« Фізика – 10 клас»

Яку швидкість показує спідометр?
Чи може міський транспорт рухатися рівномірно та прямолінійно?

Реальні тіла (людина, автомобіль, ракета, теплохід тощо. буд.), зазвичай, не рухаються з постійною швидкістю. Вони починають рухатися зі стану спокою, і їхня швидкість збільшується поступово, при зупинці швидкість зменшується також поступово, таким чином, реальні тіла рухаються нерівномірно.

Нерівномірний рух може бути як прямолінійним, і криволінійним.

Щоб повністю описати нерівномірний рух точки, треба знати її положення та швидкість у кожний момент часу.

Швидкість точки в Наразічасу називається миттєвою швидкістю.

Що розуміють під миттєвою швидкістю?

Нехай точка, рухаючись нерівномірно і кривою лінії, у певний момент часу t займає положення М (рис. 1.24). Після часу Δt 1 від цього моменту точка займе положення М 1 , здійснивши переміщення Δ 1 . Поділивши вектор Δ 1 на проміжок часу Δt 1 знайдемо таку швидкість рівномірного прямолінійного руху з якою мала б рухатися точка, щоб за час Δt потрапити з положення М в положення М 1 . Цю швидкість називають середньою швидкістю переміщення точки за Δt 1 .

Позначивши її через ср1 , запишемо: Середня швидкість спрямована вздовж сік ММ 1 . За тією ж формулою знаходимо швидкість точки при рівномірному прямолінійному русі.

Швидкість, з якою повинна рівномірно і прямолінійно рухатися точка, щоб потрапити з початкового положення в кінцеве за певний проміжок часу, називається середньою швидкістюпереміщення.

Для того щоб визначити швидкість в даний момент часу, коли точка займає положення М, знайдемо середні швидкості за менші і менші проміжки часу:

Цікаво, чи таке визначення миттєвої швидкості: «Швидкість тіла в даній точці траєкторії називається миттєвою швидкістю»?

При зменшенні проміжку часу Δt переміщення точки зменшуються за модулем і змінюються у напрямку. Відповідно до цього середні швидкості також змінюються як за модулем, так і за напрямом. Але з наближенням проміжку часу Δt до нуля середні швидкості все менше і менше відрізнятимуться один від одного. А це означає, що при прагненні проміжку часу Δt до нуля ставлення прагне певного вектора як свого граничного значення. У механіці таку величину називають швидкістю точки в даний момент часу або просто миттєвою швидкістюі позначають

Миттєва швидкістьточки є величина, що дорівнює межі відношення переміщення Δ до проміжку часу Δt, протягом якого це переміщення відбулося, при прагненні проміжку Δt до нуля.

З'ясуємо тепер, як спрямований вектор миттєвої швидкості. У будь-якій точці траєкторії вектор миттєвої швидкості спрямований так, як у межі, при прагненні проміжку часу Δt до нуля, спрямована середня швидкість переміщення. Ця середня швидкість протягом проміжку часу Δt спрямована так, як спрямований вектор переміщення Δ З малюнка 1.24 видно, що при зменшенні проміжку часу Δt вектор зменшуючи довжину, одночасно повертається. Чим коротшим стає вектор Δ, тим ближчим він до дотичної, проведеної до траєкторії в даній точці М, тобто січна переходить у дотичну. Отже,

миттєва швидкість спрямована щодо траєкторії (див. рис. 1.24).

Зокрема, швидкість точки, що рухається по колу, спрямована по дотичній до цього кола. У цьому неважко переконатись. Якщо маленькі частинки відокремлюються від диска, що обертається, то вони летять по дотичній, так як мають в момент відриву швидкість, рівну швидкості точок на колі диска. Ось чому бруд з-під коліс автомашини, що буксує, летить по дотичній до кола коліс (рис. 1.25).

Поняття миттєвої швидкості – одне з основних понять кінематики. Це поняття відноситься до точки. Тому надалі, говорячи про швидкість руху тіла, яке не можна вважати точкою, ми можемо говорити про швидкість якоїсь його точки.

Крім середньої швидкості переміщення, для опису руху частіше користуються середньою швидкістю cps .

Середня шляхова швидкістьвизначається ставленням шляху до проміжку часу, за який цей шлях пройдено:

Коли ми кажемо, що шлях від Москви до Санкт-Петербурга поїзд пройшов зі швидкістю 80 км/год, ми маємо на увазі саме середню швидкість руху поїзда між цими містами. Модуль середньої швидкості переміщення при цьому буде меншим за середню колійну швидкість, оскільки s > |Δ|.

Для нерівномірного руху також справедливий закон складання швидкостей. І тут складаються миттєві швидкості.

Нерівномірним вважається рух із швидкістю, що змінюється. Швидкість може змінюватися у напрямку. Можна зробити висновок, що будь-який рух НЕ по прямій траєкторії є нерівномірним. Наприклад, рух тіла по колу, рух тіла кинутого вдалину та ін.

Швидкість може змінюватись за чисельним значенням. Такий рух також буде нерівномірним. Особливий випадок такого руху – рівноприскорений рух.

Іноді зустрічається нерівномірний рух, який складається з чергування різного виду рухів, наприклад, спочатку автобус розганяється (рух рівноприскорений), потім якийсь час рухається рівномірно, а потім зупиняється.

Миттєва швидкість

Охарактеризувати нерівномірний рух можна лише швидкістю. Але швидкість завжди змінюється! Тому можна говорити лише про швидкість цієї миті часу. Подорожуючи машиною спідометр щомиті демонструє вам миттєву швидкість руху. Але час при цьому треба зменшити не до секунди, а розглядати менший проміжок часу!

Середня швидкість

Що таке середня швидкість? Невірно думати, що необхідно скласти всі миттєві швидкості і поділити їх кількість. Це найпоширеніша помилка про середню швидкість! Середня швидкість – це весь шлях поділити на витрачений час. І жодними іншими способами вона не визначається. Якщо розглянути рух автомобіля, можна оцінити його середні швидкості на першій половині шляху, на другій по всьому шляху. Середні швидкості можуть бути однаковими, а можуть бути різними на цих ділянках.

У середніх величин малюють зверху горизонтальну межу.

Середня швидкість руху. Середня шляхова швидкість

Якщо рух тіла не є прямолінійним, то пройдений тілом шлях буде більшим, ніж його переміщення. У цьому випадку середня швидкість переміщення відрізняється від середньої дорожньої швидкості. Шляхова швидкість - скаляр.

Головне запам'ятати

1) Визначення та види нерівномірного руху;
2) Відмінність середньої та миттєвої швидкостей;
3) Правило знаходження середньої швидкості руху

Часто потрібно вирішити завдання, де весь шлях розбитий на рівніділянки, дані середні швидкості кожному ділянці, потрібно знайти середню швидкість руху по всьому шляху. Неправильне рішення буде, якщо скласти середні швидкості і поділити їх кількість. Нижче виводиться формула, яку можна використовувати під час вирішення подібних завдань.

Миттєву швидкість можна визначити за допомогою графіка руху. Миттєва швидкість тіла у будь-якій точці на графіку визначається нахилом дотичної до кривої у відповідній точці.Миттєва швидкість - тангенс кута нахилу щодо графіку функції.

Вправи

Під час їзди автомобілем через кожну хвилину знімалися показання спідометра. Чи можна за цими даними визначити середню швидкість руху автомобіля?

Не можна, оскільки у випадку величина середньої швидкості не дорівнює середньому арифметичному значенню величин миттєвих швидкостей. А шлях та час не дано.

Яку швидкість змінного руху показує спідометр автомобіля?

Близьку до миттєвої. Близьку, тому що проміжок часу повинен бути нескінченно малий, а при знятті свідчень зі спідометра так про час судити не можна.

У якому разі миттєва та середня швидкості рівні між собою? Чому?

При рівномірному русі. Тому що швидкість не змінюється.

Швидкість руху молотка при ударі дорівнює 8м/с. Яка це швидкість: середня чи миттєва?

Ми спробували звести нерівномірний рух до рівномірного і для цього ввели середню швидкість руху. Але це нам не допомогло: знаючи середню швидкість, не можна вирішувати найголовніше завдання механіки - визначати становище тіла будь-якої миті часу. Чи можна якимось іншим способом звести нерівномірний рух до рівномірного?

Цього, виявляється, зробити не можна, тому що механічний рух - це безперервний процес. Безперервність руху полягає в тому, що якщо, наприклад, тіло (або точка), рухаючись прямолінійно зі зростаючою швидкістю, перейшло з точки А в точку В, то воно неодмінно побуває у всіх проміжних точках, що лежать між А і В, без будь-яких пропусків . Але це ще не все. Припустимо, що, підходячи до точки А, тіло рухалося рівномірно зі швидкістю 5 м/сек, а після проходження точки воно рухалося теж рівномірно, але зі швидкістю 30 м/сек. При цьому проходження ділянки АВ тіло витратило 15 сек. Отже, на відрізку АВ швидкість тіла за 15 секунд змінилася на 25 м/сек. Але так само як тіло при своєму русі не могло обминути жодну з точок на його шляху, його швидкість мала прийняти всі значення швидкості між 5 і 30 м/сек. Теж без жодних перепусток! У цьому полягає безперервність механічного руху: ні координати тіла, і його швидкість що неспроможні змінюватися стрибками. Звідси можна зробити важливий висновок. Різних значень швидкості в інтервалі від 5 до 30 м/сек є безліч (в математиці кажуть, нескінченно багато значень). Але між точками А і В є і незліченна безліч (нескінченно багато!) точок, а 15-секундний інтервал часу, протягом якого тіло перемістилося з точки А в точку В, складається з безлічі проміжків часу (час теж тече без стрибків!) .

Отже, у кожній точці траєкторії руху і в кожний момент часу тіло мало певну швидкість.

Швидкість, яку має тіло в даний момент часу та в даній точці траєкторії, називають миттєвою швидкістю.

При рівномірному прямолінійному русі швидкість тіла визначається ставленням його переміщення до проміжку часу, протягом якого скоєно це переміщення. Що ж означає швидкість у цій точці чи зараз?

Припустимо, що деяке тіло (як завжди, ми насправді маємо на увазі якусь певну точку цього тіла) рухається прямолінійно, але не рівномірно. Як обчислити його миттєву швидкість у певній точці А його траєкторії? Виділимо невелику ділянку на цій траєкторії, що включає точку А (рис. 38). Мале переміщення тіла на цій ділянці позначимо через

а малий проміжок часу, протягом якого воно скоєно, через розділивши на ми отримаємо середню швидкість на цій ділянці: адже швидкість змінюється безперервно і в різних місцях ділянки 1 вона різна.

Зменшимо тепер довжину ділянки 1. Виберемо ділянку 2 (див. рис. 38), що також включає в себе точку А. На цій меншій ділянці переміщення однаково і проходить його тіло за проміжок часу Ясно, що на ділянці 2 швидкість тіла встигає змінитися на меншу величину . Але ставлення дає нам і для цієї меншої ділянки все ж таки середню швидкість. Ще менше зміна швидкості протягом ділянки 3 (також включає точку А), меншого, ніж ділянки 1 і 2, хоча, розділивши переміщення на проміжок часу ми знову отримаємо середню швидкість на цьому малому ділянці траєкторії. Поступово зменшуватимемо довжину ділянки, а разом з ним і проміжок часу, за який тіло проходить ця ділянка. Зрештою ми стягнемо ділянку траєкторії, що прилягає до точки А, в саму точку А, а проміжок часу – у момент часу. Тоді середня швидкість і стане миттєвою швидкістю, тому що на досить малій ділянці зміна швидкості буде настільки мало, що її можна не враховувати, отже, можна вважати, що швидкість не змінюється.

Миттєва швидкість, або швидкість у цій точці, дорівнює відношенню досить малого переміщення на малій ділянці траєкторії, прилеглої до цієї точки, до малого проміжку часу, протягом якого відбувається це переміщення.

Зрозуміло, що швидкість рівномірного прямолінійного руху – це одночасно його миттєва та середня швидкість.

Миттєва швидкість – величина векторна. Її спрямована збігається з напрямком переміщення (руху) в даній точці Прийом, до якого ми вдалися, щоб пояснити сенс

миттєвої швидкості, таким чином, полягає в наступному. Ділянку траєкторії та час, протягом якого він проходить, ми подумки поступово зменшуємо доти, поки ділянку вже не можна відрізнити від точки, проміжок часу – від моменту часу, а нерівномірний рух – від рівномірного. Таким прийомом завжди користуються, коли вивчають явища, в яких відіграють роль будь-які величини, що безперервно змінюються.

Нам залишається тепер з'ясувати, що необхідно знати для знаходження миттєвої швидкості тіла у будь-якій точці траєкторії та у будь-який момент часу.

2.2 Середня та миттєва швидкість при русі точки по прямій

Як ми зазначали, рівномірний рух є найпростішою моделлю механічного руху. Якщо така модель не застосовується, необхідно використовувати складніші моделі. Для їх побудови нам необхідно розглянути поняття швидкості у разі нерівномірного руху.

Нехай за інтервал часу від t 0 до t 1 координата точки змінилася від x 0 до x 1 . Якщо ми обчислимо швидкість за колишнім правилом

\(~\upsilon_(cp) = \frac(\Delta x)(\Delta t) = \frac(x_1 - x_0)(t_1 - t_0) \) , (1)

то отримаємо величину (вона називається середньою швидкістю), яка описує швидкість руху «в середньому» - цілком можливо, що за першу половину часу руху точка змістилася на більшу відстань, ніж за другу.

Середньою швидкістю називається фізична величина, що дорівнює відношенню зміни координати точки до інтервалу часу, протягом якого ця зміна відбулася.

Геометричний сенс середньої швидкості - коефіцієнт нахилу сіючої ABграфік закону руху.

Для більш детального, більш точного опису руху можна задати два значення середньої швидкості – за першу половину часу руху υ ср1 , за другу половину - υ ср2 .Якщо і така точність нас не влаштовує - то необхідно дробити часові інтервали далі - на чотири, вісім і т.д. частин. При цьому необхідно ставити відповідно чотири, вісім тощо. значень середніх швидкостей Погодьтеся, такий опис стає громіздким та незручним. Вихід із цієї ситуації давно знайдений - він полягає в тому, щоб розглядати швидкість як функцію часу.

Давайте подивимося, як змінюватиметься середня швидкість при зменшенні проміжку часу, протягом якого ми цю швидкість обчислюємо. На рис.6 показаний графік залежності координати матеріальної точки від часу. Обчислюватимемо середню швидкість за інтервал часу від t 0 до t 1 , послідовно наближаючи значення t 1 к t 0 . При цьому сімейство січучих A 0 A 1 , A 0 A 1 ’, A 0 A 1 '' (рис.6), буде прагнути до деякого граничного положення прямої A 0 B, яка є дотичною до графіку закону руху. Ми наводимо два різні випадки, щоб показати, що миттєва швидкість може бути як більшою, так і меншою за середню швидкість. Цю процедуру можна описати і алгебраїчно, послідовно обчислюючи відносини \(~\upsilon_(cp) = \frac(x_1 - x_0)(t_1 - t_0)\) , \(~\upsilon"_(cp) = \frac(x" _1 - x_0)(t"_1 - t_0)\) , \(~\upsilon""_(cp) = \frac(x""_1 - x_0)(t""_1 - t_0)\) . , що ці величини наближаються до деякого цілком певного значення.Це граничне значення отримало назву миттєвої швидкості.

Миттєвою швидкістю називається відношення зміни координати точки до інтервалу часу, за яке ця зміна відбулася, при інтервалі часу, що прагне до нуля:

\(~\upsilon = \frac(\Delta x)(\Delta t)\) , при Δ t → 0 . (2)

Геометричний зміст миттєвої швидкості - коефіцієнт нахилу, що стосується графіка закону руху.

Таким чином, ми «прив'язали» значення миттєвої швидкості до конкретного моменту часу - задали значення швидкості на даний момент часу, у цій точці простору. Тим самим ми з'явилася можливість розглядати швидкість тіла як функцію часу, або функцію координати.

З математичної точки зору це набагато зручніше, ніж задавати значення середніх швидкостей на багатьох малих проміжках часу. Однак давайте замислимося, а чи має фізичне значення швидкість в даний момент часу? Швидкість - характеристика руху, даному випадкупереміщення тіла у просторі. Щоб зафіксувати переміщення необхідно спостерігати за рухом протягом деякого проміжку часу. Щоб виміряти швидкість, також потрібний проміжок часу. Навіть найдосконаліші вимірювачі швидкості радарні установки вимірюють швидкість автомобілів, що рухаються, нехай за малий (близько однієї мільйонної частки секунди) проміжок часу, а не в якийсь момент часу. Отже, вираз «швидкість у час» з погляду фізики некоректно. Тим не менш, в механіці постійно користуються поняттям миттєвої швидкості, яке дуже зручне в математичних розрахунках. Математично, логічно ми можемо розглянути граничний перехід Δ t→ 0, а фізично є мінімально можливе значення проміжку Δ tза який можна виміряти швидкість.

Надалі, говорячи про швидкість, ми матимемо на увазі саме миттєву швидкість. Зауважимо, при рівномірному русі миттєва швидкість дорівнює раніше певної швидкості, тому, що при рівномірному русі відношення \(~\frac(\Delta x)(\Delta t)\) не залежить від величини проміжку часу, тому залишається незмінним і при скільки завгодно малому Δ t.

Оскільки швидкість може залежати від часу, її слід розглядати як функціючасу і зображати її у вигляді графіка.

Наприклад, автомобіль, який рушає з місця, рухається прискорено, оскільки збільшує швидкість руху. У точці початку руху швидкість автомобіля дорівнює нулю. Розпочавши рух, автомобіль розганяється до деякої швидкості. При необхідності загальмувати автомобіль не зможе зупинитися миттєво, а за якийсь час. Тобто швидкість автомобіля буде прагнути до нуля – автомобіль почне рухатись уповільнено доти, доки не зупиниться повністю. Але фізика немає терміна «уповільнення». Якщо тіло рухається, зменшуючи швидкість, цей процес також називається прискоренням, але зі знаком "-".

Середнім прискореннямназивається відношення зміни швидкості до проміжку часу, за який ця зміна відбулася. Обчислюють середнє прискорення за допомогою формули:

де це . Напрямок вектора прискорення такий самий, як у напрямку зміни швидкості Δ = - 0

де 0 є початковою швидкістю. У момент часу t 1(див. Мал. Нижче) у тіла 0 . У момент часу t 2тіло має швидкість. З правила віднімання векторів, визначимо вектор зміни швидкості Δ = - 0 . Звідси обчислюємо прискорення:

.

У системі СІ одиницею прискоренняназивається 1 метр на секунду за секунду (або метр на секунду у квадраті):

.

Метр на секунду в квадраті - це прискорення точки, що прямолінійно рухається, при якому за 1 зі швидкість цієї точки зростає на 1 м/с. Іншими словами, прискорення визначає міру зміни швидкості тіла за 1 с. Наприклад, якщо прискорення становить 5 м/с 2 , отже, швидкість тіла щомиті зростає 5 м/с.

Миттєве прискорення тіла (матеріальної точки)Зараз часу - це фізична величина , яка дорівнює межі, якого прагне середнє прискорення при прагненні проміжку часу до 0. Іншими словами - це прискорення, що розвивається тілом за дуже короткий період:

.

Прискорення має такий самий напрямок, як і зміна швидкості Δ в украй маленьких проміжках часу, за які швидкість змінюється. Вектор прискорення можна встановити за допомогою проекцій на відповідні осі координат у заданій системі відліку (проекціями а Х, a Y , a Z).

При прискореному прямолінійному русі швидкість тіла зростає по модулю, тобто. v 2 > v 1 , а вектор прискорення має такий самий напрямок, як і вектор швидкості 2 .

Якщо швидкість тіла за модулем зменшується (v 2< v 1), значит, у вектора ускорения направление противоположно направлению вектора скорости 2 . Другими словами, в таком случае наблюдаем уповільнення руху(прискорення негативне, а< 0). На рисунке ниже изображено направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Якщо відбувається рух криволінійною траєкторією, то змінюється модуль і напрямок швидкості. Значить вектор прискорення зображують у вигляді 2х складових.

Тангенційним (дотичним) прискореннямназивають ту складову вектора прискорення, яка спрямована по дотичній траєкторії в даній точці траєкторії руху. Тангенціальне прискорення визначає ступінь зміни швидкості за модулем під час здійснення криволінійного руху.

У вектор тангенціального прискоренняτ (див. рис. вище) напрям такий, як і в лінійної швидкості або протилежно йому. Тобто. вектор тангенціального прискорення знаходиться в одній осі з дотичного кола, що є траєкторією руху тіла.