Тела и поверхности вращения. Вписанные и описанные фигуры
Сфера, вписанная в цилиндр
Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается его оснований и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом цилиндр называется описанным около сферы.
В цилиндр можно вписать сферу, если высота цилиндра равна
диаметру его основания.
Ее центром будет точка O , являющаяся
серединой отрезка, соединяющего центры оснований O 1 и O 2 цилиндра.
Радиус сферы R будет равен
радиусу окружности основания цилиндра.
Упражнение 1
В цилиндр высоты 2 вписана сфера. Найдите ее радиус.
Упражнение 2
В цилиндр вписана сфера радиуса 1. Найдите высоту цилиндра.
Упражнение 3
2. Какой должна быть высота цилиндра, чтобы в него можно было вписать сферу?
Упражнение 4
Высота цилиндра равна 2. Каким должен быть радиус основания цилиндра, чтобы в него можно было вписать сферу?
Упражнение 5
Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами 1 и 2. Можно ли в этот цилиндр вписать сферу?
Ответ: Нет.
Упражнение 6
Осевым сечением цилиндра является квадрат. Можно ли в этот цилиндр вписать сферу?
Ответ: Да.
Упражнение 7
Можно ли вписать сферу в цилиндр, осевым сечением которого является ромб?
Ответ: Нет.
Упражнение 8
Можно ли вписать сферу в наклонный цилиндр?
Ответ: Нет.
Упражнение 9
Площадь осевого сечения цилиндра, в который вписана сфера, равна 4 см 2 . Найдите диаметр сферы.
Ответ: 2 см.
Упражнение 10
Периметр осевого сечения цилиндра, в который вписана сфера, равен 8 см. Найдите радиус сферы.
Ответ: 1 см.
Упражнение 1 1
Какой наибольший радиус может быть у сферы, помещающейся в цилиндр, радиус основания которого равен 2, и высота 1.
Ответ: 0,5 см.
Упражнение 12
Можно ли сферу радиуса 1 поместить в наклонный цилиндр, радиус основания которого равен 1, а боковое ребро равно 2 и наклонено к плоскости основания под углом 60 о.
Ответ: Нет.
Упражнение 13
Какой наибольший радиус может быть у сферы, помещающейся в наклонный цилиндр, радиус основания которого равен 1, а боковое ребро равно 2 и наклонено к плоскости основания под углом 60 о.
Сфера, описанная около цилиндра
Цилиндр называется вписанным в сферу, если окружности оснований цилиндра лежат на сфере. При этом сфера называется описанной около цилиндра.
Около любого цилиндра можно описать сферу. Ее центром будет точка O , являющаяся серединой отрезка, соединяющего центры оснований O 1 и O 2 цилиндра.
Радиус сферы R вычисляется по формуле
где h – высота цилиндра, r – радиус окружности основания.
В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой
Упражнение 1
Диагональ осевого сечения цилиндра равна 2. Найдите радиус сферы, описанной около этого цилиндра.
Упражнение 2
Около цилиндра высоты 2 и радиуса основания 1 описана сфера. Найдите ее радиус.
Упражнение 3
Около цилиндра, радиус основания которого равен 1, описана сфера радиуса 2. Найдите высоту цилиндра.
Упражнение 4
Около цилиндра, высота которого равна 1, описана сфера радиуса 1. Найдите радиус основания цилиндра.
Упражнение 5
Найдите наименьший радиус сферы, в которую помещается наклонный цилиндр, радиус основания которого равен 1, образующая равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 60 о.
Цилиндр, вписанный в призму
Ц илиндр называется вписанным в призму, если е го основания в писаны в основани я цилиндра. При этом, призма называется описанной около цилиндра
В призму можно вписать цилиндр тогда и только тогда, когда
в ее основание можно вписать окружность.
Радиус основания цилиндра равен
радиусу окружности, вписанной в основание призмы.
В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой
Высота цилиндра равна
высоте призмы.
Упражнение 1
Можно ли вписать цилиндр в наклонную призму?
Ответ: Да, наклонный цилиндр.
Упражнение 2
В основании прямой призмы правильный треугольник со стороной 1. Найдите радиус окружности основания цилиндра, вписанного в эту призму.
Упражнение 3
В основании прямой призмы прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Найдите радиус окружности основания цилиндра, вписанного в эту призму.
Упражнение 4
Найдите радиус окружности основания цилиндра, вписанного в единичный куб.
Упражнение 5
В правильную шестиугольную призму, со стороной основания 1, вписан цилиндр. Найдите радиус окружности основания этого цилиндра.
Цилиндр, описанный около призмы
Ц илиндр называется описанным около призмы, если е го основания о писаны около основани й цилиндра. При этом, п ризма называется вписанной в цилиндр
Около призмы можно описать цилиндр, если около ее оснований можно описать окружности.
Радиус основания цилиндра равен
радиусу окружности, описанной около основания призмы.
В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой
Высота цилиндра равна
высоте призмы.
Упражнение 1
Можно ли описать цилиндр около наклонной призмы?
Ответ: Да, наклонный цилиндр.
Упражнение 2
В основании прямой призмы правильный треугольник со стороной 1. Найдите радиус окружности основания цилиндра, описанного около этой призмы.
Упражнение 3
В основании прямой призмы прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Найдите радиус окружности основания цилиндра, описанного около этой призмы.
Упражнение 4
В основании прямой призмы квадрат со стороной 1. Найдите радиус окружности основания цилиндра, описанного около этой призмы.
Упражнение 5
Около правильной шестиугольной призмы, со стороной основания 1, описан цилиндр. Найдите радиус окружности основания этого цилиндра.
Упражнение 6
Около единичного тетраэдра описан цилиндр так, что вершины тетраэдра принадлежат окружностям оснований цилиндра. Найдите радиус основания и высоту цилиндра.
Упражнение 7
Около единичного октаэдра описан цилиндр так, что две противоположные вершины октаэдра находятся в центрах оснований цилиндра, а остальные вершины принадлежат боковой поверхности цилиндра. Найдите радиус основания и высоту цилиндра.
Многоугольник называется вписанным в выпуклую кривую, а кривая – описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на кривой (рис. 1). Многоугольник называется описанным вокруг выпуклой кривой, а кривая – вписанной в многоугольник, если каждая его сторона касается кривой. Если же кривая касается всех прямых, на которых лежат стороны многоугольника, причем некоторых из них она касается в точках, не принадлежащих сторонам, то она называется вневписанной. В качестве кривой чаще всего рассматривается окружность. Так, например, всякий треугольник имеет одну описанную окружность, одну вписанную и три вневписанных (рис. 2).
Но уже не всякий четырехугольник имеет вписанную или описанную окружность. Описанная вокруг четырехугольника окружность существует лишь в том случае, если сумма его противоположных углов равна 180°. А для того чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы каждая сумма длин одной пары противоположных сторон была равна сумме длин второй пары сторон.
Вписанная и описанная окружности существуют у любого правильного многоугольника (рис. 3). Этот факт использовался еще в древности для нахождения отношения длины окружности к ее радиусу.
Нетрудно обнаружить тот факт, что если на плоскости задана замкнутая кривая и равносторонний треугольник, то вокруг всегда можно описать равносторонний треугольник со сторонами, параллельными сторонам данного (рис. 4). Менее очевидным является утверждение о том, что вокруг любой замкнутой кривой можно описать квадрат.
Вписанные и описанные фигуры рассматриваются и в пространстве.
В этом случае вместо многоугольника рассматривается многогранник, а вместо выпуклой линии – выпуклая поверхность, чаще всего сфера.
Сфера называется описанной около многогранника, а многогранник – вписанным в сферу, если все вершины многогранника лежат на сфере. Сфера называется вписанной в многогранник, а многогранник описанным около сферы, если плоскости всех его граней касаются сферы.
У правильных многогранников существуют описанные и вписанные сферы, поскольку вершины правильного многогранника равноудалены от его центра (рис. 5). Для того чтобы у других многогранников существовали описанная и вписанная сферы, требуются определенные условия. Например, около прямой призмы или пирамиды можно описать сферу, если можно описать окружность около ее основания (рис. 6).
Иногда рассматривают конус, вписанный в сферу; сферу, вписанную в конус, цилиндр и т.п. (рис. 7).
На могильной плите Архимеда, как завещал ученый, был изображен цилиндр с вписанным шаром, а эпитафия говорила о величайшем открытии Архимеда о том, что объемы этих тел относятся как 3:2. Когда римский оратор и общественный деятель Цицерон, живший в І в. до н. э., был в Сицилии, он еще видел этот заросший кустами и терновником памятник с шаром и цилиндром.
