భిన్నాలను ఒకే హారంతో పోల్చడం. భిన్నాలను పోల్చడం: నియమాలు, ఉదాహరణలు, పరిష్కారాలు

భిన్నాలను అధ్యయనం చేయడం కొనసాగిద్దాం. ఈ రోజు మనం వారి పోలిక గురించి మాట్లాడుతాము. అంశం ఆసక్తికరంగా మరియు ఉపయోగకరంగా ఉంది. ఇది ఒక అనుభవశూన్యుడు తెల్లటి కోటులో శాస్త్రవేత్తగా భావించేలా చేస్తుంది.

భిన్నాలను పోల్చడం యొక్క సారాంశం ఏమిటంటే, రెండు భిన్నాలలో ఏది ఎక్కువ లేదా తక్కువ అని కనుగొనడం.

రెండు భిన్నాలలో ఏది ఎక్కువ లేదా తక్కువ అనే ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడానికి, ఎక్కువ (>) లేదా తక్కువ (>) వంటి వాటిని ఉపయోగించండి<).

ఏ భిన్నం పెద్దది మరియు ఏది చిన్నది అనే ప్రశ్నకు వెంటనే సమాధానం ఇవ్వడానికి అనుమతించే రెడీమేడ్ నియమాలను గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఇప్పటికే చూసుకున్నారు. ఈ నియమాలు సురక్షితంగా వర్తించవచ్చు.

మేము ఈ అన్ని నియమాలను పరిశీలిస్తాము మరియు ఇది ఎందుకు జరుగుతుందో గుర్తించడానికి ప్రయత్నిస్తాము.

పాఠం కంటెంట్

భిన్నాలను ఒకే హారంతో పోల్చడం

పోల్చవలసిన భిన్నాలు భిన్నంగా ఉంటాయి. భిన్నాలు ఒకే హారం, కానీ వేర్వేరు సంఖ్యలను కలిగి ఉన్నప్పుడు ఉత్తమ సందర్భం. ఈ సందర్భంలో, కింది నియమం వర్తిస్తుంది:

ఒకే హారం ఉన్న రెండు భిన్నాలలో, పెద్ద సంఖ్యతో భిన్నం ఎక్కువగా ఉంటుంది. మరియు తదనుగుణంగా, చిన్న న్యూమరేటర్‌తో భిన్నం చిన్నదిగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణకు, భిన్నాలను సరిపోల్చండి మరియు ఈ భిన్నాలలో ఏది పెద్దదో సమాధానం చూద్దాం. ఇక్కడ డినామినేటర్లు ఒకటే, కానీ సంఖ్యలు భిన్నంగా ఉంటాయి. భిన్నం భిన్నం కంటే ఎక్కువ సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది. దీని అర్థం భిన్నం కంటే ఎక్కువ. మేము ఎలా సమాధానం ఇస్తాము. మీరు తప్పనిసరిగా మరిన్ని చిహ్నాన్ని ఉపయోగించి సమాధానం ఇవ్వాలి (>)

నాలుగు భాగాలుగా విభజించబడిన పిజ్జాల గురించి మనం గుర్తుంచుకుంటే ఈ ఉదాహరణ సులభంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. పిజ్జాల కంటే ఎక్కువ పిజ్జాలు ఉన్నాయి:

మొదటి పిజ్జా రెండవదాని కంటే పెద్దదని అందరూ అంగీకరిస్తారు.

భిన్నాలను ఒకే సంఖ్యలతో పోల్చడం

భిన్నాల న్యూమరేటర్‌లు ఒకేలా ఉన్నప్పటికీ, హారం భిన్నంగా ఉన్నప్పుడు మనం తదుపరి సందర్భంలో ప్రవేశించవచ్చు. అటువంటి సందర్భాలలో, క్రింది నియమం అందించబడింది:

ఒకే న్యూమరేటర్లు ఉన్న రెండు భిన్నాలలో, చిన్న హారం ఉన్న భిన్నం ఎక్కువగా ఉంటుంది. మరియు తదనుగుణంగా, హారం పెద్దగా ఉన్న భిన్నం చిన్నది.

ఉదాహరణకు, భిన్నాలను పోల్చి చూద్దాం మరియు . ఈ భిన్నాలు ఒకే సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయి. ఒక భిన్నం భిన్నం కంటే చిన్న హారం కలిగి ఉంటుంది. భిన్నం కంటే భిన్నం ఎక్కువ అని దీని అర్థం. కాబట్టి మేము సమాధానం ఇస్తున్నాము:

మూడు మరియు నాలుగు భాగాలుగా విభజించబడిన పిజ్జాల గురించి మనం గుర్తుంచుకుంటే ఈ ఉదాహరణ సులభంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. పిజ్జాల కంటే ఎక్కువ పిజ్జాలు ఉన్నాయి:

మొదటి పిజ్జా రెండవదాని కంటే పెద్దదని అందరూ అంగీకరిస్తారు.

భిన్నాలను వేర్వేరు సంఖ్యలు మరియు విభిన్న హారంలతో పోల్చడం

భిన్నాలను వేర్వేరు సంఖ్యలు మరియు విభిన్న హారంలతో పోల్చడం తరచుగా జరుగుతుంది.

ఉదాహరణకు, భిన్నాలను సరిపోల్చండి మరియు . ఈ భిన్నాలలో ఏది ఎక్కువ లేదా తక్కువ అనే ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడానికి, మీరు వాటిని ఒకే (సాధారణ) హారంలోకి తీసుకురావాలి. అప్పుడు మీరు ఏ భిన్నం ఎక్కువ లేదా తక్కువ అని సులభంగా నిర్ణయించవచ్చు.

భిన్నాలను ఒకే (సాధారణ) హారంలోకి తీసుకువద్దాం. రెండు భిన్నాల హారం యొక్క LCMని కనుగొనండి. భిన్నాల హారం యొక్క LCM మరియు ఇది సంఖ్య 6.

ఇప్పుడు మేము ప్రతి భిన్నానికి అదనపు కారకాలను కనుగొంటాము. మొదటి భిన్నం యొక్క హారంతో LCMని భాగిద్దాం. LCM అనేది సంఖ్య 6, మరియు మొదటి భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 2. 6ని 2తో భాగించండి, మనకు అదనపు కారకం 3 వస్తుంది. మేము దానిని మొదటి భిన్నం పైన వ్రాస్తాము:

ఇప్పుడు రెండవ అదనపు కారకాన్ని కనుగొనండి. LCMని రెండవ భిన్నం యొక్క హారంతో భాగిద్దాం. LCM అనేది సంఖ్య 6, మరియు రెండవ భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 3. 6ని 3తో భాగిస్తే, మనకు అదనపు కారకం 2 వస్తుంది. మేము దానిని రెండవ భిన్నం పైన వ్రాస్తాము:

భిన్నాలను వాటి అదనపు కారకాల ద్వారా గుణిద్దాం:

వేర్వేరు హారం ఉన్న భిన్నాలు ఒకే హారం కలిగిన భిన్నాలుగా మారాయని మేము నిర్ధారణకు వచ్చాము. మరియు అటువంటి భిన్నాలను ఎలా పోల్చాలో మనకు ఇప్పటికే తెలుసు. ఒకే హారం ఉన్న రెండు భిన్నాలలో, పెద్ద సంఖ్యతో భిన్నం ఎక్కువగా ఉంటుంది:

నియమం అనేది నియమం, మరియు అది ఎందుకు ఎక్కువ అని మేము గుర్తించడానికి ప్రయత్నిస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, భిన్నంలో మొత్తం భాగాన్ని ఎంచుకోండి. భిన్నం ఇప్పటికే సరిగ్గా ఉన్నందున, భిన్నంలో దేనినీ హైలైట్ చేయవలసిన అవసరం లేదు.

భిన్నంలో పూర్ణాంకం భాగాన్ని వేరుచేసిన తర్వాత, మేము ఈ క్రింది వ్యక్తీకరణను పొందుతాము:

కంటే ఎక్కువ ఎందుకు అని ఇప్పుడు మీరు సులభంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. ఈ భిన్నాలను పిజ్జాలుగా గీద్దాం:

2 మొత్తం పిజ్జాలు మరియు పిజ్జాలు, పిజ్జాల కంటే ఎక్కువ.

మిశ్రమ సంఖ్యల వ్యవకలనం. కష్టమైన కేసులు.

మిశ్రమ సంఖ్యలను తీసివేసేటప్పుడు, మీరు కోరుకున్నంత సజావుగా జరగడం లేదని మీరు కొన్నిసార్లు కనుగొనవచ్చు. ఒక ఉదాహరణను పరిష్కరించేటప్పుడు, సమాధానం అది ఎలా ఉండాలో కాదు.

సంఖ్యలను తీసివేసేటప్పుడు, మైన్యూఎండ్ తప్పనిసరిగా సబ్‌ట్రాహెండ్ కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి. ఈ సందర్భంలో మాత్రమే సాధారణ సమాధానం పొందబడుతుంది.

ఉదాహరణకు, 10−8=2

10 - తగ్గించదగినది

8 - subtrahend

2 - తేడా

సబ్‌ట్రాహెండ్ 8 కంటే మినియెండ్ 10 ఎక్కువగా ఉంది, కాబట్టి మనకు సాధారణ సమాధానం 2 వస్తుంది.

సబ్‌ట్రాహెండ్ కంటే మినియెండ్ తక్కువగా ఉంటే ఏమి జరుగుతుందో ఇప్పుడు చూద్దాం. ఉదాహరణ 5−7=−2

5-తగ్గించదగినది

7 - subtrahend

-2 - తేడా

ఈ సందర్భంలో, మేము మనకు అలవాటుపడిన సంఖ్యల పరిమితులను దాటి, ప్రతికూల సంఖ్యల ప్రపంచంలో మనల్ని మనం కనుగొంటాము, ఇక్కడ మనం నడవడానికి చాలా తొందరగా ఉంటుంది మరియు ప్రమాదకరమైనది కూడా. ప్రతికూల సంఖ్యలతో పని చేయడానికి, మనకు తగిన గణిత శిక్షణ అవసరం, ఇది మేము ఇంకా అందుకోలేదు.

వ్యవకలన ఉదాహరణలను పరిష్కరిస్తున్నప్పుడు, సబ్‌ట్రాహెండ్ కంటే మినియెండ్ తక్కువగా ఉందని మీరు కనుగొంటే, మీరు ప్రస్తుతానికి అలాంటి ఉదాహరణను దాటవేయవచ్చు. ప్రతికూల సంఖ్యలను అధ్యయనం చేసిన తర్వాత మాత్రమే వాటితో పని చేయడానికి అనుమతి ఉంది.

భిన్నాలతోనూ ఇదే పరిస్థితి. మైనుఎండ్ తప్పనిసరిగా సబ్‌ట్రాహెండ్ కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి. ఈ సందర్భంలో మాత్రమే సాధారణ సమాధానాన్ని పొందడం సాధ్యమవుతుంది. మరియు తీసివేయబడిన భిన్నం కంటే తగ్గించబడిన భిన్నం ఎక్కువగా ఉందో లేదో అర్థం చేసుకోవడానికి, మీరు ఈ భిన్నాలను సరిపోల్చగలగాలి.

ఉదాహరణకు, ఉదాహరణను పరిష్కరిద్దాం.

వ్యవకలనానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ. దాన్ని పరిష్కరించడానికి, మీరు తీసివేయబడుతున్న భిన్నం కంటే తగ్గించబడిన భిన్నం ఎక్కువగా ఉందో లేదో తనిఖీ చేయాలి. కంటే ఎక్కువ

కాబట్టి మేము సురక్షితంగా ఉదాహరణకి తిరిగి వెళ్లి దాన్ని పరిష్కరించవచ్చు:

ఇప్పుడు ఈ ఉదాహరణను పరిష్కరిద్దాం

తగ్గించబడుతున్న భిన్నం తీసివేయబడుతున్న భిన్నం కంటే ఎక్కువగా ఉందో లేదో మేము తనిఖీ చేస్తాము. ఇది తక్కువగా ఉందని మేము కనుగొన్నాము:

ఈ సందర్భంలో, ఆపివేయడం మరియు తదుపరి గణనను కొనసాగించకుండా ఉండటం మంచిది. మేము ప్రతికూల సంఖ్యలను అధ్యయనం చేసినప్పుడు ఈ ఉదాహరణకి తిరిగి వెళ్దాం.

వ్యవకలనానికి ముందు మిశ్రమ సంఖ్యలను తనిఖీ చేయడం కూడా మంచిది. ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి.

ముందుగా, తగ్గించబడుతున్న మిశ్రమ సంఖ్య వ్యవకలనం చేయబడిన మిశ్రమ సంఖ్య కంటే ఎక్కువగా ఉందో లేదో చూద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, మేము మిశ్రమ సంఖ్యలను సరికాని భిన్నాలకు మారుస్తాము:

మేము వేర్వేరు సంఖ్యలు మరియు విభిన్న హారంలతో భిన్నాలను అందుకున్నాము. అటువంటి భిన్నాలను పోల్చడానికి, మీరు వాటిని ఒకే (సాధారణ) హారంకు తీసుకురావాలి. దీన్ని ఎలా చేయాలో మేము వివరంగా వివరించము. మీకు ఇబ్బంది ఉంటే, తప్పకుండా పునరావృతం చేయండి.

భిన్నాలను ఒకే హారంకు తగ్గించిన తర్వాత, మేము ఈ క్రింది వ్యక్తీకరణను పొందుతాము:

ఇప్పుడు మీరు భిన్నాలను సరిపోల్చాలి మరియు . ఇవి ఒకే హారం కలిగిన భిన్నాలు. ఒకే హారం ఉన్న రెండు భిన్నాలలో, పెద్ద న్యూమరేటర్‌తో భిన్నం ఎక్కువగా ఉంటుంది.

భిన్నం భిన్నం కంటే ఎక్కువ సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది. భిన్నం కంటే భిన్నం ఎక్కువ అని దీని అర్థం.

దీనర్థం సబ్‌ట్రాహెండ్ కంటే మైన్యూఎండ్ ఎక్కువ

దీని అర్థం మనం మా ఉదాహరణకి తిరిగి వచ్చి దానిని సురక్షితంగా పరిష్కరించగలము:

ఉదాహరణ 3.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి

సబ్‌ట్రాహెండ్ కంటే మైన్యూఎండ్ ఎక్కువగా ఉందో లేదో తనిఖీ చేద్దాం.

మిశ్రమ సంఖ్యలను సరికాని భిన్నాలకు మారుద్దాం:

మేము వేర్వేరు సంఖ్యలు మరియు విభిన్న హారంలతో భిన్నాలను అందుకున్నాము. ఈ భిన్నాలను ఒకే (సాధారణ) హారంకు తగ్గిద్దాం.

ఈ వ్యాసం భిన్నాలను పోల్చడాన్ని చూస్తుంది. ఇక్కడ మనం ఏ భిన్నం ఎక్కువ లేదా తక్కువగా ఉందో తెలుసుకుంటాము, నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము మరియు పరిష్కారాల ఉదాహరణలను పరిశీలిస్తాము. భిన్నాలను లైక్ మరియు అన్‌లాక్ హారం రెండింటితో పోల్చి చూద్దాం. ఒక సాధారణ భిన్నాన్ని సహజ సంఖ్యతో పోల్చి చూద్దాం.

Yandex.RTB R-A-339285-1

భిన్నాలను ఒకే హారంతో పోల్చడం

భిన్నాలను ఒకే హారంతో పోల్చినప్పుడు, మేము న్యూమరేటర్‌తో మాత్రమే పని చేస్తాము, అంటే మేము సంఖ్య యొక్క భిన్నాలను పోల్చాము. భిన్నం 3 7 ఉంటే, అది 3 భాగాలు 1 7 కలిగి ఉంటే, అప్పుడు 8 7 భిన్నం 8 అటువంటి భాగాలను కలిగి ఉంటుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, హారం ఒకేలా ఉంటే, ఈ భిన్నాల సంఖ్యలు పోల్చబడతాయి, అంటే 3 7 మరియు 8 7 సంఖ్యలు 3 మరియు 8తో పోల్చబడతాయి.

భిన్నాలను ఒకే హారంతో పోల్చడానికి ఇది నియమాన్ని అనుసరిస్తుంది: అదే ఘాతాంకాలతో ఉన్న భిన్నాలలో, పెద్ద సంఖ్యతో ఉన్న భిన్నం పెద్దదిగా పరిగణించబడుతుంది మరియు దీనికి విరుద్ధంగా ఉంటుంది.

మీరు న్యూమరేటర్‌లపై శ్రద్ధ వహించాలని ఇది సూచిస్తుంది. దీన్ని చేయడానికి, ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం.

ఉదాహరణ 1

ఇచ్చిన భిన్నాలు 65 126 మరియు 87 126 సరిపోల్చండి.

పరిష్కారం

భిన్నాల యొక్క హారం ఒకే విధంగా ఉన్నందున, మేము సంఖ్యలకు వెళ్తాము. 87 మరియు 65 సంఖ్యల నుండి 65 తక్కువ అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. భిన్నాలను ఒకే హారంతో పోల్చడానికి నియమం ఆధారంగా, 65,126 కంటే 87,126 ఎక్కువ అని మేము కలిగి ఉన్నాము.

సమాధానం: 87 126 > 65 126 .

భిన్నాలను వేర్వేరు హారంతో పోల్చడం

అటువంటి భిన్నాల పోలిక అదే ఘాతాంకాలతో భిన్నాల పోలికతో పరస్పర సంబంధం కలిగి ఉంటుంది, కానీ తేడా ఉంది. ఇప్పుడు మీరు భిన్నాలను సాధారణ హారంకు తగ్గించాలి.

విభిన్న హారంతో భిన్నాలు ఉంటే, వాటిని పోల్చడానికి మీరు వీటిని చేయాలి:

• ఒక సాధారణ హారం కనుగొనండి;
• భిన్నాలను సరిపోల్చండి.

ఒక ఉదాహరణను ఉపయోగించి ఈ చర్యలను చూద్దాం.

ఉదాహరణ 2

5 12 మరియు 9 16 భిన్నాలను సరిపోల్చండి.

పరిష్కారం

అన్నింటిలో మొదటిది, భిన్నాలను సాధారణ హారంకు తగ్గించడం అవసరం. ఇది ఈ విధంగా చేయబడుతుంది: LCMని కనుగొనండి, అంటే అతి తక్కువ సాధారణ విభజన, 12 మరియు 16. ఈ సంఖ్య 48. మొదటి భిన్నం 5 12కి అదనపు కారకాలను జోడించడం అవసరం, ఈ సంఖ్య 48: 12 = 4, రెండవ భిన్నం 9 16 – 48: 16 = 3 నుండి కనుగొనబడింది. ఫలితాన్ని ఈ విధంగా వ్రాద్దాం: 5 12 = 5 4 12 4 = 20 48 మరియు 9 16 = 9 3 16 3 = 27 48.

భిన్నాలను పోల్చిన తర్వాత మనకు 20 48 వస్తుంది< 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .

సమాధానం: 5 12 < 9 16 .

భిన్నాలను వేర్వేరు హారంతో పోల్చడానికి మరొక మార్గం ఉంది. ఇది సాధారణ హారంకు తగ్గకుండా నిర్వహించబడుతుంది. ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం. భిన్నాలను a b మరియు c d పోల్చడానికి, మేము వాటిని ఒక సాధారణ హారంకు తగ్గిస్తాము, ఆపై b · d, అంటే ఈ హారం యొక్క ఉత్పత్తి. అప్పుడు భిన్నాలకు అదనపు కారకాలు పొరుగు భిన్నం యొక్క హారం అవుతుంది. ఇది a · d b · d మరియు c · b d · b గా వ్రాయబడుతుంది. ఒకే విధమైన హారంతో నియమాన్ని ఉపయోగించి, భిన్నాల పోలిక a · d మరియు c · b ఉత్పత్తుల పోలికలకు తగ్గించబడింది. భిన్నాలను వేర్వేరు హారంలతో పోల్చడానికి ఇక్కడ నుండి మేము నియమాన్ని పొందుతాము: a · d > b · c అయితే, a b > c d, అయితే a · d అయితే< b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.

ఉదాహరణ 3

భిన్నాలు 5 18 మరియు 23 86 సరిపోల్చండి.

పరిష్కారం

ఈ ఉదాహరణలో a = 5, b = 18, c = 23 మరియు d = 86 ఉన్నాయి. అప్పుడు AD మరియు b·cని లెక్కించడం అవసరం. ఇది a · d = 5 · 86 = 430 మరియు b · c = 18 · 23 = 414. కానీ 430 > 414, అప్పుడు ఇచ్చిన భిన్నం 5 18 23 86 కంటే ఎక్కువ.

సమాధానం: 5 18 > 23 86 .

భిన్నాలను ఒకే సంఖ్యలతో పోల్చడం

భిన్నాలు ఒకే న్యూమరేటర్లు మరియు విభిన్న హారం కలిగి ఉంటే, మునుపటి పాయింట్ ప్రకారం పోలిక చేయవచ్చు. వాటి హారంలను పోల్చడం ద్వారా పోలిక ఫలితం సాధ్యమవుతుంది.

భిన్నాలను ఒకే సంఖ్యలతో పోల్చడానికి ఒక నియమం ఉంది : ఒకే న్యూమరేటర్‌లు ఉన్న రెండు భిన్నాలలో, చిన్న హారం ఉన్న భిన్నం ఎక్కువగా ఉంటుంది మరియు దీనికి విరుద్ధంగా ఉంటుంది.

ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం.

ఉదాహరణ 4

భిన్నాలు 54 19 మరియు 54 31 సరిపోల్చండి.

పరిష్కారం

31 హారం ఉన్న భిన్నం కంటే 19 హారం ఉన్న భిన్నం ఎక్కువ అని అర్థం. ఇది నియమాన్ని బట్టి అర్థమవుతుంది.

సమాధానం: 54 19 > 54 31 .

లేకపోతే, మేము ఒక ఉదాహరణను చూడవచ్చు. 1 2 పైస్, మరియు మరొక 1 16 అన్నా ఉన్న రెండు ప్లేట్లు ఉన్నాయి. మీరు 1 2 పైస్ తింటే, మీరు కేవలం 1 16 కంటే వేగంగా పూర్తి అవుతారు. అందువల్ల భిన్నాలను పోల్చినప్పుడు సమాన సంఖ్యలతో అతిపెద్ద హారం చిన్నదని ముగింపు.

భిన్నాన్ని సహజ సంఖ్యతో పోల్చడం

ఒక సాధారణ భిన్నాన్ని సహజ సంఖ్యతో పోల్చడం రెండు భిన్నాలను ఫారమ్ 1లో వ్రాసిన హారంతో పోల్చినట్లే. వివరణాత్మక పరిశీలన కోసం, మేము క్రింద ఒక ఉదాహరణ ఇస్తాము.

ఉదాహరణ 4

63 8 మరియు 9 మధ్య పోలిక అవసరం.

పరిష్కారం

9 సంఖ్యను భిన్నం 9 1గా సూచించడం అవసరం. అప్పుడు మనం 63 8 మరియు 9 1 భిన్నాలను పోల్చాలి. దీని తర్వాత అదనపు కారకాలను కనుగొనడం ద్వారా సాధారణ హారంకు తగ్గించబడుతుంది. దీని తర్వాత మనం భిన్నాలను అదే హారం 63 8 మరియు 72 8 తో పోల్చాలి. పోలిక నియమం ఆధారంగా, 63< 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .

సమాధానం: 63 8 < 9 .

మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి

ఒకే హారం ఉన్న రెండు భిన్నాలలో, పెద్ద సంఖ్య కలిగినది పెద్దది మరియు చిన్న సంఖ్య కలిగినది చిన్నది.. వాస్తవానికి, హారం ఒక మొత్తం విలువను ఎన్ని భాగాలుగా విభజించబడిందో చూపిస్తుంది మరియు అటువంటి భాగాలు ఎన్ని తీసుకోబడ్డాయో న్యూమరేటర్ చూపుతుంది.

మేము ప్రతి మొత్తం సర్కిల్‌ను ఒకే సంఖ్యతో విభజించాము 5 , కానీ వారు వేర్వేరు సంఖ్యలో భాగాలను తీసుకున్నారు: వారు ఎంత ఎక్కువ తీసుకున్నారో, మీకు లభించిన భిన్నం పెద్దది.

ఒకే న్యూమరేటర్‌లు ఉన్న రెండు భిన్నాలలో, చిన్న హారం ఉన్నది పెద్దది మరియు పెద్ద హారం ఉన్నది చిన్నది.బాగా, నిజానికి, మేము ఒక సర్కిల్‌ను విభజించినట్లయితే 8 భాగాలు, మరియు ఇతర 5 భాగాలు మరియు ప్రతి సర్కిల్ నుండి ఒక భాగాన్ని తీసుకోండి. ఏ భాగం పెద్దదిగా ఉంటుంది?

వాస్తవానికి, సర్కిల్ నుండి విభజించబడింది 5 భాగాలు! ఇప్పుడు వారు వృత్తాలు కాదు, కేకులు విభజించారని ఊహించుకోండి. మీరు ఏ భాగాన్ని ఇష్టపడతారు లేదా ఏ వాటాను ఇష్టపడతారు: ఐదవ లేదా ఎనిమిదవది?

భిన్నాలను వేర్వేరు సంఖ్యలు మరియు విభిన్న హారంతో పోల్చడానికి, మీరు తప్పనిసరిగా భిన్నాలను వాటి అత్యల్ప సాధారణ హారంకు తగ్గించి, ఆపై భిన్నాలను అదే హారంతో సరిపోల్చాలి.

ఉదాహరణలు. సాధారణ భిన్నాలను సరిపోల్చండి:

ఈ భిన్నాలను వాటి అత్యల్ప సాధారణ హారంకు తగ్గిద్దాం. NOZ(4 ; 6)=12. మేము ప్రతి భిన్నానికి అదనపు కారకాలను కనుగొంటాము. 1వ భాగానికి అదనపు అంశం 3 (12: 4=3 ) 2వ భాగానికి అదనపు అంశం 2 (12: 6=2 ) ఇప్పుడు మేము రెండు ఫలిత భిన్నాల సంఖ్యలను ఒకే హారంతో పోల్చాము. మొదటి భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ రెండవ భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ కంటే తక్కువగా ఉన్నందున ( 9<10) , అప్పుడు మొదటి భిన్నం రెండవ భిన్నం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

భిన్నాలను ఒకదానితో ఒకటి పోల్చడం ఎలాగో ఈ పాఠంలో నేర్చుకుందాం. ఇది చాలా ఉపయోగకరమైన నైపుణ్యం, ఇది మరింత క్లిష్టమైన సమస్యల యొక్క మొత్తం తరగతిని పరిష్కరించడానికి అవసరం.

ముందుగా, భిన్నాల సమానత్వం యొక్క నిర్వచనాన్ని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను:

a /b మరియు c /d భిన్నాలు ad = bc అయితే సమానంగా ఉంటాయి.

1. 5/8 = 15/24, 5 24 = 8 15 = 120 నుండి;
2. 3/2 = 27/18, 3 18 = 2 27 = 54 నుండి.

అన్ని ఇతర సందర్భాలలో, భిన్నాలు అసమానంగా ఉంటాయి మరియు కింది ప్రకటనలలో ఒకటి వాటికి సరైనది:

1. భిన్నం a/b భిన్నం c/d కంటే ఎక్కువ;
2. భిన్నం a /b భిన్నం c /d కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

a /b భిన్నం a /b - c /d > 0 అయితే c /d భిన్నం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.

x /y - s /t అయితే భిన్నం x /y భిన్నం s /t కంటే చిన్నదిగా చెప్పబడుతుంది< 0.

హోదా:

అందువల్ల, భిన్నాలను పోల్చడం వాటిని తీసివేయడానికి వస్తుంది. ప్రశ్న: “ఎక్కువ” (>) మరియు “తక్కువ” అనే సంజ్ఞామానాలతో ఎలా గందరగోళం చెందకూడదు (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

1. జాక్డా యొక్క ఫ్లేర్డ్ భాగం ఎల్లప్పుడూ పెద్ద సంఖ్య వైపు చూపుతుంది;
2. జాక్డా యొక్క పదునైన ముక్కు ఎల్లప్పుడూ తక్కువ సంఖ్యను సూచిస్తుంది.

తరచుగా మీరు సంఖ్యలను సరిపోల్చాల్సిన సమస్యలలో, వాటి మధ్య “∨” గుర్తు ఉంచబడుతుంది. ఇది దాని ముక్కుతో ఉన్న డావ్, ఇది సూచనగా కనిపిస్తుంది: పెద్ద సంఖ్యలు ఇంకా నిర్ణయించబడలేదు.

టాస్క్. సంఖ్యలను సరిపోల్చండి:

నిర్వచనాన్ని అనుసరించి, ఒకదానికొకటి భిన్నాలను తీసివేయండి:

ప్రతి పోలికలో, మేము భిన్నాలను సాధారణ హారంకు తగ్గించవలసి ఉంటుంది. ప్రత్యేకంగా, క్రిస్-క్రాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించడం మరియు అతి తక్కువ సాధారణ మల్టిపుల్‌ని కనుగొనడం. నేను ఉద్దేశపూర్వకంగా ఈ అంశాలపై దృష్టి పెట్టలేదు, కానీ ఏదో స్పష్టంగా తెలియకపోతే, “భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం” అనే పాఠాన్ని చూడండి - ఇది చాలా సులభం.

దశాంశాల పోలిక

దశాంశ భిన్నాల విషయంలో, ప్రతిదీ చాలా సరళంగా ఉంటుంది. ఇక్కడ దేనినీ తీసివేయవలసిన అవసరం లేదు - అంకెలను సరిపోల్చండి. సంఖ్య యొక్క ముఖ్యమైన భాగం ఏమిటో గుర్తుంచుకోవడం మంచిది. మరచిపోయిన వారికి, “దశాంశాలను గుణించడం మరియు విభజించడం” అనే పాఠాన్ని పునరావృతం చేయమని నేను సూచిస్తున్నాను - దీనికి కూడా కేవలం రెండు నిమిషాలు పడుతుంది.

ధనాత్మక దశాంశ X అనేది ధనాత్మక దశాంశ Y కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది, అది దశాంశ స్థానాన్ని కలిగి ఉంటే:

1. భిన్నం Xలోని ఈ స్థానంలో ఉన్న అంకె Y భిన్నంలోని సంబంధిత అంకె కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది;
2. X మరియు Y భిన్నాల కోసం దీని కంటే ఎక్కువ అన్ని అంకెలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి.

1. 12.25 > 12.16. మొదటి రెండు అంకెలు ఒకేలా ఉంటాయి (12 = 12), మరియు మూడవది ఎక్కువ (2 > 1);
2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మేము దశాంశ స్థానాల ద్వారా ఒక్కొక్కటిగా వెళ్లి తేడా కోసం చూస్తాము. ఈ సందర్భంలో, పెద్ద సంఖ్య పెద్ద భిన్నానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.

అయితే, ఈ నిర్వచనానికి స్పష్టత అవసరం. ఉదాహరణకు, దశాంశ స్థానాలను ఎలా వ్రాయాలి మరియు సరిపోల్చాలి? గుర్తుంచుకోండి: దశాంశ రూపంలో వ్రాసిన ఏ సంఖ్య అయినా ఎడమ వైపున ఎన్ని సున్నాలను జోడించవచ్చు. ఇక్కడ మరికొన్ని ఉదాహరణలు ఉన్నాయి:

1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
2. 2300.5 > 0.0025, ఎందుకంటే 0.0025 = 0000.0025 - ఎడమవైపు మూడు సున్నాలు జోడించబడ్డాయి. ఇప్పుడు మీరు తేడా మొదటి అంకెలో ప్రారంభమవుతుందని చూడవచ్చు: 2 > 0.

వాస్తవానికి, సున్నాలతో ఇచ్చిన ఉదాహరణలలో స్పష్టమైన ఓవర్ కిల్ ఉంది, కానీ పాయింట్ సరిగ్గా ఇదే: ఎడమవైపు తప్పిపోయిన బిట్‌లను పూరించండి, ఆపై సరిపోల్చండి.

టాస్క్. భిన్నాలను సరిపోల్చండి:

1. 0,029 ∨ 0,007;
2. 14,045 ∨ 15,5;
3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
4. 1700,1 ∨ 0,99501.

నిర్వచనం ప్రకారం మేము కలిగి ఉన్నాము:

1. 0.029 > 0.007. మొదటి రెండు అంకెలు ఏకీభవిస్తాయి (00 = 00), అప్పుడు తేడా ప్రారంభమవుతుంది (2 > 0);
2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
3. 0.00003 > 0.0000099. ఇక్కడ మీరు సున్నాలను జాగ్రత్తగా లెక్కించాలి. రెండు భిన్నాలలో మొదటి 5 అంకెలు సున్నా, కానీ మొదటి భిన్నంలో 3, మరియు రెండవది - 0. సహజంగానే, 3 > 0;
4. 1700.1 > 0.99501. ఎడమవైపు 3 సున్నాలను జోడించి రెండవ భిన్నాన్ని 0000.99501గా తిరిగి వ్రాద్దాం. ఇప్పుడు ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉంది: 1 > 0 - తేడా మొదటి అంకెలో కనుగొనబడింది.

దురదృష్టవశాత్తూ, దశాంశ భిన్నాలను పోల్చడానికి ఇచ్చిన పథకం విశ్వవ్యాప్తం కాదు. ఈ పద్ధతిని మాత్రమే పోల్చవచ్చు సానుకూల సంఖ్యలు. సాధారణ సందర్భంలో, ఆపరేటింగ్ అల్గోరిథం క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

1. ప్రతికూల భిన్నం కంటే సానుకూల భిన్నం ఎల్లప్పుడూ ఎక్కువగా ఉంటుంది;
2. పై అల్గోరిథం ఉపయోగించి రెండు సానుకూల భిన్నాలు పోల్చబడతాయి;
3. రెండు ప్రతికూల భిన్నాలు ఒకే విధంగా పోల్చబడతాయి, కానీ చివరికి అసమానత గుర్తు తిరగబడుతుంది.

బాగా, చెడ్డది కాదా? ఇప్పుడు నిర్దిష్ట ఉదాహరణలను చూద్దాం - మరియు ప్రతిదీ స్పష్టమవుతుంది.

టాస్క్. భిన్నాలను సరిపోల్చండి:

1. 0,0027 ∨ 0,0072;
2. −0,192 ∨ −0,39;
3. 0,15 ∨ −11,3;
4. 19,032 ∨ 0,0919295;
5. −750 ∨ −1,45.

1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
2. −0.192 > -0.39. భిన్నాలు ప్రతికూలంగా ఉంటాయి, 2వ అంకె భిన్నంగా ఉంటుంది. 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
3. 0.15 > -11.3. ప్రతికూల సంఖ్య కంటే సానుకూల సంఖ్య ఎల్లప్పుడూ ఎక్కువగా ఉంటుంది;
4. 19.032 > 0.091. 1వ అంకెలో వ్యత్యాసం ఇప్పటికే ఉత్పన్నమయ్యేలా చూడటానికి రెండవ భిన్నాన్ని 00.091 రూపంలో తిరిగి వ్రాయడం సరిపోతుంది;
5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. తేడా మొదటి వర్గంలో ఉంది.

భిన్నాలను పోల్చడం. ఈ వ్యాసంలో మీరు రెండు భిన్నాలను పోల్చగల వివిధ పద్ధతులను మేము పరిశీలిస్తాము. అన్ని భిన్నాలను చూడాలని మరియు వాటిని వరుసగా అధ్యయనం చేయాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను.

భిన్నాలను పోల్చడానికి ప్రామాణిక అల్గారిథమ్‌ను చూపించే ముందు, కొన్ని సందర్భాలను చూద్దాం, దీనిలో వెంటనే ఒక ఉదాహరణను చూస్తే ఏ భిన్నం పెద్దదిగా ఉంటుందో చెప్పగలము. ఇక్కడ ప్రత్యేకమైన సంక్లిష్టత లేదు, కొద్దిగా విశ్లేషణలు మరియు ప్రతిదీ సిద్ధంగా ఉంది. కింది భిన్నాలను చూడండి:

లైన్ (1)లో ఏ భిన్నం పెద్దదో మీరు వెంటనే నిర్ణయించవచ్చు, లైన్ (2)లో దీన్ని చేయడం కష్టం, మరియు ఇక్కడ మేము పోలిక కోసం “ప్రామాణిక” (లేదా దీన్ని చాలా తరచుగా ఉపయోగించే) విధానాన్ని వర్తింపజేస్తాము.

మొదటి పద్ధతి విశ్లేషణాత్మకమైనది.

1. మనకు రెండు భిన్నాలు ఉన్నాయి:

సంఖ్యలు సమానం, హారం అసమానం. ఏది పెద్దది? సమాధానం స్పష్టంగా ఉంది! చిన్న హారం ఉన్నది పెద్దది, అంటే మూడు పదిహేడవ వంతు. ఎందుకు? సాధారణ ప్రశ్న: ఇంకా ఏమి ఉంది - ఏదో పదవ వంతు లేదా వెయ్యి? వాస్తవానికి, పదవ వంతు.

సమాన సంఖ్యలతో, చిన్న హారంతో భిన్నం పెద్దదిగా ఉంటుంది. న్యూమరేటర్లు యూనిట్లు లేదా ఇతర సమాన సంఖ్యలు ఉన్నాయా అనేది పట్టింపు లేదు, సారాంశం మారదు.

అదనంగా, మీరు ఈ క్రింది ఉదాహరణను జోడించవచ్చు:

ఈ భిన్నాలలో ఏది ఎక్కువ (x అనేది ధనాత్మక సంఖ్య)?

ఇప్పటికే అందించిన సమాచారం ఆధారంగా, తీర్మానం చేయడం కష్టం కాదు.

*మొదటి భిన్నం యొక్క హారం చిన్నది, అంటే అది పెద్దది.

2. ఇప్పుడు భిన్నాలలో ఒకదానిలో లవం హారం కంటే ఎక్కువగా ఉన్నప్పుడు ఎంపికను పరిగణించండి. ఉదాహరణ:

హారం కంటే న్యూమరేటర్ ఎక్కువ కాబట్టి మొదటి భిన్నం ఒకటి కంటే ఎక్కువ అని స్పష్టమవుతుంది. మరియు రెండవ భిన్నం ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉంటుంది, కాబట్టి లెక్కలు మరియు పరివర్తనలు లేకుండా మనం వ్రాయవచ్చు:

3. కొన్ని సాధారణ సరికాని భిన్నాలను పోల్చినప్పుడు, వాటిలో ఒకటి పెద్ద మొత్తం భాగాన్ని కలిగి ఉన్నట్లు స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది. ఉదాహరణకు:

మొదటి భిన్నంలో పూర్ణాంకం భాగం మూడుకి సమానం, మరియు రెండవది కాబట్టి:

4. కొన్ని ఉదాహరణలలో ఏ భిన్నం పెద్దదో కూడా స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది, ఉదాహరణకు:

మొదటి భిన్నం 0.5 కంటే తక్కువగా ఉన్నట్లు చూడవచ్చు. ఎందుకు? వివరంగా చెప్పాలంటే:

మరియు రెండవది 0.5 కంటే ఎక్కువ:

అందువల్ల, మీరు పోలిక గుర్తును ఉంచవచ్చు:

విధానం రెండు. "ప్రామాణిక" పోలిక అల్గోరిథం.

పాలించు! రెండు భిన్నాలను పోల్చడానికి, హారం సమానంగా ఉండాలి. అప్పుడు పోలిక న్యూమరేటర్లచే నిర్వహించబడుతుంది. పెద్ద సంఖ్యతో భిన్నం పెద్దదిగా ఉంటుంది.

*ఇది భిన్నాలను పోల్చడానికి ఉపయోగించే ప్రధాన ముఖ్యమైన నియమం.

అసమాన హారంతో రెండు భిన్నాలు ఇచ్చినట్లయితే, వాటిని సమానమైన రూపానికి తగ్గించడం అవసరం. దీని కోసం భిన్నాలు ఉపయోగించబడతాయి.

కింది భిన్నాలను పోల్చి చూద్దాం (డినామినేటర్లు అసమానమైనవి):

వాటిని జాబితా చేద్దాం:

భిన్నాలను సమాన హారంలోకి మార్చడం ఎలా? చాలా సింపుల్! మేము మొదటి భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారంను రెండవ దాని హారంతో గుణిస్తాము మరియు రెండవ భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారంను మొదటి హారంతో గుణిస్తాము.

మరిన్ని ఉదాహరణలు:

దయచేసి హారంను లెక్కించాల్సిన అవసరం లేదని గమనించండి (పోలిక కోసం ఇది గణనలను మాత్రమే లెక్కించడానికి సరిపోతుంది);

*మేము పైన పరిగణించిన అన్ని భిన్నాలను (మొదటి పద్ధతి) కూడా ఈ విధానాన్ని ఉపయోగించి పోల్చవచ్చు.

మేము ఇక్కడ ముగించవచ్చు... కానీ మరొక "విన్-విన్" పోలిక మార్గం ఉంది.

విధానం మూడు. కాలమ్ విభజన.

ఉదాహరణ చూడండి:

సాధారణ హారంలోకి తీసుకురావడానికి మరియు సంఖ్యలను పోల్చడానికి, సాపేక్షంగా భారీ గణనలను నిర్వహించడం అవసరం అని అంగీకరించండి. మేము ఈ క్రింది విధానాన్ని ఉపయోగిస్తాము - మేము కాలమ్ ద్వారా విభజన చేస్తాము:

ఫలితంలో వ్యత్యాసాన్ని గుర్తించిన వెంటనే, విభజన ప్రక్రియను నిలిపివేయవచ్చు.

ముగింపు: 0.11 కంటే 0.12 ఎక్కువ కాబట్టి, రెండవ భిన్నం పెద్దదిగా ఉంటుంది. ఈ విధంగా మీరు అన్ని భిన్నాలతో దీన్ని చేయవచ్చు.

అంతే.

శుభాకాంక్షలు, అలెగ్జాండర్.