటర్‌లో ఎడమ వైపున చాలా సున్నాలను జోడించడం ద్వారా అక్కడ ఉన్న మొత్తం అంకెల సంఖ్య హారంలోని సున్నాల సంఖ్యకు సమానం అవుతుంది. ఉదాహరణకు, సున్నాలను జోడించిన తర్వాత ఒక భిన్నం ఇలా కనిపిస్తుంది.

మీరు సరైన భిన్నాన్ని సిద్ధం చేసిన తర్వాత, మీరు దానిని దశాంశానికి మార్చడం ప్రారంభించవచ్చు.

ఇద్దాం 10, లేదా 100, లేదా 1,000, ... యొక్క హారంతో సరైన సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశ భిన్నంలోకి మార్చడానికి నియమం. ఇది మూడు దశలను కలిగి ఉంటుంది:

• 0 వ్రాయండి;
• దాని తర్వాత మేము దశాంశ బిందువును ఉంచాము;
• మేము న్యూమరేటర్ నుండి సంఖ్యను వ్రాస్తాము (జోడించిన సున్నాలతో పాటు, మేము వాటిని జోడించినట్లయితే).

ఉదాహరణలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఈ నియమం యొక్క అనువర్తనాన్ని పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ.

సరైన భిన్నం 37/100ని దశాంశానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.

హారం రెండు సున్నాలను కలిగి ఉన్న 100 సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది. న్యూమరేటర్ సంఖ్య 37ని కలిగి ఉంది, దాని సంజ్ఞామానంలో రెండు అంకెలు ఉన్నాయి, కాబట్టి, ఈ భిన్నం దశాంశ భిన్నానికి మార్చడానికి సిద్ధం చేయవలసిన అవసరం లేదు.

ఇప్పుడు మనం 0 వ్రాస్తాము, దశాంశ బిందువును ఉంచాము మరియు లవం నుండి 37 సంఖ్యను వ్రాస్తాము మరియు మనకు దశాంశ భిన్నం 0.37 వస్తుంది.

సమాధానం:

0,37 .

సరైన సాధారణ భిన్నాలను 10, 100, ... దశాంశ భిన్నాలుగా మార్చే నైపుణ్యాలను బలోపేతం చేయడానికి, మేము మరొక ఉదాహరణకి పరిష్కారాన్ని విశ్లేషిస్తాము.

ఉదాహరణ.

సరైన భిన్నం 107/10,000,000 దశాంశంగా వ్రాయండి.

పరిష్కారం.

న్యూమరేటర్‌లోని అంకెల సంఖ్య 3, మరియు హారంలోని సున్నాల సంఖ్య 7, కాబట్టి ఈ సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చడానికి సిద్ధం చేయాలి. మనం 7-3=4 సున్నాలను ఎడమవైపుకు జోడించాలి, తద్వారా అక్కడ ఉన్న మొత్తం అంకెల సంఖ్య హారంలోని సున్నాల సంఖ్యకు సమానంగా మారుతుంది. మేము పొందుతాము.

అవసరమైన దశాంశ భిన్నాన్ని సృష్టించడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది. దీన్ని చేయడానికి, మొదట, మేము 0 అని వ్రాస్తాము, రెండవది, మేము కామాను ఉంచుతాము, మూడవదిగా, మేము 0000107 సున్నాలతో కలిపి సంఖ్యను వ్రాస్తాము, ఫలితంగా మనకు దశాంశ భిన్నం 0.0000107 ఉంటుంది.

సమాధానం:

0,0000107 .

దశాంశాలకు మార్చేటప్పుడు సరికాని భిన్నాలకు ఎలాంటి తయారీ అవసరం లేదు. కింది వాటికి కట్టుబడి ఉండాలి 10, 100, ... హారంతో సరికాని భిన్నాలను దశాంశాలుగా మార్చడానికి నియమాలు:

• న్యూమరేటర్ నుండి సంఖ్యను వ్రాయండి;
• అసలు భిన్నం యొక్క హారంలో సున్నాలు ఉన్నంత వరకు కుడివైపున ఉన్న అనేక అంకెలను వేరు చేయడానికి మేము దశాంశ బిందువును ఉపయోగిస్తాము.

ఒక ఉదాహరణను పరిష్కరించేటప్పుడు ఈ నియమం యొక్క అనువర్తనాన్ని చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

సరికాని భిన్నం 56,888,038,009/100,000 దశాంశానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.

మొదట, మేము సంఖ్య 56888038009 నుండి సంఖ్యను వ్రాస్తాము మరియు రెండవది, అసలు భిన్నం యొక్క హారం 5 సున్నాలను కలిగి ఉన్నందున, మేము కుడి వైపున ఉన్న 5 అంకెలను దశాంశ బిందువుతో వేరు చేస్తాము. ఫలితంగా, మనకు దశాంశ భిన్నం 568880.38009.

సమాధానం:

568 880,38009 .

మిశ్రమ సంఖ్యను దశాంశ భిన్నంలోకి మార్చడానికి, 10, లేదా 100, లేదా 1,000, పాక్షిక భాగం యొక్క హారం ..., మీరు మిశ్రమ సంఖ్యను సరికాని సాధారణ భిన్నంగా మార్చవచ్చు, ఆపై ఫలితాన్ని మార్చవచ్చు. భిన్నం దశాంశ భిన్నం. కానీ మీరు ఈ క్రింది వాటిని కూడా ఉపయోగించవచ్చు 10, లేదా 100, లేదా 1,000, ... యొక్క పాక్షిక హారంతో మిశ్రమ సంఖ్యలను దశాంశ భిన్నాలుగా మార్చడానికి నియమం:

• అవసరమైతే, అమలు చేయండి " ప్రాథమిక తయారీ» అసలైన మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క పాక్షిక భాగం, జోడించడం అవసరమైన పరిమాణంన్యూమరేటర్‌లో ఎడమవైపు సున్నాలు;
• అసలైన మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క పూర్ణాంక భాగాన్ని వ్రాయండి;
• దశాంశ బిందువును ఉంచండి;
• మేము జోడించిన సున్నాలతో పాటు న్యూమరేటర్ నుండి సంఖ్యను వ్రాస్తాము.

మిశ్రమ సంఖ్యను దశాంశ భిన్నం వలె సూచించడానికి అవసరమైన అన్ని దశలను పూర్తి చేసే ఉదాహరణను చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

మిశ్రమ సంఖ్యను దశాంశానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.

పాక్షిక భాగం యొక్క హారం 4 సున్నాలను కలిగి ఉంటుంది, కానీ న్యూమరేటర్ 2 అంకెలతో కూడిన 17 సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి, లవంలో ఎడమ వైపున రెండు సున్నాలను జోడించాలి, తద్వారా అక్కడ ఉన్న అంకెల సంఖ్య సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది. హారంలో సున్నాలు. ఇలా చేసిన తర్వాత, న్యూమరేటర్ 0017 అవుతుంది.

ఇప్పుడు మనం అసలు సంఖ్య యొక్క మొత్తం భాగాన్ని వ్రాస్తాము, అనగా 23 సంఖ్య, ఒక దశాంశ బిందువును ఉంచుతాము, దాని తర్వాత మేము జోడించిన సున్నాలతో పాటు లవం నుండి సంఖ్యను వ్రాస్తాము, అనగా 0017, మరియు మనకు కావలసిన దశాంశం వస్తుంది. భిన్నం 23.0017.

మొత్తం పరిష్కారాన్ని క్లుప్తంగా వ్రాస్దాం: .

వాస్తవానికి, మొదట మిశ్రమ సంఖ్యను సరికాని భిన్నం వలె సూచించడం మరియు దానిని దశాంశానికి మార్చడం సాధ్యమైంది. ఈ విధానంతో, పరిష్కారం ఇలా కనిపిస్తుంది: .

సమాధానం:

23,0017 .

భిన్నాలను పరిమిత మరియు అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశాలుగా మార్చడం

10, 100, ... హారం ఉన్న సాధారణ భిన్నాలను మాత్రమే కాకుండా, ఇతర హారంతో ఉన్న సాధారణ భిన్నాలను దశాంశ భిన్నాలుగా మార్చవచ్చు. ఇది ఎలా జరుగుతుందో ఇప్పుడు మనం కనుగొంటాము.

కొన్ని సందర్భాల్లో, అసలు సాధారణ భిన్నం 10, లేదా 100, లేదా 1,000, ... (ఒక సాధారణ భిన్నాన్ని కొత్త హారంకు తీసుకురావడం చూడండి), దాని తర్వాత ఫలిత భిన్నాన్ని సూచించడం కష్టం కాదు. దశాంశ భిన్నం వలె. ఉదాహరణకు, 2/5 భిన్నాన్ని హారం 10తో భిన్నానికి తగ్గించవచ్చని స్పష్టంగా ఉంది, దీని కోసం మీరు న్యూమరేటర్ మరియు హారంను 2 ద్వారా గుణించాలి, ఇది భిన్నం 4/10 ఇస్తుంది, దీని ప్రకారం మునుపటి పేరాలో చర్చించిన నియమాలు, దశాంశ భిన్నం 0, 4కి సులభంగా మార్చబడతాయి.

ఇతర సందర్భాల్లో, మీరు ఒక సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశంగా మార్చడానికి మరొక పద్ధతిని ఉపయోగించాలి, దానిని మేము ఇప్పుడు పరిగణలోకి తీసుకుంటాము.

సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశ భిన్నానికి మార్చడానికి, భిన్నం యొక్క లవం హారంతో భాగించబడుతుంది, లవం మొదట దశాంశ బిందువు తర్వాత ఎన్ని సున్నాలతో సమాన దశాంశ భిన్నంతో భర్తీ చేయబడుతుంది (మేము దీని గురించి సమానమైన విభాగంలో మాట్లాడాము మరియు అసమాన దశాంశ భిన్నాలు). ఈ సందర్భంలో, విభజన సహజ సంఖ్యల నిలువు వరుస ద్వారా విభజించబడిన విధంగానే నిర్వహించబడుతుంది మరియు డివిడెండ్ యొక్క మొత్తం భాగం యొక్క విభజన ముగిసినప్పుడు ఒక దశాంశ బిందువు ఉంచబడుతుంది. దిగువ ఇవ్వబడిన ఉదాహరణల పరిష్కారాల నుండి ఇవన్నీ స్పష్టంగా కనిపిస్తాయి.

ఉదాహరణ.

621/4 భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.

న్యూమరేటర్ 621లోని సంఖ్యను దశాంశ భిన్నం వలె సూచిస్తాము, దాని తర్వాత దశాంశ బిందువు మరియు అనేక సున్నాలను జోడించడం. ముందుగా, 2 అంకెలు 0ని చేర్చుదాం, తరువాత, అవసరమైతే, మనం ఎల్లప్పుడూ మరిన్ని సున్నాలను జోడించవచ్చు. కాబట్టి, మాకు 621.00 ఉంది.

ఇప్పుడు 621,000 సంఖ్యను నిలువు వరుసతో 4 ద్వారా భాగిద్దాం. మొదటి మూడు దశలు దీర్ఘ విభజన నుండి భిన్నంగా లేవు సహజ సంఖ్యలు, వాటి తర్వాత మేము ఈ క్రింది చిత్రానికి వస్తాము:

ఈ విధంగా మనం డివిడెండ్‌లో దశాంశ బిందువుకు చేరుకుంటాము మరియు మిగిలినది సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, మేము గుణకంలో దశాంశ బిందువును ఉంచుతాము మరియు కామాలకు శ్రద్ధ చూపకుండా నిలువు వరుసలో విభజించడాన్ని కొనసాగిస్తాము:

ఇది విభజనను పూర్తి చేస్తుంది మరియు ఫలితంగా మనకు దశాంశ భిన్నం 155.25 లభిస్తుంది, ఇది అసలు సాధారణ భిన్నానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.

సమాధానం:

155,25 .

పదార్థాన్ని ఏకీకృతం చేయడానికి, మరొక ఉదాహరణకి పరిష్కారాన్ని పరిగణించండి.

ఉదాహరణ.

21/800 భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.

ఈ సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చడానికి, మేము దశాంశ భిన్నం 21,000...తో 800తో భాగిస్తాము. మొదటి దశ తర్వాత, మనం గుణకంలో దశాంశ బిందువును ఉంచాలి, ఆపై విభజనను కొనసాగించాలి:

చివరగా, మాకు మిగిలిన 0 వచ్చింది, ఇది సాధారణ భిన్నం 21/400ని దశాంశ భిన్నానికి మార్చడాన్ని పూర్తి చేస్తుంది మరియు మేము దశాంశ భిన్నం 0.02625కి చేరుకున్నాము.

సమాధానం:

0,02625 .

ఒక సాధారణ భిన్నం యొక్క హారంతో న్యూమరేటర్‌ను విభజించినప్పుడు, మనకు ఇప్పటికీ 0 యొక్క శేషం లభించదు. ఈ సందర్భాలలో, విభజన నిరవధికంగా కొనసాగించవచ్చు. అయితే, ఒక నిర్దిష్ట దశ నుండి ప్రారంభించి, మిగిలినవి క్రమానుగతంగా పునరావృతం చేయడం ప్రారంభిస్తాయి మరియు గుణకంలోని సంఖ్యలు కూడా పునరావృతమవుతాయి. దీని అర్థం అసలు భిన్నం అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నానికి మార్చబడుతుంది. దీన్ని ఒక ఉదాహరణతో చూపిద్దాం.

ఉదాహరణ.

19/44 భిన్నాన్ని దశాంశంగా వ్రాయండి.

పరిష్కారం.

సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చడానికి, నిలువు వరుస ద్వారా విభజన చేయండి:

విభజన సమయంలో 8 మరియు 36 అవశేషాలు పునరావృతం కావడం ఇప్పటికే స్పష్టంగా ఉంది, అయితే గుణకంలో 1 మరియు 8 సంఖ్యలు పునరావృతమవుతాయి. అందువలన, అసలు సాధారణ భిన్నం 19/44 ఆవర్తన దశాంశ భిన్నం 0.43181818...=0.43(18)గా మార్చబడుతుంది.

సమాధానం:

0,43(18) .

ఈ పాయింట్‌ను ముగించడానికి, ఏ సాధారణ భిన్నాలను పరిమిత దశాంశ భిన్నాలుగా మార్చవచ్చో మరియు ఏవి ఆవర్తన వాటిని మాత్రమే మార్చవచ్చో మేము కనుగొంటాము.

మన ముందు తగ్గించలేని సాధారణ భిన్నాన్ని (భిన్నం తగ్గించగలిగితే, మేము మొదట భిన్నాన్ని తగ్గిస్తాము), మరియు దానిని ఏ దశాంశ భిన్నంలోకి మార్చవచ్చో మనం కనుగొనాలి - పరిమిత లేదా ఆవర్తన.

ఒక సాధారణ భిన్నాన్ని 10, 100, 1,000, ... అనే హారంలలో ఒకదానికి తగ్గించగలిగితే, ఫలిత భిన్నాన్ని మునుపటి పేరాలో చర్చించిన నిబంధనల ప్రకారం సులభంగా తుది దశాంశ భిన్నంగా మార్చవచ్చు. కానీ హారం 10, 100, 1,000, మొదలైనవి. అన్ని సాధారణ భిన్నాలు ఇవ్వబడవు. 10, 100, ... సంఖ్యలలో కనీసం ఒకటిగా ఉండే భిన్నాలు మాత్రమే అటువంటి హారంలకు తగ్గించబడతాయి మరియు 10, 100, ...? 10, 100, ... సంఖ్యలు ఈ ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడానికి మాకు అనుమతిస్తాయి మరియు అవి క్రింది విధంగా ఉన్నాయి: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1,000 = 2 2 2 5 5 5, .... విభజనలు 10, 100, 1,000, మొదలైనవి అని ఇది అనుసరిస్తుంది. ప్రధాన కారకాలుగా కుళ్ళిపోవడం 2 మరియు (లేదా) 5 సంఖ్యలను మాత్రమే కలిగి ఉండే సంఖ్యలు మాత్రమే ఉంటాయి.

ఇప్పుడు మనం సాధారణ భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చడం గురించి సాధారణ తీర్మానం చేయవచ్చు:

• ప్రధాన కారకాలుగా హారం యొక్క కుళ్ళిపోవడంలో 2 మరియు (లేదా) 5 సంఖ్యలు మాత్రమే ఉంటే, ఈ భిన్నాన్ని చివరి దశాంశ భిన్నంగా మార్చవచ్చు;
• ఒకవేళ, రెండులు మరియు ఐదులతో పాటు, హారం యొక్క విస్తరణలో ఇతర ప్రధాన సంఖ్యలు ఉంటే, అప్పుడు ఈ భిన్నం అనంతమైన దశాంశ ఆవర్తన భిన్నానికి మార్చబడుతుంది.

ఉదాహరణ.

సాధారణ భిన్నాలను దశాంశాలుగా మార్చకుండా, 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 భిన్నాలలో ఏది తుది దశాంశ భిన్నంగా మార్చబడుతుందో మరియు వాటిని మాత్రమే ఆవర్తన భిన్నంలోకి మార్చగలదో చెప్పండి.

పరిష్కారం.

భిన్నం 47/20 యొక్క హారం ప్రధాన కారకాలుగా 20=2·2·5గా కారకం చేయబడింది. ఈ విస్తరణ రెండు మరియు ఐదులను మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి ఈ భిన్నాన్ని 10, 100, 1,000, ... (ఈ ఉదాహరణలో, హారం 100కి) ఒకటికి తగ్గించవచ్చు, కాబట్టి, తుది దశాంశ భిన్నానికి మార్చవచ్చు.

7/12 భిన్నం యొక్క హారం ప్రధాన కారకాలుగా కుళ్ళిపోవడం 12=2·2·3 రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఇది 2 మరియు 5 నుండి భిన్నమైన 3 యొక్క ప్రధాన కారకాన్ని కలిగి ఉన్నందున, ఈ భిన్నం పరిమిత దశాంశంగా సూచించబడదు, కానీ ఆవర్తన దశాంశంగా మార్చబడుతుంది.

భిన్నం 21/56 - సంకోచం, సంకోచం తర్వాత అది 3/8 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. హారంను ప్రధాన కారకాలుగా మార్చడం 2కి సమానమైన మూడు కారకాలను కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి, సాధారణ భిన్నం 3/8, అందువలన సమాన భిన్నం 21/56, తుది దశాంశ భిన్నం వలె మార్చబడుతుంది.

చివరగా, భిన్నం 31/17 యొక్క హారం యొక్క విస్తరణ 17 దానంతట అదే, కాబట్టి ఈ భిన్నం పరిమిత దశాంశ భిన్నం వలె మార్చబడదు, కానీ అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నం వలె మార్చబడుతుంది.

సమాధానం:

47/20 మరియు 21/56 పరిమిత దశాంశ భిన్నానికి మార్చబడతాయి, కానీ 7/12 మరియు 31/17 మాత్రమే ఆవర్తన భిన్నానికి మార్చబడతాయి.

సాధారణ భిన్నాలు అనంతమైన నాన్-ఆవర్తన దశాంశాలుగా మారవు

మునుపటి పేరాలోని సమాచారం ప్రశ్నకు దారి తీస్తుంది: "ఒక భిన్నం యొక్క సంఖ్యను హారం ద్వారా విభజించడం వలన అనంతమైన నాన్-ఆవర్తన భిన్నం ఏర్పడుతుందా?"

సమాధానం: లేదు. సాధారణ భిన్నాన్ని మార్చేటప్పుడు, ఫలితం పరిమిత దశాంశ భిన్నం లేదా అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నం కావచ్చు. ఇది ఎందుకు జరుగుతుందో వివరిద్దాం.

శేషంతో విభజనపై సిద్ధాంతం నుండి, శేషం ఎల్లప్పుడూ భాజకం కంటే తక్కువగా ఉంటుందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది, అంటే, మనం కొంత పూర్ణాంకాన్ని పూర్ణాంకం qతో భాగిస్తే, మిగిలినది 0, 1, 2 సంఖ్యలలో ఒకటి మాత్రమే కావచ్చు. , ..., q−1. కాలమ్ సాధారణ భిన్నం యొక్క పూర్ణాంక భాగాన్ని హారం q ద్వారా విభజించడాన్ని పూర్తి చేసిన తర్వాత, q కంటే ఎక్కువ దశల్లో కింది రెండు పరిస్థితులలో ఒకటి తలెత్తదు:

• లేదా మేము 0 యొక్క మిగిలిన భాగాన్ని పొందుతాము, ఇది విభజనను ముగిస్తుంది మరియు మేము చివరి దశాంశ భిన్నాన్ని పొందుతాము;
• లేదా మేము ఇంతకు ముందు కనిపించిన శేషాన్ని పొందుతాము, దాని తర్వాత మిగిలినవి మునుపటి ఉదాహరణలో పునరావృతం అవుతాయి (సమాన సంఖ్యలను q ద్వారా విభజించినప్పుడు, సమాన శేషాలు లభిస్తాయి, ఇది ఇప్పటికే పేర్కొన్న విభజన సిద్ధాంతం నుండి వస్తుంది), ఇది అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నానికి దారి తీస్తుంది.

ఏ ఇతర ఎంపికలు ఉండవు, కాబట్టి, ఒక సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశ భిన్నానికి మార్చేటప్పుడు, అనంతమైన నాన్-ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాన్ని పొందలేము.

ఈ పేరాలో ఇవ్వబడిన తార్కికం నుండి, దశాంశ భిన్నం యొక్క వ్యవధి యొక్క పొడవు ఎల్లప్పుడూ సంబంధిత సాధారణ భిన్నం యొక్క హారం విలువ కంటే తక్కువగా ఉంటుందని కూడా అనుసరిస్తుంది.

దశాంశాలను భిన్నాలుగా మారుస్తోంది

ఇప్పుడు దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నంగా ఎలా మార్చాలో తెలుసుకుందాం. చివరి దశాంశ భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలకు మార్చడం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం. దీని తరువాత, మేము అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాలను విలోమం చేయడానికి ఒక పద్ధతిని పరిశీలిస్తాము. ముగింపులో, అనంతమైన నాన్-ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలుగా మార్చడం అసంభవం గురించి చెప్పండి.

వెనుక దశాంశాలను భిన్నాలుగా మారుస్తోంది

చివరి దశాంశంగా వ్రాయబడిన భిన్నాన్ని పొందడం చాలా సులభం. తుది దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నానికి మార్చే నియమంమూడు దశలను కలిగి ఉంటుంది:

• ముందుగా, దశాంశ బిందువును మరియు ఎడమవైపున ఉన్న అన్ని సున్నాలను విస్మరించి, ఇవ్వబడిన దశాంశ భిన్నాన్ని న్యూమరేటర్‌లో వ్రాయండి;
• రెండవది, అసలు దశాంశ భిన్నంలో దశాంశ బిందువు తర్వాత ఎన్ని అంకెలు ఉంటే అంత సున్నాలను హారంలో వ్రాసి దానికి అనేక సున్నాలను జోడించండి;
• మూడవదిగా, అవసరమైతే, ఫలిత భిన్నాన్ని తగ్గించండి.

ఉదాహరణలకు పరిష్కారాలను చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

దశాంశ 3.025ను భిన్నానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.

అసలు దశాంశ భిన్నం నుండి దశాంశ బిందువును తీసివేస్తే, మనకు 3,025 సంఖ్య వస్తుంది. ఎడమవైపు మనం విస్మరించే సున్నాలు లేవు. కాబట్టి, మేము కోరుకున్న భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్‌లో 3,025 వ్రాస్తాము.

అసలు దశాంశ భిన్నంలో దశాంశ బిందువు తర్వాత 3 అంకెలు ఉన్నందున, మేము 1 సంఖ్యను హారంలో వ్రాసి దాని కుడి వైపున 3 సున్నాలను జోడిస్తాము.

కాబట్టి మేము సాధారణ భిన్నం 3,025/1,000 పొందాము. ఈ భిన్నాన్ని 25 తగ్గించవచ్చు, మనకు లభిస్తుంది .

సమాధానం:

.

ఉదాహరణ.

దశాంశ భిన్నం 0.0017ను భిన్నానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.

దశాంశ బిందువు లేకుండా, అసలు దశాంశ భిన్నం 00017 లాగా కనిపిస్తుంది, ఎడమ వైపున ఉన్న సున్నాలను విస్మరిస్తే మనకు కావలసిన సాధారణ భిన్నం యొక్క లవం 17 వస్తుంది.

అసలు దశాంశ భిన్నం దశాంశ బిందువు తర్వాత 4 అంకెలను కలిగి ఉన్నందున, మేము హారంలో నాలుగు సున్నాలతో ఒకటి వ్రాస్తాము.

ఫలితంగా, మనకు సాధారణ భిన్నం 17/10,000 ఉంటుంది. ఈ భిన్నం తగ్గించలేనిది మరియు దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నానికి మార్చడం పూర్తయింది.

సమాధానం:

.

అసలైన చివరి దశాంశ భిన్నం యొక్క పూర్ణాంకం సున్నా కానిది అయినప్పుడు, అది వెంటనే సాధారణ భిన్నాన్ని దాటవేసి మిశ్రమ సంఖ్యగా మార్చబడుతుంది. ఇద్దాం చివరి దశాంశ భిన్నాన్ని మిశ్రమ సంఖ్యగా మార్చడానికి నియమం:

• దశాంశ బిందువు ముందు సంఖ్యను తప్పనిసరిగా కావలసిన మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క పూర్ణాంకం వలె వ్రాయాలి;
• పాక్షిక భాగం యొక్క న్యూమరేటర్‌లో మీరు ఎడమవైపు ఉన్న అన్ని సున్నాలను విస్మరించిన తర్వాత అసలు దశాంశ భిన్నం యొక్క పాక్షిక భాగం నుండి పొందిన సంఖ్యను వ్రాయాలి;
• పాక్షిక భాగం యొక్క హారంలో మీరు సంఖ్య 1 ను వ్రాయాలి, అసలు దశాంశ భిన్నంలో దశాంశ బిందువు తర్వాత అంకెలు ఉన్నంతవరకు కుడివైపున అనేక సున్నాలను జోడించండి;
• అవసరమైతే, ఫలిత మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క పాక్షిక భాగాన్ని తగ్గించండి.

దశాంశ భిన్నాన్ని మిశ్రమ సంఖ్యగా మార్చే ఉదాహరణను చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

దశాంశ భిన్నం 152.06005 మిశ్రమ సంఖ్యగా వ్యక్తపరచండి

హేతుబద్ధ సంఖ్య m/nని దశాంశ భిన్నం వలె వ్రాయడానికి, మీరు లవంను హారం ద్వారా విభజించాలి. ఈ సందర్భంలో, గుణకం పరిమిత లేదా అనంతమైన దశాంశ భిన్నం వలె వ్రాయబడుతుంది.

ఈ సంఖ్యను దశాంశ భిన్నం వలె వ్రాయండి.

పరిష్కారం. ప్రతి భిన్నం యొక్క లవంను దాని హారం ద్వారా కాలమ్‌గా విభజించండి: ఎ) 6ని 25తో భాగించండి; బి) 2ని 3తో భాగించండి; V) 1ని 2తో విభజించి, ఆపై ఫలిత భిన్నాన్ని ఒకదానికి జోడించండి - ఈ మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క పూర్ణాంకం.

ఇర్రెడ్యూసిబుల్ సాధారణ భిన్నాలు, దీని హారంలు ప్రధాన కారకాలను కలిగి ఉండవు 2 మరియు 5 , చివరి దశాంశ భిన్నం వలె వ్రాయబడ్డాయి.

IN ఉదాహరణ 1సందర్భంలో ఎ)హారం 25=5·5; సందర్భంలో V)హారం 2, కాబట్టి మనకు చివరి దశాంశాలు 0.24 మరియు 1.5 లభిస్తాయి. సందర్భంలో బి)హారం 3, కాబట్టి ఫలితం పరిమిత దశాంశంగా వ్రాయబడదు.

దీర్ఘ విభజన లేకుండా, 2 మరియు 5 కాకుండా ఇతర విభజనలను కలిగి లేని సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశ భిన్నంలోకి మార్చడం సాధ్యమేనా? దాన్ని గుర్తించండి! ఏ భిన్నాన్ని దశాంశం అని పిలుస్తారు మరియు భిన్నం బార్ లేకుండా వ్రాయబడుతుంది? సమాధానం: హారం 10తో భిన్నం; 100; 1000, మొదలైనవి. మరియు ఈ సంఖ్యలలో ప్రతి ఒక్కటి ఒక ఉత్పత్తి సమానంరెండు మరియు ఐదుల సంఖ్య. నిజానికి: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 మొదలైనవి.

పర్యవసానంగా, తగ్గించలేని సాధారణ భిన్నం యొక్క హారం "రెండు" మరియు "ఫైవ్స్" యొక్క ఉత్పత్తిగా సూచించబడాలి, ఆపై 2 మరియు (లేదా) 5 ద్వారా గుణించాలి, తద్వారా "రెండు" మరియు "ఫైవ్స్" సమానంగా మారతాయి. అప్పుడు భిన్నం యొక్క హారం 10 లేదా 100 లేదా 1000, మొదలైన వాటికి సమానంగా ఉంటుంది. భిన్నం యొక్క విలువ మారదని నిర్ధారించుకోవడానికి, మేము హారంను గుణించిన అదే సంఖ్యతో భిన్నం యొక్క లవంను గుణిస్తాము.

కింది సాధారణ భిన్నాలను దశాంశాలుగా వ్యక్తపరచండి:

పరిష్కారం. ఈ భిన్నాలలో ప్రతి ఒక్కటి తగ్గించలేనిది. ప్రతి భిన్నం యొక్క హారంను ప్రధాన కారకాలుగా పరిగణిద్దాం.

20=2·2·5. ముగింపు: ఒక "A" లేదు.

8=2·2·2. ముగింపు: మూడు “A”లు లేవు.

25=5·5. ముగింపు: రెండు "రెండు" లేదు.

వ్యాఖ్యానించండి.ఆచరణలో, వారు తరచుగా హారం యొక్క కారకాన్ని ఉపయోగించరు, కానీ కేవలం ప్రశ్న అడగండి: హారం ఎంత ద్వారా గుణించాలి, తద్వారా ఫలితం సున్నాలతో ఒకటిగా ఉంటుంది (10 లేదా 100 లేదా 1000, మొదలైనవి). ఆపై న్యూమరేటర్ అదే సంఖ్యతో గుణించబడుతుంది.

కాబట్టి, సందర్భంలో ఎ)(ఉదాహరణ 2) సంఖ్య 20 నుండి మీరు 5 ద్వారా గుణించడం ద్వారా 100 పొందవచ్చు, కాబట్టి, మీరు న్యూమరేటర్ మరియు హారంను 5 ద్వారా గుణించాలి.

సందర్భంలో బి)(ఉదాహరణ 2) సంఖ్య 8 నుండి 100 సంఖ్య పొందబడదు, కానీ 1000 సంఖ్యను 125తో గుణించడం ద్వారా పొందబడుతుంది. భిన్నంలోని న్యూమరేటర్ (3) మరియు హారం (8) రెండూ 125తో గుణించబడతాయి.

సందర్భంలో V)(ఉదాహరణ 2) 25 నుండి మీరు 4తో గుణిస్తే 100 వస్తుంది. దీని అర్థం 8ని 4తో గుణించాలి.

ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ అంకెలు ఒకే క్రమంలో పునరావృతమయ్యే అనంతమైన దశాంశ భిన్నం అంటారు ఆవర్తనదశాంశంగా. పునరావృతమయ్యే అంకెల సమితిని ఈ భిన్నం యొక్క కాలం అంటారు. సంక్షిప్తత కోసం, ఒక భిన్నం యొక్క కాలం ఒకసారి వ్రాయబడుతుంది, కుండలీకరణాల్లో జతచేయబడుతుంది.

సందర్భంలో బి)(ఉదాహరణ 1) ఒకే ఒక పునరావృత అంకె ఉంది మరియు 6కి సమానం. కాబట్టి, మా ఫలితం 0.66... ​​ఇలా వ్రాయబడుతుంది: 0,(6) . వారు చదువుతారు: సున్నా పాయింట్, పీరియడ్‌లో ఆరు.

దశాంశ బిందువు మరియు మొదటి వ్యవధి మధ్య ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ పునరావృతం కాని అంకెలు ఉంటే, అటువంటి ఆవర్తన భిన్నాన్ని మిశ్రమ ఆవర్తన భిన్నం అంటారు.

తగ్గించలేని సాధారణ భిన్నం దీని హారం ఇతరులతో కలిసిగుణకం గుణకం కలిగి ఉంటుంది 2 లేదా 5 , కు మారుతుంది కలిపినఆవర్తన భిన్నం.