무한 주기 분수를 혼합이라고 합니다. 공통 및 소수 분수와 그에 대한 연산

이미 초등학교학생들은 분수를 만난다. 그리고 모든 주제에 등장합니다. 이 숫자를 사용한 작업은 잊을 수 없습니다. 따라서 일반 및 일반에 대한 모든 정보를 알아야합니다. 소수. 이러한 개념은 복잡하지 않으며 가장 중요한 것은 모든 것을 순서대로 이해하는 것입니다.

왜 분수가 필요한가요?

우리 주변의 세계는 전체 개체로 구성됩니다. 그러므로 주식은 필요하지 않습니다. 하지만 일상 생활사람들이 사물과 사물의 일부를 다루도록 끊임없이 강요합니다.

예를 들어 초콜릿은 여러 조각으로 구성됩니다. 그의 타일이 12개의 직사각형으로 형성된 상황을 생각해 보십시오. 2개로 나누면 6개가 됩니다. 쉽게 3가지로 나눌 수 있습니다. 하지만 5명에게 초콜릿 조각 전체를 주는 것은 불가능합니다.

그건 그렇고, 이 조각은 이미 분수입니다. 그리고 더 많은 분할로 인해 더 복잡한 숫자가 나타납니다.

"분수"란 무엇입니까?

이것은 단위의 부분으로 구성된 숫자입니다. 겉으로는 가로 또는 슬래시로 구분된 두 개의 숫자처럼 보입니다. 이 기능을 분수라고 합니다. 상단(왼쪽)에 적힌 숫자를 분자라고 합니다. 맨 아래(오른쪽)에 있는 것이 분모입니다.

본질적으로 슬래시는 나눗셈 기호로 밝혀졌습니다. 즉, 분자를 피제수, 분모를 제수라고 할 수 있습니다.

어떤 분수가 있나요?

수학에는 일반 분수와 소수 분수라는 두 가지 유형만 있습니다. 학생들이 처음으로 만나는 곳 초등학교, 간단히 "분수"라고 부릅니다. 후자는 5학년 때 배우게 됩니다. 그때 이런 이름이 나타납니다.

공통 분수는 한 줄로 구분된 두 개의 숫자로 작성된 모든 분수입니다. 예를 들어 4/7입니다. 소수는 소수 부분에 위치 표기법이 있고 전체 숫자와 쉼표로 구분된 숫자입니다. 예를 들어 4.7. 학생들은 주어진 두 예가 완전히 다른 숫자라는 것을 분명히 이해해야 합니다.

모든 단순 분수십진수 형태로 쓸 수 있다. 이 진술은 거꾸로 보면 거의 항상 참입니다. 소수를 공분수로 쓸 수 있는 규칙이 있습니다.

이러한 유형의 분수에는 어떤 하위 유형이 있습니까?

에서 시작하는 것이 더 좋습니다. 시간 순서, 연구 중입니다. 공통 분수가 먼저 옵니다. 그 중 5개의 아종이 구별될 수 있다.

옳은. 분자는 항상 분모보다 작습니다.

잘못된. 분자는 분모보다 크거나 같습니다.

축소 가능/환원 불가능. 그것은 맞을 수도 있고 틀릴 수도 있습니다. 또 중요한 것은 분자와 분모가 공통인수를 가지고 있는지 여부입니다. 만약 있다면, 분수의 두 부분을 나누어야 합니다. 즉, 줄여야 합니다.

혼합. 정수는 일반적인 정규(불규칙) 분수 부분에 할당됩니다. 게다가 항상 왼쪽에 있습니다.

합성물. 그것은 서로 나누어진 두 개의 분수로 구성됩니다. 즉, 한 번에 세 개의 분수 선이 포함됩니다.

소수에는 두 가지 하위 유형만 있습니다.

유한, 즉 분수 부분이 제한되어 있는 것(끝이 있음);

무한 - 소수점 이하의 숫자가 끝나지 않는 숫자(무한히 쓸 수 있음).

소수를 공통 분수로 변환하는 방법은 무엇입니까?

이것이 유한한 숫자라면 규칙에 따라 연관이 적용됩니다. 제가 듣기로는 그래서 글을 씁니다. 즉, 올바르게 읽고 적어야 하지만 쉼표는 없지만 분수 막대를 사용해야 합니다.

필수 분모에 대한 힌트로, 분모는 항상 하나와 여러 개의 0이라는 점을 기억해야 합니다. 문제의 숫자의 소수 부분에 있는 숫자만큼 후자를 써야 합니다.

정수 부분이 누락된 경우, 즉 0과 같은 경우 소수 분수를 일반 분수로 변환하는 방법은 무엇입니까? 예를 들어 0.9 또는 0.05입니다. 지정된 규칙을 적용한 후에는 0개의 정수를 써야 한다는 것이 밝혀졌습니다. 그러나 표시되어 있지 않습니다. 남은 것은 분수 부분을 적는 것뿐입니다. 첫 번째 숫자의 분모는 10이고 두 번째 숫자의 분모는 100입니다. 즉, 주어진 예에는 9/10, 5/100이라는 숫자가 답으로 표시됩니다. 게다가 후자는 5만큼 줄어들 수 있는 것으로 밝혀졌다. 따라서 이에 대한 결과는 1/20으로 써야 한다.

정수 부분이 0과 다른 경우 소수 분수를 어떻게 일반 분수로 변환할 수 있습니까? 예를 들어 5.23 또는 13.00108입니다. 두 예 모두 전체 부분을 읽고 해당 값을 기록합니다. 첫 번째 경우에는 5이고 두 번째 경우에는 13입니다. 그런 다음 분수 부분으로 이동해야 합니다. 그들에게도 동일한 작업이 수행되어야합니다. 첫 번째 숫자는 23/100, 두 번째 숫자는 108/100000으로 나타납니다. 두 번째 값을 다시 줄여야 합니다. 대답은 다음과 같습니다 대분수: 5 23/100 및 13 27/25000.

무한 소수를 일반 분수로 변환하는 방법은 무엇입니까?

비주기적이라면 그러한 작업은 불가능합니다. 이 사실은 각 소수 분수가 항상 유한 분수 또는 주기 분수로 변환된다는 사실에 기인합니다.

그러한 분수로 할 수 있는 유일한 일은 그것을 반올림하는 것입니다. 그러나 그러면 소수는 대략 그 무한과 같을 것입니다. 이미 평범한 것으로 바뀔 수 있습니다. 하지만 역과정: 십진수로 변환하면 초기 값이 제공되지 않습니다. 즉, 무한한 비주기 분수는 일반 분수로 변환되지 않습니다. 이것을 기억해야합니다.

무한 주기 분수를 일반 분수로 쓰는 방법은 무엇입니까?

이러한 숫자에는 소수점 이하에 반복되는 숫자가 항상 하나 이상 있습니다. 이를 기간이라고 합니다. 예를 들어 0.3(3)입니다. 여기서 "3"은 마침표 안에 있습니다. 일반 분수로 변환할 수 있기 때문에 유리수로 분류됩니다.

주기분수를 접한 사람들은 그것이 순수하거나 혼합될 수 있다는 것을 알고 있습니다. 첫 번째 경우 마침표는 쉼표부터 즉시 시작됩니다. 두 번째에서는 분수 부분이 일부 숫자로 시작한 다음 반복이 시작됩니다.

형식으로 작성해야 하는 규칙 공통 분수무한소수는 표시된 두 가지 유형의 숫자에 따라 다릅니다. 순수주기분수를 일반분수로 쓰는 것은 아주 쉽습니다. 유한한 것과 마찬가지로 변환이 필요합니다. 분자에 마침표를 적으면 분모는 숫자 9가 되며 마침표에 포함된 자릿수만큼 반복됩니다.

예를 들어 0,(5)입니다. 숫자에는 정수 부분이 없으므로 즉시 분수 부분부터 시작해야 합니다. 분자에 5, 분모에 9를 쓰면, 답은 분수 5/9가 됩니다.

혼합된 일반 십진주기 분수를 쓰는 방법에 대한 규칙입니다.

기간을 살펴보세요. 이것이 분모에 9가 몇 개나 들어있는지입니다.

분모를 적어보세요. 처음에는 9, 그다음에는 0입니다.

분자를 결정하려면 두 숫자의 차이를 적어야 합니다. 소수점 이하의 모든 숫자는 마침표와 함께 축소됩니다. Deductible - 기간이 없습니다.

예를 들어, 0.5(8) - 주기 소수를 공통 분수로 씁니다. 마침표 앞의 소수 부분에는 한 자리 숫자가 포함됩니다. 따라서 0이 하나 있을 것입니다. 또한 해당 기간에는 8이라는 숫자가 하나만 있습니다. 즉, 9가 하나만 있습니다. 즉, 분모에 90을 써야 합니다.

분자를 결정하려면 58에서 5를 빼야 합니다. 결과는 53입니다. 예를 들어 답을 53/90으로 써야 합니다.

분수는 어떻게 소수로 변환되나요?

제일 간단한 옵션분모에 숫자 10, 100 등이 포함된 숫자로 판명됩니다. 그런 다음 분모는 간단히 삭제되고 분수 부분과 정수 부분 사이에 쉼표가 배치됩니다.

분모가 쉽게 10, 100 등으로 변하는 상황이 있습니다. 예를 들어 숫자 5, 20, 25. 각각 2, 5, 4를 곱하면 충분합니다. 분모뿐만 아니라 분자에도 같은 숫자를 곱하면됩니다.

다른 모든 경우에는 분자를 분모로 나누는 간단한 규칙이 유용합니다. 이 경우 유한 소수 또는 주기 소수라는 두 가지 가능한 답을 얻을 수 있습니다.

일반 분수를 사용한 연산

덧셈과 뺄셈

학생들은 다른 사람들보다 먼저 그들을 알게됩니다. 그리고 먼저 분수에 대해 같은 분모, 그런 다음 다릅니다. 일반 규칙이런 계획으로 축소될 수 있습니다.

분모의 최소공배수를 구합니다.

모든 일반 분수에 대한 추가 인수를 작성합니다.

분자와 분모에 지정된 인수를 곱합니다.

분수의 분자를 더하고(빼고) 공통분모는 그대로 둡니다.

피감수의 분자가 감수보다 작으면 대분수인지 진분수인지 알아내야 합니다.

첫 번째 경우에는 전체 부분에서 하나를 빌려야 합니다. 분수의 분자에 분모를 더합니다. 그리고 뺄셈을 하세요.

두 번째에서는 작은 수에서 큰 수를 빼는 규칙을 적용해야 합니다. 즉, 빼기 모듈에서 빼기 모듈을 빼고 이에 대한 응답으로 "-"기호를 입력합니다.

덧셈(뺄셈)의 결과를 주의 깊게 살펴보세요. 가분수를 얻으면 전체 부분을 선택해야 합니다. 즉, 분자를 분모로 나누는 것입니다.

곱셈과 나눗셈

이를 수행하기 위해 분수를 공통 분모로 줄일 필요는 없습니다. 이렇게 하면 작업을 더 쉽게 수행할 수 있습니다. 하지만 여전히 규칙을 따르도록 요구합니다.

분수를 곱할 때는 분자와 분모에 있는 숫자를 살펴봐야 합니다. 분자와 분모에 공통 인수가 있으면 축소할 수 있습니다.

분자를 곱합니다.

분모를 곱하세요.

결과가 기약분수이면 다시 단순화해야 합니다.

나눌 때 먼저 나눗셈을 곱셈으로 바꾸고, 제수(두 번째 분수)를 역분수(분자와 분모 바꾸기)로 바꿔야 합니다.

그런 다음 곱셈을 진행합니다(포인트 1부터 시작).

정수로 곱(나누)해야 하는 작업에서는 후자를 다음 형식으로 작성해야 합니다. 가분수. 즉, 분모가 1인 경우입니다. 그런 다음 위에서 설명한 대로 작동합니다.



소수를 사용한 연산

덧셈과 뺄셈

물론, 언제든지 소수를 분수로 변환할 수 있습니다. 그리고 이미 설명한 계획에 따라 행동하십시오. 그러나 때로는 이러한 번역 없이 행동하는 것이 더 편리할 때도 있습니다. 그러면 덧셈과 뺄셈의 규칙은 완전히 동일해집니다.

숫자의 소수 부분, 즉 소수점 이하의 자릿수를 동일하게 만듭니다. 누락된 0의 수를 추가합니다.

쉼표가 쉼표 아래에 오도록 분수를 쓰세요.

자연수처럼 더하기(빼기).

쉼표를 제거하세요.

곱셈과 나눗셈

여기에 0을 추가할 필요가 없다는 것이 중요합니다. 분수는 예제에 주어진 대로 남겨두어야 합니다. 그런 다음 계획대로 진행하십시오.

곱하려면 쉼표를 무시하고 분수를 하나씩 적어야 합니다.

자연수처럼 곱하세요.

답의 오른쪽 끝부터 두 요소의 분수 부분에 있는 자릿수만큼 계산하여 답에 쉼표를 넣으세요.

나누려면 먼저 제수를 자연수로 변환해야 합니다. 즉, 제수의 분수 부분에 있는 자릿수에 따라 10, 100 등을 곱합니다.

배당금에 같은 숫자를 곱합니다.

소수를 자연수로 나눕니다.

전체 부분의 분할이 끝나는 순간 답에 쉼표를 넣으세요.



하나의 예에 두 가지 유형의 분수가 모두 포함되어 있으면 어떻게 될까요?

예, 수학에는 일반 분수와 소수 분수에 대한 연산을 수행해야 하는 예가 종종 있습니다. 이러한 작업에는 두 가지 가능한 솔루션이 있습니다. 객관적으로 수치를 따져보고 최적의 수치를 선택해야 합니다.

첫 번째 방법: 일반 소수 표현

나누기나 변환으로 인해 유한 분수가 발생하는 경우에 적합합니다. 적어도 하나의 숫자가 주기적인 부분을 제공하는 경우 이 기술은 금지됩니다. 따라서 일반적인 분수를 사용하는 것을 좋아하지 않더라도 분수를 세어야 합니다.

두 번째 방법: 소수 분수를 일반 분수로 씁니다.

이 기술은 소수점 이하의 숫자가 1~2자리인 경우 편리한 것으로 나타났습니다. 그 수가 더 많으면 매우 큰 공통 분수로 끝날 수 있으며 소수 표기법을 사용하면 작업을 더 빠르고 쉽게 계산할 수 있습니다. 따라서 항상 작업을 냉정하게 평가하고 가장 간단한 해결 방법을 선택해야 합니다.

이 기사에서는 방법을 살펴 보겠습니다. 분수를 소수로 변환하기, 또한 소수를 일반 분수로 변환하는 역과정을 고려하십시오. 여기에서는 분수 변환 규칙을 간략하게 설명하고 일반적인 예에 ​​대한 자세한 솔루션을 제공합니다.

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분수를 소수로 변환하기

우리가 다룰 순서를 나타내자. 분수를 소수로 변환하기.

먼저 분모가 10, 100, 1,000, ...인 분수를 소수로 표현하는 방법을 살펴보겠습니다. 이는 소수 분수가 본질적으로 분모가 10, 100, ...인 일반 분수를 작성하는 간결한 형태라는 사실로 설명됩니다.

그 후에는 더 나아가 일반 분수(분모가 10, 100, ...인 분수뿐만 아니라)를 소수 분수로 쓰는 방법을 보여 드리겠습니다. 일반 분수를 이런 식으로 처리하면 유한 소수 분수와 무한 주기 소수 분수가 모두 얻어집니다.

이제 모든 것에 대해 순서대로 이야기합시다.

분모가 10, 100, ...인 공통 분수를 소수로 변환

일부 진분수는 소수로 변환하기 전에 "사전 준비"가 필요합니다. 이는 분자의 자릿수가 분모의 0의 수보다 작은 일반 분수에 적용됩니다. 예를 들어, 공통 분수 2/100을 소수 분수로 변환하려면 먼저 준비해야 하지만 분수 9/10은 준비가 필요하지 않습니다.

소수 분수로 변환하기 위한 적절한 일반 분수의 "사전 준비"는 분자 왼쪽에 0을 너무 많이 추가하여 전체 자릿수가 분모의 0 수와 같아지는 것으로 구성됩니다. 예를 들어, 0을 추가한 후의 분수는 다음과 같습니다.

적절한 분수가 준비되면 이를 소수로 변환할 수 있습니다.

주자 분모가 10, 100, 1,000인 진공분수를 소수로 변환하는 법칙. 이는 세 단계로 구성됩니다.

• 0을 쓰십시오;
• 그 뒤에 소수점을 넣습니다.
• 분자의 숫자를 기록합니다(추가한 경우 0도 추가됨).

예제를 풀 때 이 규칙을 적용하는 방법을 고려해 보겠습니다.

예.

진분수 37/100을 소수로 변환하세요.

해결책.

분모에는 0이 두 개 있는 숫자 100이 포함됩니다. 분자에는 숫자 37이 포함되어 있으며 표기법은 두 자리이므로 이 분수를 소수 분수로 변환하기 위해 준비할 필요가 없습니다.

이제 0을 쓰고 소수점을 넣은 다음 분자에서 숫자 37을 쓰면 소수점 이하 0.37을 얻습니다.

답변:

0,37 .

분자가 10, 100, ...인 적절한 일반 분수를 소수 분수로 변환하는 기술을 강화하기 위해 솔루션을 다른 예로 분석하겠습니다.

예.

받아 적어 정확한 분수십진수로 107/10,000,000입니다.

해결책.

분자의 자릿수는 3개, 분모의 0의 개수는 7개이므로 이 공분수를 소수로 변환하기 위해 준비해야 합니다. 분자 왼쪽에 7-3=4개의 0을 추가하여 거기에 있는 총 자릿수가 분모의 0 개수와 같아지도록 해야 합니다. 우리는 얻습니다.

남은 것은 필요한 소수점 이하 자릿수를 만드는 것뿐입니다. 이를 위해 먼저 0을 쓰고, 두 번째로 쉼표를 넣고, 세 번째로 0000107과 함께 분자의 숫자를 쓰면 결과적으로 소수 부분 0.0000107이 생깁니다.

답변:

0,0000107 .

가분수는 소수로 변환할 때 준비가 필요하지 않습니다. 다음 사항을 준수해야 합니다. 분모가 10, 100, ...인 가분수를 소수로 변환하는 규칙:

• 분자의 숫자를 적어 두십시오.
• 소수점을 사용하여 원래 분수의 분모에 0이 있는 만큼 오른쪽에 있는 자릿수를 구분합니다.

예제를 풀 때 이 규칙을 적용하는 방법을 살펴보겠습니다.

예.

가분수 56,888,038,009/100,000을 소수로 변환하세요.

해결책.

먼저 분자 56888038009의 숫자를 적고 두 번째로 원래 분수의 분모에 5개의 0이 있으므로 오른쪽의 5자리 숫자를 소수점으로 구분합니다. 결과적으로 우리는 소수 568880.38009를 갖게 되었습니다.

답변:

568 880,38009 .

대분수를 소수부의 분모가 10, 100, 1,000, ...인 소수로 변환하려면 대분수를 가분수로 변환한 후 그 결과를 변환하면 됩니다. 분수를 소수로 나누세요. 하지만 다음을 사용할 수도 있습니다. 분수 분모가 10, 100, 1,000인 대분수를 소수로 변환하는 규칙:

• 필요한 경우 "를 수행하십시오. 예비 준비» 원래 대분수의 분수 부분, 추가 필요한 금액분자 왼쪽에 0이 있습니다.
• 원래 대분수의 정수 부분을 적습니다.
• 소수점을 찍으십시오.
• 추가된 0과 함께 분자의 숫자를 기록합니다.

대분수를 소수로 표현하는 데 필요한 모든 단계를 완료하는 예를 살펴보겠습니다.

예.

대분수를 십진수로 변환합니다.

해결책.

분수 부분의 분모에는 4개의 0이 있지만 분자에는 2자리 숫자로 구성된 17이라는 숫자가 포함되어 있으므로 분자 왼쪽에 2개의 0을 추가하여 자릿수가 분수의 수와 같아지도록 해야 합니다. 분모에 0이 있습니다. 이렇게 하면 분자는 0017이 됩니다.

이제 원래 숫자의 정수 부분, 즉 숫자 23을 적고 소수점을 넣은 다음 추가 된 0, 즉 0017과 함께 분자의 숫자를 쓰고 원하는 소수점을 얻습니다. 분수 23.0017.

전체 솔루션을 간략하게 적어 보겠습니다. .

물론 대분수를 먼저 가분수로 표현한 뒤 이를 소수로 변환하는 것도 가능했습니다. 이 접근 방식을 사용하면 솔루션은 다음과 같습니다.

답변:

23,0017 .

분수를 유한 및 무한 주기소수로 변환

분모가 10, 100, ...인 일반 분수뿐만 아니라 분모가 다른 일반 분수도 소수로 변환할 수 있습니다. 이제 이것이 어떻게 수행되는지 알아 보겠습니다.

어떤 경우에는 원래의 일반 분수가 분모 10, 100, 1,000, ... 중 하나로 쉽게 축소됩니다(일반 분수를 새 분모로 가져오기 참조). 그 후에는 결과 분수를 나타내는 것이 어렵지 않습니다. 소수로. 예를 들어, 분수 2/5를 분모가 10인 분수로 줄일 수 있다는 것은 명백합니다. 이를 위해서는 분자와 분모에 2를 곱해야 분수 4/10이 됩니다. 이전 단락에서 논의된 규칙은 소수 분수 0, 4로 쉽게 변환됩니다.

다른 경우에는 일반 분수를 소수로 변환하는 다른 방법을 사용해야 하는데, 이제 이를 고려해 보겠습니다.

일반 분수를 소수로 변환하려면 분수의 분자를 분모로 나누고, 분자는 먼저 소수점 뒤에 임의의 수의 0이 있는 동일한 소수로 대체됩니다(이에 대해서는 같음 섹션에서 이야기했습니다. 불평등한 소수점 이하 자릿수). 이 경우 나눗셈은 자연수 열에 의한 나눗셈과 동일하게 이루어지며, 몫에서는 전체 부분의 나눗셈이 끝날 때 소수점을 둔다. 이 모든 것은 아래 제공된 예에 대한 솔루션을 통해 명확해질 것입니다.

예.

분수 621/4를 십진수로 변환하세요.

해결책.

분자 621의 숫자를 소수점과 그 뒤에 몇 개의 0을 추가하여 소수로 표현해 보겠습니다. 먼저 두 자리 0을 추가하고, 나중에 필요하다면 언제든지 0을 더 추가할 수 있습니다. 따라서 621.00이 있습니다.

이제 숫자 621,000을 열로 4로 나누어 보겠습니다. 처음 세 단계는 장제법과 다르지 않습니다. 자연수, 그 후에 우리는 다음 그림을 보게 됩니다:

이렇게 해서 배당금에서 소수점까지 도달하게 되고, 나머지는 0과 다릅니다. 이 경우 몫에 소수점을 넣고 쉼표에 신경 쓰지 않고 열을 계속 나눕니다.

이것으로 나눗셈이 완료되고 결과적으로 원래의 일반 분수에 해당하는 소수 155.25를 얻습니다.

답변:

155,25 .

자료를 통합하려면 다른 예에 대한 솔루션을 고려하십시오.

예.

분수 21/800을 소수로 변환하세요.

해결책.

이 공통 분수를 소수로 변환하려면 소수 분수 21,000...을 800으로 나눕니다. 첫 번째 단계 후에는 몫에 소수점을 넣은 다음 나눗셈을 계속해야 합니다.

마지막으로 우리는 나머지 0을 얻었고, 이는 공통 분수 21/400을 소수로 변환하여 소수 분수 0.02625에 도달했습니다.

답변:

0,02625 .

분자를 일반 분수의 분모로 나눌 때 나머지가 0이 되지 않는 경우가 있습니다. 이 경우 분할은 무기한으로 계속될 수 있습니다. 그러나 특정 단계부터 시작하면 나머지도 주기적으로 반복되기 시작하고 몫에 있는 숫자도 반복됩니다. 이는 원래 분수가 무한 주기 소수로 변환됨을 의미합니다. 이를 예를 들어 보여드리겠습니다.

예.

분수 19/44를 소수로 나타내세요.

해결책.

일반 분수를 소수로 변환하려면 열로 나누기를 수행하십시오.

나누는 동안 나머지 8과 36이 반복되기 시작했고 몫에서는 숫자 1과 8이 반복된다는 것이 이미 분명합니다. 따라서 원래의 공통 분수 19/44는 주기 소수 분수 0.43181818...=0.43(18)으로 변환됩니다.

답변:

0,43(18) .

이 점을 마무리하기 위해 어떤 일반 분수를 유한소수 분수로 변환할 수 있고 어떤 분수는 주기 분수로만 변환할 수 있는지 알아 보겠습니다.

우리 앞에 환원할 수 없는 일반 분수가 있고(분수가 환원 가능한 경우 먼저 분수를 줄입니다) 유한 분수 또는 주기 분수로 변환할 수 있는 소수 분수를 찾아야 합니다.

일반 분수를 분모 10, 100, 1,000, ... 중 하나로 줄일 수 있다면 결과 분수는 이전 단락에서 설명한 규칙에 따라 최종 소수 분수로 쉽게 변환될 수 있다는 것이 분명합니다. 그러나 분모는 10, 100, 1,000 등입니다. 모든 일반 분수가 제공되는 것은 아닙니다. 분모가 10, 100, ... 중 하나 이상인 분수만 그러한 분모로 줄일 수 있습니다. 그리고 10, 100, ...의 약수가 될 수 있는 숫자는 무엇입니까? 숫자 10, 100, ...을 사용하면 이 질문에 답할 수 있으며 다음과 같습니다. 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1,000 = 2 2 2 5 5 5, .... 제수는 10, 100, 1,000 등입니다. 소인수로 분해할 때 숫자 2와(또는) 5만 포함하는 숫자만 있을 수 있습니다.

이제 우리는 일반 분수를 소수로 변환하는 것에 대한 일반적인 결론을 내릴 수 있습니다.

• 분모를 소인수로 분해할 때 숫자 2와(또는) 5만 존재하는 경우 이 분수는 최종 소수 분수로 변환될 수 있습니다.
• 분모 확장에 2와 5 외에도 다른 소수가 있으면 이 분수는 무한 소수 주기 분수로 변환됩니다.

예.

일반 분수를 소수로 변환하지 않고 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 분수 중 최종 소수로 변환할 수 있는 분수와 주기 분수로만 변환할 수 있는 분수를 알려주세요.

해결책.

분수 47/20의 분모는 20=2·2·5로 소인수분해됩니다. 이 전개에는 2와 5만 있으므로 이 분수는 분모 10, 100, 1,000, ... 중 하나로 줄어들 수 있습니다(이 예에서는 분모 100). 따라서 최종 소수로 변환할 수 있습니다. 분수.

분수 7/12의 분모를 소인수로 분해하면 12=2·2·3의 형태가 됩니다. 2와 5와는 다른 3의 소인수를 포함하므로 이 분수는 유한소수로 표시될 수 없지만 주기소수로 변환될 수 있습니다.

분수 21/56 – 수축성, 수축 후 3/8 형태를 취합니다. 분모를 소인수로 분해하면 2와 같은 세 가지 요소가 포함되므로 공통 분수 3/8과 등분수 21/56이 최종 소수 분수로 변환될 수 있습니다.

마지막으로 분수 31/17의 분모 전개는 17 자체이므로 이 분수는 유한소수 분수로 변환할 수 없지만 무한 주기 분수로 변환할 수 있습니다.

답변:

47/20과 21/56은 유한소수로 변환할 수 있지만, 7/12와 31/17은 주기분수로만 변환할 수 있습니다.

일반 분수는 무한한 비주기 소수로 변환되지 않습니다.

이전 단락의 정보는 "분수의 분자를 분모로 나누면 무한한 비주기 분수가 될 수 있습니까?"라는 질문을 불러일으킵니다.

대답: 아니요. 공통 분수를 변환할 때 결과는 유한 소수 분수 또는 무한 주기 소수 분수일 수 있습니다. 왜 그런지 설명해 보겠습니다.

나머지가 있는 나눗셈에 관한 정리에서 나머지는 항상 제수보다 작다는 것이 분명합니다. 즉, 일부 정수를 정수 q로 나누면 나머지는 숫자 0, 1, 2 중 하나만 될 수 있습니다. , ..., q−1. 열이 일반 분수의 분자의 정수 부분을 분모 q로 나눈 후 q 단계를 넘지 않으면 다음 두 가지 상황 중 하나가 발생합니다.

• 또는 우리는 나머지 0을 얻게 될 것이고, 이것은 나눗셈을 끝내고 최종 소수점 이하 부분을 얻게 될 것입니다.
• 또는 이전에 이미 나타난 나머지를 얻게 되며 그 후에 나머지는 이전 예에서와 같이 반복되기 시작합니다(같은 숫자를 q로 나눌 때 이미 언급된 가분성 정리에 따라 동일한 나머지가 얻어지기 때문입니다). 무한한 주기 소수가 발생합니다.

다른 옵션이 없으므로 일반 분수를 소수로 변환하면 무한한 비주기 소수를 얻을 수 없습니다.

이 단락에 제시된 추론에 따르면 소수 분수의 기간 길이는 항상 해당 일반 분수의 분모 값보다 작습니다.

소수를 분수로 변환하기

이제 소수를 일반 분수로 변환하는 방법을 알아 보겠습니다. 마지막 소수를 일반 분수로 변환하는 것부터 시작해 보겠습니다. 그 다음에는 무한 주기 소수점을 반전시키는 방법을 고려하겠습니다. 결론적으로 무한한 비주기 소수 분수를 일반 분수로 변환하는 것이 불가능하다고 가정 해 봅시다.

후행 소수를 분수로 변환

마지막 소수로 쓰여진 분수를 구하는 것은 매우 간단합니다. 마지막 소수를 공통 분수로 변환하는 규칙세 단계로 구성됩니다:

• 먼저, 이전에 소수점과 왼쪽의 모든 0을 버리고 주어진 소수점 이하 자릿수를 분자에 씁니다.
• 둘째, 분모에 1을 쓰고 원래 소수점 이하 자릿수만큼 0을 추가합니다.
• 셋째, 필요한 경우 결과 분수를 줄입니다.

예제에 대한 해결책을 살펴보겠습니다.

예.

소수 3.025를 분수로 변환하세요.

해결책.

원래 소수에서 소수점을 빼면 3,025가 됩니다. 왼쪽에는 버릴 0이 없습니다. 따라서 원하는 분수의 분자에 3,025를 씁니다.

분모에 숫자 1을 쓰고 그 오른쪽에 3개의 0을 추가합니다. 원래 소수점 이하 자릿수에는 소수점 이하 3자리가 있기 때문입니다.

그래서 우리는 공분수 3,025/1,000을 얻었습니다. 이 분수는 25만큼 줄어들 수 있습니다. .

답변:

.

예.

소수 분수 0.0017을 분수로 변환하세요.

해결책.

소수점이 없으면 원래 소수 분수는 00017처럼 보입니다. 왼쪽의 0을 버리면 원하는 일반 분수의 분자인 숫자 17을 얻게 됩니다.

원래 소수점 이하 자릿수는 소수점 이하 4자리이므로 분모에 0이 4개 있는 1을 씁니다.

결과적으로 우리는 17/10,000의 일반적인 분수를 갖게 됩니다. 이 분수는 환원 불가능하며 소수를 일반 분수로 변환하는 것이 완료됩니다.

답변:

.

원래 최종 소수 부분의 정수 부분이 0이 아닌 경우, 공통 분수를 우회하여 즉시 대분수로 변환할 수 있습니다. 주자 마지막 소수를 대분수로 변환하는 규칙:

• 소수점 앞의 숫자는 원하는 대분수의 정수 부분으로 작성되어야 합니다.
• 분수 부분의 분자에는 왼쪽의 모든 0을 버린 후 원래 소수 부분의 분수 부분에서 얻은 숫자를 써야 합니다.
• 분수 부분의 분모에 숫자 1을 적어야합니다. 이 숫자에는 원래 소수 분수의 소수점 이하 자릿수만큼 오른쪽에 0이 추가됩니다.
• 필요한 경우 결과 대분수의 분수 부분을 줄이십시오.

소수를 대분수로 변환하는 예를 살펴보겠습니다.

예.

소수 152.06005를 대분수로 표현하세요

이 기사는 소수. 여기서 우리는 다룰 것입니다 십진법 분수, 소수 분수의 개념을 소개하고 소수 분수의 예를 제공합니다. 다음으로 소수의 자릿수에 대해 이야기하고 자릿수의 이름을 알려드리겠습니다. 그 후에는 무한소수 분수에 초점을 맞추고 주기 분수와 비주기 분수에 대해 이야기해 보겠습니다. 다음으로 소수점 이하의 기본 연산을 나열합니다. 결론적으로 좌표빔에서 소수점 이하의 위치를 ​​설정해 보겠습니다.

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분수의 10진수 표기

소수 읽기

소수를 읽는 규칙에 대해 몇 마디 말해 보겠습니다.

고유한 일반 분수에 해당하는 소수 분수는 이러한 일반 분수와 동일한 방식으로 읽혀지며 먼저 "0의 정수"만 추가됩니다. 예를 들어, 소수점 이하 0.12는 공통 분수 12/100(“십이백분의 일”로 읽음)에 해당하므로 0.12는 “영점 십이백분의 일”로 읽습니다.

대분수에 해당하는 소수는 이러한 대분수와 정확히 동일하게 읽혀집니다. 예를 들어, 소수 56.002는 대분수에 해당하므로 소수 56.002는 "오십육포인트이천분의 1"로 읽혀집니다.

소수점 이하 자릿수

소수를 쓰는 경우와 자연수를 쓰는 경우 각 자릿수의 의미는 위치에 따라 달라집니다. 실제로 소수점 이하 0.3의 숫자 3은 10분의 3을 의미하고, 소수점 이하 자릿수는 0.0003 - 3만분의 1, 소수점 이하 자릿수는 30,000.152 - 3만을 의미합니다. 그래서 우리는 다음에 대해 이야기 할 수 있습니다 소수점 자리, 자연수의 숫자에 대해서도 마찬가지입니다.

소수점 이하의 소수점 이하 자릿수 명칭은 자연수의 자릿수 명칭과 완전히 일치합니다. 그리고 소수점 이하 소수점 이하 자릿수 명칭은 다음 표를 보면 알 수 있다.

예를 들어, 소수 37.051에서 숫자 3은 십의 자리, 7은 단위의 자리, 0은 십의 자리, 5는 백의 자리, 1은 천의 자리를 나타냅니다.

소수점 이하 자릿수 역시 우선순위가 다릅니다. 소수를 작성할 때 숫자에서 숫자로 왼쪽에서 오른쪽으로 이동하면 다음에서 이동합니다. 어른에게 후배 계급. 예를 들어, 백의 자리는 십의 자리보다 오래된 것이고, 백만의 자리는 백의 자리보다 낮습니다. 주어진 최종 소수점 이하에서는 주요 숫자와 소수 숫자에 대해 이야기할 수 있습니다. 예를 들어, 소수점 이하 604.9387 선배 (최고)그 곳은 수백 곳이고, 주니어 (최하위)- 만분의 일 자리.

소수의 경우 숫자로의 확장이 발생합니다. 이는 자연수의 자릿수로의 확장과 유사합니다. 예를 들어, 45.6072를 소수점 이하 자릿수로 확장하면 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002입니다. 그리고 소수를 숫자로 분해하는 덧셈의 속성을 사용하면 이 소수의 다른 표현으로 이동할 수 있습니다(예: 45.6072=45+0.6072, 또는 45.6072=40.6+5.007+0.0002, 또는 45.6072= 45.0072+). 0.6.

소수점 끝

지금까지 우리는 소수점 뒤에 유한한 자릿수가 있는 표기법으로 소수에 대해서만 이야기했습니다. 이러한 분수를 유한소수라고 합니다.

정의.

소수점 끝- 이것은 유한한 수의 문자(숫자)를 포함하는 레코드인 소수입니다.

다음은 최종 소수 분수의 몇 가지 예입니다: 0.317, 3.5, 51.1020304958, 230,032.45.

그러나 모든 분수가 마지막 소수로 표시될 수 있는 것은 아닙니다. 예를 들어, 분수 5/13은 분모 10, 100, ... 중 하나를 갖는 동일한 분수로 대체될 수 없으므로 최종 소수 분수로 변환될 수 없습니다. 일반 분수를 소수로 변환하는 이론 섹션에서 이에 대해 더 자세히 설명하겠습니다.

무한소수: 주기분수와 비주기분수

소수점 뒤에 소수점 이하 자릿수를 쓸 때 무한한 자릿수의 가능성을 가정할 수 있습니다. 이 경우 소위 무한 소수점 이하 분수를 고려하게 될 것입니다.

정의.

무한소수- 이것은 무한한 자릿수를 포함하는 소수입니다.

무한한 소수점 이하 자릿수를 완전한 형태로 기록할 수 없다는 것은 분명합니다. 따라서 기록에서 우리는 소수점 이하의 특정 유한 자릿수로만 제한하고 무한히 연속되는 자릿수 시퀀스를 나타내는 줄임표를 넣습니다. 다음은 무한 소수점 분수의 몇 가지 예입니다: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152…

마지막 두 무한소수를 자세히 보면 분수 2.111111111... 끝없이 반복되는 숫자 1이 선명하게 보이고, 분수 69.74152152152...에서는 소수점 셋째 자리부터 반복되는 숫자군이 나옵니다. 1, 5, 2가 선명하게 보입니다. 이러한 무한 소수를 주기적이라고 합니다.

정의.

주기소수(또는 단순히 주기적 분수)은 끝없는 소수점 이하 자릿수로, 기록에서 특정 소수점 이하 자릿수부터 시작하여 일부 숫자 또는 숫자 그룹이 끝없이 반복됩니다. 분수의 기간.

예를 들어, 주기 분수 2.111111111...의 주기는 숫자 1이고, 분수 69.74152152152...의 주기는 152 형식의 숫자 그룹입니다.

무한 주기 소수의 경우 특별한 형식의 표기법이 채택됩니다. 간결함을 위해 마침표를 한 번만 기록하고 괄호 안에 넣기로 합의했습니다. 예를 들어, 주기 분수 2.111111111... 은 2,(1) 로 쓰여지고, 주기 분수 69.74152152152... 는 69.74(152) 로 쓰여집니다.

동일한 주기 소수에 대해 서로 다른 기간을 지정할 수 있다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 예를 들어, 주기 소수점 분수 0.73333...은 마침표가 3인 분수 0.7(3)으로 간주될 수 있고, 마침표가 33인 분수 0.7(33) 등으로 간주될 수 있습니다. 0.7 (3333), ... 주기율 0.73333 ...을 볼 수도 있습니다. 예: 0.733(3), 또는 예: 0.73(333) 등 여기에서 모호함과 불일치를 피하기 위해 우리는 가능한 모든 반복 숫자 시퀀스 중 가장 짧은 것을 소수점 이하의 가장 가까운 위치부터 소수점 이하로 간주하는 데 동의합니다. 즉, 소수점 이하 0.73333...의 주기는 한 자리 3의 수열로 간주되며, 주기성은 소수점 이하 두 번째 자리, 즉 0.73333...=0.7(3)부터 시작된다. 또 다른 예: 주기율 4.7412121212...의 주기는 12이며, 주기는 소수점 이하 세 번째 숫자부터 시작됩니다. 즉, 4.7412121212...=4.74(12)입니다.

무한소수주기분수는 분모에 2와 5 이외의 소인수가 포함된 일반 분수를 소수분수로 변환하여 얻습니다.

여기서는 주기가 9인 주기분수를 언급할 가치가 있습니다. 6.43(9) , 27,(9) 과 같은 분수의 예를 들어 보겠습니다. 이 분수는 주기가 0인 주기 분수에 대한 또 다른 표기법이며 일반적으로 주기가 0인 주기 분수로 대체됩니다. 이를 위해 기간 9는 기간 0으로 대체되고 다음으로 높은 숫자의 값은 1씩 증가됩니다. 예를 들어, 7.24(9) 형태의 주기 9를 갖는 분수는 7.25(0) 형태의 주기 0을 갖는 주기 분수 또는 동일한 최종 소수 분수 7.25로 대체됩니다. 또 다른 예: 4,(9)=5,(0)=5. 주기 9의 분수와 주기 0의 해당 분수의 동일성은 이러한 소수 분수를 동일한 일반 분수로 대체한 후에 쉽게 설정됩니다.

마지막으로 끝없이 반복되는 일련의 숫자를 포함하지 않는 무한 소수점 이하 분수에 대해 자세히 살펴보겠습니다. 이를 비주기적이라고 합니다.

정의.

반복되지 않는 소수(또는 단순히 비주기적인 분수)은 마침표가 없는 무한 소수입니다.

때때로 비주기 분수는 주기 분수와 유사한 형태를 갖습니다. 예를 들어 8.02002000200002...는 비주기 분수입니다. 이런 경우에는 차이점을 주의 깊게 살펴보아야 합니다.

비주기 분수는 일반 분수로 변환되지 않습니다. 무한 비주기 소수 분수는 무리수를 나타냅니다.

소수를 사용한 연산

소수 분수 연산 중 하나는 비교이며, 네 가지 기본 산술 함수도 정의되어 있습니다. 소수를 이용한 연산: 덧셈, 뺄셈, 곱셈과 나눗셈. 소수를 사용하여 각 동작을 개별적으로 고려해 봅시다.

소수의 비교본질적으로 비교되는 소수 부분에 해당하는 일반 분수의 비교를 기반으로 합니다. 그러나 소수를 일반 분수로 변환하는 것은 다소 노동집약적인 과정이고, 무한한 비주기 분수는 일반 분수로 표현할 수 없으므로 소수 분수의 자리별 비교를 사용하는 것이 편리합니다. 소수 부분의 자리별 비교는 자연수 비교와 유사합니다. 더 많은 것을 얻으려면 자세한 정보소수점 이하 분수 비교, 규칙, 예, 솔루션 등 기사의 자료를 연구하는 것이 좋습니다.

다음으로 넘어가자 다음 작업 - 소수의 곱셈. 유한 소수 분수의 곱셈은 소수 분수, 규칙, 예, 자연수 열의 곱셈 솔루션 빼기와 유사하게 수행됩니다. 주기 분수의 경우 곱셈을 일반 분수의 곱셈으로 줄일 수 있습니다. 차례로, 반올림 후 무한 비주기 소수 분수의 곱셈은 유한 소수 분수의 곱셈으로 감소됩니다. 추가 연구를 위해 소수 분수의 곱셈, 규칙, 예, 해법과 같은 기사의 자료를 권장합니다.

좌표 광선의 소수

점과 소수 사이에는 일대일 대응이 있습니다.

주어진 소수점 이하 자릿수에 해당하는 좌표 광선의 점이 어떻게 구성되는지 알아봅시다.

유한 소수 분수와 무한 주기 소수 분수를 동일한 일반 분수로 대체한 다음 좌표 광선에 해당 일반 분수를 구성할 수 있습니다. 예를 들어 소수 1.4는 공통 분수 14/10에 해당하므로 좌표 1.4의 점은 원점에서 양의 방향으로 단위 세그먼트의 10분의 1에 해당하는 14개 세그먼트만큼 제거됩니다.

소수는 주어진 소수를 숫자로 분해하는 것부터 시작하여 좌표 광선에 표시될 수 있습니다. 예를 들어, 16.3007=16+0.3+0.0007이므로 좌표 16.3007을 사용하여 점을 만들어야 한다고 가정하면 좌표 원점에서 16개의 단위 세그먼트(길이가 1/10인 3개의 세그먼트)를 순차적으로 배치하여 이 지점에 도달할 수 있습니다. 1개의 세그먼트로 구성되며, 길이는 단위 세그먼트의 1만분의 1에 해당하는 7개의 세그먼트로 구성됩니다.

이런 건축방식 십진수좌표 광선에서 무한 소수점 이하 자릿수에 해당하는 지점에 원하는 만큼 가까이 다가갈 수 있습니다.

때로는 무한한 소수점 이하 자릿수에 해당하는 점을 정확하게 그리는 것이 가능합니다. 예를 들어, , 그러면 이 무한 소수점 이하 1.41421...은 좌표 원점에서 한 변이 1 단위 세그먼트인 정사각형의 대각선 길이만큼 떨어진 좌표 광선의 한 점에 해당합니다.

좌표 광선의 주어진 지점에 해당하는 소수를 얻는 역과정은 소위 세그먼트의 소수 측정. 그것이 어떻게 이루어지는 지 알아 봅시다.

우리의 임무는 원점에서 좌표선의 주어진 지점까지 이동하는 것입니다(또는 도달할 수 없는 경우 무한히 접근하는 것). 세그먼트의 소수 측정을 사용하면 원점에서 임의의 수의 단위 세그먼트, 길이가 1/10 단위에 해당하는 세그먼트, 길이가 100분의 1 단위에 해당하는 세그먼트 등을 순차적으로 정리할 수 있습니다. 따로 놓인 각 길이의 세그먼트 수를 기록함으로써 좌표 광선의 주어진 지점에 해당하는 소수 부분을 얻습니다.

예를 들어, 위 그림에서 M 지점에 도달하려면 단위 세그먼트 1개와 길이가 단위의 10분의 1인 세그먼트 4개를 따로 보관해야 합니다. 따라서 점 M은 소수점 이하 1.4에 해당합니다.

십진수 측정 과정에서 도달할 수 없는 좌표선의 지점이 무한한 소수점 이하 자릿수에 해당함은 분명합니다.

서지.

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• Gusev V. A., Mordkovich A. G.수학(전문학교 입학을 위한 매뉴얼): Proc. 수당.-M.; 더 높은 학교, 1984.-351 p., 아픈.

소수에 관한 첫 수업에서 제가 소수로 표시할 수 없는 분수가 있다고 말했던 것을 기억하시나요? (“소수” 수업 참조) 또한 분수의 분모를 인수분해하여 2와 5 이외의 숫자가 있는지 알아보는 방법도 배웠습니다.

그래서: 나는 거짓말을 했습니다. 그리고 오늘 우리는 숫자 분수를 소수로 변환하는 방법을 배웁니다. 동시에, 우리는 무한한 유효 부분을 가진 전체 종류의 분수에 대해 알게 될 것입니다.

주기 소수는 다음과 같은 소수입니다.

1. 유효 부분은 무한한 자릿수로 구성됩니다.
2. 일정한 간격으로 중요한 부분의 숫자가 반복됩니다.

유효 부분을 구성하는 반복되는 숫자 집합을 분수의 주기 부분이라고 하며, 이 집합의 자릿수를 분수의 주기라고 합니다. 유효부분 중 반복되지 않는 나머지 부분을 비주기부분이라고 합니다.

많은 정의가 있으므로 다음 분수 중 몇 가지를 자세히 고려해 볼 가치가 있습니다.

이 분수는 문제에서 가장 자주 나타납니다. 비주기적인 부분: 0; 주기부: 3; 기간: 1.

비주기 부분: 0.58; 주기부: 3; 기간: 다시 1.

비주기적인 부분: 1; 주기부: 54; 기간: 2.

비주기적인 부분: 0; 정기 부분: 641025; 기간 길이: 6. 편의상 반복 부분은 공백으로 서로 구분됩니다. 이 솔루션에서는 이것이 필요하지 않습니다.

비주기 부분: 3066; 주기부: 6; 기간: 1.

보시다시피, 주기 분수의 정의는 다음 개념에 기초합니다. 숫자의 중요한 부분. 따라서 그것이 무엇인지 잊었다면 반복하는 것이 좋습니다. ""수업을 참조하십시오.

주기 소수점 분수로 전환

a /b 형식의 일반 분수를 생각해 보세요. 분모를 소인수분해해 봅시다. 두 가지 옵션이 있습니다:

1. 전개에는 인수 2와 5만 포함됩니다. 이 분수는 소수로 쉽게 변환됩니다. "소수" 단원을 참조하세요. 우리는 그런 사람들에게는 관심이 없습니다.
2. 전개에는 2와 5 외에 다른 것이 있습니다. 이 경우 분수는 소수로 표현할 수 없으나 주기소수로 변환할 수 있습니다.

주기적인 소수를 정의하려면 주기적인 부분과 비주기적인 부분을 찾아야 합니다. 어떻게? 분수를 가분수로 변환한 다음, 모서리를 사용하여 분자를 분모로 나눕니다.

다음과 같은 일이 발생합니다:

1. 먼저 분할됩니다 전체 부분, 존재하는 경우;
2. 소수점 뒤에 여러 개의 숫자가 있을 수 있습니다.
3. 잠시 후 숫자가 시작됩니다 반복하다.

그게 다야! 소수점 이하의 반복되는 숫자는 주기부, 앞에 오는 숫자는 비주기부로 표시한다.

일. 일반 분수를 주기 소수로 변환:

정수 부분이 없는 모든 분수이므로 간단히 "모서리"를 사용하여 분자를 분모로 나눕니다.

보시다시피 나머지 부분이 반복됩니다. 분수를 "올바른" 형식으로 적어보겠습니다: 1.733 ... = 1.7(3).

결과는 분수입니다: 0.5833 ... = 0.58(3).

4.0909 ... = 4,(09)라는 일반적인 형식으로 작성합니다.

우리는 분수를 얻습니다: 0.4141 ... = 0.(41).

주기 소수 분수에서 일반 분수로 전환

주기 소수 X = abc (a 1 b 1 c 1)를 생각해 보세요. 그것을 고전적인 "2층"으로 변환해야 합니다. 이렇게 하려면 다음 네 가지 간단한 단계를 따르십시오.

1. 분수의 주기를 구하세요. 주기 부분에 몇 자릿수가 있는지 세어보세요. 이것을 숫자 k라고 하자.
2. X · 10 k라는 표현의 값을 구합니다. 이는 소수점을 오른쪽으로 전체 마침표로 이동하는 것과 같습니다. "소수 곱셈 및 나눗셈" 단원을 참조하세요.
3. 결과 숫자에서 원래 표현식을 빼야 합니다. 이 경우 주기적인 부분은 "소각"되어 남아 있습니다. 공통 분수;
4. 결과 방정식에서 X를 찾습니다. 우리는 모든 소수를 일반 분수로 변환합니다.

일. 숫자를 일반적인 가분수로 변환합니다:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

우리는 첫 번째 분수로 작업합니다: X = 9,(6) = 9.666 ...

괄호에는 숫자가 하나만 포함되므로 기간은 k = 1입니다. 다음으로 이 분수에 10 k = 10 1 = 10을 곱합니다.

10X = 10 9.6666... ​​​​= 96.666...

원래 분수를 빼고 방정식을 풀어보세요.

10X − X = 96.666 ... − 9.666 ... = 96 − 9 = 87;
9X = 87;
엑스 = 87/9 = 29/3.

이제 두 번째 부분을 살펴보겠습니다. 따라서 X = 32,(39) = 32.393939...

기간 k = 2이므로 모든 것에 10 k = 10 2 = 100을 곱합니다.

100X = 100 · 32.393939 ... = 3239.3939 ...

원래 분수를 다시 빼고 방정식을 풀어보세요.

100X − X = 3239.3939 ... − 32.3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
엑스 = 3207/99 = 1069/33.

세 번째 분수로 넘어가겠습니다: X = 0.30(5) = 0.30555... 도표는 동일하므로 계산만 하겠습니다.

기간 k = 1 ⇒ 모든 것에 10을 곱합니다 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0.30555... = 3.05555...
10X − X = 3.0555 ... − 0.305555 ... = 2.75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

마지막으로 마지막 분수: X = 0,(2475) = 0.2475 2475... 다시 한번 편의상 주기 부분을 공백으로 구분합니다. 우리는:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10,000;
10,000X = 10,000 0.2475 2475 = 2475.2475 ...
10,000X − X = 2475.2475 ... − 0.2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
엑스 = 2475: 9999 = 25/101.

알려진 바와 같이, 유리수 집합(Q)은 정수 집합(Z)을 포함하고, 이는 다시 자연수 집합(N)을 포함합니다. 유리수에는 정수 외에도 분수도 포함됩니다.

그러면 왜 전체 유리수 집합이 때때로 무한 주기 소수로 간주됩니까? 실제로 분수 외에도 정수와 비주기 분수도 포함됩니다.

사실 모든 정수와 분수는 무한 주기 소수로 표시될 수 있습니다. 즉, 모든 유리수에 대해 동일한 기록 방법을 사용할 수 있습니다.

무한주기소수는 어떻게 표현되나요? 그 안에는 소수점 이하의 반복되는 숫자 그룹이 괄호 안에 표시됩니다. 예를 들어, 1.56(12)은 숫자 12가 반복되는 분수입니다. 즉, 분수의 값은 1.561212121212... 등입니다. 반복되는 숫자 그룹을 마침표라고 합니다.

그러나 숫자의 주기를 끝없이 반복되는 숫자 0으로 간주하면 이 형식으로 모든 숫자를 나타낼 수 있습니다. 예를 들어 숫자 2는 2.00000과 같습니다.... 따라서 무한 주기 분수, 즉 2,(0)로 쓸 수 있습니다.

유한 분수에 대해서도 마찬가지입니다. 예를 들어:

0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)

그러나 실제로는 유한 분수를 무한 주기로 변환하는 방법을 사용하지 않습니다. 따라서 유한 분수와 무한 주기 분수를 분리합니다. 따라서 유리수에는 다음이 포함된다고 말하는 것이 더 정확합니다.

• 모든 정수
• 최종 분수,
• 무한 주기 분수.

동시에, 정수와 유한 분수는 이론적으로 무한 주기 분수의 형태로 표현 가능하다는 점을 기억하세요.

반면에 유한의 개념과 무한 분수소수 부분에 적용됩니다. 분수의 경우, 유한소수와 무한소수 모두 분수로 고유하게 표현될 수 있습니다. 이는 일반 분수의 관점에서 보면 주기 분수와 유한 분수가 동일한 것임을 의미합니다. 또한 정수는 숫자를 1로 나눈다고 상상하여 분수로 나타낼 수도 있습니다.

십진수 무한 주기 분수를 일반 분수로 표현하는 방법은 무엇입니까? 가장 일반적으로 사용되는 알고리즘은 다음과 같습니다.

1. 소수점 뒤에 마침표만 남도록 분수를 줄이세요.
2. 무한 주기 분수에 10, 100 또는 ...을 곱하면 소수점이 한 마침표만큼 오른쪽으로 이동합니다(즉, 한 마침표가 전체 부분에서 끝납니다).
3. 원래 분수(a)를 변수 x와 동일하게 하고, 숫자 N을 Nx에 곱하여 얻은 분수(b)를 동일시합니다.
4. Nx에서 x를 뺍니다. b에서 a를 뺍니다. 즉, 방정식 Nx – x = b – a를 구성합니다.
5. 방정식을 풀 때 결과는 일반 분수입니다.

무한 주기 소수를 일반 분수로 변환하는 예:
x = 1.13333...
10x = 11.3333...
10x * 10 = 11.33333... * 10
100x = 113.3333...
100x – 10x = 113.3333... – 11.3333...
90x = 102
x =