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이미 초등학교학생들은 분수를 만난다. 그리고 모든 주제에 등장합니다. 이 숫자를 사용한 작업은 잊을 수 없습니다. 따라서 일반 및 일반에 대한 모든 정보를 알아야합니다. 소수. 이러한 개념은 복잡하지 않으며 가장 중요한 것은 모든 것을 순서대로 이해하는 것입니다.
왜 분수가 필요한가요?
우리 주변의 세계는 전체 개체로 구성됩니다. 그러므로 주식은 필요하지 않습니다. 하지만 일상 생활사람들이 사물과 사물의 일부를 다루도록 끊임없이 강요합니다.
예를 들어 초콜릿은 여러 조각으로 구성됩니다. 그의 타일이 12개의 직사각형으로 형성된 상황을 생각해 보십시오. 2개로 나누면 6개가 됩니다. 쉽게 3가지로 나눌 수 있습니다. 하지만 5명에게 초콜릿 조각 전체를 주는 것은 불가능합니다.
그건 그렇고, 이 조각은 이미 분수입니다. 그리고 더 많은 분할로 인해 더 복잡한 숫자가 나타납니다.
"분수"란 무엇입니까?
이것은 단위의 부분으로 구성된 숫자입니다. 겉으로는 가로 또는 슬래시로 구분된 두 개의 숫자처럼 보입니다. 이 기능을 분수라고 합니다. 상단(왼쪽)에 적힌 숫자를 분자라고 합니다. 맨 아래(오른쪽)에 있는 것이 분모입니다.
본질적으로 슬래시는 나눗셈 기호로 밝혀졌습니다. 즉, 분자를 피제수, 분모를 제수라고 할 수 있습니다.
어떤 분수가 있나요?
수학에는 일반 분수와 소수 분수라는 두 가지 유형만 있습니다. 학생들이 처음으로 만나는 곳 초등학교, 간단히 "분수"라고 부릅니다. 후자는 5학년 때 배우게 됩니다. 그때 이런 이름이 나타납니다.
공통 분수는 한 줄로 구분된 두 개의 숫자로 작성된 모든 분수입니다. 예를 들어 4/7입니다. 소수는 소수 부분에 위치 표기법이 있고 전체 숫자와 쉼표로 구분된 숫자입니다. 예를 들어 4.7. 학생들은 주어진 두 예가 완전히 다른 숫자라는 것을 분명히 이해해야 합니다.
모든 단순 분수십진수 형태로 쓸 수 있다. 이 진술은 거꾸로 보면 거의 항상 참입니다. 소수를 공분수로 쓸 수 있는 규칙이 있습니다.
이러한 유형의 분수에는 어떤 하위 유형이 있습니까?
에서 시작하는 것이 더 좋습니다. 시간 순서, 연구 중입니다. 공통 분수가 먼저 옵니다. 그 중 5개의 아종이 구별될 수 있다.
옳은. 분자는 항상 분모보다 작습니다.
잘못된. 분자는 분모보다 크거나 같습니다.
축소 가능/환원 불가능. 그것은 맞을 수도 있고 틀릴 수도 있습니다. 또 중요한 것은 분자와 분모가 공통인수를 가지고 있는지 여부입니다. 만약 있다면, 분수의 두 부분을 나누어야 합니다. 즉, 줄여야 합니다.
혼합. 정수는 일반적인 정규(불규칙) 분수 부분에 할당됩니다. 게다가 항상 왼쪽에 있습니다.
합성물. 그것은 서로 나누어진 두 개의 분수로 구성됩니다. 즉, 한 번에 세 개의 분수 선이 포함됩니다.
소수에는 두 가지 하위 유형만 있습니다.
유한, 즉 분수 부분이 제한되어 있는 것(끝이 있음);
무한 - 소수점 이하의 숫자가 끝나지 않는 숫자(무한히 쓸 수 있음).
소수를 공통 분수로 변환하는 방법은 무엇입니까?
이것이 유한한 숫자라면 규칙에 따라 연관이 적용됩니다. 제가 듣기로는 그래서 글을 씁니다. 즉, 올바르게 읽고 적어야 하지만 쉼표는 없지만 분수 막대를 사용해야 합니다.
필수 분모에 대한 힌트로, 분모는 항상 하나와 여러 개의 0이라는 점을 기억해야 합니다. 문제의 숫자의 소수 부분에 있는 숫자만큼 후자를 써야 합니다.
정수 부분이 누락된 경우, 즉 0과 같은 경우 소수 분수를 일반 분수로 변환하는 방법은 무엇입니까? 예를 들어 0.9 또는 0.05입니다. 지정된 규칙을 적용한 후에는 0개의 정수를 써야 한다는 것이 밝혀졌습니다. 그러나 표시되어 있지 않습니다. 남은 것은 분수 부분을 적는 것뿐입니다. 첫 번째 숫자의 분모는 10이고 두 번째 숫자의 분모는 100입니다. 즉, 주어진 예에는 9/10, 5/100이라는 숫자가 답으로 표시됩니다. 게다가 후자는 5만큼 줄어들 수 있는 것으로 밝혀졌다. 따라서 이에 대한 결과는 1/20으로 써야 한다.
정수 부분이 0과 다른 경우 소수 분수를 어떻게 일반 분수로 변환할 수 있습니까? 예를 들어 5.23 또는 13.00108입니다. 두 예 모두 전체 부분을 읽고 해당 값을 기록합니다. 첫 번째 경우에는 5이고 두 번째 경우에는 13입니다. 그런 다음 분수 부분으로 이동해야 합니다. 그들에게도 동일한 작업이 수행되어야합니다. 첫 번째 숫자는 23/100, 두 번째 숫자는 108/100000으로 나타납니다. 두 번째 값을 다시 줄여야 합니다. 대답은 다음과 같습니다 대분수: 5 23/100 및 13 27/25000.
무한 소수를 일반 분수로 변환하는 방법은 무엇입니까?
비주기적이라면 그러한 작업은 불가능합니다. 이 사실은 각 소수 분수가 항상 유한 분수 또는 주기 분수로 변환된다는 사실에 기인합니다.
그러한 분수로 할 수 있는 유일한 일은 그것을 반올림하는 것입니다. 그러나 그러면 소수는 대략 그 무한과 같을 것입니다. 이미 평범한 것으로 바뀔 수 있습니다. 하지만 역과정: 십진수로 변환하면 초기 값이 제공되지 않습니다. 즉, 무한한 비주기 분수는 일반 분수로 변환되지 않습니다. 이것을 기억해야합니다.
무한 주기 분수를 일반 분수로 쓰는 방법은 무엇입니까?
이러한 숫자에는 소수점 이하에 반복되는 숫자가 항상 하나 이상 있습니다. 이를 기간이라고 합니다. 예를 들어 0.3(3)입니다. 여기서 "3"은 마침표 안에 있습니다. 일반 분수로 변환할 수 있기 때문에 유리수로 분류됩니다.
주기분수를 접한 사람들은 그것이 순수하거나 혼합될 수 있다는 것을 알고 있습니다. 첫 번째 경우 마침표는 쉼표부터 즉시 시작됩니다. 두 번째에서는 분수 부분이 일부 숫자로 시작한 다음 반복이 시작됩니다.
무한소수를 공통 분수로 써야 하는 규칙은 표시된 두 가지 유형의 숫자에 따라 다릅니다. 순수주기분수를 일반분수로 쓰는 것은 아주 쉽습니다. 유한한 것과 마찬가지로 변환이 필요합니다. 분자에 마침표를 적으면 분모는 숫자 9가 되며 마침표에 포함된 자릿수만큼 반복됩니다.
예를 들어 0,(5)입니다. 숫자에는 정수 부분이 없으므로 즉시 분수 부분부터 시작해야 합니다. 분자에 5, 분모에 9를 쓰면, 답은 분수 5/9가 됩니다.
혼합된 일반 십진주기 분수를 쓰는 방법에 대한 규칙입니다.
기간을 살펴보세요. 이것이 분모에 9가 몇 개나 들어있는지입니다.
분모를 적어보세요. 처음에는 9, 그다음에는 0입니다.
분자를 결정하려면 두 숫자의 차이를 적어야 합니다. 소수점 이하의 모든 숫자는 마침표와 함께 축소됩니다. Deductible - 기간이 없습니다.
예를 들어, 0.5(8) - 주기 소수를 공통 분수로 씁니다. 마침표 앞의 소수 부분에는 한 자리 숫자가 포함됩니다. 따라서 0이 하나 있을 것입니다. 또한 해당 기간에는 8이라는 숫자가 하나만 있습니다. 즉, 9가 하나만 있습니다. 즉, 분모에 90을 써야 합니다.
분자를 결정하려면 58에서 5를 빼야 합니다. 결과는 53입니다. 예를 들어 답을 53/90으로 써야 합니다.
분수는 어떻게 소수로 변환되나요?
제일 간단한 옵션분모에 숫자 10, 100 등이 포함된 숫자로 판명됩니다. 그런 다음 분모는 단순히 폐기되고 분수와 분수 사이에는 부분적으로 전체쉼표가 추가됩니다.
분모가 쉽게 10, 100 등으로 변하는 상황이 있습니다. 예를 들어 숫자 5, 20, 25. 각각 2, 5, 4를 곱하면 충분합니다. 분모뿐만 아니라 분자에도 같은 숫자를 곱하면됩니다.
다른 모든 경우에는 분자를 분모로 나누는 간단한 규칙이 유용합니다. 이 경우 유한 소수 또는 주기 소수라는 두 가지 가능한 답을 얻을 수 있습니다.
일반 분수를 사용한 연산
덧셈과 뺄셈
학생들은 다른 사람들보다 먼저 그들을 알게됩니다. 그리고 먼저 분수에 대해 같은 분모, 그런 다음 다릅니다. 일반 규칙이런 계획으로 축소될 수 있습니다.
분모의 최소공배수를 구합니다.
모든 일반 분수에 대한 추가 인수를 작성합니다.
분자와 분모에 지정된 인수를 곱합니다.
분수의 분자를 더하고(빼고) 공통분모는 그대로 둡니다.
피감수의 분자가 감수보다 작으면 대분수인지 진분수인지 알아내야 합니다.
첫 번째 경우에는 전체 부분에서 하나를 빌려야 합니다. 분수의 분자에 분모를 더합니다. 그리고 뺄셈을 하세요.
두 번째에서는 작은 수에서 큰 수를 빼는 규칙을 적용해야 합니다. 즉, 빼기 모듈에서 빼기 모듈을 빼고 이에 대한 응답으로 "-"기호를 입력합니다.
덧셈(뺄셈)의 결과를 주의 깊게 살펴보세요. 가분수를 얻으면 전체 부분을 선택해야 합니다. 즉, 분자를 분모로 나누는 것입니다.
곱셈과 나눗셈
이를 수행하기 위해 분수를 공통 분모로 줄일 필요는 없습니다. 이렇게 하면 작업을 더 쉽게 수행할 수 있습니다. 하지만 여전히 규칙을 따르도록 요구합니다.
분수를 곱할 때는 분자와 분모에 있는 숫자를 살펴봐야 합니다. 분자와 분모에 공통 인수가 있으면 축소할 수 있습니다.
분자를 곱합니다.
분모를 곱하세요.
결과가 기약분수이면 다시 단순화해야 합니다.
나눌 때 먼저 나눗셈을 곱셈으로 바꾸고, 제수(두 번째 분수)를 역분수(분자와 분모 바꾸기)로 바꿔야 합니다.
그런 다음 곱셈을 진행합니다(포인트 1부터 시작).
정수로 곱(나누)해야 하는 작업에서는 후자를 다음 형식으로 작성해야 합니다. 가분수. 즉, 분모가 1인 경우입니다. 그런 다음 위에서 설명한 대로 작동합니다.
소수를 사용한 연산
덧셈과 뺄셈
물론, 언제든지 소수를 분수로 변환할 수 있습니다. 그리고 이미 설명한 계획에 따라 행동하십시오. 그러나 때로는 이러한 번역 없이 행동하는 것이 더 편리할 때도 있습니다. 그러면 덧셈과 뺄셈의 규칙은 완전히 동일해집니다.
숫자의 소수 부분, 즉 소수점 이하의 자릿수를 동일하게 만듭니다. 누락된 0의 수를 추가합니다.
쉼표가 쉼표 아래에 오도록 분수를 쓰세요.
자연수처럼 더하기(빼기).
쉼표를 제거하세요.
곱셈과 나눗셈
여기에 0을 추가할 필요가 없다는 것이 중요합니다. 분수는 예제에 주어진 대로 남겨두어야 합니다. 그런 다음 계획대로 진행하십시오.
곱하려면 쉼표를 무시하고 분수를 하나씩 적어야 합니다.
자연수처럼 곱하세요.
답의 오른쪽 끝부터 두 요소의 분수 부분에 있는 자릿수만큼 계산하여 답에 쉼표를 넣으세요.
나누려면 먼저 제수를 자연수로 변환해야 합니다. 즉, 제수의 분수 부분에 있는 자릿수에 따라 10, 100 등을 곱합니다.
배당금에 같은 숫자를 곱합니다.
소수를 자연수로 나눕니다.
전체 부분의 분할이 끝나는 순간 답에 쉼표를 넣으세요.
하나의 예에 두 가지 유형의 분수가 모두 포함되어 있으면 어떻게 될까요?
예, 수학에는 일반 분수와 소수 분수에 대한 연산을 수행해야 하는 예가 종종 있습니다. 이러한 작업에는 두 가지 가능한 솔루션이 있습니다. 객관적으로 수치를 따져보고 최적의 수치를 선택해야 합니다.
첫 번째 방법: 일반 소수 표현
분할하거나 번역할 때 다음과 같은 경우에 적합합니다. 최종 분수. 적어도 하나의 숫자가 주기적인 부분을 제공하는 경우 이 기술은 금지됩니다. 따라서 일반적인 분수를 사용하는 것을 좋아하지 않더라도 분수를 세어야 합니다.
두 번째 방법: 소수 분수를 일반 분수로 씁니다.
이 기술은 소수점 이하의 숫자가 1~2자리인 경우 편리한 것으로 나타났습니다. 그 이상 있으면 엄청 커질 수 있어요 공통 분수십진수 표기법을 사용하면 작업을 더 빠르고 쉽게 계산할 수 있습니다. 따라서 항상 작업을 냉정하게 평가하고 가장 간단한 해결 방법을 선택해야 합니다.
무한소수
소수점 이하의 소수에는 무한한 자릿수가 포함될 수 있습니다.
무한소수- 이것은 무한한 자릿수를 포함하는 소수입니다.
무한한 소수는 완전하게 적는 것이 거의 불가능하기 때문에 적을 때 소수점 이하의 특정 유한 자릿수로만 제한하고 그 뒤에는 무한히 연속되는 자릿수를 나타내는 줄임표를 넣습니다.
실시예 1
예를 들어 $0.443340831\dots ; 3.1415935432\점 ; 135.126730405\점 ; 4.33333333333\점 ; 676.68349349\점$.
마지막 두 무한소수를 살펴보겠습니다. 분수 $4.33333333333\dots$에서는 숫자 $3$가 끝없이 반복되고, 분수 $676.68349349\dots$에서는 소수점 세 번째 자리부터 $3$, $4$, $9$의 숫자 그룹이 반복됩니다. 이러한 무한 소수를 주기적이라고 합니다.
주기소수
주기소수(또는 주기적 분수)은 무한 소수점 분수로, 기록에서 분수의 주기라고 불리는 일부 숫자 또는 숫자 그룹이 특정 소수점 이하 자릿수에서 끝없이 반복됩니다.
실시예 2
예를 들어, 주기 분수 $4.33333333333\dots$의 마침표는 숫자 $3$이고, 분수 $676.68349349\dots$의 마침표는 숫자 $349$의 그룹입니다.
무한 주기 소수를 간결하게 작성하기 위해 마침표를 한 번만 작성하고 괄호로 묶는 것이 일반적입니다. 예를 들어, 주기 분수 $4.33333333333\dots$는 $4,(3)$로 쓰여지고, 주기 분수 $676.68349349\dots$는 $676.68(349)$로 쓰여집니다.
무한 주기 소수는 분모에 $2$ 및 $5$ 이외의 소인수를 포함하는 공통 분수를 소수로 변환하여 얻습니다.
모든 유한소수 분수(및 정수)는 오른쪽에 무한 자릿수 $0$를 추가하여 주기 분수로 쓸 수 있습니다.
실시예 3
예를 들어, 유한 소수 $45.12$는 $45.12(0)$와 같이 주기 분수로 쓸 수 있고, 무한 주기 소수인 정수 $(74)$는 $74(0)$가 됩니다.
언제 주기적 분수, 기간이 9인 경우 기간이 $0$인 주기 분수의 다른 표기법으로 전환을 사용합니다. 이 목적을 위해서만 마침표 9는 $0$로 대체되고 다음으로 높은 숫자의 값은 $1$만큼 증가합니다.
실시예 4
예를 들어, 주기 분수 $7.45(9)$는 주기 분수 $7.46(0)$ 또는 이에 상응하는 소수 $7.46$로 대체될 수 있습니다.
무한 소수 주기 분수는 유리수로 표시됩니다. 즉, 임의의 주기분수는 공통분수로 변환될 수 있고, 임의의 공통분수는 주기분수로 표시될 수 있습니다.
분수를 유한 및 무한 주기소수로 변환
분모가 $10, 100, \dots$인 일반 분수만 소수로 변환할 수 있는 것은 아닙니다.
어떤 경우에는 원래의 공통 분수를 $10$, $100$ 또는 $1\000$의 분모로 쉽게 줄일 수 있으며 그 후에 결과 분수는 소수로 표시될 수 있습니다.
실시예 5
분수 $\frac(3)(5)$를 분모가 $10$인 분수로 변환하려면 분수의 분자와 분모에 $2$를 곱해야 합니다. 그러면 $\frac(6)( 10)$, 소수 $0.6$로 번역하는 것은 어렵지 않습니다.
다른 경우에는 공통 분수를 소수로 변환하는 또 다른 방법이 사용됩니다.
분자는 소수점 이하 0이 있는 소수로 대체되어야 합니다.
분수의 분자를 분모로 나눕니다 (나누기는 자연수를 열로 나누는 방식으로 수행되며 몫에서는 전체 부분의 나누기가 끝난 뒤에 소수점이 배치됩니다).
실시예 6
분수 $\frac(621)(4)$를 소수로 변환하세요.
해결책.
분자에 있는 숫자 $621$을 소수로 표현해 보겠습니다. 이렇게 하려면 소수점 하나를 추가하고 그 뒤에 0을 두 개 추가하세요. 그런 다음 필요한 경우 0을 더 추가할 수 있습니다. 그래서 우리는 $621.00$를 받았습니다.
숫자 $621.00$를 $4$로 열로 나누어 보겠습니다.
그림 1.
나눗셈이 배당금에서 소수점까지 도달했고 나머지가 0이 아니었습니다. 이 경우 몫에 소수점이 배치되고 쉼표에 관계없이 나눗셈이 열에서 계속됩니다.
그림 2.
나머지가 0이므로 나눗셈이 끝났음을 의미합니다.
답변: $155,25$.
일반 분수의 분자와 분모를 나눌 때 나머지가 $0$가 되지 않을 수도 있습니다. 이 경우 분할은 무기한으로 계속될 수 있습니다. 어떤 순간부터 나눗셈의 나머지가 주기적으로 반복되는데, 이는 몫의 숫자도 반복된다는 의미입니다. 이것으로부터 우리는 이 일반 분수가 무한 주기 소수 분수로 변환된다는 결론을 내릴 수 있습니다.
실시예 7
분수 $\frac(19)(44)$를 소수로 변환하세요.
해결책.)
공통 분수를 소수로 변환하려면 장제법을 수행하십시오.
그림 3.
나눗셈에서는 나머지 $8$과 $36$이 반복되고, 몫에서는 숫자 $1$과 $8$도 반복됩니다. 따라서 원래의 일반 분수 $\frac(19)(44)$는 주기 분수 $\frac(19)(44)=0.43181818\dots =0.43(18)$로 변환되었습니다.
답변: $0,43(18)$.
일반 분수를 소수로 변환하는 것에 대한 일반적인 결론:
분모를 소인수로 분해할 수 있고 그 중 숫자 $2$와 $5$만 존재하는 경우 이러한 분수는 최종 소수점 분수로 변환될 수 있습니다.
숫자 $2$ 및 $5$ 외에도 분모의 확장에 다른 소수가 포함된 경우 해당 분수는 무한 소수 주기 분수로 변환됩니다.
공통 분수를 소수로 변환한다는 것은 주어진 공통 분수와 같은 소수 분수를 찾는 것을 의미합니다. 일반 분수를 소수로 변환할 때 두 가지 경우가 발생합니다.
1) 일반 분수를 소수로 변환할 수 있는 경우 정확히;
2) 일반 분수를 소수로만 변환할 수 있는 경우 약. 이러한 경우를 순차적으로 고려해 보겠습니다.
1. 일반 분수를 소수로 변환하는 방법, 즉 일반 분수를 이와 동일한 소수로 바꾸는 방법은 무엇입니까?
일반 분수가 가능한 경우 정확히십진수로 변환하면 다음과 같습니다. 두 가지 방법그런 치료.
한 분수를 첫 번째 분수와 같은 다른 분수로 바꾸는 방법이나 첫 번째 값을 변경하지 않고 한 분수에서 다른 분수로 이동하는 방법을 기억해 봅시다. 분수를 공통 분모로 줄일 때(§86) 이 작업을 수행했습니다. 분수를 공통 분모로 줄이는 경우 다음과 같이 진행합니다. 이러한 분수의 공통 분모를 찾고, 각 분수에 대한 추가 인수를 계산한 다음, 각 분수의 분자와 분모에 이 인수를 곱합니다.
이것을 알아차렸으니, 기약분수 3/20을 소수로 변환해 봅시다. 이 분수의 분모는 20이지만 0이 있는 1로 표시되는 다른 분모로 가져와야 합니다. 우리는 1 뒤에 0이 오는 가장 작은 분모를 찾을 것입니다.
첫 번째 방법분수를 소수로 변환하는 것은 분모를 소인수로 분해하는 것을 기반으로 합니다.
제품이 1 다음에 0으로 표시되도록 20을 곱하는 데 필요한 숫자를 찾아야합니다. 이를 알아보려면 먼저 1과 0으로 표시되는 숫자가 어떤 소인수로 분해되는지 기억해야 합니다. 분해는 다음과 같습니다.
10 = 2 5,
100 = 2 2 5 . 5,
1 000 = 2 2 2 5 5 5,
10 000 = 2 2 2 2 5 5 5 5.
0이 포함된 1로 표시되는 숫자는 2와 5로만 분해되고 확장에는 다른 요소가 없음을 알 수 있습니다. 또한, 같은 번호의 확장에는 2와 5가 포함됩니다. 그리고 마지막으로, 이들 요인과 다른 요인의 수는 주어진 숫자의 이미지에서 0 뒤에 오는 0의 수와 같습니다.
이제 20이 어떻게 소인수로 분해되는지 살펴보겠습니다: 20 = 2 2 5. 이것으로부터 숫자 20의 분해에는 2개의 2와 1개의 5가 있다는 것이 분명합니다. 즉, 이 요소들에 5를 더하면 0이 포함된 1로 표시되는 숫자를 얻게 됩니다. 즉, 분모가 20이 아닌 0이 있는 1로 표현되는 숫자를 가지려면 20에 5를 곱해야 하고, 분수의 값이 변하지 않도록 분자에 5를 곱해야 합니다. , 즉.
따라서 일반 분수를 소수로 변환하려면 이 일반 분수의 분모를 소인수로 분해한 다음 그 안의 2와 5의 수를 동일하게 만들어 (물론 분자에도) ) 필요한 수에 누락된 요소가 있습니다.
이 결론을 일부 분수에 적용해 보겠습니다.
3/50을 십진수로 변환합니다. 이 분수의 분모는 다음과 같이 전개됩니다.
이는 듀스가 하나 누락되었음을 의미합니다. 추가해 보겠습니다.
7/40을 십진수로 변환합니다.
이 분수의 분모는 다음과 같이 분해됩니다: 40 = 2 2 2 5, 즉 2개의 5가 누락되었습니다. 이를 분자와 분모에 인수로 도입해 보겠습니다.
위에서 언급한 것으로부터 어떤 일반 분수가 정확히 소수로 변환되는지 결론을 내리는 것은 어렵지 않습니다. 분모에 2와 5 이외의 다른 소인수를 포함하지 않는 환원 불가능한 일반 분수가 정확히 소수로 변환된다는 것은 매우 분명합니다. 일부 일반 분수를 뒤집어서 얻은 소수는 축소 후 일반 분수의 분모에 수치적으로 우세한 인수 2 또는 5가 포함된 횟수만큼 소수 자릿수를 갖습니다.
분수 9/40을 취하면 먼저 분모에 2 2 2 5 요소가 포함되어 있기 때문에 소수점 이하 자릿수로 바뀌고 두 번째로 결과 소수점 이하 자릿수는 수치 적으로 지배적 인 요소 2 세 번 확장에 들어갑니다. 물론:
두 번째 방법(분자를 분모로 나누어서)
3/4를 소수로 변환한다고 가정해 보겠습니다. 우리는 3/4가 3을 4로 나눈 몫이라는 것을 알고 있습니다. 우리는 3을 4로 나누어 이 몫을 찾을 수 있습니다. 이렇게 합시다:
따라서 3/4 = 0.75입니다.
또 다른 예: 5/8을 소수로 변환합니다.
따라서 5/8 = 0.625입니다.
따라서 분수를 소수로 변환하려면 분수의 분자를 분모로 나누면 됩니다.
2. 이제 단락 시작 부분에 표시된 두 번째 경우, 즉 일반 분수를 정확한 소수로 변환할 수 없는 경우를 고려해 보겠습니다.
분모에 2와 5 이외의 소인수가 포함된 일반 기약 분수는 정확히 소수로 변환할 수 없습니다. 실제로, 예를 들어 분수 8/15는 분모 15가 3과 5라는 두 가지 요소로 분해되므로 소수로 변환할 수 없습니다.
분모에서 삼중 요소를 제거할 수 없으며, 주어진 분모에 삼중 요소를 곱한 후 결과가 1 뒤에 0이 오는 식으로 정수를 선택할 수도 없습니다.
그러한 경우에 대해서만 이야기할 수 있습니다. 근사일반 분수를 소수로.
어떻게 이루어졌나요? 이는 공통 분수의 분자를 분모로 나누어 수행됩니다. 즉, 이 경우 공통 분수를 소수로 변환하는 두 번째 방법이 사용됩니다. 이는 이 방법이 정확하고 대략적인 처리에 사용된다는 것을 의미합니다.
분수가 정확히 소수로 변환되면 나눗셈은 최종 소수 분수를 생성합니다.
일반 분수가 정확한 소수로 변환되지 않으면 나눗셈은 무한 소수 분수를 생성합니다.
끝없이 나눗셈을 할 수 없기 때문에 소수점 이하 자리에서 멈추는 것, 즉 대략적인 나눗셈을 해야 합니다. 예를 들어 소수점 첫째 자리에서 나누기를 중단할 수 있습니다. 즉, 10분의 1로 제한할 수 있습니다. 필요한 경우 소수점 이하 두 번째 자리에서 멈추고 백분의 일 등을 얻을 수 있습니다. 이 경우 무한한 소수점 이하 자릿수를 반올림한다고 말합니다. 이 문제를 해결하는 데 필요한 정확도로 반올림이 수행됩니다.
§ 115. 주기 분수의 개념.
하나 이상의 숫자가 항상 동일한 순서로 반복되는 영구 소수를 주기 소수라고 합니다. 예를 들어:
0,33333333...; 1,12121212...; 3,234234234...
반복되는 숫자의 집합을 호출합니다. 기간이 분수. 위에 쓰여진 분수 중 첫 번째 분수의 기간은 3이고, 두 번째 분수의 기간은 12이며, 세 번째 분수의 기간은 234입니다. 이는 기간이 1, 2, 3 등 여러 자릿수로 구성될 수 있음을 의미합니다. 반복되는 첫 번째 숫자 집합을 첫 번째 기간이라고 하고, 두 번째 집합을 전체 - 두 번째 기간 등이라고 합니다.
주기분수는 순수분수이거나 혼합분수일 수 있습니다. 주기분수는 주기가 소수점 바로 다음에 시작하는 경우 순수분수라고 합니다. 이는 위에 쓰여진 주기 분수가 순수하다는 것을 의미합니다. 반대로, 소수점과 첫 번째 마침표 사이에 하나 이상의 반복되지 않는 숫자가 있는 경우 주기 분수를 혼합이라고 합니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
2,5333333...; 4,1232323232...; 0,2345345345345... 160
문자를 줄이려면 마침표를 괄호 안에 한 번 쓰고 괄호 뒤에 타원을 넣지 마십시오. 즉, 0.33 대신... 0,(3)을 쓸 수 있습니다. 2.515151 대신... 2,(51)을 쓸 수 있습니다. 0.2333 대신... 0.2(3)을 쓸 수 있습니다. 0.8333 대신... 0.8(3)을 쓸 수 있습니다.
주기 분수는 다음과 같이 읽습니다.
0,(3) - 정수 0개, 마침표 3개.
7,2(3) - 정수 7개, 마침표 앞에 2개, 마침표에 3개.
5.00(17) - 정수 5개, 마침표 앞에 0 두 개, 마침표에 17개.
주기적 분수는 어떻게 발생합니까? 우리는 분수를 소수로 변환할 때 두 가지 경우가 있을 수 있다는 것을 이미 살펴보았습니다.
첫째로, 일반적인 기약 분수의 분모는 2와 5 이외의 요소를 포함하지 않습니다. 이 경우 일반 분수는 마지막 소수가 됩니다.
둘째,일반적인 기약 분수의 분모는 2와 5 이외의 소인수를 포함합니다. 이 경우 일반 분수는 마지막 소수로 바뀌지 않습니다. 그 안에 후자의 경우분자를 분모로 나누어 분수를 소수로 변환하려고 하면 결과는 다음과 같습니다. 무한 분수, 이는 항상 주기적입니다.
이를 확인하기 위해 예를 살펴보겠습니다. 분수 18/7을 소수로 변환해 보겠습니다.
물론 우리는 그러한 분모를 가진 분수를 마지막 소수로 변환할 수 없다는 것을 미리 알고 있으며 대략적인 변환에 대해서만 이야기하고 있습니다. 분자 18을 분모 7로 나눕니다.
몫에는 소수점 8자리가 있습니다. 어차피 분할은 끝나지 않기 때문에 더 이상 분할을 계속할 필요가 없습니다. 그러나 이것으로부터 나눗셈이 무한정 계속될 수 있고 따라서 몫에서 새로운 숫자를 얻을 수 있다는 것이 분명합니다. 우리에게는 항상 남은 음식이 있기 때문에 이러한 새로운 숫자가 발생할 것입니다. 그러나 나머지는 제수(우리의 경우 7)보다 클 수 없습니다.
우리가 가지고 있는 잔고를 살펴보겠습니다. 4; 5; 1; 삼; 2; b, 즉 이것은 7보다 작은 숫자였습니다. 분명히 그 중 6개 이상이 있을 수 없으며 나눗셈이 계속되면 반복되어야 하며 그 뒤에는 몫의 숫자가 반복됩니다. 위의 예는 이 아이디어를 확인합니다: 몫의 소수점 이하 자릿수는 571428이며 그 후에 숫자 57이 다시 나타납니다. 이는 첫 번째 기간이 끝나고 두 번째 기간이 시작됨을 의미합니다.
따라서, 공통 분수를 반전하여 얻은 무한 소수 분수는 항상 주기적입니다.
문제를 풀 때 주기적인 분수가 발견되면 문제의 조건에 필요한 정확도(10분의 1, 100분의 1, 1000분의 1 등)로 분수를 가져옵니다.
§ 116. 일반 분수와 소수를 사용한 공동 조치.
다양한 문제를 풀다 보면 문제에 일반 분수와 소수가 모두 포함되는 경우가 있습니다.
이 경우 다른 방법으로 갈 수 있습니다.
1. 모든 분수를 소수로 변환하세요.이는 소수 분수를 사용한 계산이 일반 분수 계산보다 쉽기 때문에 편리합니다. 예를 들어,
분수 3/4과 1 1/5을 소수로 변환해 보겠습니다.
2. 모든 분수를 일반 분수로 변환하세요.이것은 마지막 소수로 바뀌지 않는 일반 분수가 있는 경우에 가장 자주 수행됩니다.
예를 들어, 
소수를 일반 분수로 변환해 보겠습니다.
3. 일부 분수를 다른 분수로 변환하지 않고 계산이 수행됩니다.
이는 예제에 곱셈과 나눗셈만 포함된 경우에 특히 유용합니다. 예를 들어,
다음과 같이 예제를 다시 작성해 보겠습니다.
4. 어떤 경우에는 모든 분수를 소수로 변환(주기적인 것으로 바뀌는 것조차도) 대략적인 결과를 찾습니다. 예를 들어,
2/3을 소수로 변환하여 천분의 일로 제한합시다.
분할 작업에는 여러 주요 구성 요소의 참여가 포함됩니다. 그 중 첫 번째는 소위 배당금, 즉 분할 절차의 대상이 되는 숫자입니다. 두 번째는 제수, 즉 나누기가 수행되는 숫자입니다. 세 번째는 몫, 즉 배당금을 제수로 나눈 연산의 결과이다.
분할 결과
두 개의 양의 정수를 피제수와 제수로 사용할 때 얻을 수 있는 가장 간단한 결과는 또 다른 양의 정수입니다. 예를 들어 6을 2로 나누면 몫은 3이 됩니다. 피제수가 제수인 경우, 즉 나머지 없이 제수로 나누는 경우 이러한 상황이 가능합니다.그러나 나머지 없이 나누기 연산을 수행하는 것이 불가능한 경우 다른 옵션이 있습니다. 이 경우, 정수가 아닌 숫자는 몫이 되는데, 이는 정수와 분수부의 조합으로 쓸 수 있습니다. 예를 들어 5를 2로 나누면 몫은 2.5가 됩니다.
기간 내 수
배당금이 제수의 배수가 아닌 경우 발생할 수 있는 옵션 중 하나는 소위 기간 수입니다. 몫이 끝없이 반복되는 숫자 집합인 경우 나눗셈의 결과로 발생할 수 있습니다. 예를 들어 숫자 2를 3으로 나누면 마침표 안에 숫자가 나타날 수 있습니다. 이 경우 결과는 소수점 이하 6자리의 무한한 숫자의 조합으로 표현됩니다.이러한 분할의 결과를 표시하기 위해 발명되었습니다. 특별한 방법마침표 안에 숫자 쓰기: 이러한 숫자는 반복되는 숫자를 괄호 안에 넣어 표시합니다. 예를 들어, 2를 3으로 나눈 결과는 이 방법을 사용하여 0,(6)으로 작성됩니다. 이 표기법은 나눗셈으로 인해 발생한 숫자의 일부만 반복되는 경우에도 적용됩니다.
예를 들어, 5를 6으로 나누면 결과는 0.8(3) 형식의 주기수가 됩니다. 이 방법을 사용하는 것은 첫째, 마침표에 있는 숫자의 전체 또는 일부를 적는 것보다 더 효과적이며, 둘째, 그러한 숫자를 전송하는 다른 방법인 반올림에 비해 정확도가 더 높습니다. 이 숫자의 크기를 비교할 때 해당 값을 사용하여 마침표의 숫자를 정확한 소수 부분과 구별할 수 있습니다. 따라서 예를 들어 0.(6)이 0.6보다 훨씬 크다는 것은 명백합니다.
이 기사는 소수. 여기에서는 분수의 소수 표기법을 이해하고 소수 분수의 개념을 소개하며 소수 분수의 예를 제공합니다. 다음으로 소수의 자릿수에 대해 이야기하고 자릿수의 이름을 알려드리겠습니다. 그 후에는 무한소수 분수에 초점을 맞추고 주기 분수와 비주기 분수에 대해 이야기해 보겠습니다. 다음으로 소수점 이하의 기본 연산을 나열합니다. 결론적으로 좌표빔에서 소수점 이하의 위치를 설정해 보겠습니다.
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분수의 10진수 표기
소수 읽기
소수를 읽는 규칙에 대해 몇 마디 말해 보겠습니다.
고유한 일반 분수에 해당하는 소수 분수는 이러한 일반 분수와 동일한 방식으로 읽혀지며 먼저 "0의 정수"만 추가됩니다. 예를 들어, 소수점 이하 0.12는 공통 분수 12/100(“십이백분의 일”로 읽음)에 해당하므로 0.12는 “영점 십이백분의 일”로 읽습니다.
대분수에 해당하는 소수는 이러한 대분수와 정확히 동일하게 읽혀집니다. 예를 들어, 소수 56.002는 대분수에 해당하므로 소수 56.002는 "오십육포인트이천분의 1"로 읽혀집니다.
소수점 이하 자릿수
소수점 이하의 분수를 쓸 때뿐만 아니라 쓰기에서도 자연수, 각 숫자의 의미는 위치에 따라 다릅니다. 실제로 소수점 이하 0.3의 숫자 3은 10분의 3을 의미하고, 소수점 이하 자릿수는 0.0003 - 3만분의 1, 소수점 이하 자릿수는 30,000.152 - 3만을 의미합니다. 그래서 우리는 다음에 대해 이야기 할 수 있습니다 소수점 자리, 자연수의 숫자에 대해서도 마찬가지입니다.
소수점 이하의 소수점 이하 자릿수 명칭은 자연수의 자릿수 명칭과 완전히 일치합니다. 그리고 소수점 이하 소수점 이하 자릿수 명칭은 다음 표를 보면 알 수 있다.
예를 들어, 소수 37.051에서 숫자 3은 십의 자리, 7은 단위의 자리, 0은 십의 자리, 5는 백의 자리, 1은 천의 자리를 나타냅니다.
소수점 이하 자릿수 역시 우선순위가 다릅니다. 소수를 작성할 때 숫자에서 숫자로 왼쪽에서 오른쪽으로 이동하면 다음에서 이동합니다. 어른에게 후배 계급. 예를 들어, 백의 자리는 십의 자리보다 오래된 것이고, 백만의 자리는 백의 자리보다 낮습니다. 주어진 최종 소수점 이하에서는 주요 숫자와 소수 숫자에 대해 이야기할 수 있습니다. 예를 들어, 소수점 이하 604.9387 선배 (최고)그 곳은 수백 곳이고, 주니어 (최하위)- 만분의 일 자리.
소수의 경우 숫자로의 확장이 발생합니다. 이는 자연수의 자릿수로의 확장과 유사합니다. 예를 들어, 45.6072를 소수점 이하 자릿수로 확장하면 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002입니다. 그리고 소수를 숫자로 분해하는 덧셈의 속성을 사용하면 이 소수의 다른 표현으로 이동할 수 있습니다(예: 45.6072=45+0.6072, 또는 45.6072=40.6+5.007+0.0002, 또는 45.6072= 45.0072+). 0.6.
소수점 끝
지금까지 우리는 소수점 뒤에 유한한 자릿수가 있는 표기법으로 소수에 대해서만 이야기했습니다. 이러한 분수를 유한소수라고 합니다.
정의.
소수점 끝- 이것은 유한한 수의 문자(숫자)를 포함하는 레코드인 소수입니다.
다음은 최종 소수 분수의 몇 가지 예입니다: 0.317, 3.5, 51.1020304958, 230,032.45.
그러나 모든 분수가 마지막 소수로 표시될 수 있는 것은 아닙니다. 예를 들어, 분수 5/13은 분모 10, 100, ... 중 하나를 갖는 동일한 분수로 대체될 수 없으므로 최종 소수 분수로 변환될 수 없습니다. 일반 분수를 소수로 변환하는 이론 섹션에서 이에 대해 더 자세히 설명하겠습니다.
무한소수: 주기분수와 비주기분수
소수점 뒤에 소수점 이하 자릿수를 쓸 때 무한한 자릿수의 가능성을 가정할 수 있습니다. 이 경우 소위 무한 소수점 이하 분수를 고려하게 될 것입니다.
정의.
무한소수- 이것은 무한한 자릿수를 포함하는 소수입니다.
무한한 소수점 이하 자릿수를 완전한 형태로 기록할 수 없다는 것은 분명합니다. 따라서 기록에서 우리는 소수점 이하의 특정 유한 자릿수로만 제한하고 무한히 연속되는 자릿수 시퀀스를 나타내는 줄임표를 넣습니다. 다음은 무한 소수점 분수의 몇 가지 예입니다: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152…
마지막 두 무한소수를 자세히 보면 분수 2.111111111... 끝없이 반복되는 숫자 1이 선명하게 보이고, 분수 69.74152152152...에서는 소수점 셋째 자리부터 반복되는 숫자군이 나옵니다. 1, 5, 2가 선명하게 보입니다. 이러한 무한 소수를 주기적이라고 합니다.
정의.
주기소수(또는 단순히 주기적 분수)은 끝없는 소수점 이하 자릿수로, 기록에서 특정 소수점 이하 자릿수부터 시작하여 일부 숫자 또는 숫자 그룹이 끝없이 반복됩니다. 분수의 기간.
예를 들어, 주기 분수 2.111111111...의 주기는 숫자 1이고, 분수 69.74152152152...의 주기는 152 형식의 숫자 그룹입니다.
무한 주기 소수의 경우 특별한 형식의 표기법이 채택됩니다. 간결함을 위해 마침표를 한 번만 기록하고 괄호 안에 넣기로 합의했습니다. 예를 들어, 주기 분수 2.111111111... 은 2,(1) 로 쓰여지고, 주기 분수 69.74152152152... 는 69.74(152) 로 쓰여집니다.
동일한 주기 소수에 대해 서로 다른 기간을 지정할 수 있다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 예를 들어, 주기 소수점 분수 0.73333...은 마침표가 3인 분수 0.7(3)으로 간주될 수 있고, 마침표가 33인 분수 0.7(33) 등으로 간주될 수 있습니다. 0.7 (3333), ... 주기율 0.73333 ...을 볼 수도 있습니다. 예: 0.733(3), 또는 예: 0.73(333) 등 여기에서 모호함과 불일치를 피하기 위해 우리는 가능한 모든 반복 숫자 시퀀스 중 가장 짧은 것을 소수점 이하의 가장 가까운 위치부터 소수점 이하로 간주하는 데 동의합니다. 즉, 소수점 이하 0.73333...의 주기는 한 자리 3의 수열로 간주되며, 주기성은 소수점 이하 두 번째 자리, 즉 0.73333...=0.7(3)부터 시작된다. 또 다른 예: 주기율 4.7412121212...의 주기는 12이며, 주기는 소수점 이하 세 번째 숫자부터 시작됩니다. 즉, 4.7412121212...=4.74(12)입니다.
무한소수주기분수는 분모에 2와 5 이외의 소인수가 포함된 일반 분수를 소수분수로 변환하여 얻습니다.
여기서는 주기가 9인 주기분수를 언급할 가치가 있습니다. 6.43(9) , 27,(9) 과 같은 분수의 예를 들어 보겠습니다. 이 분수는 주기가 0인 주기 분수에 대한 또 다른 표기법이며 일반적으로 주기가 0인 주기 분수로 대체됩니다. 이를 위해 기간 9는 기간 0으로 대체되고 다음으로 높은 숫자의 값은 1씩 증가됩니다. 예를 들어, 7.24(9) 형태의 주기 9를 갖는 분수는 7.25(0) 형태의 주기 0을 갖는 주기 분수 또는 동일한 최종 소수 분수 7.25로 대체됩니다. 또 다른 예: 4,(9)=5,(0)=5. 주기 9의 분수와 주기 0의 해당 분수의 동일성은 이러한 소수 분수를 동일한 일반 분수로 대체한 후에 쉽게 설정됩니다.
마지막으로 끝없이 반복되는 일련의 숫자를 포함하지 않는 무한 소수점 이하 분수에 대해 자세히 살펴보겠습니다. 이를 비주기적이라고 합니다.
정의.
반복되지 않는 소수(또는 단순히 비주기적인 분수)은 마침표가 없는 무한 소수입니다.
때때로 비주기 분수는 주기 분수와 유사한 형태를 갖습니다. 예를 들어 8.02002000200002...는 비주기 분수입니다. 이런 경우에는 차이점을 주의 깊게 살펴보아야 합니다.
비주기 분수는 일반 분수로 변환되지 않습니다. 무한 비주기 소수 분수는 무리수를 나타냅니다.
소수를 사용한 연산
소수 분수 연산 중 하나는 비교이며, 네 가지 기본 산술 함수도 정의되어 있습니다. 소수를 이용한 연산: 덧셈, 뺄셈, 곱셈과 나눗셈. 소수를 사용하여 각 동작을 개별적으로 고려해 봅시다.
소수의 비교본질적으로 비교되는 소수 부분에 해당하는 일반 분수의 비교를 기반으로 합니다. 그러나 소수를 일반 분수로 변환하는 것은 다소 노동집약적인 과정이고, 무한한 비주기 분수는 일반 분수로 표현할 수 없으므로 소수 분수의 자리별 비교를 사용하는 것이 편리합니다. 소수 부분의 자리별 비교는 자연수 비교와 유사합니다. 더 많은 것을 얻으려면 자세한 정보소수점 이하 분수 비교, 규칙, 예, 솔루션 등 기사의 자료를 연구하는 것이 좋습니다.
다음으로 넘어가자 다음 작업 - 소수의 곱셈. 유한 소수 분수의 곱셈은 소수 분수, 규칙, 예, 자연수 열의 곱셈 솔루션 빼기와 유사하게 수행됩니다. 주기 분수의 경우 곱셈을 일반 분수의 곱셈으로 줄일 수 있습니다. 차례로, 반올림 후 무한 비주기 소수 분수의 곱셈은 유한 소수 분수의 곱셈으로 감소됩니다. 추가 연구를 위해 소수 분수의 곱셈, 규칙, 예, 해법과 같은 기사의 자료를 권장합니다.
좌표 광선의 소수
점과 소수 사이에는 일대일 대응이 있습니다.
주어진 소수점 이하 자릿수에 해당하는 좌표 광선의 점이 어떻게 구성되는지 알아봅시다.
유한 소수 분수와 무한 주기 소수 분수를 동일한 일반 분수로 대체한 다음 좌표 광선에 해당 일반 분수를 구성할 수 있습니다. 예를 들어 소수 1.4는 공통 분수 14/10에 해당하므로 좌표 1.4의 점은 원점에서 양의 방향으로 단위 세그먼트의 10분의 1에 해당하는 14개 세그먼트만큼 제거됩니다.
소수는 주어진 소수를 숫자로 분해하는 것부터 시작하여 좌표 광선에 표시될 수 있습니다. 예를 들어, 16.3007=16+0.3+0.0007이므로 좌표 16.3007을 사용하여 점을 만들어야 한다고 가정하면 좌표 원점에서 16개의 단위 세그먼트(길이가 1/10인 3개의 세그먼트)를 순차적으로 배치하여 이 지점에 도달할 수 있습니다. 1개의 세그먼트로 구성되며, 길이는 단위 세그먼트의 1만분의 1에 해당하는 7개의 세그먼트로 구성됩니다.
이런 건축방식 십진수좌표 광선에서 무한 소수점 이하 자릿수에 해당하는 지점에 원하는 만큼 가까이 다가갈 수 있습니다.
때로는 무한한 소수점 이하 자릿수에 해당하는 점을 정확하게 그리는 것이 가능합니다. 예를 들어, 
, 그러면 이 무한 소수점 이하 1.41421...은 좌표 원점에서 한 변이 1 단위 세그먼트인 정사각형의 대각선 길이만큼 떨어진 좌표 광선의 한 점에 해당합니다.
좌표 광선의 주어진 지점에 해당하는 소수를 얻는 역과정은 소위 세그먼트의 소수 측정. 그것이 어떻게 이루어지는 지 알아 봅시다.
우리의 임무는 원점에서 좌표선의 주어진 지점까지 이동하는 것입니다(또는 도달할 수 없는 경우 무한히 접근하는 것). 세그먼트의 소수 측정을 사용하면 원점에서 임의의 수의 단위 세그먼트, 길이가 1/10 단위에 해당하는 세그먼트, 길이가 100분의 1 단위에 해당하는 세그먼트 등을 순차적으로 정리할 수 있습니다. 따로 놓인 각 길이의 세그먼트 수를 기록함으로써 좌표 광선의 주어진 지점에 해당하는 소수 부분을 얻습니다.
예를 들어, 위 그림에서 M 지점에 도달하려면 단위 세그먼트 1개와 길이가 단위의 10분의 1인 세그먼트 4개를 따로 보관해야 합니다. 따라서 점 M은 소수점 이하 1.4에 해당합니다.
십진수 측정 과정에서 도달할 수 없는 좌표선의 지점이 무한한 소수점 이하 자릿수에 해당함은 분명합니다.
서지.
- 수학: 교과서 5학년용. 일반 교육 기관 / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21판, 삭제됨. - M .: Mnemosyne, 2007. - 280 페이지: 아픈. ISBN 5-346-00699-0.
- 수학. 6학년: 교육적. 일반 교육용 기관 / [N. 예 Vilenkin 및 기타]. - 22판, 개정판. - M .: Mnemosyne, 2008. - 288 p .: 아픈. ISBN 978-5-346-00897-2.
- 대수학:교과서 8학년용. 일반 교육 기관 / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; 편집자 S. A. Telyakovsky. - 16판. -M .: 교육, 2008. - 271 p. : 아픈. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G.수학(전문학교 입학을 위한 매뉴얼): Proc. 수당.-M.; 더 높은 학교, 1984.-351 p., 아픈.
