భిన్నాలను వేర్వేరు హారంతో పోల్చడానికి నియమం. భిన్నాల పోలిక
పాఠ్య లక్ష్యాలు:
- విద్యాపరమైన:పోల్చడం నేర్పండి సాధారణ భిన్నాలు వివిధ రకాలఉపయోగించి వివిధ పద్ధతులు;
- విద్యాపరమైన:మానసిక కార్యకలాపాల యొక్క ప్రాథమిక పద్ధతుల అభివృద్ధి, పోలిక యొక్క సాధారణీకరణ, ప్రధాన విషయాన్ని హైలైట్ చేయడం; జ్ఞాపకశక్తి అభివృద్ధి, ప్రసంగం.
- విద్యాపరమైన:ఒకరినొకరు వినడం నేర్చుకోండి, పరస్పర సహాయాన్ని పెంపొందించుకోండి, కమ్యూనికేషన్ మరియు ప్రవర్తన యొక్క సంస్కృతి.
పాఠ్య దశలు:
1. సంస్థాగత.
ఫ్రెంచ్ రచయిత ఎ. ఫ్రాన్స్ మాటలతో పాఠాన్ని ప్రారంభిద్దాం: “నేర్చుకోవడం సరదాగా ఉంటుంది... జ్ఞానాన్ని జీర్ణించుకోవడానికి, మీరు దానిని ఆకలితో గ్రహించాలి.”
ఈ సలహాను పాటిద్దాం, శ్రద్ధగా ఉండటానికి ప్రయత్నించండి మరియు గొప్ప కోరికతో జ్ఞానాన్ని గ్రహించండి, ఎందుకంటే... అవి భవిష్యత్తులో మనకు ఉపయోగపడతాయి.
2. విద్యార్థుల జ్ఞానాన్ని నవీకరించడం.
1.) విద్యార్థుల ముందరి నోటి పని.
లక్ష్యం: కొత్త విషయాలను నేర్చుకునేటప్పుడు అవసరమైన విషయాలను పునరావృతం చేయడం:
ఎ) సరైనది మరియు సరికాని భిన్నాలు;
బి) భిన్నాలను కొత్త హారంకు తీసుకురావడం;
సి) అత్యల్ప సాధారణ హారం కనుగొనడం;
(మేము ఫైల్లతో పని చేస్తున్నాము. విద్యార్థులు ప్రతి పాఠం వద్ద వాటిని అందుబాటులో ఉంచుతారు. వారు ఫీల్-టిప్ పెన్తో వాటికి సమాధానాలు వ్రాస్తారు, ఆపై అనవసరమైన సమాచారం తొలగించబడుతుంది.)
నోటి పని కోసం కేటాయింపులు.
1. గొలుసులోని అదనపు భిన్నానికి పేరు పెట్టండి:
ఎ) 5/6; 1/3; 7/10; 11/3; 4/7.
బి) 2/6; 6/18; 1/3; 4/5; 4/12.
2. భిన్నాలను కొత్త హారం 30కి తగ్గించండి:
1/2; 2/3; 4/5; 5/6; 1/10.
భిన్నాల యొక్క అత్యల్ప సాధారణ హారం కనుగొనండి:
1/5 మరియు 2/7; 3/4 మరియు 1/6; 2/9 మరియు 1/2.
2.) గేమ్ పరిస్థితి.
అబ్బాయిలు, మా స్నేహితుడు విదూషకుడు (విద్యార్థులు అతనిని పాఠశాల సంవత్సరం ప్రారంభంలో కలుసుకున్నారు) ఒక సమస్యను పరిష్కరించడానికి సహాయం చేయమని నన్ను అడిగారు. కానీ నేను లేకుండా మీరు మా స్నేహితుడికి సహాయం చేయగలరని నేను నమ్ముతున్నాను. మరియు పని తదుపరిది.
"భిన్నాలను సరిపోల్చండి:
ఎ) 1/2 మరియు 1/6;
బి) 3/5 మరియు 1/3;
సి) 5/6 మరియు 1/6;
d) 12/7 మరియు 4/7;
ఇ) 3 1/7 మరియు 3 1/5;
ఇ) 7 5/6 మరియు 3 1/2;
g) 1/10 మరియు 1;
h) 10/3 మరియు 1;
i) 7/7 మరియు 1."
గైస్, విదూషకుడికి సహాయం చేయడానికి, మనం ఏమి నేర్చుకోవాలి?
పాఠం యొక్క ఉద్దేశ్యం, పనులు (విద్యార్థులు స్వతంత్రంగా రూపొందించారు).
ప్రశ్నలు అడగడం ద్వారా ఉపాధ్యాయుడు వారికి సహాయం చేస్తాడు:
ఎ) మనం ఇప్పటికే ఏ జతల భిన్నాలను పోల్చవచ్చు?
బి) భిన్నాలను పోల్చడానికి మనకు ఏ సాధనం అవసరం?
3. సమూహాలలో గైస్ (శాశ్వత బహుళ-స్థాయి సమూహాలలో).
ప్రతి సమూహానికి ఒక పని మరియు దానిని పూర్తి చేయడానికి సూచనలు ఇవ్వబడ్డాయి.
మొదటి సమూహం : మిశ్రమ భిన్నాలను సరిపోల్చండి:
ఎ) 1 1/2 మరియు 2 5/6;
బి) 3 1/2 మరియు 3 4/5
మరియు సమీకరణ నియమాన్ని పొందండి మిశ్రమ భిన్నాలుఒకేలా మరియు విభిన్న మొత్తం భాగాలతో.
సూచనలు: మిశ్రమ భిన్నాలను పోల్చడం (సంఖ్య పుంజం ఉపయోగించి)
- భిన్నాల మొత్తం భాగాలను సరిపోల్చండి మరియు ఒక తీర్మానాన్ని గీయండి;
- పాక్షిక భాగాలను సరిపోల్చండి (పాక్షిక భాగాలను పోల్చడానికి నియమాన్ని ప్రదర్శించవద్దు);
- ఒక నియమాన్ని రూపొందించండి - ఒక అల్గోరిథం:
రెండవ సమూహం: భిన్నాలను వేర్వేరు హారం మరియు విభిన్న సంఖ్యలతో పోల్చండి. (సంఖ్య పుంజం ఉపయోగించండి)
ఎ) 6/7 మరియు 9/14;
బి) 5/11 మరియు 1/22
సూచనలు
- హారం సరిపోల్చండి
- భిన్నాలను సాధారణ హారంకు తగ్గించడం సాధ్యమేనా అని పరిగణించండి
- ఈ పదాలతో నియమాన్ని ప్రారంభించండి: “భిన్నాలను పోల్చడానికి వివిధ హారం, అవసరం..."
మూడవ సమూహం: భిన్నాలను ఒకదానితో పోల్చడం.
ఎ) 2/3 మరియు 1;
బి) 8/7 మరియు 1;
సి) 10/10 మరియు 1 మరియు ఒక నియమాన్ని రూపొందించండి.
సూచనలు
అన్ని కేసులను పరిగణించండి: (నంబర్ బీమ్ని ఉపయోగించండి)
a) భిన్నం యొక్క లవం హారంతో సమానంగా ఉంటే, …….;
బి) భిన్నం యొక్క లవం హారం కంటే తక్కువగా ఉంటే,………;
సి) భిన్నం యొక్క లవం హారం కంటే ఎక్కువగా ఉంటే,........
.
ఒక నియమాన్ని రూపొందించండి.
నాల్గవ సమూహం: భిన్నాలను సరిపోల్చండి:
ఎ) 5/8 మరియు 3/8;
సూచనలు
బి) 1/7 మరియు 4/7 మరియు భిన్నాలను ఒకే హారంతో పోల్చడానికి ఒక నియమాన్ని రూపొందించండి.
సంఖ్య పుంజం ఉపయోగించండి.
న్యూమరేటర్లను సరిపోల్చండి మరియు ముగింపును గీయండి, ఈ పదాలతో ప్రారంభించండి: "ఒకే హారంతో రెండు భిన్నాలలో .....".
ఐదవ సమూహం: భిన్నాలను సరిపోల్చండి:
ఎ) 1/6 మరియు 1/3;
0__.__.__1/6__.__.__1/3__.__.4/9__.__.__.__.__.__.__.__.__.__1__.__.__.__.__.__4/3__.__
బి) 4/9 మరియు 4/3, సంఖ్య పుంజం ఉపయోగించి:
సూచనలు
భిన్నాలను ఒకే సంఖ్యలతో పోల్చడానికి ఒక నియమాన్ని రూపొందించండి.
హారంలను సరిపోల్చండి మరియు పదాలతో ప్రారంభించి ముగింపును గీయండి:
"ఒకే సంఖ్యలతో ఉన్న రెండు భిన్నాలలో ........".
ఆరవ సమూహం: భిన్నాలను సరిపోల్చండి:
0__.__.__1/2__.__5/6__1__.__4/3__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__7/2__.__
ఎ) 4/3 మరియు 5/6; బి) 7/2 మరియు 1/2 సంఖ్య పుంజం ఉపయోగించి
సరైన మరియు సరికాని భిన్నాలను పోల్చడానికి ఒక నియమాన్ని రూపొందించండి.
సూచనలు.
ఏ భిన్నం ఎల్లప్పుడూ ఎక్కువ, సరైనది లేదా సరికాదని ఆలోచించండి.
4. సమూహాలలో చేసిన తీర్మానాల చర్చ.
ప్రతి సమూహానికి ఒక పదం. విద్యార్థుల నియమాలను రూపొందించడం మరియు వాటిని సంబంధిత నియమాల ప్రమాణాలతో పోల్చడం. తరువాత, వివిధ రకాల సాధారణ భిన్నాలను పోల్చడానికి నియమాల ప్రింట్అవుట్లు ప్రతి విద్యార్థికి ఇవ్వబడతాయి.
5. పాఠం ప్రారంభంలో ఇచ్చిన పనికి తిరిగి వెళ్దాం. (మేము కలిసి విదూషకుడి సమస్యను పరిష్కరిస్తాము).
6. నోట్బుక్లలో పని చేయండి. భిన్నాలను పోల్చడానికి నియమాలను ఉపయోగించి, విద్యార్థులు, ఉపాధ్యాయుని మార్గదర్శకత్వంలో, భిన్నాలను సరిపోల్చండి:
a) 8/13 మరియు 8/25;
బి) 11/42 మరియు 3/42;
సి)7/5 మరియు 1/5;
d) 18/21 మరియు 7/3;
ఇ) 2 1/2 మరియు 3 1/5;
ఇ) 5 1/2 మరియు 5 4/3;
(విద్యార్థిని బోర్డుకి ఆహ్వానించడం సాధ్యమవుతుంది).
7. విద్యార్థులు భిన్నాలను రెండు ఎంపికలతో పోల్చి పరీక్షను పూర్తి చేయమని కోరతారు.
ఎంపిక 1.
1) భిన్నాలను సరిపోల్చండి: 1/8 మరియు 1/12
ఎ) 1/8 > 1/12;<1/12;
బి) 1/8
సి) 1/8=1/12
2) ఏది పెద్దది: 5/13 లేదా 7/13?
ఎ) 5/13;
బి) 7/13;
సి) సమానం
3) ఏది చిన్నది: 2\3 లేదా 4/6?
ఎ) 2/3;
బి) 7/13;
బి) 4/6;
4) ఏ భిన్నం 1: 3/5 కంటే తక్కువ; 17/9; 7/7?
ఎ) 3/5;
బి) 17/9;
5) ఏ భిన్నం 1: ?; 7/8; 4/3?
ఎ) 1/2;
బి) 7/8;
సి) 4/3
6) భిన్నాలను సరిపోల్చండి: 2 1/5 మరియు 1 7/9
ఎ) 2 1/5<1 7/9;
బి) 2 1/5 = 1 7/9;
సి) 2 1/5 >1 7/9
ఎంపిక 2.
1) భిన్నాలను సరిపోల్చండి: 3/5 మరియు 3/10
ఎ) 3/5 > 3/10;
బి) 3/5<3/10;
సి) 3/5=3/10
2) ఏది పెద్దది: 10/12 లేదా 1/12?
ఎ) సమానం;
బి) 10/12;
సి) 1/12
3) ఏది తక్కువ: 3/5 లేదా 1/10?
ఎ) 3/5;
బి) 1/10;
బి) 7/13;
4) ఏ భిన్నం 1: 4/3;1/15;16/16 కంటే తక్కువ?
ఎ) 4/3;
బి) 1/15;
సి) 16/16
5) 1: 2/5;9/8;11/12 కంటే ఏ భిన్నం ఎక్కువ?
ఎ) 2/5;
బి) 9/8;
సి) 11/12
6) భిన్నాలను సరిపోల్చండి: 3 1/4 మరియు 3 2/3
ఎ) 3 1/4=3 2/3;
బి) 3 1/4 > 3 2/3;
సి) 3 1/4< 3 2/3
పరీక్షకు సమాధానాలు:
ఎంపిక 1: 1a, 2b, 3c, 4a, 5b, 6a
ఎంపిక 2: 2a, 2b, 3b, 4b, 5b, 6c
8. మరోసారి మేము పాఠం యొక్క ఉద్దేశ్యానికి తిరిగి వస్తాము.
మేము పోలిక నియమాలను తనిఖీ చేస్తాము మరియు విభిన్నమైన హోంవర్క్ ఇస్తాము:
సమూహాలు 1,2,3 - ప్రతి నియమానికి రెండు పోలిక ఉదాహరణలతో ముందుకు వచ్చి వాటిని పరిష్కరించండి.
4,5,6 సమూహాలు - No. 83 a, b, c, No. 84 a, b, c (పాఠ్య పుస్తకం నుండి).
భిన్నాలను అధ్యయనం చేయడం కొనసాగిద్దాం. ఈ రోజు మనం వారి పోలిక గురించి మాట్లాడుతాము. అంశం ఆసక్తికరంగా మరియు ఉపయోగకరంగా ఉంది. ఇది ఒక అనుభవశూన్యుడు తెల్లటి కోటులో శాస్త్రవేత్తగా భావించేలా చేస్తుంది.
భిన్నాలను పోల్చడం యొక్క సారాంశం ఏమిటంటే, రెండు భిన్నాలలో ఏది ఎక్కువ లేదా తక్కువ అని కనుగొనడం.
రెండు భిన్నాలలో ఏది ఎక్కువ లేదా తక్కువ అనే ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడానికి, ఎక్కువ (>) లేదా తక్కువ (>) వంటి వాటిని ఉపయోగించండి<).
ఏ భిన్నం పెద్దది మరియు ఏది చిన్నది అనే ప్రశ్నకు వెంటనే సమాధానం ఇవ్వడానికి అనుమతించే రెడీమేడ్ నియమాలను గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఇప్పటికే చూసుకున్నారు. ఈ నియమాలు సురక్షితంగా వర్తించవచ్చు.
మేము ఈ అన్ని నియమాలను పరిశీలిస్తాము మరియు ఇది ఎందుకు జరుగుతుందో గుర్తించడానికి ప్రయత్నిస్తాము.
పాఠం కంటెంట్భిన్నాలను ఒకే హారంతో పోల్చడం
పోల్చవలసిన భిన్నాలు భిన్నంగా ఉంటాయి. భిన్నాలు ఒకే హారం, కానీ వేర్వేరు సంఖ్యలను కలిగి ఉన్నప్పుడు ఉత్తమ సందర్భం. ఈ సందర్భంలో, కింది నియమం వర్తిస్తుంది:
తో రెండు భిన్నాల నుండి అదే హారంలవం ఎక్కువగా ఉండే భిన్నం ఎక్కువ. మరియు తదనుగుణంగా, చిన్న న్యూమరేటర్తో భిన్నం చిన్నదిగా ఉంటుంది.
ఉదాహరణకు, భిన్నాలను సరిపోల్చండి మరియు ఈ భిన్నాలలో ఏది పెద్దదో సమాధానం చూద్దాం. ఇక్కడ డినామినేటర్లు ఒకటే, కానీ సంఖ్యలు భిన్నంగా ఉంటాయి. భిన్నం భిన్నం కంటే ఎక్కువ సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది. దీని అర్థం భిన్నం కంటే ఎక్కువ. మేము ఎలా సమాధానం ఇస్తాము. మీరు తప్పనిసరిగా మరిన్ని చిహ్నాన్ని ఉపయోగించి సమాధానం ఇవ్వాలి (>)
నాలుగు భాగాలుగా విభజించబడిన పిజ్జాల గురించి మనం గుర్తుంచుకుంటే ఈ ఉదాహరణ సులభంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. పిజ్జాల కంటే ఎక్కువ పిజ్జాలు ఉన్నాయి:
మొదటి పిజ్జా రెండవదాని కంటే పెద్దదని అందరూ అంగీకరిస్తారు.
భిన్నాలను ఒకే సంఖ్యలతో పోల్చడం
భిన్నాల న్యూమరేటర్లు ఒకేలా ఉన్నప్పటికీ, హారం భిన్నంగా ఉన్నప్పుడు మనం తదుపరి సందర్భంలో ప్రవేశించవచ్చు. అటువంటి సందర్భాలలో, క్రింది నియమం అందించబడింది:
ఒకే న్యూమరేటర్లు ఉన్న రెండు భిన్నాలలో, చిన్న హారం ఉన్న భిన్నం ఎక్కువగా ఉంటుంది. మరియు తదనుగుణంగా, హారం పెద్దగా ఉన్న భిన్నం చిన్నది.
ఉదాహరణకు, భిన్నాలను పోల్చి చూద్దాం మరియు . ఈ భిన్నాలు ఒకేలా సంఖ్యలు. ఒక భిన్నం భిన్నం కంటే చిన్న హారం కలిగి ఉంటుంది. భిన్నం కంటే భిన్నం ఎక్కువ అని దీని అర్థం. కాబట్టి మేము సమాధానం ఇస్తున్నాము:
మూడు మరియు నాలుగు భాగాలుగా విభజించబడిన పిజ్జాల గురించి మనం గుర్తుంచుకుంటే ఈ ఉదాహరణ సులభంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. పిజ్జాల కంటే ఎక్కువ పిజ్జాలు ఉన్నాయి:
మొదటి పిజ్జా రెండవదాని కంటే పెద్దదని అందరూ అంగీకరిస్తారు.
భిన్నాలను వేర్వేరు సంఖ్యలు మరియు విభిన్న హారంలతో పోల్చడం
భిన్నాలను వేర్వేరు సంఖ్యలు మరియు విభిన్న హారంలతో పోల్చడం తరచుగా జరుగుతుంది.
ఉదాహరణకు, భిన్నాలను సరిపోల్చండి మరియు . ఈ భిన్నాలలో ఏది ఎక్కువ లేదా తక్కువ అనే ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడానికి, మీరు వాటిని ఒకే (సాధారణ) హారంలోకి తీసుకురావాలి. అప్పుడు మీరు ఏ భిన్నం ఎక్కువ లేదా తక్కువ అని సులభంగా నిర్ణయించవచ్చు.
భిన్నాలను ఒకే (సాధారణ) హారంలోకి తీసుకువద్దాం. రెండు భిన్నాల హారం యొక్క LCMని కనుగొనండి. భిన్నాల హారం యొక్క LCM మరియు ఇది సంఖ్య 6.
ఇప్పుడు మేము ప్రతి భిన్నానికి అదనపు కారకాలను కనుగొంటాము. మొదటి భిన్నం యొక్క హారంతో LCMని భాగిద్దాం. LCM అనేది సంఖ్య 6, మరియు మొదటి భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 2. 6ని 2తో భాగించండి, మనకు అదనపు కారకం 3 వస్తుంది. మేము దానిని మొదటి భిన్నం పైన వ్రాస్తాము:
ఇప్పుడు రెండవ అదనపు కారకాన్ని కనుగొనండి. రెండవ భిన్నం యొక్క హారంతో LCMని భాగించండి. LCM అనేది సంఖ్య 6, మరియు రెండవ భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 3. 6ని 3తో భాగిస్తే, మనకు అదనపు కారకం 2 వస్తుంది. మేము దానిని రెండవ భిన్నం పైన వ్రాస్తాము:
భిన్నాలను వాటి అదనపు కారకాల ద్వారా గుణిద్దాం:
వేర్వేరు హారం ఉన్న భిన్నాలు ఒకే హారం కలిగిన భిన్నాలుగా మారాయని మేము నిర్ధారణకు వచ్చాము. మరియు అటువంటి భిన్నాలను ఎలా పోల్చాలో మనకు ఇప్పటికే తెలుసు. ఒకే హారం ఉన్న రెండు భిన్నాలలో, పెద్ద సంఖ్యతో భిన్నం ఎక్కువగా ఉంటుంది:
నియమం అనేది నియమం, మరియు అది ఎందుకు ఎక్కువ అని మేము గుర్తించడానికి ప్రయత్నిస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, భిన్నంలో మొత్తం భాగాన్ని ఎంచుకోండి. భిన్నం ఇప్పటికే సరిగ్గా ఉన్నందున, భిన్నంలో దేనినీ హైలైట్ చేయవలసిన అవసరం లేదు.
భిన్నంలో పూర్ణాంకం భాగాన్ని వేరుచేసిన తర్వాత, మేము ఈ క్రింది వ్యక్తీకరణను పొందుతాము:
కంటే ఎక్కువ ఎందుకు అని ఇప్పుడు మీరు సులభంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. ఈ భిన్నాలను పిజ్జాలుగా గీయండి:
2 మొత్తం పిజ్జాలు మరియు పిజ్జాలు, పిజ్జాల కంటే ఎక్కువ.
మిశ్రమ సంఖ్యల వ్యవకలనం. కష్టమైన కేసులు.
తీసివేస్తోంది మిశ్రమ సంఖ్యలు, కొన్నిసార్లు మీరు కోరుకున్నంత సజావుగా జరగడం లేదని మీరు కనుగొనవచ్చు. ఒక ఉదాహరణను పరిష్కరించేటప్పుడు, సమాధానం అది ఎలా ఉండాలో కాదు.
సంఖ్యలను తీసివేసేటప్పుడు, మైన్యూఎండ్ తప్పనిసరిగా సబ్ట్రాహెండ్ కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి. ఈ సందర్భంలో మాత్రమే సాధారణ సమాధానం పొందబడుతుంది.
ఉదాహరణకు, 10−8=2
10 - తగ్గించదగినది
8 - subtrahend
2 - తేడా
సబ్ట్రాహెండ్ 8 కంటే మినియెండ్ 10 ఎక్కువ, కాబట్టి మనకు సాధారణ సమాధానం 2 వస్తుంది.
సబ్ట్రాహెండ్ కంటే మినియెండ్ తక్కువగా ఉంటే ఏమి జరుగుతుందో ఇప్పుడు చూద్దాం. ఉదాహరణ 5−7=−2
5-తగ్గించదగినది
7 - subtrahend
-2 - తేడా
ఈ సందర్భంలో, మేము మనకు అలవాటుపడిన సంఖ్యల పరిమితులను దాటి, ప్రతికూల సంఖ్యల ప్రపంచంలో మనల్ని మనం కనుగొంటాము, ఇక్కడ మనం నడవడానికి చాలా తొందరగా ఉంటుంది మరియు ప్రమాదకరమైనది కూడా. ప్రతికూల సంఖ్యలతో పని చేయడానికి, మనకు తగిన గణిత శిక్షణ అవసరం, ఇది మేము ఇంకా అందుకోలేదు.
వ్యవకలన ఉదాహరణలను పరిష్కరిస్తున్నప్పుడు, సబ్ట్రాహెండ్ కంటే మినియెండ్ తక్కువగా ఉందని మీరు కనుగొంటే, మీరు ప్రస్తుతానికి అలాంటి ఉదాహరణను దాటవేయవచ్చు. ప్రతికూల సంఖ్యలను అధ్యయనం చేసిన తర్వాత మాత్రమే వాటితో పని చేయడానికి అనుమతి ఉంది.
భిన్నాలతోనూ ఇదే పరిస్థితి. మైనుఎండ్ తప్పనిసరిగా సబ్ట్రాహెండ్ కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి. ఈ సందర్భంలో మాత్రమే సాధారణ సమాధానాన్ని పొందడం సాధ్యమవుతుంది. మరియు తీసివేయబడిన భిన్నం కంటే తగ్గించబడిన భిన్నం ఎక్కువగా ఉందో లేదో అర్థం చేసుకోవడానికి, మీరు ఈ భిన్నాలను సరిపోల్చగలగాలి.
ఉదాహరణకు, ఉదాహరణను పరిష్కరిద్దాం.
వ్యవకలనానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ. దాన్ని పరిష్కరించడానికి, మీరు తీసివేయబడుతున్న భిన్నం కంటే తగ్గించబడిన భిన్నం ఎక్కువగా ఉందో లేదో తనిఖీ చేయాలి. కంటే ఎక్కువ
కాబట్టి మేము సురక్షితంగా ఉదాహరణకి తిరిగి వెళ్లి దాన్ని పరిష్కరించవచ్చు:
ఇప్పుడు ఈ ఉదాహరణను పరిష్కరిద్దాం
తగ్గించబడుతున్న భిన్నం తీసివేయబడుతున్న భిన్నం కంటే ఎక్కువగా ఉందో లేదో మేము తనిఖీ చేస్తాము. ఇది తక్కువగా ఉందని మేము కనుగొన్నాము:
ఈ సందర్భంలో, ఆపివేయడం మరియు తదుపరి గణనను కొనసాగించకుండా ఉండటం మంచిది. మేము ప్రతికూల సంఖ్యలను అధ్యయనం చేసినప్పుడు ఈ ఉదాహరణకి తిరిగి వెళ్దాం.
వ్యవకలనానికి ముందు మిశ్రమ సంఖ్యలను తనిఖీ చేయడం కూడా మంచిది. ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి.
ముందుగా, తగ్గించబడుతున్న మిశ్రమ సంఖ్య వ్యవకలనం చేయబడిన మిశ్రమ సంఖ్య కంటే ఎక్కువగా ఉందో లేదో చూద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, మేము మిశ్రమ సంఖ్యలను సరికాని భిన్నాలకు మారుస్తాము:
మేము వేర్వేరు సంఖ్యలు మరియు విభిన్న హారంలతో భిన్నాలను అందుకున్నాము. అటువంటి భిన్నాలను పోల్చడానికి, మీరు వాటిని ఒకే (సాధారణ) హారంకు తీసుకురావాలి. దీన్ని ఎలా చేయాలో మేము వివరంగా వివరించము. మీకు ఇబ్బంది ఉంటే, పునరావృతం చేయండి.
భిన్నాలను ఒకే హారంకు తగ్గించిన తర్వాత, మేము ఈ క్రింది వ్యక్తీకరణను పొందుతాము:
ఇప్పుడు మీరు భిన్నాలను సరిపోల్చాలి మరియు . ఇవి ఒకే హారం కలిగిన భిన్నాలు. ఒకే హారం ఉన్న రెండు భిన్నాలలో, పెద్ద సంఖ్యతో భిన్నం ఎక్కువగా ఉంటుంది.
భిన్నం భిన్నం కంటే ఎక్కువ సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది. భిన్నం కంటే భిన్నం ఎక్కువ అని దీని అర్థం.
దీనర్థం సబ్ట్రాహెండ్ కంటే మైన్యూఎండ్ ఎక్కువ
దీని అర్థం మనం మా ఉదాహరణకి తిరిగి వచ్చి దానిని సురక్షితంగా పరిష్కరించగలము:
ఉదాహరణ 3.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి
సబ్ట్రాహెండ్ కంటే మైన్యూఎండ్ ఎక్కువగా ఉందో లేదో తనిఖీ చేద్దాం.
మిశ్రమ సంఖ్యలను సరికాని భిన్నాలకు మారుద్దాం:
మేము వేర్వేరు సంఖ్యలు మరియు విభిన్న హారంలతో భిన్నాలను అందుకున్నాము. మనం ఈ భిన్నాలను ఒకే (సాధారణ) హారంకు తగ్గిద్దాం.
IN రోజువారీ జీవితంమనం తరచుగా పాక్షిక పరిమాణాలను పోల్చాలి. చాలా తరచుగా ఇది ఎటువంటి ఇబ్బందులను కలిగించదు. నిజానికి, సగం ఆపిల్ పావు వంతు కంటే పెద్దదని అందరూ అర్థం చేసుకుంటారు. కానీ దానిని గణిత వ్యక్తీకరణగా వ్రాసేటప్పుడు, అది గందరగోళంగా ఉంటుంది. కింది గణిత నియమాలను వర్తింపజేయడం ద్వారా, మీరు ఈ సమస్యను సులభంగా పరిష్కరించవచ్చు.
భిన్నాలను ఒకే హారంతో ఎలా పోల్చాలి
ఇటువంటి భిన్నాలు పోల్చడానికి చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటాయి. ఈ సందర్భంలో, నియమాన్ని ఉపయోగించండి:
ఒకే హారం ఉన్న రెండు భిన్నాలు కానీ వేర్వేరు సంఖ్యలు, పెద్దది పెద్దది, మరియు చిన్నది చిన్నది.
ఉదాహరణకు, 3/8 మరియు 5/8 భిన్నాలను సరిపోల్చండి. ఈ ఉదాహరణలోని హారం సమానంగా ఉంటుంది, కాబట్టి మేము ఈ నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.
నిజానికి, మీరు రెండు పిజ్జాలను 8 ముక్కలుగా కట్ చేస్తే, 3/8 స్లైస్ ఎల్లప్పుడూ 5/8 కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.
భిన్నాలను వంటి న్యూమరేటర్లతో మరియు హారంలా కాకుండా పోల్చడం
ఈ సందర్భంలో, హారం షేర్ల పరిమాణాలు పోల్చబడతాయి. వర్తించవలసిన నియమం:
రెండు భిన్నాలు సమాన సంఖ్యలను కలిగి ఉంటే, హారం చిన్నగా ఉన్న భిన్నం ఎక్కువగా ఉంటుంది.
ఉదాహరణకు, 3/4 మరియు 3/8 భిన్నాలను సరిపోల్చండి. ఈ ఉదాహరణలో, న్యూమరేటర్లు సమానంగా ఉంటాయి, అంటే మనం రెండవ నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాము. భిన్నం 3/4 భిన్నం 3/8 కంటే చిన్న హారం కలిగి ఉంటుంది. కాబట్టి 3/4>3/8
నిజానికి, మీరు 3 పిజ్జా ముక్కలను 4 భాగాలుగా విభజించి తింటే, మీరు 3 పిజ్జా ముక్కలను 8 భాగాలుగా విభజించి తిన్న దానికంటే ఎక్కువ నిండుగా ఉంటారు.
భిన్నాలను వేర్వేరు సంఖ్యలు మరియు హారంలతో పోల్చడం
మూడవ నియమాన్ని వర్తింపజేద్దాం:
భిన్నాలను వేర్వేరు హారంలతో పోల్చడం భిన్నాలను ఒకే హారంతో పోల్చడానికి దారి తీస్తుంది. దీన్ని చేయడానికి, మీరు భిన్నాలను సాధారణ హారంకు తగ్గించి, మొదటి నియమాన్ని ఉపయోగించాలి.
ఉదాహరణకు, మీరు భిన్నాలను సరిపోల్చాలి మరియు . పెద్ద భిన్నాన్ని గుర్తించడానికి, మేము ఈ రెండు భిన్నాలను సాధారణ హారంకి తగ్గిస్తాము:
- ఇప్పుడు రెండవ అదనపు కారకాన్ని కనుగొనండి: 6:3=2. మేము దానిని రెండవ భిన్నం పైన వ్రాస్తాము:
భిన్నాలను ఒకదానితో ఒకటి పోల్చడం ఎలాగో ఈ పాఠంలో నేర్చుకుందాం. ఇది చాలా ఉపయోగకరమైన నైపుణ్యం, ఇది మరింత క్లిష్టమైన సమస్యల యొక్క మొత్తం తరగతిని పరిష్కరించడానికి అవసరం.
ముందుగా, భిన్నాల సమానత్వం యొక్క నిర్వచనాన్ని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను:
a /b మరియు c /d భిన్నాలు ad = bc అయితే సమానంగా ఉంటాయి.
- 5/8 = 15/24, 5 24 = 8 15 = 120 నుండి;
- 3/2 = 27/18, 3 18 = 2 27 = 54 నుండి.
అన్ని ఇతర సందర్భాలలో, భిన్నాలు అసమానంగా ఉంటాయి మరియు కింది ప్రకటనలలో ఒకటి వాటికి సరైనది:
- భిన్నం a/b భిన్నం c/d కంటే ఎక్కువ;
- భిన్నం a /b భిన్నం c /d కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.
a /b భిన్నం a /b − c /d > 0 అయితే c /d భిన్నం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.
x /y - s /t అయితే భిన్నం x /y భిన్నం s /t కంటే చిన్నదిగా చెప్పబడుతుంది< 0.
హోదా:
అందువల్ల, భిన్నాలను పోల్చడం వాటిని తీసివేయడానికి వస్తుంది. ప్రశ్న: "ఎక్కువ" (>) మరియు "తక్కువ" అనే సంజ్ఞామానాలతో ఎలా గందరగోళం చెందకూడదు (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:
- జాక్డా యొక్క ఫ్లేర్డ్ భాగం ఎల్లప్పుడూ పెద్ద సంఖ్య వైపు చూపుతుంది;
- జాక్డా యొక్క పదునైన ముక్కు ఎల్లప్పుడూ తక్కువ సంఖ్యను సూచిస్తుంది.
తరచుగా మీరు సంఖ్యలను సరిపోల్చాల్సిన సమస్యలలో, వాటి మధ్య “∨” గుర్తు ఉంచబడుతుంది. ఇది దాని ముక్కుతో ఉన్న డావ్, ఇది సూచనగా కనిపిస్తుంది: పెద్ద సంఖ్యలు ఇంకా నిర్ణయించబడలేదు.
టాస్క్. సంఖ్యలను సరిపోల్చండి:
నిర్వచనాన్ని అనుసరించి, ఒకదానికొకటి భిన్నాలను తీసివేయండి:
ప్రతి పోలికలో, మేము భిన్నాలను సాధారణ హారంకు తగ్గించవలసి ఉంటుంది. ప్రత్యేకంగా, క్రిస్-క్రాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించడం మరియు అతి తక్కువ సాధారణ మల్టిపుల్ని కనుగొనడం. నేను ఉద్దేశపూర్వకంగా ఈ అంశాలపై దృష్టి పెట్టలేదు, కానీ ఏదో స్పష్టంగా తెలియకపోతే, “భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం” అనే పాఠాన్ని చూడండి - ఇది చాలా సులభం.
దశాంశాల పోలిక
దశాంశ భిన్నాల విషయంలో, ప్రతిదీ చాలా సరళంగా ఉంటుంది. ఇక్కడ దేనినీ తీసివేయవలసిన అవసరం లేదు - అంకెలను సరిపోల్చండి. సంఖ్య యొక్క ముఖ్యమైన భాగం ఏమిటో గుర్తుంచుకోవడం మంచిది. మరచిపోయిన వారికి, “దశాంశాలను గుణించడం మరియు విభజించడం” అనే పాఠాన్ని పునరావృతం చేయమని నేను సూచిస్తున్నాను - దీనికి కూడా కేవలం రెండు నిమిషాలు పడుతుంది.
ధనాత్మక దశాంశ X అనేది ధనాత్మక దశాంశ Y కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది, అది దశాంశ స్థానాన్ని కలిగి ఉంటే:
- భిన్నం Xలోని ఈ స్థానంలో ఉన్న అంకె Y భిన్నంలోని సంబంధిత అంకె కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది;
- X మరియు Y భిన్నాల కోసం దీని కంటే ఎక్కువ అన్ని అంకెలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి.
- 12.25 > 12.16. మొదటి రెండు అంకెలు ఒకేలా ఉంటాయి (12 = 12), మరియు మూడవది ఎక్కువ (2 > 1);
- 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).
మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మేము దశాంశ స్థానాల ద్వారా ఒక్కొక్కటిగా వెళ్లి తేడా కోసం చూస్తాము. ఈ సందర్భంలో, పెద్ద సంఖ్య పెద్ద భిన్నానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.
అయితే, ఈ నిర్వచనానికి స్పష్టత అవసరం. ఉదాహరణకు, దశాంశ స్థానాలను ఎలా వ్రాయాలి మరియు సరిపోల్చాలి? గుర్తుంచుకోండి: దశాంశ రూపంలో వ్రాసిన ఏ సంఖ్య అయినా ఎడమ వైపున ఎన్ని సున్నాలను జోడించవచ్చు. ఇక్కడ మరికొన్ని ఉదాహరణలు ఉన్నాయి:
- 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (మేము మాట్లాడుతున్నాముసీనియర్ ర్యాంక్ గురించి).
- 2300.5 > 0.0025, ఎందుకంటే 0.0025 = 0000.0025 - ఎడమవైపు మూడు సున్నాలు జోడించబడ్డాయి. ఇప్పుడు మీరు తేడా మొదటి అంకెలో ప్రారంభమవుతుందని చూడవచ్చు: 2 > 0.
వాస్తవానికి, సున్నాలతో ఇచ్చిన ఉదాహరణలలో స్పష్టమైన ఓవర్ కిల్ ఉంది, కానీ పాయింట్ సరిగ్గా ఇదే: ఎడమవైపు తప్పిపోయిన బిట్లను పూరించండి, ఆపై సరిపోల్చండి.
టాస్క్. భిన్నాలను సరిపోల్చండి:
- 0,029 ∨ 0,007;
- 14,045 ∨ 15,5;
- 0,00003 ∨ 0,0000099;
- 1700,1 ∨ 0,99501.
నిర్వచనం ప్రకారం మేము కలిగి ఉన్నాము:
- 0.029 > 0.007. మొదటి రెండు అంకెలు ఏకీభవిస్తాయి (00 = 00), అప్పుడు తేడా ప్రారంభమవుతుంది (2 > 0);
- 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
- 0.00003 > 0.0000099. ఇక్కడ మీరు సున్నాలను జాగ్రత్తగా లెక్కించాలి. రెండు భిన్నాలలో మొదటి 5 అంకెలు సున్నా, కానీ మొదటి భిన్నంలో 3, మరియు రెండవది - 0. సహజంగానే, 3 > 0;
- 1700.1 > 0.99501. ఎడమవైపు 3 సున్నాలను జోడించి రెండవ భిన్నాన్ని 0000.99501గా తిరిగి వ్రాద్దాం. ఇప్పుడు ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉంది: 1 > 0 - తేడా మొదటి అంకెలో కనుగొనబడింది.
దురదృష్టవశాత్తూ, దశాంశ భిన్నాలను పోల్చడానికి ఇచ్చిన పథకం విశ్వవ్యాప్తం కాదు. ఈ పద్ధతి మాత్రమే పోల్చవచ్చు సానుకూల సంఖ్యలు. సాధారణ సందర్భంలో, ఆపరేటింగ్ అల్గోరిథం క్రింది విధంగా ఉంటుంది:
- ప్రతికూల భిన్నం కంటే సానుకూల భిన్నం ఎల్లప్పుడూ ఎక్కువగా ఉంటుంది;
- పై అల్గోరిథం ఉపయోగించి రెండు సానుకూల భిన్నాలు పోల్చబడతాయి;
- రెండు ప్రతికూల భిన్నాలుఅదే విధంగా పోల్చబడతాయి, కానీ చివరికి అసమానత గుర్తు తిరగబడుతుంది.
బాగా, బలహీనంగా లేదా? ఇప్పుడు చూద్దాం నిర్దిష్ట ఉదాహరణలు- మరియు ప్రతిదీ స్పష్టమవుతుంది.
టాస్క్. భిన్నాలను సరిపోల్చండి:
- 0,0027 ∨ 0,0072;
- −0,192 ∨ −0,39;
- 0,15 ∨ −11,3;
- 19,032 ∨ 0,0919295;
- −750 ∨ −1,45.
- 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
- −0.192 > -0.39. భిన్నాలు ప్రతికూలంగా ఉంటాయి, 2వ అంకె భిన్నంగా ఉంటుంది. 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
- 0.15 > -11.3. ప్రతికూల సంఖ్య కంటే సానుకూల సంఖ్య ఎల్లప్పుడూ ఎక్కువగా ఉంటుంది;
- 19.032 > 0.091. వ్యత్యాసం ఇప్పటికే 1 వ అంకెలో ఉత్పన్నమయ్యేలా చూడటానికి రెండవ భిన్నాన్ని 00.091 రూపంలో తిరిగి వ్రాయడానికి సరిపోతుంది;
- −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. తేడా మొదటి వర్గంలో ఉంది.