ఆవర్తన భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలుగా మార్చడానికి నియమాలు. భిన్నాన్ని దశాంశంగా మార్చడం మరియు దీనికి విరుద్ధంగా, నియమాలు, ఉదాహరణలు

ఈ వ్యాసంలో మనం ఎలా చూస్తాము భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చడం, మరియు కూడా పరిగణించండి రివర్స్ ప్రక్రియ- దశాంశ భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలుగా మార్చడం. ఇక్కడ మేము భిన్నాలను మార్చడానికి నియమాలను వివరిస్తాము మరియు సాధారణ ఉదాహరణలకు వివరణాత్మక పరిష్కారాలను అందిస్తాము.

పేజీ నావిగేషన్.

భిన్నాలను దశాంశాలకు మారుస్తోంది

మనం వ్యవహరించే క్రమాన్ని సూచిస్తాము భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చడం.

ముందుగా, 10, 100, 1,000, ... హారంలతో భిన్నాలను దశాంశాలుగా ఎలా సూచించాలో చూద్దాం. దశాంశ భిన్నాలు తప్పనిసరిగా 10, 100, .... హారంలతో సాధారణ భిన్నాలను వ్రాయడానికి ఒక కాంపాక్ట్ రూపం అనే వాస్తవం ద్వారా ఇది వివరించబడింది.

ఆ తర్వాత, మేము మరింత ముందుకు వెళ్లి, ఏదైనా సాధారణ భిన్నాన్ని (డినామినేటర్లు 10, 100, ... మాత్రమే కాకుండా) దశాంశ భిన్నంగా ఎలా వ్రాయాలో చూపుతాము. సాధారణ భిన్నాలను ఈ విధంగా పరిగణించినప్పుడు, పరిమిత దశాంశ భిన్నాలు మరియు అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాలు రెండూ లభిస్తాయి.

ఇప్పుడు ప్రతిదీ క్రమంలో మాట్లాడుకుందాం.

10, 100, ... హారంతో ఉన్న సాధారణ భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చడం

కొన్ని సరైన భిన్నాలకు దశాంశాలకు మార్చడానికి ముందు "ప్రిలిమినరీ ప్రిపరేషన్" అవసరం. ఇది సాధారణ భిన్నాలకు వర్తిస్తుంది, లవంలోని అంకెల సంఖ్య హారంలోని సున్నాల సంఖ్య కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, సాధారణ భిన్నం 2/100 తప్పనిసరిగా దశాంశ భిన్నానికి మార్చడానికి సిద్ధం కావాలి, అయితే 9/10 భిన్నానికి ఎలాంటి తయారీ అవసరం లేదు.

దశాంశ భిన్నాలుగా మార్చడానికి సరైన సాధారణ భిన్నాల "ప్రిలిమినరీ ప్రిపరేషన్" అనేది న్యూమరేటర్‌లో ఎడమ వైపున చాలా సున్నాలను జోడించడం ద్వారా అక్కడ ఉన్న మొత్తం అంకెల సంఖ్య హారంలోని సున్నాల సంఖ్యకు సమానం అవుతుంది. ఉదాహరణకు, సున్నాలను జోడించిన తర్వాత ఒక భిన్నం ఇలా కనిపిస్తుంది.

సరైన సిద్ధం చేసిన తర్వాత సాధారణ భిన్నంమీరు దానిని దశాంశ భిన్నానికి మార్చడం ప్రారంభించవచ్చు.

ఇద్దాం 10, లేదా 100, లేదా 1,000, ... యొక్క హారంతో సరైన సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశ భిన్నంలోకి మార్చడానికి నియమం. ఇది మూడు దశలను కలిగి ఉంటుంది:

• 0 వ్రాయండి;
• దాని తరువాత మేము దశాంశ బిందువును ఉంచాము;
• మేము న్యూమరేటర్ నుండి సంఖ్యను వ్రాస్తాము (జోడించిన సున్నాలతో పాటు, మేము వాటిని జోడించినట్లయితే).

ఉదాహరణలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఈ నియమం యొక్క అనువర్తనాన్ని పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ.

సరైన భిన్నం 37/100ని దశాంశానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.

హారం రెండు సున్నాలను కలిగి ఉన్న 100 సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది. న్యూమరేటర్ సంఖ్య 37ని కలిగి ఉంది, దాని సంజ్ఞామానంలో రెండు అంకెలు ఉన్నాయి, కాబట్టి, ఈ భిన్నం దశాంశ భిన్నానికి మార్చడానికి సిద్ధం చేయవలసిన అవసరం లేదు.

ఇప్పుడు మనం 0 వ్రాస్తాము, దశాంశ బిందువును ఉంచాము మరియు లవం నుండి 37 సంఖ్యను వ్రాస్తాము మరియు మనకు దశాంశ భిన్నం 0.37 వస్తుంది.

సమాధానం:

0,37 .

సరైన సాధారణ భిన్నాలను 10, 100, ... దశాంశ భిన్నాలుగా మార్చే నైపుణ్యాలను బలోపేతం చేయడానికి, మేము మరొక ఉదాహరణకి పరిష్కారాన్ని విశ్లేషిస్తాము.

ఉదాహరణ.

రాసుకో సరైన భిన్నం 107/10,000,000 దశాంశంగా.

పరిష్కారం.

న్యూమరేటర్‌లోని అంకెల సంఖ్య 3, మరియు హారంలోని సున్నాల సంఖ్య 7, కాబట్టి ఈ సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చడానికి సిద్ధం చేయాలి. మనం 7-3=4 సున్నాలను ఎడమవైపుకు జోడించాలి, తద్వారా అక్కడ ఉన్న మొత్తం అంకెల సంఖ్య హారంలోని సున్నాల సంఖ్యకు సమానంగా మారుతుంది. మేము పొందుతాము.

అవసరమైన దశాంశ భిన్నాన్ని సృష్టించడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది. దీన్ని చేయడానికి, మొదట, మేము 0 అని వ్రాస్తాము, రెండవది, మేము కామాను ఉంచుతాము, మూడవదిగా, మేము 0000107 సున్నాలతో కలిపి సంఖ్యను వ్రాస్తాము, ఫలితంగా మనకు దశాంశ భిన్నం 0.0000107 ఉంటుంది.

సమాధానం:

0,0000107 .

దశాంశాలకు మార్చేటప్పుడు సరికాని భిన్నాలకు ఎలాంటి తయారీ అవసరం లేదు. కింది వాటికి కట్టుబడి ఉండాలి 10, 100, ... హారంతో సరికాని భిన్నాలను దశాంశాలుగా మార్చడానికి నియమాలు:

• న్యూమరేటర్ నుండి సంఖ్యను వ్రాయండి;
• అసలు భిన్నం యొక్క హారంలో సున్నాలు ఉన్నంత వరకు కుడివైపున ఉన్న అనేక అంకెలను వేరు చేయడానికి మేము దశాంశ బిందువును ఉపయోగిస్తాము.

ఒక ఉదాహరణను పరిష్కరించేటప్పుడు ఈ నియమం యొక్క అనువర్తనాన్ని చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

సరికాని భిన్నం 56,888,038,009/100,000 దశాంశానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.

మొదట, మేము సంఖ్య 56888038009 నుండి సంఖ్యను వ్రాస్తాము మరియు రెండవది, అసలు భిన్నం యొక్క హారం 5 సున్నాలను కలిగి ఉన్నందున, మేము కుడి వైపున ఉన్న 5 అంకెలను దశాంశ బిందువుతో వేరు చేస్తాము. ఫలితంగా, మనకు దశాంశ భిన్నం 568880.38009.

సమాధానం:

568 880,38009 .

మిశ్రమ సంఖ్యను దశాంశ భిన్నానికి మార్చడానికి, 10, లేదా 100, లేదా 1,000, ..., పాక్షిక భాగం యొక్క హారం, మీరు మార్చవచ్చు మిశ్రమ సంఖ్యసరికాని భిన్నంలోకి, ఆపై ఫలిత భిన్నాన్ని దశాంశ భిన్నానికి మార్చండి. కానీ మీరు ఈ క్రింది వాటిని కూడా ఉపయోగించవచ్చు 10, లేదా 100, లేదా 1,000, ... యొక్క పాక్షిక హారంతో మిశ్రమ సంఖ్యలను దశాంశ భిన్నాలుగా మార్చడానికి నియమం:

• అవసరమైతే, అమలు చేయండి " ప్రాథమిక తయారీ» అసలైన మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క పాక్షిక భాగం, జోడించడం అవసరమైన పరిమాణంన్యూమరేటర్‌లో ఎడమవైపు సున్నాలు;
• అసలైన మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క పూర్ణాంక భాగాన్ని వ్రాయండి;
• దశాంశ బిందువును ఉంచండి;
• మేము జోడించిన సున్నాలతో పాటు న్యూమరేటర్ నుండి సంఖ్యను వ్రాస్తాము.

మిశ్రమ సంఖ్యను దశాంశ భిన్నం వలె సూచించడానికి అవసరమైన అన్ని దశలను పూర్తి చేసే ఉదాహరణను చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

మిశ్రమ సంఖ్యను దశాంశానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.

పాక్షిక భాగం యొక్క హారం 4 సున్నాలను కలిగి ఉంటుంది, కానీ న్యూమరేటర్ 2 అంకెలతో కూడిన 17 సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి, లవంలో ఎడమ వైపున రెండు సున్నాలను జోడించాలి, తద్వారా అక్కడ ఉన్న అంకెల సంఖ్య సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది. హారంలో సున్నాలు. ఇలా చేసిన తర్వాత, న్యూమరేటర్ 0017 అవుతుంది.

ఇప్పుడు మనం అసలు సంఖ్య యొక్క మొత్తం భాగాన్ని వ్రాస్తాము, అనగా 23 సంఖ్య, ఒక దశాంశ బిందువును ఉంచుతాము, దాని తర్వాత మేము జోడించిన సున్నాలతో పాటు లవం నుండి సంఖ్యను వ్రాస్తాము, అనగా 0017, మరియు మనకు కావలసిన దశాంశం వస్తుంది. భిన్నం 23.0017.

మొత్తం పరిష్కారాన్ని క్లుప్తంగా వ్రాస్దాం: .

వాస్తవానికి, ముందుగా మిశ్రమ సంఖ్యను ఇలా సూచించవచ్చు సరికాని భిన్నం, ఆపై దానిని దశాంశ భిన్నానికి మార్చండి. ఈ విధానంతో, పరిష్కారం ఇలా కనిపిస్తుంది: .

సమాధానం:

23,0017 .

భిన్నాలను పరిమిత మరియు అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశాలుగా మార్చడం

10, 100, ... హారం ఉన్న సాధారణ భిన్నాలను మాత్రమే కాకుండా, ఇతర హారంతో ఉన్న సాధారణ భిన్నాలను దశాంశ భిన్నాలుగా మార్చవచ్చు. ఇది ఎలా జరుగుతుందో ఇప్పుడు మనం కనుగొంటాము.

కొన్ని సందర్భాల్లో, అసలు సాధారణ భిన్నం 10, లేదా 100, లేదా 1,000, ... (ఒక సాధారణ భిన్నాన్ని కొత్త హారంకు తీసుకురావడం చూడండి), దాని తర్వాత ఫలిత భిన్నాన్ని సూచించడం కష్టం కాదు. దశాంశ భిన్నం వలె. ఉదాహరణకు, 2/5 భిన్నాన్ని హారం 10తో భిన్నానికి తగ్గించవచ్చని స్పష్టంగా ఉంది, దీని కోసం మీరు న్యూమరేటర్ మరియు హారంను 2 ద్వారా గుణించాలి, ఇది భిన్నం 4/10 ఇస్తుంది, దీని ప్రకారం మునుపటి పేరాలో చర్చించిన నియమాలు, దశాంశ భిన్నం 0, 4కి సులభంగా మార్చబడతాయి.

ఇతర సందర్భాల్లో, మీరు ఒక సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశంగా మార్చడానికి మరొక పద్ధతిని ఉపయోగించాలి, దానిని మేము ఇప్పుడు పరిగణలోకి తీసుకుంటాము.

సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశ భిన్నానికి మార్చడానికి, భిన్నం యొక్క లవం హారంతో భాగించబడుతుంది, లవం మొదట దశాంశ బిందువు తర్వాత ఎన్ని సున్నాలతో సమాన దశాంశ భిన్నంతో భర్తీ చేయబడుతుంది (మేము దీని గురించి సమానమైన విభాగంలో మాట్లాడాము మరియు అసమాన దశాంశ భిన్నాలు). ఈ సందర్భంలో, విభజన సహజ సంఖ్యల నిలువు వరుస ద్వారా విభజించబడిన విధంగానే నిర్వహించబడుతుంది మరియు డివిడెండ్ యొక్క మొత్తం భాగం యొక్క విభజన ముగిసినప్పుడు ఒక దశాంశ బిందువు ఉంచబడుతుంది. దిగువ ఇవ్వబడిన ఉదాహరణల పరిష్కారాల నుండి ఇవన్నీ స్పష్టంగా కనిపిస్తాయి.

ఉదాహరణ.

621/4 భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.

న్యూమరేటర్ 621లోని సంఖ్యను దశాంశ భిన్నం వలె సూచిస్తాము, దాని తర్వాత దశాంశ బిందువు మరియు అనేక సున్నాలను జోడించడం. ముందుగా, 2 అంకెలు 0ని చేర్చుదాం, తరువాత, అవసరమైతే, మనం ఎల్లప్పుడూ మరిన్ని సున్నాలను జోడించవచ్చు. కాబట్టి, మాకు 621.00 ఉంది.

ఇప్పుడు 621,000 సంఖ్యను నిలువు వరుసతో 4 ద్వారా భాగిద్దాం. మొదటి మూడు దశలు సహజ సంఖ్యలను నిలువు వరుస ద్వారా విభజించడానికి భిన్నంగా లేవు, ఆ తర్వాత మేము ఈ క్రింది చిత్రాన్ని చేరుకుంటాము:

ఈ విధంగా మనం డివిడెండ్‌లో దశాంశ బిందువుకు చేరుకుంటాము మరియు మిగిలినది సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, మేము గుణకంలో దశాంశ బిందువును ఉంచాము మరియు కామాలకు శ్రద్ధ చూపకుండా నిలువు వరుసలో విభజించడాన్ని కొనసాగిస్తాము:

ఇది విభజనను పూర్తి చేస్తుంది మరియు ఫలితంగా మనకు దశాంశ భిన్నం 155.25 వస్తుంది, ఇది అసలు సాధారణ భిన్నానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.

సమాధానం:

155,25 .

పదార్థాన్ని ఏకీకృతం చేయడానికి, మరొక ఉదాహరణకి పరిష్కారాన్ని పరిగణించండి.

ఉదాహరణ.

21/800 భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.

ఈ సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చడానికి, మేము దశాంశ భిన్నం 21,000...తో 800తో భాగిస్తాము. మొదటి దశ తర్వాత, మేము గుణకంలో దశాంశ బిందువును ఉంచాలి, ఆపై విభజనను కొనసాగించాలి:

చివరగా, మాకు మిగిలిన 0 వచ్చింది, ఇది సాధారణ భిన్నం 21/400ని దశాంశ భిన్నానికి మార్చడాన్ని పూర్తి చేస్తుంది మరియు మేము దశాంశ భిన్నం 0.02625కి చేరుకున్నాము.

సమాధానం:

0,02625 .

సాధారణ భిన్నం యొక్క హారంతో న్యూమరేటర్‌ను విభజించినప్పుడు, మనకు ఇప్పటికీ 0 యొక్క శేషం లభించదు. ఈ సందర్భాలలో, విభజన నిరవధికంగా కొనసాగించవచ్చు. అయితే, ఒక నిర్దిష్ట దశ నుండి ప్రారంభించి, మిగిలినవి క్రమానుగతంగా పునరావృతం చేయడం ప్రారంభిస్తాయి మరియు గుణకంలోని సంఖ్యలు కూడా పునరావృతమవుతాయి. దీని అర్థం అసలు భిన్నం అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నానికి మార్చబడుతుంది. దీన్ని ఒక ఉదాహరణతో చూపిద్దాం.

ఉదాహరణ.

19/44 భిన్నాన్ని దశాంశంగా వ్రాయండి.

పరిష్కారం.

సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చడానికి, నిలువు వరుస ద్వారా విభజన చేయండి:

విభజన సమయంలో 8 మరియు 36 అవశేషాలు పునరావృతం కావడం ఇప్పటికే స్పష్టంగా ఉంది, అయితే 1 మరియు 8 సంఖ్యలు పునరావృతమవుతాయి. అందువలన, అసలు సాధారణ భిన్నం 19/44 ఆవర్తన దశాంశ భిన్నం 0.43181818...=0.43(18)గా మార్చబడుతుంది.

సమాధానం:

0,43(18) .

ఈ పాయింట్‌ను ముగించడానికి, ఏ సాధారణ భిన్నాలను పరిమిత దశాంశ భిన్నాలుగా మార్చవచ్చో మరియు ఏవి ఆవర్తన వాటిని మాత్రమే మార్చవచ్చో మేము కనుగొంటాము.

మన ముందు తగ్గించలేని సాధారణ భిన్నాన్ని (భిన్నం తగ్గించగలిగితే, మేము మొదట భిన్నాన్ని తగ్గిస్తాము), మరియు దానిని ఏ దశాంశ భిన్నంలోకి మార్చవచ్చో మనం కనుగొనాలి - పరిమిత లేదా ఆవర్తన.

ఒక సాధారణ భిన్నాన్ని 10, 100, 1,000, ... అనే హారంలలో ఒకదానికి తగ్గించగలిగితే, ఫలిత భిన్నాన్ని మునుపటి పేరాలో చర్చించిన నిబంధనల ప్రకారం సులభంగా తుది దశాంశ భిన్నంగా మార్చవచ్చు. కానీ హారం 10, 100, 1,000, మొదలైనవి. అన్ని సాధారణ భిన్నాలు ఇవ్వబడవు. 10, 100, ... సంఖ్యలలో కనీసం ఒకటిగా ఉండే భిన్నాలు మాత్రమే అటువంటి హారంలకు తగ్గించబడతాయి మరియు 10, 100, ...? 10, 100, ... సంఖ్యలు ఈ ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడానికి మాకు అనుమతిస్తాయి మరియు అవి క్రింది విధంగా ఉన్నాయి: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1,000 = 2 2 2 5 5 5, .... విభజనలు 10, 100, 1,000, మొదలైనవి అని ఇది అనుసరిస్తుంది. ప్రధాన కారకాలుగా కుళ్ళిపోవడం 2 మరియు (లేదా) 5 సంఖ్యలను మాత్రమే కలిగి ఉండే సంఖ్యలు మాత్రమే ఉంటాయి.

ఇప్పుడు మనం సాధారణ భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చడం గురించి సాధారణ తీర్మానం చేయవచ్చు:

• ప్రధాన కారకాలుగా హారం యొక్క కుళ్ళిపోవడంలో 2 మరియు (లేదా) 5 సంఖ్యలు మాత్రమే ఉంటే, ఈ భిన్నాన్ని చివరి దశాంశ భిన్నంగా మార్చవచ్చు;
• ఒకవేళ, రెండులు మరియు ఐదులతో పాటు, హారం యొక్క విస్తరణలో ఇతర ప్రధాన సంఖ్యలు ఉంటే, అప్పుడు ఈ భిన్నం అనంతమైన దశాంశ ఆవర్తన భిన్నానికి మార్చబడుతుంది.

ఉదాహరణ.

సాధారణ భిన్నాలను దశాంశాలుగా మార్చకుండా, 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 భిన్నాలలో ఏది తుది దశాంశ భిన్నంగా మార్చబడుతుందో మరియు వాటిని మాత్రమే ఆవర్తన భిన్నంలోకి మార్చగలదో చెప్పండి.

పరిష్కారం.

భిన్నం 47/20 యొక్క హారం ప్రధాన కారకాలుగా 20=2·2·5గా కారకం చేయబడింది. ఈ విస్తరణ రెండు మరియు ఐదులను మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి ఈ భిన్నాన్ని 10, 100, 1,000, ... (ఈ ఉదాహరణలో, హారం 100కి) ఒకటికి తగ్గించవచ్చు, కాబట్టి, తుది దశాంశ భిన్నానికి మార్చవచ్చు.

7/12 భిన్నం యొక్క హారం ప్రధాన కారకాలుగా కుళ్ళిపోవడం 12=2·2·3 రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఇది 2 మరియు 5 నుండి భిన్నమైన 3 యొక్క ప్రధాన కారకాన్ని కలిగి ఉన్నందున, ఈ భిన్నం పరిమిత దశాంశంగా సూచించబడదు, కానీ ఆవర్తన దశాంశంగా మార్చబడుతుంది.

భిన్నం 21/56 - సంకోచం, సంకోచం తర్వాత అది 3/8 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. హారంను ప్రధాన కారకాలుగా మార్చడం 2కి సమానమైన మూడు కారకాలను కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి, సాధారణ భిన్నం 3/8, అందువలన సమాన భిన్నం 21/56, తుది దశాంశ భిన్నం వలె మార్చబడుతుంది.

చివరగా, భిన్నం 31/17 యొక్క హారం యొక్క విస్తరణ 17 దానంతట అదే, కాబట్టి ఈ భిన్నం పరిమిత దశాంశ భిన్నం వలె మార్చబడదు, కానీ అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నం వలె మార్చబడుతుంది.

సమాధానం:

47/20 మరియు 21/56 పరిమిత దశాంశ భిన్నానికి మార్చబడతాయి, కానీ 7/12 మరియు 31/17 మాత్రమే ఆవర్తన భిన్నానికి మార్చబడతాయి.

సాధారణ భిన్నాలు అనంతమైన నాన్-ఆవర్తన దశాంశాలుగా మారవు

మునుపటి పేరాలోని సమాచారం ప్రశ్నకు దారి తీస్తుంది: "ఒక భిన్నం యొక్క సంఖ్యను హారం ద్వారా విభజించడం వలన అనంతమైన నాన్-ఆవర్తన భిన్నం ఏర్పడుతుందా?"

సమాధానం: లేదు. సాధారణ భిన్నాన్ని మార్చేటప్పుడు, ఫలితం పరిమిత దశాంశ భిన్నం లేదా అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నం కావచ్చు. ఇది ఎందుకు జరుగుతుందో వివరిద్దాం.

శేషంతో విభజనపై సిద్ధాంతం నుండి, శేషం ఎల్లప్పుడూ భాజకం కంటే తక్కువగా ఉంటుందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది, అంటే, మనం కొంత పూర్ణాంకాన్ని పూర్ణాంకం qతో భాగిస్తే, మిగిలినది 0, 1, 2 సంఖ్యలలో ఒకటి మాత్రమే కావచ్చు. , ..., q−1. కాలమ్ సాధారణ భిన్నం యొక్క పూర్ణాంక భాగాన్ని హారం q ద్వారా విభజించడాన్ని పూర్తి చేసిన తర్వాత, q కంటే ఎక్కువ దశల్లో కింది రెండు పరిస్థితులలో ఒకటి తలెత్తదు:

• లేదా మేము 0 యొక్క మిగిలిన భాగాన్ని పొందుతాము, ఇది విభజనను ముగుస్తుంది మరియు మేము చివరి దశాంశ భిన్నాన్ని పొందుతాము;
• లేదా మేము ఇంతకు ముందు కనిపించిన శేషాన్ని పొందుతాము, దాని తర్వాత మిగిలినవి మునుపటి ఉదాహరణలో పునరావృతం అవుతాయి (సమాన సంఖ్యలను q ద్వారా విభజించినప్పుడు, సమాన శేషాలు లభిస్తాయి, ఇది ఇప్పటికే పేర్కొన్న విభజన సిద్ధాంతం నుండి వస్తుంది), ఇది అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నానికి దారి తీస్తుంది.

ఏ ఇతర ఎంపికలు ఉండవు, కాబట్టి, ఒక సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశ భిన్నానికి మార్చేటప్పుడు, అనంతమైన నాన్-ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాన్ని పొందలేము.

ఈ పేరాలో ఇవ్వబడిన తార్కికం నుండి, దశాంశ భిన్నం యొక్క వ్యవధి యొక్క పొడవు ఎల్లప్పుడూ సంబంధిత సాధారణ భిన్నం యొక్క హారం విలువ కంటే తక్కువగా ఉంటుందని కూడా అనుసరిస్తుంది.

దశాంశాలను భిన్నాలుగా మారుస్తోంది

ఇప్పుడు దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నంగా ఎలా మార్చాలో తెలుసుకుందాం. చివరి దశాంశ భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలకు మార్చడం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం. దీని తరువాత, మేము అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాలను విలోమం చేయడానికి ఒక పద్ధతిని పరిశీలిస్తాము. ముగింపులో, అనంతమైన నాన్-ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలుగా మార్చడం అసంభవం గురించి చెప్పండి.

వెనుక దశాంశాలను భిన్నాలుగా మారుస్తోంది

చివరి దశాంశంగా వ్రాయబడిన భిన్నాన్ని పొందడం చాలా సులభం. తుది దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నానికి మార్చే నియమంమూడు దశలను కలిగి ఉంటుంది:

• ముందుగా, మునుపు దశాంశ బిందువును మరియు ఎడమవైపున ఉన్న అన్ని సున్నాలను విస్మరించి, ఇవ్వబడిన దశాంశ భిన్నాన్ని న్యూమరేటర్‌లో వ్రాయండి;
• రెండవది, అసలు దశాంశ భిన్నంలో దశాంశ బిందువు తర్వాత ఎన్ని అంకెలు ఉంటే అంత సున్నాలను హారంలో వ్రాసి దానికి అనేక సున్నాలను జోడించండి;
• మూడవదిగా, అవసరమైతే, ఫలిత భిన్నాన్ని తగ్గించండి.

ఉదాహరణలకు పరిష్కారాలను చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

దశాంశ 3.025ను భిన్నానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.

అసలు దశాంశ భిన్నం నుండి దశాంశ బిందువును తీసివేస్తే, మనకు 3,025 సంఖ్య వస్తుంది. ఎడమవైపు మనం విస్మరించే సున్నాలు లేవు. కాబట్టి, మేము కోరుకున్న భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్‌లో 3,025 వ్రాస్తాము.

అసలు దశాంశ భిన్నంలో దశాంశ బిందువు తర్వాత 3 అంకెలు ఉన్నందున, మేము 1 సంఖ్యను హారంలో వ్రాసి దాని కుడి వైపున 3 సున్నాలను జోడిస్తాము.

కాబట్టి మేము సాధారణ భిన్నం 3,025/1,000 పొందాము. ఈ భిన్నాన్ని 25 తగ్గించవచ్చు, మనకు లభిస్తుంది .

సమాధానం:

.

ఉదాహరణ.

దశాంశ భిన్నం 0.0017ను భిన్నానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.

దశాంశ బిందువు లేకుండా, అసలు దశాంశ భిన్నం 00017 లాగా కనిపిస్తుంది, ఎడమ వైపున ఉన్న సున్నాలను విస్మరిస్తే మనకు కావలసిన సాధారణ భిన్నం యొక్క లవం 17 వస్తుంది.

అసలు దశాంశ భిన్నం దశాంశ బిందువు తర్వాత 4 అంకెలను కలిగి ఉన్నందున, మేము హారంలో నాలుగు సున్నాలతో ఒకటి వ్రాస్తాము.

ఫలితంగా, మనకు సాధారణ భిన్నం 17/10,000 ఉంటుంది. ఈ భిన్నం తగ్గించలేనిది మరియు దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నానికి మార్చడం పూర్తయింది.

సమాధానం:

.

ఎప్పుడు మొత్తం భాగంఅసలైన చివరి దశాంశ భిన్నం సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది, అప్పుడు అది సాధారణ భిన్నాన్ని దాటవేసి వెంటనే మిశ్రమ సంఖ్యగా మార్చబడుతుంది. ఇద్దాం చివరి దశాంశ భిన్నాన్ని మిశ్రమ సంఖ్యగా మార్చడానికి నియమం:

• దశాంశ బిందువు ముందు సంఖ్యను తప్పనిసరిగా కావలసిన మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క పూర్ణాంకం వలె వ్రాయాలి;
• పాక్షిక భాగం యొక్క న్యూమరేటర్‌లో మీరు ఎడమవైపు ఉన్న అన్ని సున్నాలను విస్మరించిన తర్వాత అసలు దశాంశ భిన్నం యొక్క పాక్షిక భాగం నుండి పొందిన సంఖ్యను వ్రాయాలి;
• పాక్షిక భాగం యొక్క హారంలో మీరు సంఖ్య 1 ను వ్రాయాలి, అసలు దశాంశ భిన్నంలో దశాంశ బిందువు తర్వాత అంకెలు ఉన్నంతవరకు కుడివైపున అనేక సున్నాలను జోడించండి;
• అవసరమైతే, ఫలిత మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క పాక్షిక భాగాన్ని తగ్గించండి.

దశాంశ భిన్నాన్ని మిశ్రమ సంఖ్యగా మార్చే ఉదాహరణను చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

దశాంశ భిన్నం 152.06005 మిశ్రమ సంఖ్యగా వ్యక్తపరచండి

అనంత దశాంశాలు

దశాంశ బిందువు తర్వాత దశాంశాలు అనంతమైన అంకెలను కలిగి ఉంటాయి.

అనంత దశాంశాలు-- ఇవి దశాంశ భిన్నాలు, వీటి సంజ్ఞామానం అనంతమైన సంఖ్యసంఖ్యలు

అనంతమైన దశాంశ భిన్నాన్ని పూర్తిగా వ్రాయడం దాదాపు అసాధ్యం, కాబట్టి వాటిని వ్రాసేటప్పుడు, అవి దశాంశ బిందువు తర్వాత నిర్దిష్ట పరిమిత సంఖ్యలో అంకెలకు మాత్రమే పరిమితం చేయబడతాయి, తర్వాత అవి ఎలిప్సిస్‌ను ఉంచుతాయి, ఇది అంకెలు అనంతంగా కొనసాగుతున్న క్రమాన్ని సూచిస్తుంది.

ఉదాహరణ 1

ఉదాహరణకు, $0.443340831\చుక్కలు ; 3.1415935432\చుక్కలు ; 135.126730405\చుక్కలు ; 4.33333333333\చుక్కలు ; 676.68349349\చుక్కలు $.

చివరి రెండు అనంత దశాంశాలను చూద్దాం. $4.33333333333\చుక్కలు$ అంకెలో $3$ అనంతంగా పునరావృతమవుతుంది మరియు $676.68349349\dots$ భిన్నంలో $3$, $4$ మరియు $9$ అంకెల సమూహం మూడవ దశాంశ స్థానం నుండి పునరావృతమవుతుంది. అటువంటి అనంతమైన దశాంశ భిన్నాలను ఆవర్తన అంటారు.

ఆవర్తన దశాంశాలు

ఆవర్తన దశాంశాలు(లేదా ఆవర్తన భిన్నాలు) అనంతమైన దశాంశ భిన్నాలు, వీటి రికార్డింగ్‌లో కొంత సంఖ్య లేదా సంఖ్యల సమూహం, భిన్నం యొక్క కాలం అని పిలుస్తారు, నిర్దిష్ట దశాంశ స్థానం నుండి అనంతంగా పునరావృతమవుతుంది).

ఉదాహరణ 2

ఉదాహరణకు, ఆవర్తన భిన్నం $4.33333333333\చుక్కలు $ అంకె $3$, మరియు భిన్నం యొక్క వ్యవధి $676.68349349\dots$ $349$ అంకెల సమూహం.

అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాలను వ్రాయడంలో సంక్షిప్తత కోసం, కుండలీకరణాల్లో చేర్చి, కాలాన్ని ఒకసారి వ్రాయడం ఆచారం. ఉదాహరణకు, ఆవర్తన భిన్నం $4.3333333333\dots$ $4,(3)$ అని వ్రాయబడింది మరియు ఆవర్తన భిన్నం $676.68349349\dots$ $676.68(349)$ అని వ్రాయబడింది.

$2$ మరియు $5$ కాకుండా ఇతర ప్రధాన కారకాలను కలిగి ఉన్న సాధారణ భిన్నాలను దశాంశ భిన్నాలుగా మార్చడం ద్వారా అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాలు పొందబడతాయి.

ఏదైనా పరిమిత దశాంశ భిన్నం (మరియు పూర్ణాంకం) కుడివైపున $0$ అనంతమైన అంకెలను జోడించడం ద్వారా ఆవర్తన భిన్నం వలె వ్రాయబడుతుంది.

ఉదాహరణ 3

ఉదాహరణకు, పరిమిత దశాంశం $45.12$ని ఆవర్తన భిన్నం వలె $45.12(0)$గా వ్రాయవచ్చు మరియు $(74)$ని అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశంగా $74(0)$గా వ్రాయవచ్చు.

9 వ్యవధిని కలిగి ఉన్న ఆవర్తన భిన్నాల విషయంలో, $0$ వ్యవధితో ఆవర్తన భిన్నం యొక్క మరొక సంజ్ఞామానానికి పరివర్తనను ఉపయోగించండి. ఈ ప్రయోజనం కోసం మాత్రమే, వ్యవధి 9 $0$తో భర్తీ చేయబడుతుంది మరియు తదుపరి అత్యధిక అంకె విలువ $1$ పెరిగింది.

ఉదాహరణ 4

ఉదాహరణకు, ఆవర్తన భిన్నం $7.45(9)$ని ఆవర్తన భిన్నం $7.46(0)$ లేదా సమానమైన దశాంశ భిన్నం $7.46$తో భర్తీ చేయవచ్చు.

అనంతమైన దశాంశ ఆవర్తన భిన్నాలు హేతుబద్ధ సంఖ్యలచే సూచించబడతాయి. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఏదైనా ఆవర్తన భిన్నం సాధారణ భిన్నంగా మార్చబడుతుంది మరియు ఏదైనా సాధారణ భిన్నం ఆవర్తన భిన్నం వలె సూచించబడుతుంది.

భిన్నాలను పరిమిత మరియు అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశాలుగా మార్చడం

$10, 100, \dots$ హారం ఉన్న సాధారణ భిన్నాలు మాత్రమే దశాంశ భిన్నానికి మార్చబడతాయి.

కొన్ని సందర్భాల్లో, అసలైన సాధారణ భిన్నం $10$, $100$ లేదా $1\000$ యొక్క హారంకు సులభంగా తగ్గించబడుతుంది, ఆ తర్వాత ఫలిత భిన్నాన్ని దశాంశ భిన్నం వలె సూచించవచ్చు.

ఉదాహరణ 5

$\frac(3)(5)$ భిన్నాన్ని $10$ హారంతో భిన్నానికి మార్చడానికి, మీరు భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంను $2$తో గుణించాలి, ఆ తర్వాత మనకు $\frac(6)( 10)$, ఇది దశాంశ భిన్నం $0.6$కి అనువదించడం కష్టం కాదు.

ఇతర సందర్భాల్లో, సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశంగా మార్చే మరొక పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది:

న్యూమరేటర్ తప్పనిసరిగా దశాంశ బిందువు తర్వాత ఏదైనా సున్నాలతో దశాంశ భిన్నంతో భర్తీ చేయాలి;

భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్‌ను హారం ద్వారా విభజించండి (విభజన సహజ సంఖ్యల విభజనగా కాలమ్‌గా నిర్వహించబడుతుంది మరియు డివిడెండ్ యొక్క మొత్తం భాగం యొక్క విభజన ముగిసిన తర్వాత గుణకంలో దశాంశ బిందువు ఉంచబడుతుంది).

ఉదాహరణ 6

$\frac(621)(4)$ భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.

న్యూమరేటర్‌లోని $621$ సంఖ్యను దశాంశ భిన్నం వలె సూచిస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, దశాంశ బిందువును జోడించండి మరియు స్టార్టర్స్ కోసం, దాని తర్వాత రెండు సున్నాలు. అప్పుడు, అవసరమైతే, మీరు మరిన్ని సున్నాలను జోడించవచ్చు. కాబట్టి, మేము $621.00$ అందుకున్నాము.

$621.00$ సంఖ్యను $4$తో కాలమ్‌గా భాగిద్దాం:

మూర్తి 1.

విభజన డివిడెండ్‌లో దశాంశ బిందువుకు చేరుకుంది మరియు మిగిలినది సున్నా కాదు. ఈ సందర్భంలో, ఒక దశాంశ బిందువు గుణకంలో ఉంచబడుతుంది మరియు విభజన కామాలతో సంబంధం లేకుండా నిలువు వరుసలో కొనసాగుతుంది:

మూర్తి 2.

మిగిలినది సున్నా, అంటే విభజన ముగిసింది.

సమాధానం: $155,25$.

ఒక సాధారణ భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంను విభజించినప్పుడు, మిగిలినది $0$కి దారితీయదు. ఈ సందర్భంలో, విభజన నిరవధికంగా కొనసాగించవచ్చు. ఒక నిర్దిష్ట క్షణం నుండి ప్రారంభించి, విభజన నుండి మిగిలినవి క్రమానుగతంగా పునరావృతమవుతాయి, అంటే గుణకంలోని సంఖ్యలు కూడా పునరావృతమవుతాయి. దీని నుండి ఈ సాధారణ భిన్నం అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నంగా మార్చబడుతుందని మేము నిర్ధారించగలము.

ఉదాహరణ 7

$\frac(19)(44)$ భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.)

సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చడానికి, దీర్ఘ విభజన చేయండి:

మూర్తి 3.

విభజనలో, $8$ మరియు $36$ మిగిలినవి పునరావృతమవుతాయి మరియు గుణకంలో $1$ మరియు $8$ సంఖ్యలు కూడా పునరావృతమవుతాయి. కాబట్టి, అసలు సాధారణ భిన్నం $\frac(19)(44)$ ఆవర్తన భిన్నం $\frac(19)(44)=0.43181818\చుక్కలు =0.43(18)$గా మార్చబడింది.

సమాధానం: $0,43(18)$.

సాధారణ భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చడం గురించి సాధారణ ముగింపు:

హారంను ప్రధాన కారకాలుగా విడదీయగలిగితే, వాటిలో $2$ మరియు $5$ సంఖ్యలు మాత్రమే ఉంటే, అటువంటి భిన్నాన్ని తుది దశాంశ భిన్నం వలె మార్చవచ్చు;

$2$ మరియు $5$ సంఖ్యలతో పాటు, హారం యొక్క విస్తరణ ఇతర ప్రధాన సంఖ్యలను కలిగి ఉంటే, అటువంటి భిన్నం అనంతమైన దశాంశ ఆవర్తన భిన్నం వలె మార్చబడుతుంది.

సిరీస్ యొక్క సిద్ధాంతం వారికి తెలిస్తే, అది లేకుండా మెటామాటిక్ భావనలను ప్రవేశపెట్టలేము. పైగా, దీన్ని విస్తృతంగా ఉపయోగించని ఎవరైనా అజ్ఞాని అని ఈ వ్యక్తులు నమ్ముతారు. ఈ వ్యక్తుల అభిప్రాయాలను వారి మనస్సాక్షికి వదిలేద్దాం. అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నం అంటే ఏమిటి మరియు పరిమితులు తెలియని చదువుకోని మనం దానితో ఎలా వ్యవహరించాలో బాగా అర్థం చేసుకుందాం.

237ని 5తో భాగిద్దాం. లేదు, మీరు కాలిక్యులేటర్‌ని ప్రారంభించాల్సిన అవసరం లేదు. సెకండరీ (లేదా ప్రైమరీ కూడా) పాఠశాలను బాగా గుర్తుంచుకోండి మరియు దానిని కాలమ్‌గా విభజించండి:

బాగా, మీకు గుర్తుందా? అప్పుడు మీరు వ్యాపారానికి దిగవచ్చు.

గణితంలో "భిన్నం" అనే భావనకు రెండు అర్థాలు ఉన్నాయి:

1. పూర్ణాంకం కాని సంఖ్య.
2. పూర్ణాంకం కాని రూపం.

రెండు రకాల భిన్నాలు ఉన్నాయి - అర్థంలో, పూర్ణాంకం కాని సంఖ్యలను వ్రాయడానికి రెండు రూపాలు:

1. సాధారణ (లేదా నిలువు 1/2 లేదా 237/5 వంటి భిన్నాలు.
2. 0.5 లేదా 47.4 వంటి దశాంశ భిన్నాలు.

సాధారణంగా భిన్నం-సంజ్ఞామానం యొక్క ఉపయోగం అంటే వ్రాసినది భిన్నం-సంఖ్య అని అర్థం కాదు, ఉదాహరణకు 3/3 లేదా 7.0 - పదం యొక్క మొదటి అర్థంలో భిన్నాలు కాదు, కానీ రెండవది, వాస్తవానికి. , భిన్నాలు.

గణితంలో, సాధారణంగా, దశాంశ గణన ఎల్లప్పుడూ ఆమోదించబడుతుంది మరియు అందువల్ల దశాంశ భిన్నాలు సాధారణ వాటి కంటే చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటాయి, అనగా దశాంశ హారంతో ఒక భిన్నం (వ్లాదిమిర్ దాల్. నిఘంటువుగొప్ప రష్యన్ భాష నివసిస్తున్నారు. "పది").

మరియు అలా అయితే, నేను ప్రతి నిలువు భిన్నాన్ని దశాంశంగా (“క్షితిజ సమాంతర”) చేయాలనుకుంటున్నాను. మరియు దీన్ని చేయడానికి మీరు లవంను హారం ద్వారా విభజించాలి. ఉదాహరణకు, భిన్నం 1/3ని తీసుకుందాం మరియు దాని నుండి దశాంశాన్ని చేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

పూర్తిగా చదువుకోని వ్యక్తి కూడా గమనిస్తాడు: ఎంత సమయం తీసుకున్నా అది విడిపోదు: త్రిపాత్రాభినయం అనంతంగా కనిపిస్తూనే ఉంటుంది. కాబట్టి దానిని వ్రాస్దాము: 0.33... మన ఉద్దేశ్యం "మీరు 1ని 3తో భాగిస్తే లభించే సంఖ్య" లేదా, సంక్షిప్తంగా, "మూడవ వంతు." సహజంగానే, పదం యొక్క మొదటి అర్థంలో మూడింట ఒక వంతు భిన్నం, మరియు “1/3” మరియు “0.33...” అనేది పదం యొక్క రెండవ అర్థంలో భిన్నాలు, అంటే నమోదు రూపాలుసున్నా నుండి అంత దూరంలో ఉన్న సంఖ్య రేఖపై ఉన్న సంఖ్య, మీరు దానిని మూడుసార్లు పక్కన పెడితే, మీకు ఒకటి వస్తుంది.

ఇప్పుడు 5ని 6 ద్వారా విభజించడానికి ప్రయత్నిద్దాం:

దానిని మళ్ళీ వ్రాస్దాము: 0.833... అంటే "మీరు 5ని 6తో భాగిస్తే మీకు లభించే సంఖ్య" లేదా, సంక్షిప్తంగా, "ఐదు-ఆరవ వంతులు" అని అర్థం. అయితే, ఇక్కడ గందరగోళం తలెత్తుతుంది: దీని అర్థం 0.83333 (తర్వాత త్రిపాదిలు పునరావృతమవుతాయి), లేదా 0.833833 (ఆపై 833 పునరావృతమవుతుంది). అందువల్ల, ఎలిప్సిస్‌తో సంజ్ఞామానం మనకు సరిపోదు: పునరావృత భాగం ఎక్కడ ప్రారంభమవుతుందో స్పష్టంగా లేదు (దీనిని "కాలం" అని పిలుస్తారు). కాబట్టి, మేము ఈ కాలాన్ని బ్రాకెట్లలో ఉంచుతాము: 0,(3); 0.8(3)

0,(3) సులభం కాదు సమానంమూడవ వంతు, అది ఉందిమూడవ వంతు, ఎందుకంటే ఈ సంఖ్యను దశాంశ భిన్నం వలె సూచించడానికి మేము ప్రత్యేకంగా ఈ సంజ్ఞామానాన్ని కనుగొన్నాము.

ఈ ఎంట్రీని అంటారు అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నం, లేదా కేవలం ఆవర్తన భిన్నం.

మనం ఒక సంఖ్యను మరొకదానితో భాగించినప్పుడల్లా, మనకు పరిమిత భిన్నం రాకపోతే, మనకు అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నం వస్తుంది, అనగా, ఏదో ఒక రోజు సంఖ్యల క్రమం ఖచ్చితంగా పునరావృతమవుతుంది. ఇది ఎందుకు అని కాలమ్ డివిజన్ అల్గారిథమ్‌ను జాగ్రత్తగా చూడటం ద్వారా పూర్తిగా ఊహాత్మకంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు:

చెక్‌మార్క్‌లతో గుర్తించబడిన ప్రదేశాలలో, మీరు అన్ని సమయాలలో ఫలితాలను పొందలేరు వివిధ జంటలుసంఖ్యలు (ఎందుకంటే, సూత్రప్రాయంగా, అటువంటి జతల పరిమిత సంఖ్యలో ఉన్నాయి). మరియు అటువంటి జత అక్కడ కనిపించిన వెంటనే, ఇది ఇప్పటికే ఉనికిలో ఉంది, వ్యత్యాసం కూడా అదే విధంగా ఉంటుంది - ఆపై మొత్తం ప్రక్రియ పునరావృతమవుతుంది. దీన్ని తనిఖీ చేయవలసిన అవసరం లేదు, ఎందుకంటే మీరు అదే చర్యలను పునరావృతం చేస్తే, ఫలితాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది.

ఇప్పుడు మనకు బాగా అర్థమైంది సారాంశంఆవర్తన భిన్నం, మూడింట ఒక వంతును మూడుతో గుణించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. అవును, వాస్తవానికి, మీకు ఒకటి లభిస్తుంది, అయితే ఈ భిన్నాన్ని దశాంశ రూపంలో వ్రాసి దానిని నిలువు వరుసలో గుణిద్దాం (దశాంశ బిందువు తర్వాత అన్ని సంఖ్యలు ఒకే విధంగా ఉన్నందున, దీర్ఘవృత్తాకారం కారణంగా ఇక్కడ అస్పష్టత తలెత్తదు):

మరియు మళ్ళీ మేము తొమ్మిది, తొమ్మిది మరియు తొమ్మిది దశాంశ బిందువు తర్వాత అన్ని సమయం కనిపిస్తాయి గమనించవచ్చు. అంటే, రివర్స్ బ్రాకెట్ సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగించి, మనకు 0,(9) వస్తుంది. మూడింట ఒక వంతు మరియు మూడింటి యొక్క లబ్ది ఒకటి అని మనకు తెలుసు కాబట్టి, 0.(9) అనేది ఒకదానిని వ్రాయడానికి ఒక ఫాన్సీ మార్గం. అయితే, ఈ రకమైన రికార్డింగ్‌ను ఉపయోగించడం సరికాదు, ఎందుకంటే ఒక యూనిట్‌ని పీరియడ్‌ని ఉపయోగించకుండా ఖచ్చితంగా వ్రాయవచ్చు, ఇలా: 1.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, 3/3 లేదా 7.0 వంటి మొత్తం సంఖ్య భిన్నం రూపంలో వ్రాయబడిన సందర్భాలలో 0,(9) ఒకటి. అంటే, 0,(9) అనేది పదం యొక్క రెండవ అర్థంలో మాత్రమే భిన్నం, కానీ మొదటిది కాదు.

కాబట్టి, ఎటువంటి పరిమితులు లేదా సిరీస్‌లు లేకుండా, 0.(9) అంటే ఏమిటి మరియు దానితో ఎలా వ్యవహరించాలో మేము కనుగొన్నాము.

కానీ వాస్తవానికి మనం తెలివైన మరియు అధ్యయనం చేసిన విశ్లేషణ అని ఇప్పటికీ గుర్తుంచుకోండి. వాస్తవానికి, దానిని తిరస్కరించడం కష్టం:

కానీ, బహుశా, ఎవరూ వాస్తవంతో వాదించరు:

ఇవన్నీ, వాస్తవానికి, నిజం. నిజానికి, 0,(9) అనేది తగ్గించబడిన శ్రేణి యొక్క మొత్తం, మరియు సూచించబడిన కోణం యొక్క డబుల్ సైన్ మరియు ఆయిలర్ సంఖ్య యొక్క సహజ సంవర్గమానం.

కానీ ఒకటి, లేదా మరొకటి లేదా మూడవది నిర్వచనం కాదు.

0,(9) అనేది అనంత శ్రేణి 9/(10 n), n ఒకదానికి సమానం అని చెప్పడం, సైన్ అనేది అనంతమైన టేలర్ శ్రేణి యొక్క మొత్తం అని చెప్పడానికి సమానం:

ఈ ఖచ్చితంగా సరైనది, మరియు ఇది అత్యంత ముఖ్యమైన వాస్తవంగణన గణితం కోసం, కానీ ఇది నిర్వచనం కాదు, మరియు ముఖ్యంగా, ఇది ఒక వ్యక్తిని అవగాహనకు దగ్గరగా తీసుకురాదు. ముఖ్యంగాసైనస్ ఒక నిర్దిష్ట కోణం యొక్క సైన్ యొక్క సారాంశం అది కేవలం ప్రతిదీహైపోటెన్యూస్‌కు కోణానికి ఎదురుగా ఉన్న కాలు యొక్క నిష్పత్తి.

కాబట్టి, ఆవర్తన భిన్నం కేవలం ప్రతిదీఒక దశాంశ భిన్నం ఎప్పుడు పొందబడుతుంది నిలువు వరుస ద్వారా విభజించేటప్పుడుఅదే సంఖ్యల సెట్ పునరావృతమవుతుంది. ఇక్కడ విశ్లేషణ జాడ లేదు.

మరియు ఇక్కడ ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: ఇది ఎక్కడ నుండి వస్తుంది? అన్ని వద్దమనం 0,(9) సంఖ్యను తీసుకున్నామా? దాన్ని పొందడానికి మనం కాలమ్‌తో దేనితో భాగిస్తాము? నిజానికి, ఒక నిలువు వరుసగా విభజించబడినప్పుడు, మనకు అనంతంగా తొమ్మిదిలు కనిపించే సంఖ్యలు లేవు. కానీ మేము ఈ సంఖ్యను నిలువు వరుసతో 0,(3)ని 3తో గుణించడం ద్వారా పొందగలిగాము? నిజంగా కాదు. అన్నింటికంటే, అంకెల బదిలీలను సరిగ్గా పరిగణనలోకి తీసుకోవడానికి మీరు కుడి నుండి ఎడమకు గుణించాలి మరియు మేము దీన్ని ఎడమ నుండి కుడికి చేసాము, బదిలీలు ఎక్కడా జరగవు అనే వాస్తవాన్ని చాకచక్యంగా ఉపయోగించుకుంటాము. కాబట్టి, 0,(9)ని వ్రాయడం యొక్క చట్టబద్ధత మేము నిలువు వరుస ద్వారా అటువంటి గుణకారం యొక్క చట్టబద్ధతను గుర్తించామా లేదా అనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

కాబట్టి, 0,(9) సంజ్ఞామానం తప్పు అని మనం సాధారణంగా చెప్పగలం - మరియు కొంత వరకు సరైనది. అయినప్పటికీ, a ,(b ) సంజ్ఞామానం ఆమోదించబడినందున, b = 9 అయినప్పుడు దానిని వదిలివేయడం కేవలం అగ్లీ; అటువంటి ప్రవేశం అంటే ఏమిటో నిర్ణయించుకోవడం మంచిది. కాబట్టి, మేము సాధారణంగా 0,(9) సంజ్ఞామానాన్ని అంగీకరిస్తే, ఈ సంజ్ఞామానం, వాస్తవానికి, నంబర్ వన్ అని అర్థం.

మేము టెర్నరీ నంబర్ సిస్టమ్‌ని ఉపయోగించినట్లయితే, ఒకటి (1 3) మూడు (10 3) కాలమ్‌తో విభజించినప్పుడు మనకు 0.1 3 (“సున్నా పాయింట్ వన్ థర్డ్” చదవండి) అని జోడించడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది. మరియు ఒకటి రెండుగా విభజించినప్పుడు 0,(1) 3 అవుతుంది.

కాబట్టి భిన్నం-సంఖ్య యొక్క ఆవర్తనం భిన్నం-సంఖ్య యొక్క కొంత లక్ష్యం లక్షణం కాదు, కానీ కేవలం సైడ్ ఎఫెక్ట్ఒకటి లేదా మరొక సంఖ్య వ్యవస్థను ఉపయోగించడం.

విభజన ఆపరేషన్ అనేక ప్రధాన భాగాల భాగస్వామ్యాన్ని కలిగి ఉంటుంది. వాటిలో మొదటిది డివిడెండ్ అని పిలవబడేది, అనగా విభజన విధానానికి లోబడి ఉండే సంఖ్య. రెండవది డివైజర్, అంటే, విభజన నిర్వహించబడే సంఖ్య. మూడవది గుణకం, అంటే డివిడెండ్‌ను డివైజర్ ద్వారా విభజించే ఆపరేషన్ ఫలితం.

విభజన ఫలితం

అత్యంత సాధారణ ఎంపికడివిడెండ్ మరియు డివైజర్‌గా రెండు సానుకూల పూర్ణాంకాలు ఉపయోగించినప్పుడు లభించే ఫలితం మరొక ధన పూర్ణాంకం. ఉదాహరణకు, 6ని 2తో భాగించినప్పుడు, గుణకం 3కి సమానంగా ఉంటుంది. డివిడెండ్ డివైజర్ అయితే ఈ పరిస్థితి సాధ్యమవుతుంది, అంటే అది శేషం లేకుండా భాగించబడుతుంది.

అయినప్పటికీ, మిగిలినవి లేకుండా విభజన ఆపరేషన్ను నిర్వహించడం అసాధ్యం అయినప్పుడు ఇతర ఎంపికలు ఉన్నాయి. ఈ సందర్భంలో, పూర్ణాంకం కాని సంఖ్య గుణకం అవుతుంది, దీనిని పూర్ణాంకం మరియు పాక్షిక భాగం కలయికగా వ్రాయవచ్చు. ఉదాహరణకు, 5ని 2తో భాగించినప్పుడు, గుణకం 2.5.

వ్యవధిలో సంఖ్య

డివిడెండ్ డివైజర్ యొక్క మల్టిపుల్ కాకపోతే ఏర్పడే ఎంపికలలో ఒకటి వ్యవధిలో సంఖ్య అని పిలవబడేది. గుణకం అనంతంగా పునరావృతమయ్యే సంఖ్యల సమితిగా మారితే అది విభజన ఫలితంగా ఉత్పన్నమవుతుంది. ఉదాహరణకు, 2 సంఖ్యను 3తో భాగించినప్పుడు ఒక పీరియడ్‌లోని ఒక సంఖ్య కనిపించవచ్చు. ఈ పరిస్థితిలో, ఫలితం దశాంశ భిన్నం వలె, దశాంశ బిందువు తర్వాత 6 అంకెల అనంతమైన సంఖ్య కలయికగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది.

అటువంటి విభజన ఫలితాన్ని సూచించడానికి, ఇది కనుగొనబడింది ప్రత్యేక మార్గంఒక వ్యవధిలో సంఖ్యలను వ్రాయడం: అటువంటి సంఖ్య బ్రాకెట్లలో పునరావృతమయ్యే అంకెను ఉంచడం ద్వారా సూచించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, 2ని 3తో భాగిస్తే ఫలితం ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించి 0,(6)గా వ్రాయబడుతుంది. విభజన ఫలితంగా వచ్చిన సంఖ్యలో కొంత భాగం మాత్రమే పునరావృతమైతే కూడా ఈ సంజ్ఞామానం వర్తిస్తుంది.

ఉదాహరణకు, 5ని 6తో భాగించినప్పుడు, ఫలితం 0.8(3) రూపం యొక్క ఆవర్తన సంఖ్య అవుతుంది. ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించడం, మొదట, ఒక వ్యవధిలో సంఖ్య యొక్క మొత్తం లేదా కొంత భాగాన్ని వ్రాయడానికి ప్రయత్నించడంతో పోలిస్తే మరింత ప్రభావవంతంగా ఉంటుంది మరియు రెండవది, అటువంటి సంఖ్యలను ప్రసారం చేసే మరొక పద్ధతితో పోలిస్తే ఇది ఎక్కువ ఖచ్చితత్వాన్ని కలిగి ఉంటుంది - రౌండింగ్, మరియు అదనంగా, ఈ సంఖ్యల పరిమాణాన్ని పోల్చినప్పుడు సంబంధిత విలువతో ఖచ్చితమైన దశాంశ భిన్నం నుండి వ్యవధిలో సంఖ్యలను వేరు చేయడానికి ఇది మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, 0.(6) 0.6 కంటే గణనీయంగా ఎక్కువగా ఉందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది.

ఆవర్తన భిన్నం

అనంతమైన దశాంశ భిన్నం, ఒక నిర్దిష్ట బిందువు నుండి ప్రారంభించి, క్రమానుగతంగా పునరావృతమవుతుంది నిర్దిష్ట సమూహంసంఖ్యలు ఉదాహరణకు, 1.3181818...; సంక్షిప్తంగా, ఈ భిన్నం ఇలా వ్రాయబడింది: 1.3(18), అంటే, వారు కాలాన్ని బ్రాకెట్లలో ఉంచారు (మరియు చెప్పండి: "పీరియడ్‌లో 18"). దశాంశ బిందువు తర్వాత పీరియడ్ వెంటనే ప్రారంభమైతే P. ప్యూర్ అంటారు, ఉదాహరణకు 2(71) = 2.7171..., మరియు దశాంశ బిందువు తర్వాత పీరియడ్‌కు ముందు ఉన్న సంఖ్యలు ఉంటే మిశ్రమంగా ఉంటుంది, ఉదాహరణకు 1.3(18). అంకగణితంలో దశాంశ భిన్నాల పాత్ర హేతుబద్ధమైన సంఖ్యలు, అంటే సాధారణ (సరళమైన) భిన్నాలు దశాంశ భిన్నాల ద్వారా సూచించబడినప్పుడు, పరిమిత లేదా ఆవర్తన భిన్నాలు ఎల్లప్పుడూ పొందబడతాయి. మరింత ఖచ్చితంగా: తగ్గించలేని సాధారణ భిన్నం యొక్క హారం 2 మరియు 5 కాకుండా ఇతర ప్రధాన కారకాలను కలిగి లేనప్పుడు తుది దశాంశ భిన్నం పొందబడుతుంది; అన్ని ఇతర సందర్భాలలో, ఫలితం P. భిన్నం, అంతేకాకుండా, ఇవ్వబడిన తగ్గించలేని భిన్నం యొక్క హారం 2 మరియు 5 కారకాలను కలిగి లేకుంటే అది స్వచ్ఛమైనది మరియు ఈ కారకాల్లో కనీసం ఒకటైనా ఉంటే మిశ్రమంగా ఉంటుంది. హారంలో. ఏదైనా పి.డి.గా మార్చుకోవచ్చు సాధారణ భిన్నం(అంటే, ఇది కొంత హేతుబద్ధ సంఖ్యకు సమానం). స్వచ్ఛమైన భిన్నం ఒక సాధారణ భిన్నానికి సమానం, దీని లవం కాలం, మరియు హారం సంఖ్య 9 ద్వారా సూచించబడుతుంది, వ్యవధిలో ఎన్నిసార్లు అంకెలు ఉన్నాయో అంత సార్లు వ్రాయబడుతుంది; మిశ్రమ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నంలోకి మార్చినప్పుడు, లవం అనేది రెండవ పీరియడ్‌కు ముందు ఉన్న సంఖ్యలచే సూచించబడిన సంఖ్య మరియు మొదటి పీరియడ్‌కు ముందు ఉన్న సంఖ్యల ద్వారా సూచించబడే సంఖ్యల మధ్య వ్యత్యాసం; హారం కంపోజ్ చేయడానికి, మీరు వ్యవధిలో సంఖ్యలు ఎన్నిసార్లు ఉంటే 9 సంఖ్యను వ్రాయాలి మరియు వ్యవధికి ముందు సంఖ్యలు ఉన్నన్ని సున్నాలను కుడివైపుకు జోడించాలి. ఈ నియమాలు ఇచ్చిన P. సరైనదేనని ఊహిస్తుంది, అంటే అది మొత్తం యూనిట్లను కలిగి ఉండదు; కాకపోతే మొత్తం భాగాన్ని ప్రత్యేకంగా పరిగణలోకి తీసుకుంటారు.

ఇచ్చిన సాధారణ భిన్నానికి సంబంధించిన భిన్నం యొక్క వ్యవధిని నిర్ణయించే నియమాలు కూడా తెలుసు. ఉదాహరణకు, ఒక భిన్నం కోసం a/p, ఎక్కడ r -ప్రధాన సంఖ్య మరియు 1 ≤ a ≤ p- 1, పీరియడ్ లెంగ్త్ అనేది డివైజర్ r - 1. కాబట్టి, ఒక సంఖ్యకు తెలిసిన ఉజ్జాయింపుల కోసం (పైని చూడండి) 22/7 మరియు 355/113 కాలాలు వరుసగా 6 మరియు 112కి సమానం.

పెద్దది సోవియట్ ఎన్సైక్లోపీడియా. - M.: సోవియట్ ఎన్సైక్లోపీడియా. 1969-1978 .

పర్యాయపదాలు:

ఇతర నిఘంటువులలో "ఆవర్తన భిన్నం" ఏమిటో చూడండి:

అనంతమైన దశాంశ భిన్నం, దీనిలో ఒక నిర్దిష్ట పాయింట్ నుండి ప్రారంభించి, నిర్దిష్ట అంకెల సమూహం (కాలం) క్రమానుగతంగా పునరావృతమవుతుంది, ఉదాహరణకు. 0.373737... స్వచ్ఛమైన ఆవర్తన భిన్నం లేదా 0.253737... మిశ్రమ ఆవర్తన భిన్నం... పెద్దది ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు

భిన్నం, అనంతమైన భిన్నంరష్యన్ పర్యాయపదాల నిఘంటువు. ఆవర్తన భిన్నం నామవాచకం, పర్యాయపదాల సంఖ్య: 2 అనంత భిన్నం (2) ... పర్యాయపదాల నిఘంటువు

అంకెల శ్రేణి ఒకే క్రమంలో పునరావృతమయ్యే దశాంశ భిన్నం. ఉదాహరణకు, 0.135135135... అనేది p.d, దీని వ్యవధి 135 మరియు ఇది సాధారణ భిన్నం 135/999 = 5/37. రష్యన్ భాషలో విదేశీ పదాల నిఘంటువు చేర్చబడింది. పావ్లెంకోవ్ ఎఫ్... రష్యన్ భాష యొక్క విదేశీ పదాల నిఘంటువు

దశాంశం అనేది 10n యొక్క హారం కలిగిన భిన్నం, ఇక్కడ n సహజ సంఖ్య. ఇది సంజ్ఞామానం యొక్క ప్రత్యేక రూపాన్ని కలిగి ఉంది: దశాంశ సంఖ్య వ్యవస్థలో పూర్ణాంకం భాగం, ఆపై కామా మరియు తరువాత దశాంశ సంఖ్య వ్యవస్థలో పాక్షిక భాగం, మరియు పాక్షిక భాగం యొక్క అంకెల సంఖ్య ... వికీపీడియా

అనంతమైన దశాంశ భిన్నం, దీనిలో ఒక నిర్దిష్ట పాయింట్ నుండి ప్రారంభించి, నిర్దిష్ట అంకెల సమూహం (కాలం) క్రమానుగతంగా పునరావృతమవుతుంది; ఉదాహరణకు, 0.373737... స్వచ్ఛమైన ఆవర్తన భిన్నం లేదా 0.253737... మిశ్రమ ఆవర్తన భిన్నం. * * * ఆవర్తన..... ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు

అంతులేని దశాంశ భిన్నం, ఒక నిర్దిష్ట స్థలం నుండి ప్రారంభించి, నిర్వచనం క్రమానుగతంగా పునరావృతమవుతుంది. అంకెల సమూహం (కాలం); ఉదాహరణకు, 0.373737... స్వచ్ఛమైన P. d లేదా 0.253737... మిశ్రమ P. d. సహజ శాస్త్రం. ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు

భాగాన్ని చూడండి... రష్యన్ పర్యాయపదాలు మరియు సారూప్య వ్యక్తీకరణల నిఘంటువు. కింద. ed. N. అబ్రమోవా, M.: రష్యన్ నిఘంటువులు, 1999. భిన్నం ట్రిఫిల్, భాగం; డన్స్ట్, బాల్, భోజనం, బక్‌షాట్; పాక్షిక సంఖ్యరష్యన్ పర్యాయపదాల నిఘంటువు... పర్యాయపదాల నిఘంటువు

ఆవర్తన దశాంశ- - [L.G. సమాచార సాంకేతికతపై ఆంగ్ల-రష్యన్ నిఘంటువు. M.: స్టేట్ ఎంటర్‌ప్రైజ్ TsNIIS, 2003.] అంశాలు సమాచార సాంకేతికతసాధారణంగా EN సర్క్యులేటింగ్ డెసిమల్ రీకరింగ్ డెసిమల్ పెరియోడింగ్ డెసిమల్ పీరియాడిక్ డెసిమల్ పీరియాడికల్ డెసిమల్ ... సాంకేతిక అనువాదకుని గైడ్

కొన్ని పూర్ణాంకం aని మరొక పూర్ణాంకం bతో భాగిస్తే, అంటే, bx = a షరతును సంతృప్తిపరిచే x సంఖ్యను కోరితే, అప్పుడు రెండు సందర్భాలు తలెత్తవచ్చు: పూర్ణాంకాల శ్రేణిలో ఈ పరిస్థితిని సంతృప్తిపరిచే సంఖ్య x ఉంటుంది, లేదా అది మారుతుంది,…… ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు F.A. బ్రోక్‌హాస్ మరియు I.A. ఎఫ్రాన్

హారం పూర్ణాంకం శక్తి 10. భిన్నాలు హారం లేకుండా వ్రాయబడతాయి, హారంలో సున్నాలు ఉన్నందున లవంలోని కుడివైపున ఉన్న అనేక అంకెలను కామాతో వేరు చేస్తుంది. ఉదాహరణకు, అటువంటి రికార్డులో, ఎడమ వైపున ఉన్న భాగం... ... గ్రేట్ సోవియట్ ఎన్సైక్లోపీడియా