분모가 다른 숫자를 비교하는 방법. 분수의 비교

두 분수에서 같은 분모분자가 큰 것이 더 크고, 분자가 작은 것이 더 작습니다.. 실제로 분모는 전체 값이 몇 부분으로 나누어졌는지를 나타내고, 분자는 그러한 부분이 몇 부분으로 나누어졌는지를 나타냅니다.

우리는 각 원 전체를 같은 숫자로 나눈 것으로 나타났습니다 5 , 하지만 그들은 가져갔어 다른 수량부품 : 그들은 더 많은 부분을 차지했고 더 큰 부분이 밝혀졌습니다.

분자가 같은 두 분수 중에서 분모가 작은 분수가 더 크고, 분모가 큰 분수가 더 작습니다.사실 하나의 원을 다음과 같이 나누면 8 부품, 다른 하나는 5 각 원에서 한 부분을 가져옵니다. 어느 부분이 더 커질까요?

물론, 다음으로 나누어진 원에서 5 부속! 이제 그들이 원이 아니라 케이크를 나누고 있다고 상상해 보세요. 5분의 1과 8분의 1 중 어떤 작품을 선호하시나요? 아니면 어떤 작품을 공유하시겠습니까?

분자와 분모가 다른 분수를 비교하려면 분수를 가장 낮은 공통 분모로 줄인 다음 분모가 같은 분수를 비교해야 합니다.

예. 공통 분수를 비교해보세요:

이 분수를 가장 낮은 공통 분모로 줄여보겠습니다. NOZ(4 ; 6)=12. 우리는 각 분수에 대한 추가 요인을 찾습니다. 첫 번째 부분의 경우 추가 요소 3 (12: 4=3 ). 두 번째 부분의 경우 추가 요소 2 (12: 6=2 ). 이제 두 결과 분수의 분자를 동일한 분모와 비교합니다. 첫 번째 분수의 분자가 두 번째 분수의 분자보다 작기 때문에 ( 9<10) 이면 첫 번째 분수 자체가 두 번째 분수보다 작습니다.

이번 시간에는 분수를 서로 비교하는 방법을 배워보겠습니다. 이는 보다 복잡한 문제 전체를 해결하는 데 필요한 매우 유용한 기술입니다.

먼저, 분수 평등의 정의를 상기시켜 드리겠습니다.

분수 a /b와 c /d는 ad = bc이면 같다고 합니다.

1. 5/8 = 15/24, 5 24 = 8 15 = 120이므로;
2. 3/2 = 27/18, 3 18 = 2 27 = 54이기 때문입니다.

다른 모든 경우에는 분수가 동일하지 않으며 다음 설명 중 하나가 해당됩니다.

1. 분수 a/b는 분수 c/d보다 큽니다.
2. 분수 a /b는 분수 c /d보다 작습니다.

a /b − c /d > 0인 경우 분수 a /b는 분수 c /d보다 크다고 합니다.

x /y − s /t인 경우 분수 x /y는 분수 s /t보다 작다고 합니다.< 0.

지정:

따라서 분수를 비교하는 것은 분수를 빼는 것으로 귀결됩니다. 질문: "이상"(>) 및 "이하"(>) 표기와 혼동하지 않는 방법<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

1. 갈까마귀의 벌어진 부분은 항상 더 큰 숫자를 향합니다.
2. 갈까마귀의 날카로운 코는 항상 낮은 숫자를 가리킵니다.

숫자를 비교해야 하는 문제에서는 종종 숫자 사이에 "∨" 기호가 배치됩니다. 이것은 코를 아래로 한 갈가마귀인데, 이는 암시하는 것처럼 보입니다. 숫자 중 더 큰 숫자가 아직 결정되지 않았습니다.

일. 숫자 비교:

정의에 따라 서로 분수를 뺍니다.

각 비교에서 우리는 분수를 공통 분모로 줄여야 했습니다. 구체적으로는 십자형 방법을 사용하여 최소 공배수를 찾는 것입니다. 나는 의도적으로 이러한 점에 초점을 맞추지 않았지만 명확하지 않은 것이 있으면 "분수 덧셈 및 뺄셈"강의를 살펴보십시오. 매우 쉽습니다.

소수의 비교

소수의 경우 모든 것이 훨씬 간단합니다. 여기서는 아무것도 뺄 필요가 없습니다. 숫자만 비교하면 됩니다. 숫자의 유효 부분이 무엇인지 기억해 두는 것이 좋습니다. 잊어버린 분들을 위해 "소수 곱하기 및 나누기" 수업을 반복하는 것이 좋습니다. 이 과정에도 몇 분 밖에 걸리지 않습니다.

다음과 같은 소수 자릿수가 포함된 경우 양의 소수 X는 양의 소수 Y보다 큽니다.

1. 분수 X에서 이 자리의 숫자는 분수 Y의 해당 숫자보다 큽니다.
2. 분수 X와 Y에서 이보다 높은 모든 숫자는 동일합니다.

1. 12.25 > 12.16. 처음 두 자리는 같고(12 = 12), 세 번째 자리는 더 큽니다(2 > 1).
2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

즉, 소수점 이하 자릿수를 하나씩 살펴보며 차이점을 찾아봅니다. 이 경우 더 큰 숫자는 더 큰 분수에 해당합니다.

그러나 이 정의에는 설명이 필요합니다. 예를 들어 소수점 이하 자릿수를 쓰고 비교하는 방법은 무엇입니까? 기억하세요: 십진수 형식으로 작성된 숫자에는 왼쪽에 0이 추가될 수 있습니다. 다음은 몇 가지 예입니다.

1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (우리 얘기 중이야고위직에 대해).
2. 2300.5 > 0.0025, 왜냐하면 0.0025 = 0000.0025 - 왼쪽에 3개의 0이 추가되었습니다. 이제 차이가 첫 번째 숫자인 2 > 0에서 시작되는 것을 볼 수 있습니다.

물론, 0이 있는 주어진 예에는 명백한 과잉이 있었지만 요점은 정확히 이것입니다: 왼쪽의 누락된 비트를 채우고 비교하십시오.

일. 분수 비교:

1. 0,029 ∨ 0,007;
2. 14,045 ∨ 15,5;
3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
4. 1700,1 ∨ 0,99501.

정의에 따르면 다음과 같습니다.

1. 0.029 > 0.007. 처음 두 자리가 일치하면(00 = 00) 차이가 시작됩니다(2 > 0).
2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
3. 0.00003 > 0.0000099. 여기서는 0을 주의 깊게 계산해야 합니다. 두 분수의 처음 5자리 숫자는 0이지만 첫 번째 분수에는 3이 있고 두 번째 분수에는 0이 있습니다. 분명히 3 > 0입니다.
4. 1700.1 > 0.99501. 두 번째 분수를 0000.99501로 다시 작성하고 왼쪽에 3개의 0을 추가해 보겠습니다. 이제 모든 것이 명확해졌습니다. 1 > 0 - 차이는 첫 번째 숫자에서 감지됩니다.

불행하게도 소수 분수를 비교하는 주어진 방식은 보편적이지 않습니다. 이 방법은 비교만 가능합니다. 양수. 일반적인 경우 작동 알고리즘은 다음과 같습니다.

1. 양의 분수는 항상 음의 분수보다 큽니다.
2. 위의 알고리즘을 사용하여 두 개의 양수 분수를 비교합니다.
3. 둘 음수 분수같은 방식으로 비교되지만 결국에는 부등호가 반전됩니다.

글쎄, 나쁘지 않지? 이제 살펴 보겠습니다. 구체적인 예-그리고 모든 것이 명확해질 것입니다.

일. 분수 비교:

1. 0,0027 ∨ 0,0072;
2. −0,192 ∨ −0,39;
3. 0,15 ∨ −11,3;
4. 19,032 ∨ 0,0919295;
5. −750 ∨ −1,45.

1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
2. -0.192 > -0.39. 분수는 음수이고 두 번째 자리는 다릅니다. 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
3. 0.15 > -11.3. 양수는 항상 음수보다 큽니다.
4. 19.032 > 0.091. 차이가 이미 첫 번째 숫자에서 발생하는지 확인하려면 두 번째 분수를 00.091 형식으로 다시 작성하는 것으로 충분합니다.
5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. 차이점은 첫 번째 범주에 있습니다.

분수를 공통 분모로 줄이지 않고 분수를 비교하는 방법은 무엇입니까?

분수를 비교할 때 먼저 분수가 가분수인지 가분수인지를 판단해야 합니다; 가분수는 분자가 분모보다 큽니다. 올바른 분모분자보다 크다. 가분수더 정확합니다. 두 분수가 모두 맞다면 분모의 자릿수를 비교해야 합니다. 분모의 자릿수가 적은 분수는 더 커집니다. ~에 동일한 수량분자와 분모에 부호가 있으면 첫 번째 큰 숫자가 식별될 때까지 분자를 분모로 나누기 시작해야 합니다.

예를 들어, 5/10과 2/3이 있습니다. 분수를 공통 분모로 줄이지 않고 이 두 숫자를 어떻게 비교할 수 있을까요? 여러분이 해야 할 일은 계산기(또는 스마트폰)를 들고 분수 나누기 동작을 수행하는 것뿐입니다. 결과 숫자는 0.5와 0.67입니다. 이는 분수 2/3이 5/10보다 크다는 것을 의미합니다.

첫째, 분수 자체에 주의를 기울여야 합니다. 어떤 경우에도 부적절한 분수는 올바른 분수보다 클 것입니다. 잘못된 것은 분모보다 분자가 더 큰 것입니다.

잘 다음 옵션- 이는 단순히 나누기 과정을 수행하여 어느 것이 더 큰지 명확하게 확인하기 위한 것입니다.

그런 경우에는 항상 어떻게든 마음속으로 분수를 줄여서 분자와 분모의 비율을 살펴보려고 노력합니다. 예를 들면 다음과 같습니다. 분수 7/14와 3/4가 있습니다. 첫 번째 부분을 줄이면(원칙적으로 줄일 필요는 없음) 1/2 또는 반, 음, 3/4는 분명히 절반(75%)보다 많습니다. 따라서 두 번째 분수는 더 커질 것입니다. 이 모든 것은 마음 속에서 자동으로, 자연스럽게 고려됩니다.

자, 우선 분모를 보세요. 한 분수가 더 적다면 아마도 가장 작은 분수일 것입니다. 그런 다음 분자를보십시오. 예를 들어, 나는 그것을보고 알아냅니다. 때로는 도움이 됩니다. 어쩌면 당신에게도 도움이 될 것입니다 ...

• 공통 분모로 가져오지 않고 비교해야 하는 몇 가지 분수가 있습니다. 여기에서 몇 가지 추측적인 트릭을 시도해 볼 수 있습니다.

  1. 가분수와 가분수가 어디에 있는지 확인하세요. 첫 번째 경우는 간단합니다. 분자가 분모보다 작고 단위가 없고 일부만 있습니다. 5/8. 두 번째는 분자가 분모를 능가하는 1+어떤 종류의 꼬리의 보다 적절한 형태를 요구합니다. 8/5. 가분수는 어떤 진분수보다 크다.
  2. 상상력을 발휘하여 다음 질문에 답할 수 있습니다. 하나에 빠진 분수는 몇 개입니까? 5/6 대 7/8. 물론 마지막 숫자가 승리합니다. 왜냐하면 여섯 번째 부분보다 훨씬 작은 여덟 번째 부분이 없기 때문입니다.
  3. 반으로 비교할 수 있습니다. 이렇게 하려면 원을 그리고 그 안에 필요한 부분을 칠하는 등 명확성을 추가해야 할 수도 있습니다. 둘 다 작거나 크면 두 분수를 비교하기 위해 다른 분수를 찾아야 합니다.

계속해서 분수를 공부해 봅시다. 오늘 우리는 그들의 비교에 대해 이야기 할 것입니다. 주제는 흥미롭고 유용합니다. 초보자가 흰 가운을 입은 과학자처럼 느껴질 수 있습니다.

분수 비교의 핵심은 두 분수 중 어느 분수가 더 크거나 작은지 알아내는 것입니다.

두 분수 중 어느 것이 더 크거나 작은지에 대한 질문에 대답하려면 more(>) 또는 less(<).

수학자들은 이미 어느 분수가 더 크고 어느 분수가 더 작은지에 대한 질문에 즉시 대답할 수 있는 기성 규칙을 처리했습니다. 이러한 규칙은 안전하게 적용될 수 있습니다.

우리는 이 모든 규칙을 살펴보고 왜 이런 일이 발생하는지 알아내려고 노력할 것입니다.

수업 내용

분모가 같은 분수 비교하기

비교해야 할 분수가 다릅니다. 가장 좋은 경우는 분수의 분모는 같지만 분자가 다른 경우입니다. 이 경우 다음 규칙이 적용됩니다.

분모가 같은 두 분수 중에서 분자가 큰 분수가 더 큽니다. 따라서 분자가 더 작은 분수는 더 작아질 것입니다.

예를 들어, 분수를 비교하고 어느 분수가 더 큰지 답해 봅시다. 여기서 분모는 같지만 분자는 다릅니다. 분수는 분수보다 더 큰 분자를 갖습니다. 이는 분수가 .보다 크다는 것을 의미합니다. 그것이 우리가 대답하는 방법입니다. 더보기 아이콘(>)을 사용하여 답변해야 합니다.

이 예는 네 부분으로 나누어진 피자를 기억하면 쉽게 이해할 수 있습니다. 피자보다 피자가 더 많아요.

모든 사람들은 첫 번째 피자가 두 번째 피자보다 크다는 데 동의할 것입니다.

동일한 분자를 사용하여 분수 비교하기

다음으로 다룰 수 있는 경우는 분수의 분자는 같지만 분모가 다른 경우입니다. 이러한 경우에는 다음 규칙이 제공됩니다.

분자가 같은 두 분수 중에서 분모가 작은 분수가 더 큽니다. 따라서 분모가 더 큰 분수는 더 작습니다.

예를 들어 분수와 를 비교해 보겠습니다. 이들 분수 동일한 분자. 분수는 분수보다 분모가 더 작습니다. 이는 분수가 분수보다 크다는 것을 의미합니다. 그래서 우리는 이렇게 대답합니다.

이 예는 세 부분과 네 부분으로 나누어진 피자를 기억하면 쉽게 이해할 수 있습니다. 피자보다 피자가 더 많아요.

모든 사람들은 첫 번째 피자가 두 번째 피자보다 크다는 데 동의할 것입니다.

분자와 분모가 다른 분수 비교하기

분자와 분모가 다른 분수를 비교해야 하는 경우가 종종 있습니다.

예를 들어 분수와 . 이 분수 중 어느 것이 더 크거나 작은지에 대한 질문에 답하려면 두 분수를 동일한(공통) 분모로 가져와야 합니다. 그러면 어떤 분수가 더 크거나 작은지 쉽게 확인할 수 있습니다.

분수를 동일한(공통) 분모로 가져오겠습니다. 두 분수의 분모의 LCM을 구해 봅시다. 분수의 분모의 LCM은 숫자 6입니다.

이제 각 분수에 대한 추가 요인을 찾습니다. LCM을 첫 번째 분수의 분모로 나누어 보겠습니다. LCM은 숫자 6이고 첫 번째 분수의 분모는 숫자 2입니다. 6을 2로 나누면 추가 요소 3을 얻습니다. 첫 번째 분수 위에 씁니다.

이제 두 번째 추가 요소를 찾아보겠습니다. LCM을 두 번째 분수의 분모로 나누어 보겠습니다. LCM은 숫자 6이고 두 번째 분수의 분모는 숫자 3입니다. 6을 3으로 나누면 추가 요소 2를 얻습니다. 두 번째 분수 위에 씁니다.

분수에 추가 요소를 곱해 보겠습니다.

우리는 분모가 다른 분수는 분모가 같은 분수로 변한다는 결론에 도달했습니다. 그리고 우리는 그러한 분수를 비교하는 방법을 이미 알고 있습니다. 분모가 같은 두 분수 중에서 분자가 더 큰 분수가 더 큽니다.

규칙은 규칙이고 왜 그 이상인지 알아내려고 노력할 것입니다. 이렇게 하려면 분수에서 전체 부분을 선택합니다. 분수는 이미 고유하므로 분수에 있는 어떤 것도 강조할 필요가 없습니다.

분수에서 정수 부분을 분리한 후 다음 표현식을 얻습니다.

이제 왜 . 이 분수들을 피자로 그려봅시다:

피자 2판과 피자, 피자보다 더 많은 피자.

대분수의 뺄셈. 어려운 경우.

빼기 대분수, 때로는 일이 원하는 만큼 순조롭게 진행되지 않는 것을 발견할 수도 있습니다. 예제를 풀 때 답이 정답이 아닌 경우가 종종 있습니다.

숫자를 뺄 때 피감수는 감수보다 커야 합니다. 이 경우에만 정상적인 답변을 받게 됩니다.

예를 들어 10−8=2

10 - 감소 가능

8 - 서브 헨드

2 - 차이

피감수 10이 감수 8보다 크므로 정규 답 2를 얻습니다.

이제 피감수가 감수보다 작으면 어떤 일이 발생하는지 살펴보겠습니다. 예 5−7=−2

5—감소 가능

7 - 서브 헨드

−2 — 차이

이 경우 우리는 익숙했던 숫자의 한계를 넘어 걷기에는 너무 이르고 심지어 위험하기까지 한 음수의 세계에 빠져들게 됩니다. 음수를 다루려면 아직까지 받지 못한 적절한 수학적 교육이 필요합니다.

뺄셈 예제를 풀 때 피감수가 감산보다 작은 경우 지금은 해당 예제를 건너뛸 수 있습니다. 음수를 연구한 후에만 음수로 작업하는 것이 허용됩니다.

상황은 분수와 동일합니다. 피감수는 감수보다 커야 합니다. 이 경우에만 정상적인 답변을 얻을 수 있습니다. 그리고 감소되는 분수가 뺄 분수보다 큰지 이해하려면 이러한 분수를 비교할 수 있어야 합니다.

예를 들어 문제를 풀어보겠습니다.

뺄셈의 예입니다. 이 문제를 해결하려면 뺄셈되는 분수가 뺄셈되는 분수보다 큰지 확인해야 합니다. 이상

그러면 안전하게 예제로 돌아가서 문제를 해결할 수 있습니다.

이제 이 예제를 풀어보겠습니다.

우리는 감소되는 분수가 뺄 분수보다 큰지 확인합니다. 우리는 그것이 더 적다는 것을 발견했습니다:

이 경우에는 중지하고 더 이상 계산을 계속하지 않는 것이 더 현명합니다. 음수를 연구할 때 이 예로 돌아가겠습니다.

뺄셈을 하기 전에 대분수를 확인해 보는 것도 좋습니다. 예를 들어 표현식의 값을 찾아보겠습니다.

먼저, 약해지는 대분수가 뺄셈되는 대분수보다 큰지 확인해 봅시다. 이를 위해 대분수를 가분수로 변환합니다.

우리는 분자와 분모가 다른 분수를 받았습니다. 이러한 분수를 비교하려면 동일한(공통) 분모로 가져와야 합니다. 이를 수행하는 방법에 대해서는 자세히 설명하지 않습니다. 어려움이 있으면 반드시 반복하세요.

분수를 동일한 분모로 줄인 후 다음 표현식을 얻습니다.

이제 분수와 를 비교해야 합니다. 분모가 같은 분수입니다. 분모가 같은 두 분수 중에서 분자가 큰 분수가 더 큽니다.

분수는 분수보다 더 큰 분자를 갖습니다. 이는 분수가 분수보다 크다는 것을 의미합니다.

이는 피감수가 감수보다 크다는 것을 의미합니다.

이는 예제로 돌아가 안전하게 문제를 해결할 수 있음을 의미합니다.

예시 3.표현식의 값 찾기

피감수가 감수보다 큰지 확인해 보겠습니다.

대분수를 가분수로 변환해 보겠습니다.

우리는 분자와 분모가 다른 분수를 받았습니다. 이 분수들을 동일한(공통) 분모로 줄여보겠습니다.