ఉన్నత గణితం. పరిష్కారాలతో షాప్కిన్ సమస్యలు

ఉదాహరణ 6.6. రెండు యంత్రాలు ఒకదానికొకటి స్వతంత్రంగా పనిచేస్తాయి. కొంత సమయం t మొదటి యంత్రం యొక్క నిరంతరాయ ఆపరేషన్ యొక్క సంభావ్యత p1 = 0.9, రెండవది - p2 = 0.8. పేర్కొన్న సమయ వ్యవధిలో రెండు యంత్రాల అంతరాయం లేని ఆపరేషన్ యొక్క సంభావ్యత ఎంత?

పరిష్కారం. కింది సంఘటనలను పరిశీలిద్దాం: А1 и А2 - మొదటి మరియు రెండవ యంత్రాల నిరంతరాయ ఆపరేషన్, వరుసగా, t సమయంలో; A - పేర్కొన్న సమయానికి రెండు యంత్రాల యొక్క నిరంతరాయ ఆపరేషన్. ఈవెంట్ A అనేది ఈవెంట్‌ల కలయిక A1 и À2, t.å. À = À1 À2 . ఈవెంట్‌లు A1 మరియు À2 స్వతంత్రంగా ఉన్నందున (యంత్రాలు ఒకదానికొకటి స్వతంత్రంగా పనిచేస్తాయి), అప్పుడు ఫార్ములా (5)ని ఉపయోగించి మనం పొందుతాము:

P (À) = P (À1) · P (À2) = 0.9 · 0.8 = 0.72.

ఉదాహరణ 6.7. సమస్య 6.6లో. ఇది (ఈవెంట్ B) సమయంలో కనీసం రెండు యంత్రాలలో ఒకదాని యొక్క అంతరాయం లేని ఆపరేషన్ యొక్క సంభావ్యతను నిర్ణయించండి.

మొదటి మార్గం. వ్యతిరేక ఈవెంట్ Bని పరిశీలిద్దాం, అంటే t సమయంలో రెండు యంత్రాల పనికిరాని సమయం. సహజంగానే-

కానీ ఆ ఈవెంట్ B అనేది A1 మరియు A 2 ఈవెంట్‌ల కలయిక - మొదటి మరియు రెండవ యంత్రాల పనికిరాని సమయం, అనగా. B = A1 A2. A1 మరియు A2 ఈవెంట్‌లు స్వతంత్రంగా ఉంటాయి కాబట్టి

P (B) = P (A1)×P (A2) = = 0.1×0.2 = 0.02.

P(B) = 1− P(B) = 0.98.

రెండవ మార్గం. కింది మూడు అననుకూల సంఘటనలలో ఒకటి సంభవించినప్పుడు ఈవెంట్ B సంభవిస్తుంది: గాని

А1 · 2 2 - ఈవెంట్‌ల కలయిక А1 మరియు А2 (మొదటి యంత్రం పని చేస్తోంది,

రెండవది - పని చేయదు), లేదా A1 · À2 - ఈవెంట్‌ల కలయిక A1 è À2 (మొదటి యంత్రం పని చేయదు, రెండవది పని చేస్తుంది), లేదా A1 À2 - ఈవెంట్‌ల కలయిక A1 è À2 (రెండు యంత్రాలు పని చేస్తాయి), అనగా.

B = A1 × A2 + A1 × A2 + A1 × A2.

ఫార్ములా (3)ని ఉపయోగించి మనం పొందుతాము:

P(B) = P(A1×A2) + P(A1×A2) + P(A1×A2).

Â సంఘటనల కారణంగా A 1 è À2 , అందువలన A1 è A2 , A1

మరియు 2 స్వతంత్రమైనవి, మనకు ఉన్నాయి:

P (B) = P (A 1 )×P (A2 ) + P (A1 )×P (A2 ) + P (A1 )×P (A2 ) =

P (A 1 ) + P (A2 ) + P (A1 )×P (A2 ) = 0.98.

ఉదాహరణ 6.8. వోల్టేజ్ పెరిగినప్పుడు, సిరీస్లో అనుసంధానించబడిన మూడు అంశాలలో ఒకదాని వైఫల్యం కారణంగా విద్యుత్ వలయంలో విరామం సంభవించవచ్చు; మూలకాల సంభావ్యత మరియు వైఫల్యం వరుసగా 0.2కి సమానం; 0.3; 0.4 గొలుసు విచ్ఛిన్నం కాదని సంభావ్యతను నిర్ణయించండి.

పరిష్కారం. సంఘటనలు A1, À2, À3 అంటే వరుసగా మొదటి, రెండవ మరియు మూడవ మూలకాల వైఫల్యం. షరతు ప్రకారం వారి సంభావ్యతలు వరుసగా సమానంగా ఉంటాయి: P (A1) = 0.2; P(A2) = 0.3; P(A3) = 0.4. అప్పుడు సంభావ్యత వ్యతిరేకం

సంఘటనలు A 1 , A2 , A 3 , వరుసగా మొదటి, రెండవ మరియు మూడవ మూలకం విఫలం కాలేదు) వీటికి సమానం:

P (A1) =1- P (A1) = 0.8; P(A2) = 0.7; P(A3) = 0.6.

ఈవెంట్ A, సర్క్యూట్ విచ్ఛిన్నం కాలేదు అనే వాస్తవాన్ని కలిగి ఉంటుంది,

స్వతంత్ర సంఘటనల కలయిక A 1, A2, A 3: A = A1 × A2 × A3. కాబట్టి, ఫార్ములా (5) ప్రకారం మేము పొందుతాము:

P(A) = P(A1)×P(A2)×P(A3) = 0.8×0.7×0.6 = 0.336.

ఉదాహరణ 6.9. కలశంలో 6 నలుపు, 5 ఎరుపు మరియు 4 తెలుపు బంతులు ఉన్నాయి. వరుసగా మూడు బంతులు తీయబడ్డాయి. మొదటి బంతి నలుపు, రెండవది ఎరుపు మరియు మూడవది తెలుపు రంగులో ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

పరిష్కారం. కింది సంఘటనలను పరిగణించండి: A - గీసిన మొదటి బంతి నలుపు, B - రెండవ బంతి ఎరుపు, C - మూడవ బంతి తెలుపు. నలుపు, ఎరుపు, తెలుపు అనే క్రమంలో బంతులు గీసిన సంఘటనను D ద్వారా సూచిస్తాము. సహజంగానే, D = A · B · C.

ఫార్ములా (4) ప్రకారం మనకు ఉన్నాయి:

P(D) = P(A) P(B/A) P(C/AB).

ఈ సమానత్వం యొక్క కుడి వైపున చేర్చబడిన సంభావ్యతలను కనుగొనండి. బ్లాక్ బాల్ p మొదట డ్రా అయ్యే సంభావ్యత

P(A)=		ఒక కలశం నుండి ఎర్రటి బంతిని గీసే సంభావ్యత


	నల్ల బంతి మొదట డ్రా చేయబడింది,
P(B/A)=		ఎందుకంటే కలశంలోని నల్లటి బంతిని తొలగించిన తర్వాత మిగిలిపోయింది

14 బంతులు ఉన్నాయి మరియు వాటిలో 5 ఎరుపు రంగులో ఉన్నాయి. నలుపు మరియు ఎరుపు రంగు బంతులను గీసిన తర్వాత ఒక రంధ్రము నుండి తెల్లటి బంతిని గీయడానికి సంభావ్యత

íûé øàðû, P (C / AB) = 13 4 (నలుపు మరియు ఎరుపును తొలగించిన తర్వాత

కలశంలో 13 బంతులు మిగిలి ఉన్నాయి మరియు వాటిలో 4 తెల్లటివి). అందువలన,

P (D) = 2 5 × 14 5 × 13 4 = 91 4 .

ఉదాహరణ 6.10. మొక్క ఒక నిర్దిష్ట రకం ఉత్పత్తిని ఉత్పత్తి చేస్తుంది; ప్రతి ఉత్పత్తికి p1 = 0.1 సంభావ్యతతో లోపం ఉంటుంది. ఉత్పత్తి ఒక ఇన్స్పెక్టర్ ద్వారా తనిఖీ చేయబడుతుంది; ఇది సంభావ్యత p2 = 0.8తో ఇప్పటికే ఉన్న లోపాన్ని గుర్తిస్తుంది మరియు లోపం కనుగొనబడకపోతే, అది ఉత్పత్తిని తుది ఉత్పత్తిలోకి పంపుతుంది. అదనంగా, ఇన్స్పెక్టర్ లోపం లేని ఉత్పత్తిని తప్పుగా తిరస్కరించవచ్చు; దీని సంభావ్యత p3 = 0.3. కింది ఈవెంట్‌ల సంభావ్యతలను కనుగొనండి:

А1 - ఉత్పత్తి తిరస్కరించబడుతుంది, కానీ తప్పుగా; A2 - ఉత్పత్తి లోపాలతో తుది ఉత్పత్తికి పంపబడుతుంది

ఓమ్; ఎ 3 - ఉత్పత్తి తిరస్కరించబడుతుంది.

పరిష్కారం. కింది సంఘటనలను పరిగణించండి: B1 - ఉత్పత్తిలో లోపం ఉంది;

2 - ఇన్స్పెక్టర్ ఇప్పటికే ఉన్న లోపాన్ని గుర్తిస్తుంది; B3 - ఇన్స్పెక్టర్ లోపం లేని ఉత్పత్తిని తిరస్కరిస్తాడు.

సమస్య యొక్క పరిస్థితుల ప్రకారం, P (B1) = p1 = 0.1; P(B2) = p2 = 0.8; PB1 (B3) = p3 = 0.3. ఈవెంట్ A1 అర్థం: “ఉత్పత్తి కాదు

లోపం ఉంది మరియు ఉత్పత్తి ఇన్‌స్పెక్టర్ ద్వారా తిరస్కరించబడుతుంది,” అనగా. A1 = B1 × B3. అప్పుడు

P (A1) = P (B1 × B3) = P (B1) × PB 1 (B3) = (1- p1 ) × p3 = 0.9 × 0.3 = 0.27.

ఈవెంట్ A2 అర్థంలో అర్థం: "ఉత్పత్తిలో లోపం ఉంది మరియు ఇన్స్పెక్టర్ లోపాన్ని గుర్తించలేరు," అనగా. A2 = B1 × B2. అప్పుడు

P (A2) = P (B1)×P (B2) = p1 ×(1- p2) = 0.1×0.2 = 0.02,

ఎందుకంటే సంఘటనలు B మరియు B2 స్వతంత్రమైనవి.

ఈవెంట్ A3 అర్థంలో అర్థం: "ఉత్పత్తి లోపాన్ని కలిగి ఉంది మరియు ఇన్స్పెక్టర్ లోపాన్ని కనుగొంటాడు, లేదా ఉత్పత్తికి లోపం లేదు మరియు ఇన్స్పెక్టర్ ఉత్పత్తిని తిరస్కరిస్తాడు," అనగా.

A3 = B1 × B2 + B1 × B3

P (A 3 ) = P (B1 × B2 + B1 × B3 ) = P (B1 ) × P (B2 ) + P(B1 ) × PB 1 (B3 ) =

P 1 × P2 + (1- p1 ) × p3 = 0.1 × 0.8 + 0.9 × 0.3 = 0.35.

6.1.4 టోటల్ ప్రాబబిలిటీ ఫార్ములా మరియు బేయస్ ఫార్ములా

కొంత అనుభవం n పరస్పరం ప్రత్యేకమైన సంఘటనలతో (పరికల్పనలు) H1, Í2, …, Ín అనుబంధించబడి ఉంటే మరియు ఈవెంట్ A ఈ పరికల్పనలలో ఒకదాని క్రింద మాత్రమే సంభవించినట్లయితే, ఈవెంట్ A యొక్క సంభావ్యత మొత్తం సంభావ్యత సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

P (A) = P (H1) P (A/H1) + P (H2) P (A/H2) + … + P (Hn) P (A/Hn).

ప్రయోగానికి ముందు పరికల్పనల సంభావ్యత P (H1), P (H2), ..., P (Hn) అయితే, ప్రయోగం తర్వాత, ఏ సంఘటన జరిగిన దాని ఫలితంగా, పరికల్పనల సంభావ్యత కావచ్చు బేయస్ ఫార్ములా ఉపయోగించి తిరిగి అంచనా వేయబడింది:

పి(హాయ్/ఎ)=	P(Hi)×P(A/Hi)	(i =1,2,..., n).
పి(హాయ్/ఎ)=		(i =1,2,..., n).
	å పి (హాయ్)× పి (ఎ/ హాయ్)

ఉదాహరణ 6.11. బంతులతో మూడు కలశములు ఉన్నాయి. మొదటి కలశంలో 4 తెలుపు మరియు 5 నలుపు బంతులు, రెండవ కలశంలో 5 తెలుపు మరియు 4 నలుపు బంతులు మరియు మూడవ కలశంలో 6 తెల్లని బంతులు ఉంటాయి. ఎవరో యాదృచ్ఛికంగా ఒక రంధ్రాన్ని ఎంచుకుని, దాని నుండి ఒక బంతిని తీసివేస్తారు. సంభావ్యతను కనుగొనండి: a) ఈ బంతి తెల్లగా ఉంటుంది; b) తెల్లటి బంతిని రెండవ రంధ్రము నుండి తీయబడుతుంది.

a) A అనేది ఒక ఈవెంట్‌గా ఉండనివ్వండి, అంటే తెల్లటి బంతి గీసినట్లు. మూడు పరికల్పనలను పరిశీలిద్దాం:

బంతిని తీయబడిన పాత్ర యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడుతుంది కాబట్టి

ఈవెంట్ A యొక్క షరతులతో కూడిన సంభావ్యతలు వరుసగా వీటికి సమానంగా ఉంటాయి:

	P(A/H2) =		(రెండవ పాత్ర నుండి తెల్లటి బంతిని గీయడానికి సంభావ్యత)


	P(A/H3) = 1		(మూడవ రంధ్రము నుండి తెల్లటి బంతిని గీయడానికి సంభావ్యత).

ఇక్కడ నుండి, మొత్తం సంభావ్యత సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము:

P (A) = 1 3 × 4 9 + 1 3 × 5 9 + 1 3 × 1= 1 3 × 2 = 2 3.

b) తెల్లటి బంతిని రెండవ రంధ్రము నుండి తీసిన సంభావ్యతను గుర్తించడానికి, మేము బేయస్ సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

P(H2)P(A/H2)

P(H2

ఉదాహరణ 6.12. రెండు సంకేతాలు A మరియు B కమ్యూనికేషన్ లైన్ వెంట ప్రసారం చేయబడతాయి

వరుసగా, 0.72 మరియు 0.28 సంభావ్యతలతో. జోక్యం కారణంగా పార్ట్ 6

A-సిగ్నల్స్ వక్రీకరించబడ్డాయి మరియు B-సిగ్నల్స్‌గా స్వీకరించబడ్డాయి మరియు 7వ భాగం

ప్రసారం చేయబడిన B సంకేతాలు A సంకేతాలుగా స్వీకరించబడతాయి.

a) స్వీకరించే పాయింట్ వద్ద A-సంకేతాన్ని స్వీకరించే సంభావ్యతను నిర్ణయించండి.

బి) ఎ-సిగ్నల్ వచ్చినట్లు తెలిసింది. ఇది ప్రసారం చేయబడిన సంభావ్యత ఏమిటి?

a) ఈవెంట్ A - స్వీకరించే పాయింట్ వద్ద A-సిగ్నల్ కనిపించనివ్వండి. మేము పరికల్పనలను పరిచయం చేద్దాం: HÀ – సిగ్నల్ A ప్రసారం చేయబడుతుంది, HÂ – సిగ్నల్ B ప్రసారం చేయబడుతుంది, P (HA ) = 0.72; P(HB) = 0.28.

A-సంకేతాన్ని స్వీకరించే సంభావ్యత, అది కూడా పంపబడితే, దీనికి సమానం:

P (A/ HA) =1- 1 6 = 5 6.

B సిగ్నల్ పంపబడినప్పుడు A సిగ్నల్ అందుకునే సంభావ్యత:

P(A/HB) = 1 7.

ఇక్కడ నుండి, మొత్తం సంభావ్యత సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము

P (A) = P (HA)×P (A/ HA) + P (HB)×P (A/ HB) = 0.72 × 5 6 + 0.28 × 1 7 = 0.64.

బి) A-సిగ్నల్‌ను స్వీకరించే సంభావ్యత, అది కూడా ప్రసారం చేయబడితే, బేయస్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనబడుతుంది:

		P(HA)×P(A/HA)

	P(HA/A) =

ఉదాహరణ 6.13. ఒక ప్రయాణీకుడు మూడు టిక్కెట్ ఆఫీసులలో ఒకదానిలో టిక్కెట్ కోసం దరఖాస్తు చేసుకోవచ్చు. ప్రతి నగదు రిజిస్టర్‌ను సందర్శించే సంభావ్యత వాటి స్థానంపై ఆధారపడి ఉంటుంది మరియు వరుసగా p1, p2, p3కి సమానంగా ఉంటుంది. ప్రయాణీకుడు వచ్చే సమయానికి టిక్కెట్ ఆఫీసు వద్ద అందుబాటులో ఉన్న టిక్కెట్‌లు అమ్ముడయ్యే సంభావ్యత మొదటి టికెట్ కార్యాలయానికి p4కి సమానం, äëÿ

రెండవది - p5, మూడవది - p6. ప్రయాణికుడు టిక్కెట్టు తీసుకోవడానికి వెళ్లాడు. అతను టికెట్ కొనుగోలు చేసే సంభావ్యత ఏమిటి?

పరిష్కారం. కింది యాదృచ్ఛిక సంఘటనలను పరిగణించండి:

À - ప్రయాణీకుడు టికెట్ కొనుగోలు చేస్తాడు;

Í1 - ప్రయాణీకుడు మొదటి టికెట్ కార్యాలయానికి వెళ్లాడు;

Í 2 - ప్రయాణీకుడు రెండవ టికెట్ కార్యాలయానికి వెళ్ళాడు;

Í 3 - ప్రయాణీకుడు మూడవ టికెట్ కార్యాలయానికి వెళ్లాడు.

H1, Í2, Í3 ఈవెంట్‌లు పూర్తి ఈవెంట్‌ల సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తాయని మరియు అననుకూలంగా ఉన్నాయని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది (ప్రయాణికుడు ఒక టికెట్ కార్యాలయానికి మాత్రమే వెళ్లగలరని మేము విశ్వసిస్తున్నాము). సంఘటనలు H1, Í2, Í3 పరికల్పనలు. పరికల్పనలలో ఒకటి సంభవించినట్లయితే ఈవెంట్ A మాత్రమే సంభవిస్తుంది.

మొత్తం సంభావ్యత సూత్రం ప్రకారం:

P (A) = P (H 1 )× PH 1 (A) + P (H2 )× PH 2 (A) + P (H3 )× PH 3 (A) =

P 1 (1- p4) + P2 (1- p5) + P3 (1- p6).

ఉదాహరణ 6.14. మూడు బ్యాచ్‌ల భాగాలు ఉన్నాయి, ఒక్కొక్కటి 30 భాగాలను కలిగి ఉంటుంది. మొదటి, రెండవ మరియు మూడవ బ్యాచ్‌లలోని ప్రామాణిక భాగాల సంఖ్య వరుసగా 20, 15, 10. యాదృచ్ఛికంగా తీసుకున్న బ్యాచ్ నుండి, ప్రామాణికంగా మారిన భాగం యాదృచ్ఛికంగా సంగ్రహించబడింది. అప్పుడు, అదే బ్యాచ్ నుండి, ఒక భాగం మళ్లీ యాదృచ్ఛికంగా తొలగించబడింది, ఇది కూడా ప్రామాణికమైనదిగా మారింది. మూడవ బ్యాచ్ నుండి భాగాలు తీసివేయబడిన సంభావ్యతను కనుగొనండి.

పరిష్కారం. ఈవెంట్‌ని A ద్వారా సూచిస్తాము - ప్రతి రెండు పరీక్షలలో ఒక ప్రామాణిక భాగం తీసివేయబడింది.

మూడు అంచనాలు (పరికల్పనలు) చేయవచ్చు: H1 - భాగాలు మొదటి బ్యాచ్ నుండి సంగ్రహించబడ్డాయి; H2 - రెండవ బ్యాచ్ నుండి భాగాలు తొలగించబడ్డాయి; H3 - భాగాలు మూడవ బ్యాచ్ నుండి తొలగించబడ్డాయి.

యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన బ్యాచ్ నుండి వివరాలు సంగ్రహించబడినందున, పరికల్పనల సంభావ్యతలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి:

P (H1) = P (H2) = P (H3) = 1 3.

షరతులతో కూడిన సంభావ్యత P H 1 (A), అనగా. సంభావ్యత

మొదటి బ్యాచ్ నుండి రెండు ప్రామాణిక భాగాలు వరుసగా సంగ్రహించబడతాయి:

PH 1 (A) = 20 30 × 19 29 = 38 87.

షరతులతో కూడిన సంభావ్యత PH 2 (A), అనగా. సంభావ్యత

రెండవ బ్యాచ్ నుండి రెండు ప్రామాణిక భాగాలు వరుసగా తీసివేయబడతాయి (తిరిగి రాకుండా):

PH 2 (A) = 15 30 × 14 29 = 29 7.

షరతులతో కూడిన సంభావ్యత P H 3 (A), అనగా. సంభావ్యత

మూడవ బ్యాచ్ నుండి రెండు ప్రామాణిక భాగాలు వరుసగా సంగ్రహించబడతాయి:

PH 3 (A) = 10 30 × 29 9 = 29 3.

బేయస్ ఫార్ములా ప్రకారం, సంగ్రహించిన రెండు ప్రామాణిక భాగాలు మూడవ బ్యాచ్ నుండి తీసుకోబడటానికి కావలసిన సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది:

(H3) =

(H3)×PH 3 (A)

P(H1)

×PH

(H2)×PH

(A) + P(H3)×PH

6.2. రీటెస్ట్ పథకం

6.2.1. బెర్నౌలీ సూత్రం

అదే పరిస్థితుల్లో, ఒక నిర్దిష్ట ప్రయోగం n సార్లు పునరావృతమైతే మరియు ప్రతి ప్రయోగంలో కొన్ని సంఘటన A సంభవించే సంభావ్యత pకి సమానం అయితే, n ప్రయోగాల శ్రేణిలో ఈవెంట్ A ఖచ్చితంగా k సార్లు సంభవిస్తుంది. బెర్నౌలీ సూత్రం ద్వారా కనుగొనబడింది:

ఇక్కడ గుర్తు [...] అంటే సంఖ్య యొక్క పూర్ణాంకం భాగం.

np + p సంఖ్య పూర్ణాంకం అయితే, అదే సంభావ్యత Pn (k0)తో అత్యంత సంభావ్య సంఖ్య కూడా k0 – 1 అవుతుంది.

ఉదాహరణ 6.15. ఒక కార్మికుడు ప్రాసెస్ చేసిన భాగాలలో, సగటున 4% ప్రామాణికం కానివి. పరీక్ష కోసం తీసుకున్న 30 భాగాలలో, రెండు భాగాలు ప్రామాణికం కానివిగా ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి. పరిశీలనలో ఉన్న 30 భాగాల నమూనాలో ప్రామాణికం కాని భాగాల సంఖ్య ఎంత ఎక్కువగా ఉంటుంది మరియు దాని సంభావ్యత ఎంత?

పరిష్కారం. ఇక్కడ అనుభవం నాణ్యత కోసం 30 భాగాలలో ప్రతిదాన్ని తనిఖీ చేస్తుంది. ఈవెంట్ A - ప్రామాణికం కాని భాగం యొక్క ప్రదర్శన; దాని సంభావ్యత P = 0.04, అప్పుడు q = 0.96. ఇక్కడ నుండి, బెర్నౌలీ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మేము కనుగొన్నాము:

P30 (2) = C30 2 (0.04)2 (0.96)28 » 0.202.

ఇచ్చిన నమూనాలోని ప్రామాణికం కాని భాగాల సంఖ్య ఫార్ములా (2) ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

k0 = = = 1, a దాని సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది

P30 (1) = C30 1 ×0.041 ×(0.96)29 » 0.305.

ఉదాహరణ 6.16. ఒక షాట్‌తో లక్ష్యాన్ని చేధించే సంభావ్యత 0.8. నాలుగు షాట్‌ల శ్రేణిలో ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి: ఎ) కనీసం ఒక హిట్; బి) కనీసం మూడు హిట్‌లు; సి) ఒకటి కంటే ఎక్కువ హిట్ లేదు.

పరిష్కారం. ఇక్కడ n = 4, p = 0.8, q = 0.2. ఎ) వ్యతిరేక సంఘటన యొక్క సంభావ్యతను కనుగొనండి - నాలుగు షాట్ల శ్రేణిలో లక్ష్యంపై ఒక్క హిట్ కూడా లేదు:

P4 (0) = C4 0 p0 q4 = 0.24 = 0.0016. 4 = 0.8192.

సి) లక్ష్యాన్ని ఒకటి కంటే ఎక్కువసార్లు చేధించే సంభావ్యత ఇలాగే లెక్కించబడుతుంది:

P4 (k £1) = P4 (0) + P4 (1) = 0.0016 +C4 1 p1 q3 =

0.0016 + 4×0.8×0.2 3 = 0.2576.

6.2.2. స్థానిక లాప్లేస్ సిద్ధాంతం

n స్వతంత్ర ట్రయల్స్‌లో కొన్ని ఈవెంట్ A సంభవించే సంభావ్యత p స్థిరంగా ఉంటే మరియు 0 మరియు 1 నుండి భిన్నంగా ఉంటే, ఈ ట్రయల్స్‌లో ఈవెంట్ A n → ∞ వలె m సార్లు సంభవించే సంభావ్యత Pmn సంబంధాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది:

	npq Pmn
n →∞	ϕ(x)

ఉదాహరణ 6.17. ఈ యంత్రంలో అధిక-నాణ్యత భాగాన్ని ఉత్పత్తి చేసే సంభావ్యత 0.4. యాదృచ్ఛికంగా తీసుకున్న 26 భాగాలలో, సగం అత్యధిక గ్రేడ్‌లో ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

అనేక ఈవెంట్‌ల మొత్తం ఈ ఈవెంట్‌లలో కనీసం ఒకదానిని కలిగి ఉన్న ఈవెంట్.

అనేక ఈవెంట్‌ల ఉత్పత్తి అనేది ఈ ఈవెంట్‌లన్నింటి ఉమ్మడి సంఘటనతో కూడిన ఈవెంట్.

సంభావ్యత జోడింపు సిద్ధాంతం. ఈవెంట్‌లు A1, A2, ..., Ap అననుకూలంగా ఉంటే, అంటే, వాటిలో ఏ రెండూ కలిసి జరగవు, అప్పుడు

ఈవెంట్ A యొక్క సంభావ్యత, ఈవెంట్ B సంభవించిందనే భావనతో లెక్కించబడుతుంది, ఇది A ఇచ్చిన B యొక్క షరతులతో కూడిన సంభావ్యత అని పిలుస్తారు మరియు P (A / B) ద్వారా సూచించబడుతుంది.

సంభావ్యత గుణకార సిద్ధాంతం. బహుళ ఈవెంట్‌లు సంభవించే సంభావ్యత వాటిలో ఒకదాని యొక్క సంభావ్యత మరియు మిగతా వాటి యొక్క షరతులతో కూడిన సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం, మరియు ప్రతి తదుపరి ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత మునుపటి సంఘటనలన్నీ ఇప్పటికే సంభవించిన ఊహ ప్రకారం లెక్కించబడుతుంది:

ఈవెంట్‌లు A1, A2, ..., Аn స్వతంత్రంగా ఉంటే, అంటే, వాటిలో ఎన్ని సంభవించినా మిగిలిన వాటి సంభవించే సంభావ్యత మారదు, అప్పుడు

ఉదాహరణ 6.6. రెండు యంత్రాలు ఒకదానికొకటి స్వతంత్రంగా పనిచేస్తాయి. కొంత సమయం t మొదటి యంత్రం యొక్క నిరంతరాయ ఆపరేషన్ యొక్క సంభావ్యత p1 = 0.9, రెండవది - p2 = 0.8. రెండు యంత్రాలు నిర్దేశిత వ్యవధిలో అంతరాయం లేకుండా పనిచేసే సంభావ్యత ఎంత?

మొదటి మార్గం. వ్యతిరేక ఈవెంట్ Bని పరిశీలిద్దాం, అంటే t సమయంలో రెండు యంత్రాల పనికిరాని సమయం. సహజంగానే, ఈవెంట్ B అనేది ఈవెంట్స్ A1 మరియు A2 కలయిక - మొదటి మరియు రెండవ యంత్రాల పనికిరాని సమయం, అంటే B = A1A2. A మరియు A2 ఈవెంట్‌లు స్వతంత్రమైనవి కాబట్టి, అప్పుడు

ఇక్కడ నుండి

A1 ¦ A2 - ఈవెంట్స్ A1 మరియు A2 కలయిక (మొదటి యంత్రం పని చేస్తోంది,

రెండవది - పని చేయదు), లేదా A1 ¦ A2 - ఈవెంట్‌ల కలయిక A1 మరియు A2 (మొదటి యంత్రం పని చేయదు, రెండవది పని చేస్తుంది), లేదా A1 A2 - ఈవెంట్‌ల కలయిక A1 మరియు A2 (రెండు యంత్రాలు పని చేస్తాయి), అనగా.

ఫార్ములా (3)ని ఉపయోగించి మనం పొందుతాము:

ఈవెంట్‌లు A1 మరియు A2, అందువల్ల A2 స్వతంత్రంగా ఉన్నందున, మనకు ఇవి ఉన్నాయి:

ఉదాహరణ 6.8. వోల్టేజ్ పెరిగినప్పుడు, సిరీస్లో అనుసంధానించబడిన మూడు అంశాలలో ఒకదాని వైఫల్యం కారణంగా విద్యుత్ వలయంలో విరామం సంభవించవచ్చు; మూలకం వైఫల్యం యొక్క సంభావ్యత వరుసగా 0.2కి సమానం; 0.3; 0.4 గొలుసు విచ్ఛిన్నం కాదని సంభావ్యతను నిర్ణయించండి.

పరిష్కారం. ఈవెంట్‌లు A1, A2, A3 అంటే వరుసగా మొదటి, రెండవ మరియు మూడవ మూలకాల వైఫల్యం అని అర్థం. షరతు ప్రకారం వారి సంభావ్యతలు వరుసగా సమానంగా ఉంటాయి: P (A1) = 0.2; P(A2) = 0.3; P(A3) = 0.4. అప్పుడు సంభావ్యత వ్యతిరేకం

ఈవెంట్‌లు A1, A2, A3, వరుసగా, మొదటి, రెండవ మరియు మూడవ మూలకం విఫలం కాలేదు) వీటికి సమానం:

ఈవెంట్ A, సర్క్యూట్ విచ్ఛిన్నం కాలేదు అనే వాస్తవాన్ని కలిగి ఉంటుంది,

స్వతంత్ర సంఘటనల కలయిక కాబట్టి, ఫార్ములా (5)ని ఉపయోగించి మనం పొందుతాము:

ఉదాహరణ 6.9. కలశంలో 6 నలుపు, 5 ఎరుపు మరియు 4 తెలుపు బంతులు ఉన్నాయి. వరుసగా మూడు బంతులు తీయబడ్డాయి. మొదటి బంతి నలుపు, రెండవది ఎరుపు మరియు మూడవది తెలుపు అనే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

P (B) = P (A) ¦ P (B / A) ¦ P (C / AB).

ఈ సమానత్వం యొక్క కుడి వైపున చేర్చబడిన సంభావ్యతలను కనుగొనండి. బ్లాక్ బాల్ మొదట డ్రా అయ్యే సంభావ్యత

P (A) - మరియు - 5. ఎర్రటి బంతిని రంధ్రము నుండి తొలగించే సంభావ్యత, నల్ల బంతిని మొదట బయటకు తీయడం ద్వారా అందించబడింది, P (B/A) -14, నల్ల బంతిని తొలగించిన తర్వాత, 14 బంతులు మిగిలి ఉన్నాయి కలశం మరియు వీటిలో - 5 ఎరుపు. నలుపు మరియు ఎరుపు రంగు బంతిని గీయబడిన తర్వాత ఒక కలశం నుండి తెల్లటి బంతిని గీయడానికి సంభావ్యత

ny బంతులు, P (C / AB) -13 (నలుపు మరియు ఎరుపును తీసివేసిన తర్వాత

కలశంలో 13 బంతులు మిగిలి ఉన్నాయి మరియు వాటిలో 4 తెల్లటివి).

అందువలన,

R(b) - 2. -. — - —.

A1 - ఉత్పత్తి తిరస్కరించబడుతుంది, కానీ తప్పుగా;

హోంవర్క్ నం. 9

№1 ఎ IN సమాధానం. 0, 85; 0, 25.

№2 . స్పోర్ట్స్ డే రోజున సిజోవ్ స్టేడియానికి వెళ్లాడు. మీరు 0.3 సంభావ్యతతో ఫుట్‌బాల్ టిక్కెట్‌ను కొనుగోలు చేయవచ్చు లేదా 0.4 సంభావ్యతతో బాస్కెట్‌బాల్ టిక్కెట్‌ను కొనుగోలు చేయవచ్చు లేదా 0.2 సంభావ్యతతో వాలీబాల్ టిక్కెట్‌ను కొనుగోలు చేయవచ్చు. సంభావ్యత ఏమిటి: 1) సిజోవ్ పోటీలోకి ప్రవేశించాడు; 2) సిజోవ్ తన్నడం నిషేధించబడిన పోటీలో పడ్డాడు? సమాధానం. O,9; 0.6

№3. సమాధానం. 0,37.

№4 . సమూహంలో 20 మంది విద్యార్థులు ఉన్నారు. 10 మంది విద్యార్థులు వాలీబాల్, 7 మంది విద్యార్థులు స్కీయింగ్, 3 మంది విద్యార్థులు బాస్కెట్‌బాల్ ఆడుతున్నారు. యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన విద్యార్థి బాస్కెట్‌బాల్ ఆడని సంభావ్యతను కనుగొనండి.

సమాధానం. 17/20.

№5. సమాధానం. ¾.

№6.

№7. సమాధానం

№8.

№9. సమాధానం. 0,7.

№10.

హోంవర్క్ నం. 9

№1 . షూటర్ పది మందిని 0.05 సంభావ్యతతో, తొమ్మిది మందిని 0.2 సంభావ్యతతో మరియు ఎనిమిది మందిని 0.6 సంభావ్యతతో కొట్టారు. ఒక్క షాట్ పేలింది. కింది సంఘటనల సంభావ్యత ఏమిటి: ఎ- “కనీసం ఎనిమిది పాయింట్లు నాకౌట్ చేయబడ్డాయి”, IN- "ఎనిమిది కంటే ఎక్కువ పాయింట్లు సాధించారా"? సమాధానం. 0, 85; 0, 25.

№3. వర్క్‌షాప్‌లో మూడు యంత్రాలు పనిచేస్తున్నాయి. షిఫ్ట్ సమయంలో, మొదటి యంత్రానికి 0.15 సంభావ్యతతో సర్దుబాటు అవసరం కావచ్చు. రెండవ యంత్రానికి ఈ సంభావ్యత 0.1, మరియు మూడవ యంత్రానికి ఇది 0.12. షిఫ్ట్ సమయంలో కనీసం ఒక మెషీన్‌కు సర్దుబాటు అవసరమయ్యే సంభావ్యతను కనుగొనండి, అదే సమయంలో యంత్రాలకు సర్దుబాటు అవసరం లేదని భావించండి. సమాధానం. 0,37.

సమాధానం. 17/20.

№5. రెండు నాణేలు విసిరారు. కనీసం ఒక కోట్ ఆఫ్ ఆర్మ్స్ కనిపించే సంభావ్యత ఎంత? సమాధానం. ¾.

№6. రెండు యంత్రాలు ఒకదానికొకటి స్వతంత్రంగా పనిచేస్తాయి. సంభావ్యత అది. మొదటి యంత్రం సర్దుబాటు లేకుండా షిఫ్ట్ పని చేస్తుంది 0.9, మరియు రెండవది - 0.8. సంభావ్యత ఏమిటి: a) రెండు యంత్రాలు సర్దుబాటు లేకుండా షిఫ్ట్ పని చేస్తాయి; బి) షిఫ్ట్ సమయంలో రెండు యంత్రాలకు సర్దుబాట్లు అవసరమా?

№7. ముగ్గురు షూటర్లు ఒకరికొకరు స్వతంత్రంగా లక్ష్యాన్ని కాల్చుకుంటారు. మొదటి షూటర్‌కు హిట్ సంభావ్యత 0.8, రెండవది - 0.75, మూడవది - 0.7. దీని సంభావ్యత ఏమిటి: 1) కనీసం ఒక హిట్; 2) సరిగ్గా ఒక హిట్; H) సరిగ్గా రెండు హిట్లు; 4) అందరూ ఒక్క షాట్ పేల్చితే మూడు హిట్లు? 5) అందరూ తప్పిన సంభావ్యత ఏమిటి? సమాధానం. 1) 0,985; 2) 0,14; 3) 0,425; 4) 0,42; 5) 0,015.

№8. వర్క్‌షాప్‌లో మూడు యంత్రాలు పనిచేస్తున్నాయి. షిఫ్ట్ సమయంలో, మొదటి యంత్రానికి 0.15 సంభావ్యతతో సర్దుబాటు అవసరం కావచ్చు (మరియు ఆ తర్వాత షిఫ్ట్ ముగిసే వరకు సర్దుబాటు అవసరం లేదు). రెండవ యంత్రానికి ఈ సంభావ్యత 0.1, మరియు మూడవది 0.12. యంత్రాలు ఒకదానికొకటి స్వతంత్రంగా సర్దుబాటు చేయవలసి వస్తే, షిఫ్ట్ సమయంలో కనీసం ఒక యంత్రానికి సర్దుబాటు అవసరమయ్యే సంభావ్యత ఏమిటి?

№9. పగటిపూట పనిచేసే పరికరం మూడు భాగాలను కలిగి ఉంటుంది, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి స్వతంత్రంగా ఈ సమయంలో విఫలమవుతాయి. ఒక నోడ్ యొక్క వైఫల్యం పరికరం యొక్క వైఫల్యానికి దారితీస్తుంది. మొదటి నోడ్ యొక్క రోజులో వైఫల్యం-రహిత ఆపరేషన్ యొక్క సంభావ్యత 0.9, రెండవది 0.95 మరియు మూడవది 0.85. పరికరం పగటిపూట వైఫల్యం లేకుండా పనిచేసే సంభావ్యతను కనుగొనండి. సమాధానం. 0,7.

№10. ఒక భాగాన్ని తయారు చేసేటప్పుడు, రెండు కార్యకలాపాలు నిర్వహిస్తారు. మొదటి ఆపరేషన్ సమయంలో లోపాల సంభావ్యత 0.01, మరియు రెండవ సమయంలో - 0.02. రెండు ఆపరేషన్ల తర్వాత భాగం ప్రామాణికంగా ఉండే సంభావ్యత ఏమిటి?

వివరణ

మూడు యంత్రాలు ఒకదానికొకటి స్వతంత్రంగా పనిచేస్తాయి. షిఫ్ట్ సమయంలో మొదటి యంత్రం విఫలమయ్యే సంభావ్యత 0.1, రెండవది - 0.2 మరియు మూడవది - 0.3. షిఫ్ట్ సమయంలో కిందివి విఫలమయ్యే సంభావ్యతను కనుగొనండి: ఎ) కనీసం రెండు యంత్రాలు; బి) రెండు యంత్రాలు; సి) మూడు యంత్రాలు.
పరిష్కారం. మేము సంభావ్యత యొక్క కూడిక మరియు గుణకారం యొక్క నియమాలను ఉపయోగిస్తాము.
బి) షిఫ్ట్ సమయంలో రెండు యంత్రాలు విఫలమయ్యే సంభావ్యత దీనికి సమానం:

సి) షిఫ్ట్ సమయంలో మూడు యంత్రాలు విఫలమయ్యే సంభావ్యత దీనికి సమానం:

ఎ) షిఫ్ట్ సమయంలో కనీసం రెండు యంత్రాలు (రెండు లేదా మూడు యంత్రాలు) విఫలమయ్యే సంభావ్యత దీనికి సమానం:

పని 1 ఫైల్‌ను కలిగి ఉంటుంది

సమస్య సంఖ్య 1.30.

పరిష్కారం.మేము సంభావ్యతలను కూడిక మరియు గుణకారం యొక్క నియమాలను ఉపయోగిస్తాము.

బి)షిఫ్ట్ సమయంలో రెండు యంత్రాలు విఫలమయ్యే సంభావ్యత:

V)షిఫ్ట్ సమయంలో మూడు యంత్రాలు విఫలమయ్యే సంభావ్యత:

ఎ)షిఫ్ట్ సమయంలో కనీసం రెండు యంత్రాలు (రెండు లేదా మూడు యంత్రాలు) విఫలమయ్యే సంభావ్యత దీనికి సమానం:

సమాధానం:ఎ) 0.098; బి) 0.092; సి) 0.006.

సమస్య సంఖ్య 2.30.

రెండు కర్మాగారాలు రిఫ్రిజిరేటర్లను ఉత్పత్తి చేస్తాయి. వాటిలో మొదటిది అన్ని ఉత్పత్తులలో 60%, రెండవది - 40%, మరియు మొదటి ప్లాంట్ యొక్క 80% మరియు రెండవది 90% అత్యధిక నాణ్యతతో ఉంటాయి. ఎ) యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన రిఫ్రిజిరేటర్ అత్యుత్తమ నాణ్యతను కలిగి ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి. బి) యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన రిఫ్రిజిరేటర్ అత్యధిక నాణ్యతను కలిగి ఉంది. ఇది రెండవ ప్లాంట్‌లో తయారు చేయబడిన సంభావ్యత ఎంత?

పరిష్కారం.ఈవెంట్‌లను నమోదు చేద్దాం: ఎ– అత్యధిక నాణ్యతతో యాదృచ్ఛికంగా తీసుకోబడిన రిఫ్రిజిరేటర్, – రిఫ్రిజిరేటర్ ప్లాంట్‌లో తయారు చేయబడింది, ఈవెంట్‌లు పూర్తి ఈవెంట్‌ల సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

పరికల్పన సంభావ్యత సమస్య యొక్క పరిస్థితుల ప్రకారం:

మరియు సంఘటనల యొక్క షరతులతో కూడిన సంభావ్యత:

ఎ)మొత్తం సంభావ్యత సూత్రం ప్రకారం, ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత ఎ(యాదృచ్ఛికంగా తీసుకోబడిన అత్యుత్తమ నాణ్యత రిఫ్రిజిరేటర్):

బి)యాదృచ్ఛికంగా తీసిన రిఫ్రిజిరేటర్ అత్యధిక నాణ్యతను కలిగి ఉంది. ఇది రెండవ ప్లాంట్‌లో తయారు చేయబడిన సంభావ్యత:

సమాధానం:ఎ) 0.84; బి) 0.43.

సమస్య సంఖ్య 3.30.

ఒక ప్రభుత్వ రుణ బాండ్‌ను గెలుచుకునే సంభావ్యత 1/3. ఈ లోన్ యొక్క 6 బాండ్లను కలిగి ఉన్న సంభావ్యతను కనుగొనండి, మీరు గెలవగలరు: a) రెండు బాండ్లపై; బి) మూడు బాండ్లకు; సి) కనీసం రెండు బాండ్ల కోసం.

ఎ)రెండు బాండ్లపై గెలిచే సంభావ్యత దీనికి సమానం:

బి)మూడు బాండ్లపై గెలిచే సంభావ్యత దీనికి సమానం:

V)ఈవెంట్ లెట్ తో- లాభం రెండు కంటే తక్కువ బాండ్లపై ఉంటుంది. అప్పుడు వ్యతిరేక సంఘటన - కనీసం రెండు బాండ్లపై లాభం ఉంటుంది. ఈ సంఘటన యొక్క సంభావ్యత:

సమాధానం:ఎ) 0.329; బి) 0.219; సి) 0.735.

సమస్య సంఖ్య 4.30.

ఇచ్చిన వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కోసం, కనుగొనండి: 1) పంపిణీ చట్టం; 2) పంపిణీ ఫంక్షన్ మరియు దానిని ప్లాట్ చేయండి; 3) గణిత నిరీక్షణ; 4) వ్యాప్తి; 5) ప్రామాణిక విచలనం

పరీక్ష నమూనా యొక్క మూడు స్వతంత్ర కొలతలు నిర్వహించబడతాయి. ప్రతి కొలతలో లోపం సంభవించే సంభావ్యత 0.01. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ అనేది కొలతలలో చేసిన లోపాల సంఖ్య.

పరిష్కారం.వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ (కొలతలలో చేసిన లోపాల సంఖ్య) విలువలను తీసుకోవచ్చు మరియు దాని పంపిణీ చట్టం సంభావ్యత ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:

నియంత్రణ: 0.970299 + 0.029403 + 0.000297 + 0.000001 = 1.

అప్పుడు SV యొక్క కావలసిన పంపిణీ చట్టం రూపం కలిగి ఉంటుంది:

	0	1	2	3
p	0,970299	0,029403	0,000297	0,000001

వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ:

వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క వ్యాప్తి:

ప్రామాణిక విచలనంయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్:

నిర్వచనం ప్రకారం, పంపిణీ ఫంక్షన్ రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

ఎప్పుడు ఎప్పుడు

వద్ద

కాబట్టి, పంపిణీ ఫంక్షన్ రూపం కలిగి ఉంది:

పంపిణీ ఫంక్షన్ ప్లాట్ చేద్దాం

0,999999

0,999702

0,970299

0 1 2 3

సమస్య సంఖ్య 5.30.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీ సాంద్రత ఇవ్వబడింది

కనుగొను: 1) పారామితి 2) పంపిణీ ఫంక్షన్; 3) గణిత నిరీక్షణ; 4) వ్యాప్తి; 5) యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ సెగ్మెంట్‌పై పడే సంభావ్యత

పరిష్కారం. 1)పరామితిని నిర్వచిద్దాం సిసమానత్వం నుండి:

2) పంపిణీ ఫంక్షన్‌ను కనుగొనండి F(x)అలా అయితే

అలా అయితే

అలా అయితే, పంపిణీ ఫంక్షన్ రూపం కలిగి ఉంటుంది:

3) యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా:

4) యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క వ్యాప్తి:

నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ప్రామాణిక విచలనం:

5) సెగ్మెంట్‌ను కొట్టే SV సంభావ్యత దీనికి సమానంగా ఉంటుంది:

సమస్య సంఖ్య 6.30.

ప్రయోగం ఫలితంగా, డేటా గణాంక శ్రేణి రూపంలో నమోదు చేయబడింది:

44	36	50	30	58	37	18	72	57	35
28	38	15	38	45	27	59	45	68	52
18	64	36	43	22	38	31	57	17	42
31	42	25	35	60	46	51	24	60	50
17	38	46	19	43	9	43	32	61	37
23	43	32	52	39	46	27	39	21	53
37	10	40	33	54	62	26	47	40	54
43	40	25	40	47	16	53	41	32	40
26	42	62	41	48	41	55	10	48	34
33	21	41	49	56	34	63	49	56	29

అవసరం:

ఎ) వైవిధ్యం యొక్క పరిధిని కనుగొని, విరామ వైవిధ్య శ్రేణిని నిర్మించడం;

బి) ఫ్రీక్వెన్సీ బహుభుజిని నిర్మించడం, సాపేక్ష పౌనఃపున్యాల హిస్టోగ్రాం;

సి) అనుభావిక పంపిణీ ఫంక్షన్‌ను లెక్కించండి మరియు దానిని ప్లాట్ చేయండి;

d) నమూనా యొక్క సంఖ్యా లక్షణాలను కనుగొనండి

ఇ) సాధారణ పంపిణీకి అనుగుణంగా నమూనాను పరిగణనలోకి తీసుకుని, విశ్వసనీయతతో గణిత నిరీక్షణకు విశ్వాస విరామాలను కనుగొనండి

f) H ని శూన్య పరికల్పనగా అంగీకరించడం 0 : నమూనా సేకరించిన సాధారణ జనాభా సాధారణ పంపిణీని కలిగి ఉంటుంది, ప్రాముఖ్యత స్థాయిలో పియర్సన్ పరీక్షను ఉపయోగించి దాన్ని తనిఖీ చేయండి

పరిష్కారం.ప్రయోగం ఫలితాల ఆధారంగా, మేము వైవిధ్య శ్రేణిని నిర్మిస్తాము:

ఎంపికలు	9	10	15	16	17	18	19	21	22	23	24	25	26	27	28
ఫ్రీక్వెన్సీలు	1	2	1	1	2	2	1	2	1	1	1	2	2	2	1
ఎంపికలు	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43
ఫ్రీక్వెన్సీలు	1	1	2	3	2	2	2	2	3	4	2	5	4	3	5
ఎంపికలు	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58
ఫ్రీక్వెన్సీలు	1	2	3	2	2	2	2	1	2	2	2	1	2	2	1
ఎంపికలు	59	60	61	62	63	64	68	72
ఫ్రీక్వెన్సీలు	1	2	1	2	1	1	1	1

44	36	50	30	58	37	18	72	57	35
28	38	15	38	45	27	59	45	68	52
18	64	36	43	22	38	31	57	17	42
31	42	25	35	60	46	51	24	60	50
17	38	46	19	43	9	43	32	61	37
23	43	32	52	39	46	27	39	21	53
37	10	40	33	54	62	26	47	40	54
43	40	25	40	47	16	53	41	32	40
26	42	62	41	48	41	55	10	48	34
33	21	41	49	56	34	63	49	56	29

44	36	50	30	58	37	18	72	57	35
28	38	15	38	45	27	59	45	68	52
18	64	36	43	22	38	31	57	17	42
31	42	25	35	60	46	51	24	60	50
17	38	46	19	43	9	43	32	61	37
23	43	32	52	39	46	27	39	21	53
37	10	40	33	54	62	26	47	40	54
43	40	25	40	47	16	53	41	32	40
26	42	62	41	48	41	55	10	48	34
33	21	41	49	56	34	63	49	56	29

44	36	50	30	58	37	18	72	57	35
28	38	15	38	45	27	59	45	68	52
18	64	36	43	22	38	31	57	17	42
31	42	25	35	60	46	51	24	60	50
17	38	46	19	43	9	43	32	61	37
23	43	32	52	39	46	27	39	21	53
37	10	40	33	54	62	26	47	40	54
43	40	25	40	47	16	53	41	32	40
26	42	62	41	48	41	55	10	48	34
33	21	41	49	56	34	63	49	56	29