ఆవర్తన భిన్నాల ఉదాహరణలు. అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నాలు

హేతుబద్ధ సంఖ్య m/nని దశాంశ భిన్నం వలె వ్రాయడానికి, మీరు లవంను హారం ద్వారా విభజించాలి. ఈ సందర్భంలో, గుణకం పరిమిత లేదా అనంతమైన దశాంశ భిన్నం వలె వ్రాయబడుతుంది.

ఈ సంఖ్యను దశాంశ భిన్నం వలె వ్రాయండి.

పరిష్కారం. ప్రతి భిన్నం యొక్క లవంను దాని హారం ద్వారా కాలమ్‌గా విభజించండి: ఎ) 6ని 25తో భాగించండి; బి) 2ని 3తో భాగించండి; V) 1ని 2 ద్వారా విభజించి, ఆపై ఫలిత భిన్నాన్ని ఒకదానికి జోడించండి - ఈ మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క పూర్ణాంకం.

ఇర్రెడ్యూసిబుల్ సాధారణ భిన్నాలు, దీని హారంలు ప్రధాన కారకాలను కలిగి ఉండవు 2 మరియు 5 , చివరి దశాంశ భిన్నం వలె వ్రాయబడ్డాయి.

IN ఉదాహరణ 1సందర్భంలో ఎ)హారం 25=5·5; సందర్భంలో V)హారం 2, కాబట్టి మనకు చివరి దశాంశాలు 0.24 మరియు 1.5 లభిస్తాయి. సందర్భంలో బి)హారం 3, కాబట్టి ఫలితం పరిమిత దశాంశంగా వ్రాయబడదు.

దీర్ఘ విభజన లేకుండా, 2 మరియు 5 కాకుండా ఇతర విభజనలను కలిగి లేని సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశ భిన్నంలోకి మార్చడం సాధ్యమేనా? దాన్ని గుర్తించండి! ఏ భిన్నాన్ని దశాంశం అని పిలుస్తారు మరియు భిన్నం బార్ లేకుండా వ్రాయబడుతుంది? సమాధానం: హారం 10తో భిన్నం; 100; 1000, మొదలైనవి. మరియు ఈ సంఖ్యలలో ప్రతి ఒక్కటి ఒక ఉత్పత్తి సమానంరెండు మరియు ఐదుల సంఖ్య. నిజానికి: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 మొదలైనవి.

పర్యవసానంగా, తగ్గించలేని సాధారణ భిన్నం యొక్క హారం "రెండు" మరియు "ఫైవ్స్" యొక్క ఉత్పత్తిగా సూచించబడాలి, ఆపై 2 మరియు (లేదా) 5 ద్వారా గుణించాలి, తద్వారా "రెండు" మరియు "ఫైవ్స్" సమానంగా మారతాయి. అప్పుడు భిన్నం యొక్క హారం 10 లేదా 100 లేదా 1000, మొదలైన వాటికి సమానంగా ఉంటుంది. భిన్నం యొక్క విలువ మారదని నిర్ధారించుకోవడానికి, మేము హారంను గుణించిన అదే సంఖ్యతో భిన్నం యొక్క లవంను గుణిస్తాము.

కింది సాధారణ భిన్నాలను దశాంశాలుగా వ్యక్తపరచండి:

పరిష్కారం. ఈ భిన్నాలలో ప్రతి ఒక్కటి తగ్గించలేనిది. ప్రతి భిన్నం యొక్క హారంను ప్రధాన కారకాలుగా పరిగణిద్దాం.

20=2·2·5. ముగింపు: ఒక "A" లేదు.

8=2·2·2. ముగింపు: మూడు “A”లు లేవు.

25=5·5. ముగింపు: రెండు "రెండు" లేదు.

వ్యాఖ్యానించండి.ఆచరణలో, వారు తరచుగా హారం యొక్క కారకాన్ని ఉపయోగించరు, కానీ కేవలం ప్రశ్న అడగండి: హారం ఎంత ద్వారా గుణించాలి, తద్వారా ఫలితం సున్నాలతో ఒకటిగా ఉంటుంది (10 లేదా 100 లేదా 1000, మొదలైనవి). ఆపై న్యూమరేటర్ అదే సంఖ్యతో గుణించబడుతుంది.

కాబట్టి, సందర్భంలో ఎ)(ఉదాహరణ 2) సంఖ్య 20 నుండి మీరు 5 ద్వారా గుణించడం ద్వారా 100 పొందవచ్చు, కాబట్టి, మీరు న్యూమరేటర్ మరియు హారంను 5 ద్వారా గుణించాలి.

సందర్భంలో బి)(ఉదాహరణ 2) సంఖ్య 8 నుండి 100 సంఖ్య పొందబడదు, కానీ 1000 సంఖ్యను 125తో గుణించడం ద్వారా పొందబడుతుంది. భిన్నంలోని న్యూమరేటర్ (3) మరియు హారం (8) రెండూ 125తో గుణించబడతాయి.

సందర్భంలో V)(ఉదాహరణ 2) 25 నుండి మీరు 4తో గుణిస్తే 100 వస్తుంది. దీని అర్థం 8ని 4తో గుణించాలి.

ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ అంకెలు ఒకే క్రమంలో పునరావృతమయ్యే అనంతమైన దశాంశ భిన్నం అంటారు ఆవర్తనదశాంశంగా. పునరావృతమయ్యే అంకెల సమితిని ఈ భిన్నం యొక్క కాలం అంటారు. సంక్షిప్తత కోసం, ఒక భిన్నం యొక్క కాలం ఒకసారి వ్రాయబడుతుంది, కుండలీకరణాల్లో జతచేయబడుతుంది.

సందర్భంలో బి)(ఉదాహరణ 1) ఒకే ఒక పునరావృత అంకె ఉంది మరియు 6కి సమానం. కాబట్టి, మా ఫలితం 0.66... ​​ఇలా వ్రాయబడుతుంది: 0,(6) . వారు చదువుతారు: సున్నా పాయింట్, పీరియడ్‌లో ఆరు.

దశాంశ బిందువు మరియు మొదటి కాలం మధ్య ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ పునరావృతం కాని అంకెలు ఉంటే, అటువంటి ఆవర్తన భిన్నాన్ని మిశ్రమ ఆవర్తన భిన్నం అంటారు.

తగ్గించలేని సాధారణ భిన్నం దీని హారం ఇతరులతో కలిసిగుణకం గుణకం కలిగి ఉంటుంది 2 లేదా 5 , కు మారుతుంది మిశ్రమఆవర్తన భిన్నం.

సంఖ్యలను దశాంశ భిన్నం వలె వ్రాయండి:

ఏదైనా హేతుబద్ధ సంఖ్యను అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నం వలె వ్రాయవచ్చు.

సంఖ్యలను అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నం వలె వ్రాయండి.

ఈ వ్యాసంలో మనం ఎలా చూస్తాము భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చడం, మరియు రివర్స్ ప్రక్రియను కూడా పరిగణించండి - దశాంశ భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలుగా మార్చడం. ఇక్కడ మేము భిన్నాలను మార్చడానికి నియమాలను వివరిస్తాము మరియు సాధారణ ఉదాహరణలకు వివరణాత్మక పరిష్కారాలను అందిస్తాము.

పేజీ నావిగేషన్.

భిన్నాలను దశాంశాలకు మారుస్తోంది

మనం వ్యవహరించే క్రమాన్ని సూచిస్తాము భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చడం.

ముందుగా, 10, 100, 1,000, ... హారంలతో భిన్నాలను దశాంశాలుగా ఎలా సూచించాలో చూద్దాం. దశాంశ భిన్నాలు తప్పనిసరిగా 10, 100, .... హారంలతో సాధారణ భిన్నాలను వ్రాయడానికి ఒక కాంపాక్ట్ రూపం అనే వాస్తవం ద్వారా ఇది వివరించబడింది.

ఆ తర్వాత, మేము మరింత ముందుకు వెళ్లి, ఏదైనా సాధారణ భిన్నాన్ని (డినామినేటర్లు 10, 100, ... మాత్రమే కాకుండా) దశాంశ భిన్నంగా ఎలా వ్రాయాలో చూపుతాము. సాధారణ భిన్నాలను ఈ విధంగా పరిగణించినప్పుడు, పరిమిత దశాంశ భిన్నాలు మరియు అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాలు రెండూ లభిస్తాయి.

ఇప్పుడు ప్రతిదీ క్రమంలో మాట్లాడుకుందాం.

10, 100, ... హారంతో ఉన్న సాధారణ భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చడం

కొన్ని సరైన భిన్నాలకు దశాంశాలకు మార్చడానికి ముందు "ప్రిలిమినరీ ప్రిపరేషన్" అవసరం. ఇది సాధారణ భిన్నాలకు వర్తిస్తుంది, లవంలోని అంకెల సంఖ్య హారంలోని సున్నాల సంఖ్య కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, సాధారణ భిన్నం 2/100 తప్పనిసరిగా దశాంశ భిన్నానికి మార్చడానికి సిద్ధం కావాలి, అయితే 9/10 భిన్నానికి ఎలాంటి తయారీ అవసరం లేదు.

దశాంశ భిన్నాలుగా మార్చడానికి సరైన సాధారణ భిన్నాల "ప్రిలిమినరీ ప్రిపరేషన్" అనేది న్యూమరేటర్‌లో ఎడమ వైపున చాలా సున్నాలను జోడించడం ద్వారా అక్కడ ఉన్న మొత్తం అంకెల సంఖ్య హారంలోని సున్నాల సంఖ్యకు సమానం అవుతుంది. ఉదాహరణకు, సున్నాలను జోడించిన తర్వాత ఒక భిన్నం ఇలా కనిపిస్తుంది.

మీరు సరైన భిన్నాన్ని సిద్ధం చేసిన తర్వాత, మీరు దానిని దశాంశానికి మార్చడం ప్రారంభించవచ్చు.

ఇద్దాం 10, లేదా 100, లేదా 1,000, ... యొక్క హారంతో సరైన సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశ భిన్నంలోకి మార్చడానికి నియమం. ఇది మూడు దశలను కలిగి ఉంటుంది:

• 0 వ్రాయండి;
• దాని తరువాత మేము దశాంశ బిందువును ఉంచాము;
• మేము న్యూమరేటర్ నుండి సంఖ్యను వ్రాస్తాము (జోడించిన సున్నాలతో పాటు, మేము వాటిని జోడించినట్లయితే).

ఉదాహరణలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఈ నియమం యొక్క అనువర్తనాన్ని పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ.

సరైన భిన్నం 37/100ని దశాంశానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.

హారం రెండు సున్నాలను కలిగి ఉన్న 100 సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది. న్యూమరేటర్ సంఖ్య 37ని కలిగి ఉంది, దాని సంజ్ఞామానంలో రెండు అంకెలు ఉన్నాయి, కాబట్టి, ఈ భిన్నం దశాంశ భిన్నానికి మార్చడానికి సిద్ధం చేయవలసిన అవసరం లేదు.

ఇప్పుడు మనం 0 వ్రాస్తాము, దశాంశ బిందువును ఉంచాము మరియు లవం నుండి 37 సంఖ్యను వ్రాస్తాము మరియు మనకు దశాంశ భిన్నం 0.37 వస్తుంది.

సమాధానం:

0,37 .

సరైన సాధారణ భిన్నాలను 10, 100, ... దశాంశ భిన్నాలుగా మార్చే నైపుణ్యాలను బలోపేతం చేయడానికి, మేము మరొక ఉదాహరణకి పరిష్కారాన్ని విశ్లేషిస్తాము.

ఉదాహరణ.

సరైన భిన్నం 107/10,000,000 దశాంశంగా వ్రాయండి.

పరిష్కారం.

న్యూమరేటర్‌లోని అంకెల సంఖ్య 3, మరియు హారంలోని సున్నాల సంఖ్య 7, కాబట్టి ఈ సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చడానికి సిద్ధం చేయాలి. మనం 7-3=4 సున్నాలను ఎడమవైపుకు జోడించాలి, తద్వారా అక్కడ ఉన్న మొత్తం అంకెల సంఖ్య హారంలోని సున్నాల సంఖ్యకు సమానంగా మారుతుంది. మేము పొందుతాము.

అవసరమైన దశాంశ భిన్నాన్ని సృష్టించడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది. దీన్ని చేయడానికి, మొదట, మేము 0 అని వ్రాస్తాము, రెండవది, మేము కామాను ఉంచుతాము, మూడవదిగా, మేము 0000107 సున్నాలతో కలిపి సంఖ్యను వ్రాస్తాము, ఫలితంగా మనకు దశాంశ భిన్నం 0.0000107 ఉంటుంది.

సమాధానం:

0,0000107 .

దశాంశాలకు మార్చేటప్పుడు సరికాని భిన్నాలకు ఎలాంటి తయారీ అవసరం లేదు. కింది వాటికి కట్టుబడి ఉండాలి 10, 100, ... హారంతో సరికాని భిన్నాలను దశాంశాలుగా మార్చడానికి నియమాలు:

• న్యూమరేటర్ నుండి సంఖ్యను వ్రాయండి;
• అసలు భిన్నం యొక్క హారంలో సున్నాలు ఉన్నంత వరకు కుడివైపున ఉన్న అనేక అంకెలను వేరు చేయడానికి మేము దశాంశ బిందువును ఉపయోగిస్తాము.

ఒక ఉదాహరణను పరిష్కరించేటప్పుడు ఈ నియమం యొక్క అనువర్తనాన్ని చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

సరికాని భిన్నం 56,888,038,009/100,000 దశాంశానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.

మొదట, మేము సంఖ్య 56888038009 నుండి సంఖ్యను వ్రాస్తాము మరియు రెండవది, అసలు భిన్నం యొక్క హారం 5 సున్నాలను కలిగి ఉన్నందున, మేము కుడి వైపున ఉన్న 5 అంకెలను దశాంశ బిందువుతో వేరు చేస్తాము. ఫలితంగా, మనకు దశాంశ భిన్నం 568880.38009.

సమాధానం:

568 880,38009 .

మిశ్రమ సంఖ్యను దశాంశ భిన్నంలోకి మార్చడానికి, 10, లేదా 100, లేదా 1,000, పాక్షిక భాగం యొక్క హారం ..., మీరు మిశ్రమ సంఖ్యను సరికాని సాధారణ భిన్నంగా మార్చవచ్చు, ఆపై ఫలితాన్ని మార్చవచ్చు. భిన్నం దశాంశ భిన్నం. కానీ మీరు ఈ క్రింది వాటిని కూడా ఉపయోగించవచ్చు 10, లేదా 100, లేదా 1,000, ... యొక్క పాక్షిక హారంతో మిశ్రమ సంఖ్యలను దశాంశ భిన్నాలుగా మార్చడానికి నియమం:

• అవసరమైతే, మేము అసలైన మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క పాక్షిక భాగం యొక్క "ప్రాథమిక తయారీ"ని నిర్వహిస్తాము, అవసరమైన సంఖ్యల సంఖ్యను లవంలోని ఎడమవైపుకు జోడించడం ద్వారా;
• అసలైన మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క పూర్ణాంక భాగాన్ని వ్రాయండి;
• దశాంశ బిందువును ఉంచండి;
• మేము జోడించిన సున్నాలతో పాటు న్యూమరేటర్ నుండి సంఖ్యను వ్రాస్తాము.

మిశ్రమ సంఖ్యను దశాంశ భిన్నం వలె సూచించడానికి అవసరమైన అన్ని దశలను పూర్తి చేసే ఉదాహరణను చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

మిశ్రమ సంఖ్యను దశాంశానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.

పాక్షిక భాగం యొక్క హారం 4 సున్నాలను కలిగి ఉంటుంది, కానీ న్యూమరేటర్ 2 అంకెలతో కూడిన 17 సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి, లవంలో ఎడమ వైపున రెండు సున్నాలను జోడించాలి, తద్వారా అక్కడ ఉన్న అంకెల సంఖ్య సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది. హారంలో సున్నాలు. ఇలా చేసిన తర్వాత, న్యూమరేటర్ 0017 అవుతుంది.

ఇప్పుడు మనం అసలు సంఖ్య యొక్క మొత్తం భాగాన్ని వ్రాస్తాము, అనగా 23 సంఖ్య, ఒక దశాంశ బిందువును ఉంచుతాము, దాని తర్వాత మేము జోడించిన సున్నాలతో పాటు లవం నుండి సంఖ్యను వ్రాస్తాము, అనగా 0017, మరియు మనకు కావలసిన దశాంశం వస్తుంది. భిన్నం 23.0017.

మొత్తం పరిష్కారాన్ని క్లుప్తంగా వ్రాస్దాం: .

వాస్తవానికి, మొదట మిశ్రమ సంఖ్యను సరికాని భిన్నం వలె సూచించడం మరియు దానిని దశాంశానికి మార్చడం సాధ్యమైంది. ఈ విధానంతో, పరిష్కారం ఇలా కనిపిస్తుంది: .

సమాధానం:

23,0017 .

భిన్నాలను పరిమిత మరియు అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశాలుగా మార్చడం

10, 100, ... హారం ఉన్న సాధారణ భిన్నాలను మాత్రమే కాకుండా, ఇతర హారంతో ఉన్న సాధారణ భిన్నాలను దశాంశ భిన్నాలుగా మార్చవచ్చు. ఇది ఎలా జరుగుతుందో ఇప్పుడు మనం కనుగొంటాము.

కొన్ని సందర్భాల్లో, అసలు సాధారణ భిన్నం 10, లేదా 100, లేదా 1,000, ... (ఒక సాధారణ భిన్నాన్ని కొత్త హారంకు తీసుకురావడం చూడండి), దాని తర్వాత ఫలిత భిన్నాన్ని సూచించడం కష్టం కాదు. దశాంశ భిన్నం వలె. ఉదాహరణకు, 2/5 భిన్నాన్ని హారం 10తో భిన్నానికి తగ్గించవచ్చని స్పష్టంగా ఉంది, దీని కోసం మీరు న్యూమరేటర్ మరియు హారంను 2 ద్వారా గుణించాలి, ఇది భిన్నం 4/10 ఇస్తుంది, దీని ప్రకారం మునుపటి పేరాలో చర్చించిన నియమాలు, దశాంశ భిన్నం 0, 4కి సులభంగా మార్చబడతాయి.

ఇతర సందర్భాల్లో, మీరు ఒక సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశంగా మార్చడానికి మరొక పద్ధతిని ఉపయోగించాలి, దానిని మేము ఇప్పుడు పరిగణలోకి తీసుకుంటాము.

సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశ భిన్నానికి మార్చడానికి, భిన్నం యొక్క లవం హారంతో భాగించబడుతుంది, లవం మొదట దశాంశ బిందువు తర్వాత ఎన్ని సున్నాలతో సమాన దశాంశ భిన్నంతో భర్తీ చేయబడుతుంది (మేము దీని గురించి సమానమైన విభాగంలో మాట్లాడాము మరియు అసమాన దశాంశ భిన్నాలు). ఈ సందర్భంలో, విభజన సహజ సంఖ్యల నిలువు వరుస ద్వారా విభజించబడిన విధంగానే నిర్వహించబడుతుంది మరియు డివిడెండ్ యొక్క మొత్తం భాగం యొక్క విభజన ముగిసినప్పుడు ఒక దశాంశ బిందువు ఉంచబడుతుంది. దిగువ ఇవ్వబడిన ఉదాహరణల పరిష్కారాల నుండి ఇవన్నీ స్పష్టంగా కనిపిస్తాయి.

ఉదాహరణ.

621/4 భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.

న్యూమరేటర్ 621లోని సంఖ్యను దశాంశ భిన్నం వలె సూచిస్తాము, దాని తర్వాత దశాంశ బిందువు మరియు అనేక సున్నాలను జోడించడం. ముందుగా, 2 అంకెలు 0ని చేర్చుదాం, తరువాత, అవసరమైతే, మనం ఎల్లప్పుడూ మరిన్ని సున్నాలను జోడించవచ్చు. కాబట్టి, మాకు 621.00 ఉంది.

ఇప్పుడు 621,000 సంఖ్యను నిలువు వరుసతో 4 ద్వారా భాగిద్దాం. మొదటి మూడు దశలు సహజ సంఖ్యలను నిలువు వరుస ద్వారా విభజించడానికి భిన్నంగా లేవు, ఆ తర్వాత మేము ఈ క్రింది చిత్రాన్ని చేరుకుంటాము:

ఈ విధంగా మనం డివిడెండ్‌లో దశాంశ బిందువుకు చేరుకుంటాము మరియు మిగిలినది సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, మేము గుణకంలో దశాంశ బిందువును ఉంచాము మరియు కామాలకు శ్రద్ధ చూపకుండా నిలువు వరుసలో విభజించడాన్ని కొనసాగిస్తాము:

ఇది విభజనను పూర్తి చేస్తుంది మరియు ఫలితంగా మనకు దశాంశ భిన్నం 155.25 వస్తుంది, ఇది అసలు సాధారణ భిన్నానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.

సమాధానం:

155,25 .

పదార్థాన్ని ఏకీకృతం చేయడానికి, మరొక ఉదాహరణకి పరిష్కారాన్ని పరిగణించండి.

ఉదాహరణ.

21/800 భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.

ఈ సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చడానికి, మేము దశాంశ భిన్నం 21,000...తో 800తో భాగిస్తాము. మొదటి దశ తర్వాత, మేము గుణకంలో దశాంశ బిందువును ఉంచాలి, ఆపై విభజనను కొనసాగించాలి:

చివరగా, మాకు మిగిలిన 0 వచ్చింది, ఇది సాధారణ భిన్నం 21/400ని దశాంశ భిన్నానికి మార్చడాన్ని పూర్తి చేస్తుంది మరియు మేము దశాంశ భిన్నం 0.02625కి చేరుకున్నాము.

సమాధానం:

0,02625 .

సాధారణ భిన్నం యొక్క హారంతో న్యూమరేటర్‌ను విభజించినప్పుడు, మనకు ఇప్పటికీ 0 యొక్క శేషం లభించదు. ఈ సందర్భాలలో, విభజన నిరవధికంగా కొనసాగించవచ్చు. అయితే, ఒక నిర్దిష్ట దశ నుండి ప్రారంభించి, మిగిలినవి క్రమానుగతంగా పునరావృతం చేయడం ప్రారంభిస్తాయి మరియు గుణకంలోని సంఖ్యలు కూడా పునరావృతమవుతాయి. దీని అర్థం అసలు భిన్నం అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నానికి మార్చబడుతుంది. దీన్ని ఒక ఉదాహరణతో చూపిద్దాం.

ఉదాహరణ.

19/44 భిన్నాన్ని దశాంశంగా వ్రాయండి.

పరిష్కారం.

సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చడానికి, నిలువు వరుస ద్వారా విభజన చేయండి:

విభజన సమయంలో 8 మరియు 36 అవశేషాలు పునరావృతం కావడం ఇప్పటికే స్పష్టంగా ఉంది, అయితే 1 మరియు 8 సంఖ్యలు పునరావృతమవుతాయి. అందువలన, అసలు సాధారణ భిన్నం 19/44 ఆవర్తన దశాంశ భిన్నం 0.43181818...=0.43(18)గా మార్చబడుతుంది.

సమాధానం:

0,43(18) .

ఈ పాయింట్‌ను ముగించడానికి, ఏ సాధారణ భిన్నాలను పరిమిత దశాంశ భిన్నాలుగా మార్చవచ్చో మరియు ఏవి ఆవర్తన వాటిని మాత్రమే మార్చవచ్చో మేము కనుగొంటాము.

మన ముందు తగ్గించలేని సాధారణ భిన్నాన్ని (భిన్నం తగ్గించగలిగితే, మేము మొదట భిన్నాన్ని తగ్గిస్తాము), మరియు దానిని ఏ దశాంశ భిన్నంలోకి మార్చవచ్చో మనం కనుగొనాలి - పరిమిత లేదా ఆవర్తన.

ఒక సాధారణ భిన్నాన్ని 10, 100, 1,000, ... అనే హారంలలో ఒకదానికి తగ్గించగలిగితే, ఫలిత భిన్నాన్ని మునుపటి పేరాలో చర్చించిన నిబంధనల ప్రకారం సులభంగా తుది దశాంశ భిన్నంగా మార్చవచ్చు. కానీ హారం 10, 100, 1,000, మొదలైనవి. అన్ని సాధారణ భిన్నాలు ఇవ్వబడవు. 10, 100, ... సంఖ్యలలో కనీసం ఒకటిగా ఉండే భిన్నాలు మాత్రమే అటువంటి హారంలకు తగ్గించబడతాయి మరియు 10, 100, ...? 10, 100, ... సంఖ్యలు ఈ ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడానికి మాకు అనుమతిస్తాయి మరియు అవి క్రింది విధంగా ఉన్నాయి: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1,000 = 2 2 2 5 5 5, .... విభజనలు 10, 100, 1,000, మొదలైనవి అని ఇది అనుసరిస్తుంది. ప్రధాన కారకాలుగా కుళ్ళిపోవడం 2 మరియు (లేదా) 5 సంఖ్యలను మాత్రమే కలిగి ఉండే సంఖ్యలు మాత్రమే ఉంటాయి.

ఇప్పుడు మనం సాధారణ భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చడం గురించి సాధారణ తీర్మానం చేయవచ్చు:

• ప్రధాన కారకాలుగా హారం యొక్క కుళ్ళిపోవడంలో 2 మరియు (లేదా) 5 సంఖ్యలు మాత్రమే ఉంటే, ఈ భిన్నాన్ని చివరి దశాంశ భిన్నంగా మార్చవచ్చు;
• ఒకవేళ, రెండులు మరియు ఐదులతో పాటు, హారం యొక్క విస్తరణలో ఇతర ప్రధాన సంఖ్యలు ఉంటే, అప్పుడు ఈ భిన్నం అనంతమైన దశాంశ ఆవర్తన భిన్నానికి మార్చబడుతుంది.

ఉదాహరణ.

సాధారణ భిన్నాలను దశాంశాలుగా మార్చకుండా, 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 భిన్నాలలో ఏది తుది దశాంశ భిన్నంగా మార్చబడుతుందో మరియు వాటిని మాత్రమే ఆవర్తన భిన్నంలోకి మార్చగలదో చెప్పండి.

పరిష్కారం.

భిన్నం 47/20 యొక్క హారం ప్రధాన కారకాలుగా 20=2·2·5గా కారకం చేయబడింది. ఈ విస్తరణ రెండు మరియు ఐదులను మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి ఈ భిన్నాన్ని 10, 100, 1,000, ... (ఈ ఉదాహరణలో, హారం 100కి) ఒకటికి తగ్గించవచ్చు, కాబట్టి, తుది దశాంశ భిన్నానికి మార్చవచ్చు.

7/12 భిన్నం యొక్క హారం ప్రధాన కారకాలుగా కుళ్ళిపోవడం 12=2·2·3 రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఇది 2 మరియు 5 నుండి భిన్నమైన 3 యొక్క ప్రధాన కారకాన్ని కలిగి ఉన్నందున, ఈ భిన్నం పరిమిత దశాంశంగా సూచించబడదు, కానీ ఆవర్తన దశాంశంగా మార్చబడుతుంది.

భిన్నం 21/56 - సంకోచం, సంకోచం తర్వాత అది 3/8 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. హారంను ప్రధాన కారకాలుగా మార్చడం 2కి సమానమైన మూడు కారకాలను కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి, సాధారణ భిన్నం 3/8, అందువలన సమాన భిన్నం 21/56, తుది దశాంశ భిన్నం వలె మార్చబడుతుంది.

చివరగా, భిన్నం 31/17 యొక్క హారం యొక్క విస్తరణ 17 దానంతట అదే, కాబట్టి ఈ భిన్నం పరిమిత దశాంశ భిన్నం వలె మార్చబడదు, కానీ అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నం వలె మార్చబడుతుంది.

సమాధానం:

47/20 మరియు 21/56 పరిమిత దశాంశ భిన్నానికి మార్చబడతాయి, కానీ 7/12 మరియు 31/17 మాత్రమే ఆవర్తన భిన్నానికి మార్చబడతాయి.

సాధారణ భిన్నాలు అనంతమైన నాన్-ఆవర్తన దశాంశాలుగా మారవు

మునుపటి పేరాలోని సమాచారం ప్రశ్నకు దారి తీస్తుంది: "ఒక భిన్నం యొక్క సంఖ్యను హారం ద్వారా విభజించడం వలన అనంతమైన నాన్-ఆవర్తన భిన్నం ఏర్పడుతుందా?"

సమాధానం: లేదు. సాధారణ భిన్నాన్ని మార్చేటప్పుడు, ఫలితం పరిమిత దశాంశ భిన్నం లేదా అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నం కావచ్చు. ఇది ఎందుకు జరుగుతుందో వివరిద్దాం.

శేషంతో విభజనపై సిద్ధాంతం నుండి, శేషం ఎల్లప్పుడూ భాజకం కంటే తక్కువగా ఉంటుందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది, అంటే, మనం కొంత పూర్ణాంకాన్ని పూర్ణాంకం qతో భాగిస్తే, మిగిలినది 0, 1, 2 సంఖ్యలలో ఒకటి మాత్రమే కావచ్చు. , ..., q−1. కాలమ్ సాధారణ భిన్నం యొక్క పూర్ణాంక భాగాన్ని హారం q ద్వారా విభజించడాన్ని పూర్తి చేసిన తర్వాత, q కంటే ఎక్కువ దశల్లో కింది రెండు పరిస్థితులలో ఒకటి తలెత్తదు:

• లేదా మేము 0 యొక్క మిగిలిన భాగాన్ని పొందుతాము, ఇది విభజనను ముగుస్తుంది మరియు మేము చివరి దశాంశ భిన్నాన్ని పొందుతాము;
• లేదా మేము ఇంతకు ముందు కనిపించిన శేషాన్ని పొందుతాము, దాని తర్వాత మిగిలినవి మునుపటి ఉదాహరణలో పునరావృతం అవుతాయి (సమాన సంఖ్యలను q ద్వారా విభజించినప్పుడు, సమాన శేషాలు లభిస్తాయి, ఇది ఇప్పటికే పేర్కొన్న విభజన సిద్ధాంతం నుండి వస్తుంది), ఇది అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నానికి దారి తీస్తుంది.

ఏ ఇతర ఎంపికలు ఉండవు, కాబట్టి, ఒక సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశ భిన్నానికి మార్చేటప్పుడు, అనంతమైన నాన్-ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాన్ని పొందలేము.

ఈ పేరాలో ఇవ్వబడిన తార్కికం నుండి, దశాంశ భిన్నం యొక్క వ్యవధి యొక్క పొడవు ఎల్లప్పుడూ సంబంధిత సాధారణ భిన్నం యొక్క హారం విలువ కంటే తక్కువగా ఉంటుందని కూడా అనుసరిస్తుంది.

దశాంశాలను భిన్నాలుగా మారుస్తోంది

ఇప్పుడు దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నంగా ఎలా మార్చాలో తెలుసుకుందాం. చివరి దశాంశ భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలకు మార్చడం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం. దీని తరువాత, మేము అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాలను విలోమం చేయడానికి ఒక పద్ధతిని పరిశీలిస్తాము. ముగింపులో, అనంతమైన నాన్-ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలుగా మార్చడం అసంభవం గురించి చెప్పండి.

వెనుక దశాంశాలను భిన్నాలుగా మారుస్తోంది

చివరి దశాంశంగా వ్రాయబడిన భిన్నాన్ని పొందడం చాలా సులభం. తుది దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నానికి మార్చే నియమంమూడు దశలను కలిగి ఉంటుంది:

• ముందుగా, మునుపు దశాంశ బిందువును మరియు ఎడమవైపున ఉన్న అన్ని సున్నాలను విస్మరించి, ఇవ్వబడిన దశాంశ భిన్నాన్ని న్యూమరేటర్‌లో వ్రాయండి;
• రెండవది, అసలు దశాంశ భిన్నంలో దశాంశ బిందువు తర్వాత ఎన్ని అంకెలు ఉంటే అంత సున్నాలను హారంలో వ్రాసి దానికి అనేక సున్నాలను జోడించండి;
• మూడవదిగా, అవసరమైతే, ఫలిత భిన్నాన్ని తగ్గించండి.

ఉదాహరణలకు పరిష్కారాలను చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

దశాంశ 3.025ను భిన్నానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.

అసలు దశాంశ భిన్నం నుండి దశాంశ బిందువును తీసివేస్తే, మనకు 3,025 సంఖ్య వస్తుంది. ఎడమవైపు మనం విస్మరించే సున్నాలు లేవు. కాబట్టి, మేము కోరుకున్న భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్‌లో 3,025 వ్రాస్తాము.

అసలు దశాంశ భిన్నంలో దశాంశ బిందువు తర్వాత 3 అంకెలు ఉన్నందున, మేము 1 సంఖ్యను హారంలో వ్రాసి దాని కుడి వైపున 3 సున్నాలను జోడిస్తాము.

కాబట్టి మేము సాధారణ భిన్నం 3,025/1,000 పొందాము. ఈ భిన్నాన్ని 25 తగ్గించవచ్చు, మనకు లభిస్తుంది .

సమాధానం:

.

ఉదాహరణ.

దశాంశ భిన్నం 0.0017ను భిన్నానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.

దశాంశ బిందువు లేకుండా, అసలు దశాంశ భిన్నం 00017 లాగా కనిపిస్తుంది, ఎడమ వైపున ఉన్న సున్నాలను విస్మరిస్తే మనకు కావలసిన సాధారణ భిన్నం యొక్క లవం 17 వస్తుంది.

అసలు దశాంశ భిన్నం దశాంశ బిందువు తర్వాత 4 అంకెలను కలిగి ఉన్నందున, మేము హారంలో నాలుగు సున్నాలతో ఒకటి వ్రాస్తాము.

ఫలితంగా, మనకు సాధారణ భిన్నం 17/10,000 ఉంటుంది. ఈ భిన్నం తగ్గించలేనిది మరియు దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నానికి మార్చడం పూర్తయింది.

సమాధానం:

.

అసలైన చివరి దశాంశ భిన్నం యొక్క పూర్ణాంకం సున్నా కానిది అయినప్పుడు, అది వెంటనే సాధారణ భిన్నాన్ని దాటవేసి మిశ్రమ సంఖ్యగా మార్చబడుతుంది. ఇద్దాం చివరి దశాంశ భిన్నాన్ని మిశ్రమ సంఖ్యగా మార్చడానికి నియమం:

• దశాంశ బిందువు ముందు సంఖ్యను తప్పనిసరిగా కావలసిన మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క పూర్ణాంకం వలె వ్రాయాలి;
• పాక్షిక భాగం యొక్క న్యూమరేటర్‌లో మీరు ఎడమవైపు ఉన్న అన్ని సున్నాలను విస్మరించిన తర్వాత అసలు దశాంశ భిన్నం యొక్క పాక్షిక భాగం నుండి పొందిన సంఖ్యను వ్రాయాలి;
• పాక్షిక భాగం యొక్క హారంలో మీరు సంఖ్య 1 ను వ్రాయాలి, అసలు దశాంశ భిన్నంలో దశాంశ బిందువు తర్వాత అంకెలు ఉన్నంతవరకు కుడివైపున అనేక సున్నాలను జోడించండి;
• అవసరమైతే, ఫలిత మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క పాక్షిక భాగాన్ని తగ్గించండి.

దశాంశ భిన్నాన్ని మిశ్రమ సంఖ్యగా మార్చే ఉదాహరణను చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

దశాంశ భిన్నం 152.06005 మిశ్రమ సంఖ్యగా వ్యక్తపరచండి

§ 114. సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశంగా మార్చడం.

సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశంగా మార్చడం అంటే, ఇచ్చిన సాధారణ భిన్నానికి సమానంగా ఉండే దశాంశ భిన్నాన్ని కనుగొనడం. సాధారణ భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చేటప్పుడు, మేము రెండు సందర్భాలను ఎదుర్కొంటాము:

1) సాధారణ భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చినప్పుడు సరిగ్గా;

2) సాధారణ భిన్నాలు దశాంశాలకు మాత్రమే మార్చబడినప్పుడు సుమారుగా. ఈ కేసులను వరుసగా పరిశీలిద్దాం.

1. సాధారణ తగ్గించలేని భిన్నాన్ని దశాంశంగా ఎలా మార్చాలి, లేదా మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సాధారణ భిన్నాన్ని దానికి సమానమైన దశాంశంతో ఎలా భర్తీ చేయాలి?

సాధారణ భిన్నాలు ఉండే సందర్భంలో సరిగ్గాదశాంశానికి మార్చబడింది, ఉంది రెండు మార్గాలుఅటువంటి చికిత్స.

ఒక భిన్నాన్ని మొదటిదానికి సమానమైన మరొక దానితో ఎలా భర్తీ చేయాలో లేదా మొదటి విలువను మార్చకుండా ఒక భిన్నం నుండి మరొకదానికి ఎలా తరలించాలో గుర్తుంచుకోండి. మేము భిన్నాలను సాధారణ హారం (§86)కి తగ్గించినప్పుడు మేము దీన్ని చేసాము. మేము భిన్నాలను సాధారణ హారంకు తగ్గించినప్పుడు, మేము ఈ క్రింది విధంగా కొనసాగుతాము: మేము ఈ భిన్నాలకు ఉమ్మడి హారంను కనుగొంటాము, ప్రతి భిన్నానికి అదనపు కారకాన్ని లెక్కించి, ఆపై ప్రతి భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారంను ఈ కారకం ద్వారా గుణించండి.

దీన్ని గమనించిన తర్వాత, తగ్గించలేని భిన్నం 3/20ని తీసుకొని దానిని దశాంశానికి మార్చడానికి ప్రయత్నిద్దాం. ఈ భిన్నం యొక్క హారం 20, కానీ మీరు దానిని మరొక హారంకి తీసుకురావాలి, ఇది సున్నాలతో సూచించబడుతుంది. మేము సున్నాలను అనుసరించే ఒక చిన్న హారం కోసం వెతుకుతున్నాము.

మొదటి మార్గంభిన్నాన్ని దశాంశంగా మార్చడం అనేది హారంను ప్రధాన కారకాలుగా విడగొట్టడంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

మీరు 20ని ఏ సంఖ్యతో గుణించాలో మీరు కనుగొనాలి, తద్వారా ఉత్పత్తి సున్నాలతో ఒకటిగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది. తెలుసుకోవడానికి, ఒకటి మరియు సున్నాలు సూచించే సంఖ్యలు ఏ ప్రధాన కారకాలలో కుళ్ళిపోయాయో మీరు మొదట గుర్తుంచుకోవాలి. ఇవి కుళ్ళినవి:

10 = 2 5,
100 = 2 2 5 . 5,
1 000 = 2 2 2 5 5 5,
10 000 = 2 2 2 2 5 5 5 5.

సున్నాలతో ఒకటి ప్రాతినిధ్యం వహించే సంఖ్య రెండు మరియు ఐదుగా మాత్రమే కుళ్ళిపోవడాన్ని మనం చూస్తాము మరియు విస్తరణలో ఇతర అంశాలు లేవు. అదనంగా, రెండు మరియు ఐదు ఒకే సంఖ్యలో విస్తరణలో చేర్చబడ్డాయి. మరియు, చివరగా, ఆ మరియు ఇతర కారకాల సంఖ్య విడివిడిగా ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క చిత్రంలో ఉన్న సున్నాల సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది.

ఇప్పుడు 20 ప్రధాన కారకాలుగా ఎలా కుళ్ళిపోతుందో చూద్దాం: 20 = 2 2 5. దీని నుండి 20 సంఖ్య యొక్క కుళ్ళిపోవడంలో రెండు రెండు, మరియు ఒక ఐదు ఉన్నాయని స్పష్టమవుతుంది. దీని అర్థం మనం ఈ కారకాలకు ఒక ఐదుని జోడిస్తే, సున్నాలతో ఒకటి సూచించబడే సంఖ్యను పొందుతాము. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, హారం 20కి బదులుగా సున్నాలతో ఒకటి ప్రాతినిధ్యం వహించే సంఖ్యను కలిగి ఉండాలంటే, మీరు 20ని 5తో గుణించాలి మరియు భిన్నం యొక్క విలువ మారకుండా ఉండటానికి, మీరు దాని సంఖ్యను 5తో గుణించాలి. , అనగా

అందువల్ల, ఒక సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశంగా మార్చడానికి, మీరు ఈ సాధారణ భిన్నం యొక్క హారంను ప్రధాన కారకాలుగా విడదీయాలి, ఆపై దానిలోని రెండు మరియు ఐదుల సంఖ్యను సమం చేయాలి (మరియు, వాస్తవానికి, న్యూమరేటర్‌లోకి ) అవసరమైన సంఖ్యలో తప్పిపోయిన కారకాలు.

ఈ తీర్మానాన్ని కొన్ని భిన్నాలకు వర్తింపజేద్దాం.

3/50ని దశాంశానికి మార్చండి. ఈ భిన్నం యొక్క హారం క్రింది విధంగా విస్తరించబడింది:

దీని అర్థం ఇది ఒక డ్యూస్ లేదు. దీన్ని జత చేద్దాం:

7/40ని దశాంశానికి మార్చండి.

ఈ భిన్నం యొక్క హారం క్రింది విధంగా కుళ్ళిపోతుంది: 40 = 2 2 2 5, అంటే ఇది రెండు ఐదులు లేదు. వాటిని కారకాలుగా న్యూమరేటర్ మరియు హారంలో పరిచయం చేద్దాం:

పేర్కొన్న దాని నుండి, ఏ సాధారణ భిన్నాలు ఖచ్చితంగా దశాంశాలకు మారుస్తాయో నిర్ధారించడం కష్టం కాదు. తగ్గించలేని సాధారణ భిన్నం, 2 మరియు 5 కాకుండా ఇతర ప్రధాన కారకాలు లేని హారం ఖచ్చితంగా దశాంశానికి మారుతుంది. ఒక దశాంశ భిన్నం, కొంత సాధారణ భిన్నాన్ని తిప్పికొట్టడం ద్వారా పొందబడుతుంది, దాని తగ్గింపు తర్వాత సాధారణ భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్యాపరంగా ప్రధానమైన కారకం 2 లేదా 5ని కలిగి ఉండే సంఖ్యల సంఖ్యకు అనేక దశాంశ స్థానాలను కలిగి ఉంటుంది.

మేము 9/40 భిన్నాన్ని తీసుకుంటే, మొదట, అది దశాంశంగా మారుతుంది, ఎందుకంటే దాని హారం 2 2 2 5 కారకాలను కలిగి ఉంటుంది మరియు రెండవది, ఫలితంగా వచ్చే దశాంశ భిన్నం 3 దశాంశ స్థానాలను కలిగి ఉంటుంది, ఎందుకంటే సంఖ్యాపరంగా ఆధిపత్య కారకం 2 మూడు సార్లు విస్తరణలోకి ప్రవేశిస్తుంది. నిజానికి:

రెండవ మార్గం(సంఖ్యను హారం ద్వారా విభజించడం ద్వారా).

మీరు 3/4ను దశాంశ భిన్నానికి మార్చాలనుకుంటున్నారని అనుకుందాం. 3/4 అనేది 3ని 4తో భాగించడమే అని మనకు తెలుసు. 3ని 4తో భాగించడం ద్వారా మనం ఈ గుణకాన్ని కనుగొనవచ్చు. ఇలా చేద్దాం:

కాబట్టి 3/4 = 0.75.

మరొక ఉదాహరణ: 5/8ని దశాంశ భిన్నానికి మార్చండి.

కాబట్టి 5/8 = 0.625.

కాబట్టి, భిన్నాన్ని దశాంశంగా మార్చడానికి, మీరు భిన్నం యొక్క లవంను దాని హారంతో విభజించాలి.

2. ఇప్పుడు పేరా ప్రారంభంలో సూచించబడిన కేసులలో రెండవదాన్ని పరిశీలిద్దాం, అనగా, ఒక సాధారణ భిన్నాన్ని ఖచ్చితమైన దశాంశంగా మార్చలేని సందర్భం.

2 మరియు 5 కాకుండా ఇతర ప్రధాన కారకాలను కలిగి ఉండే హారం ఒక సాధారణ తగ్గించలేని భిన్నం ఖచ్చితంగా దశాంశానికి మార్చబడదు. వాస్తవానికి, ఉదాహరణకు, భిన్నం 8/15 దశాంశంగా మార్చబడదు, ఎందుకంటే దాని హారం 15 రెండు కారకాలుగా విభజించబడింది: 3 మరియు 5.

మేము హారం నుండి ట్రిపుల్‌ను తొలగించలేము మరియు పూర్ణాంకాన్ని ఎంచుకోలేము, దానితో ఇచ్చిన హారంను గుణించిన తర్వాత, ఉత్పత్తి సున్నాలతో ఒకటిగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది.

అటువంటి సందర్భాలలో, మేము మాత్రమే మాట్లాడగలము ఉజ్జాయింపుసాధారణ భిన్నాలు నుండి దశాంశాలు.

ఇది ఎలా జరుగుతుంది? ఇది ఒక సాధారణ భిన్నం యొక్క లవంను హారం ద్వారా విభజించడం ద్వారా జరుగుతుంది, అనగా ఈ సందర్భంలో, ఒక సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశంగా మార్చే రెండవ పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది. దీని అర్థం ఈ పద్ధతి ఖచ్చితమైన మరియు ఉజ్జాయింపు నిర్వహణ కోసం ఉపయోగించబడుతుంది.

ఒక భిన్నం సరిగ్గా దశాంశానికి మార్చబడితే, విభజన చివరి దశాంశ భిన్నాన్ని ఉత్పత్తి చేస్తుంది.

ఒక సాధారణ భిన్నం ఖచ్చితమైన దశాంశానికి మారకపోతే, విభజన అనంతమైన దశాంశ భిన్నాన్ని ఉత్పత్తి చేస్తుంది.

మేము అంతులేని విభజన ప్రక్రియను నిర్వహించలేము కాబట్టి, మనం ఏదో ఒక దశాంశ స్థానంలో విభజనను నిలిపివేయాలి, అంటే, సుమారుగా విభజన చేయాలి. ఉదాహరణకు, మనం మొదటి దశాంశ స్థానంలో విభజించడాన్ని ఆపివేయవచ్చు, అంటే మనల్ని మనం పదవ వంతుకు పరిమితం చేయవచ్చు; అవసరమైతే, మేము రెండవ దశాంశ స్థానంలో ఆపివేయవచ్చు, వందవ వంతులు పొందడం మొదలైనవి. ఈ సందర్భాలలో, మేము అనంతమైన దశాంశ భిన్నాన్ని చుట్టుముడుతున్నామని చెబుతాము. ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి అవసరమైన ఖచ్చితత్వంతో రౌండింగ్ చేయబడుతుంది.

§ 115. ఆవర్తన భిన్నం యొక్క భావన.

ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ అంకెలు ఒకే క్రమంలో పునరావృతమయ్యే శాశ్వత దశాంశ భిన్నాన్ని ఆవర్తన దశాంశ భిన్నం అంటారు. ఉదాహరణకు:

0,33333333...; 1,12121212...; 3,234234234...

పునరావృత సంఖ్యల సమితి అంటారు కాలంఈ భిన్నం. పైన వ్రాసిన భిన్నాలలో మొదటి కాలం 3, రెండవ భిన్నం యొక్క కాలం 12, మూడవ భిన్నం యొక్క కాలం 234. అంటే ఆ కాలం అనేక అంకెలను కలిగి ఉంటుంది - ఒకటి, రెండు, మూడు, మొదలైనవి. పునరావృతమయ్యే అంకెల యొక్క మొదటి సెట్‌ను మొదటి పీరియడ్ అని పిలుస్తారు, రెండవది మొత్తం - రెండవ కాలం మొదలైనవి, అనగా.

ఆవర్తన భిన్నాలు స్వచ్ఛంగా లేదా మిశ్రమంగా ఉండవచ్చు. దశాంశ బిందువు తర్వాత దాని వ్యవధి వెంటనే ప్రారంభమైతే ఆవర్తన భిన్నాన్ని స్వచ్ఛంగా పిలుస్తారు. అంటే పైన వ్రాసిన ఆవర్తన భిన్నాలు స్వచ్ఛంగా ఉంటాయి. దీనికి విరుద్ధంగా, దశాంశ బిందువు మరియు మొదటి పీరియడ్ మధ్య ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ పునరావృతం కాని అంకెలు ఉంటే ఆవర్తన భిన్నాన్ని మిశ్రమం అంటారు, ఉదాహరణకు:

2,5333333...; 4,1232323232...; 0,2345345345345... 160

అక్షరాన్ని కుదించడానికి, మీరు బ్రాకెట్లలో పిరియడ్ నంబర్లను ఒకసారి వ్రాయవచ్చు మరియు బ్రాకెట్ల తర్వాత దీర్ఘవృత్తాకారాన్ని ఉంచవద్దు, అంటే 0.33కి బదులుగా... మీరు 0,(3); 2.515151కి బదులుగా... మీరు 2,(51) అని వ్రాయవచ్చు; 0.2333కి బదులుగా... మీరు 0.2(3) అని వ్రాయవచ్చు; 0.8333కి బదులుగా... మీరు 0.8(3) అని వ్రాయవచ్చు.

ఆవర్తన భిన్నాలు ఇలా చదవబడతాయి:

0,(3) - 0 పూర్ణాంకాలు, 3 వ్యవధిలో.

7,2(3) - 7 పూర్ణాంకాలు, పీరియడ్‌కి ముందు 2, పీరియడ్‌లో 3.

5.00(17) - 5 పూర్ణాంకాలు, కాలానికి ముందు రెండు సున్నాలు, వ్యవధిలో 17.

ఆవర్తన భిన్నాలు ఎలా పుడతాయి? భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చేటప్పుడు, రెండు సందర్భాలు ఉండవచ్చని మేము ఇప్పటికే చూశాము.

ముందుగా, సాధారణ తగ్గించలేని భిన్నం యొక్క హారం 2 మరియు 5 కంటే ఇతర కారకాలను కలిగి ఉండదు; ఈ సందర్భంలో, సాధారణ భిన్నం తుది దశాంశంగా మారుతుంది.

రెండవది,సాధారణ తగ్గించలేని భిన్నం యొక్క హారం 2 మరియు 5 కాకుండా ఏదైనా ప్రధాన కారకాలను కలిగి ఉంటుంది; ఈ సందర్భంలో, సాధారణ భిన్నం తుది దశాంశంగా మారదు. ఈ రెండవ సందర్భంలో, లవంను హారం ద్వారా విభజించడం ద్వారా ఒక భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చడానికి ప్రయత్నించడం వలన అనంతమైన భిన్నం ఎల్లప్పుడూ ఆవర్తనంగా ఉంటుంది.

దీన్ని చూడటానికి, ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం. 18/7 భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

వాస్తవానికి, అటువంటి హారం ఉన్న భిన్నాన్ని తుది దశాంశంగా మార్చలేమని మాకు ముందుగానే తెలుసు మరియు మేము సుమారుగా మార్పిడి గురించి మాత్రమే మాట్లాడుతున్నాము. 18వ సంఖ్యను హారం 7తో భాగించండి.

మేము గుణకంలో ఎనిమిది దశాంశ స్థానాలను పొందాము. విభజనను మరింత కొనసాగించాల్సిన అవసరం లేదు, ఎందుకంటే ఇది ఏమైనప్పటికీ ముగియదు. కానీ దీని నుండి విభజనను నిరవధికంగా కొనసాగించవచ్చని మరియు తద్వారా గుణకంలో కొత్త సంఖ్యలను పొందవచ్చని స్పష్టమవుతుంది. ఈ కొత్త సంఖ్యలు ఉత్పన్నమవుతాయి ఎందుకంటే మనకు ఎల్లప్పుడూ మిగిలిపోయినవి ఉంటాయి; కానీ భాగహారం కంటే శేషం పెద్దది కాదు, ఇది మనకు 7.

మనకు ఏ బ్యాలెన్స్‌లు ఉన్నాయో చూద్దాం: 4; 5; 1; 3; 2; b, అనగా ఇవి 7 కంటే తక్కువ సంఖ్యలు. సహజంగానే, వాటిలో ఆరు కంటే ఎక్కువ ఉండకూడదు మరియు విభజన యొక్క తదుపరి కొనసాగింపుతో వాటిని పునరావృతం చేయాలి మరియు వాటి తర్వాత గుణకం యొక్క అంకెలు పునరావృతమవుతాయి. పై ఉదాహరణ ఈ ఆలోచనను ధృవీకరిస్తుంది: గుణకంలోని దశాంశ స్థానాలు ఈ క్రమంలో ఉన్నాయి: 571428, మరియు ఆ తర్వాత 57 సంఖ్యలు మళ్లీ కనిపించాయి అంటే మొదటి కాలం ముగిసింది మరియు రెండవది ప్రారంభమవుతుంది.

అందువలన, సాధారణ భిన్నాన్ని విలోమం చేయడం ద్వారా పొందిన అనంతమైన దశాంశ భిన్నం ఎల్లప్పుడూ ఆవర్తనంగా ఉంటుంది.

సమస్యను పరిష్కరించేటప్పుడు ఆవర్తన భిన్నం ఎదురైతే, అది సమస్య యొక్క పరిస్థితులకు అవసరమైన ఖచ్చితత్వంతో తీసుకోబడుతుంది (పదవ, వంద, వెయ్యి, మొదలైనవి).

§ 116. సాధారణ మరియు దశాంశ భిన్నాలతో ఉమ్మడి చర్యలు.

వివిధ సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, సమస్య సాధారణ మరియు దశాంశ భిన్నాలను కలిగి ఉన్న సందర్భాలను మేము ఎదుర్కొంటాము.

ఈ సందర్భాలలో, మీరు వివిధ మార్గాల్లో వెళ్ళవచ్చు.

1. అన్ని భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చండి.సాధారణ భిన్నాలతో పోలిస్తే దశాంశ భిన్నాలతో గణనలు సులభంగా ఉంటాయి కాబట్టి ఇది సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు,

3/4 మరియు 1 1/5 భిన్నాలను దశాంశాలకు మారుద్దాం:

2. అన్ని భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలుగా మార్చండి.తుది దశాంశాలుగా మారని సాధారణ భిన్నాలు ఉన్న సందర్భాల్లో ఇది చాలా తరచుగా జరుగుతుంది.

ఉదాహరణకు,

దశాంశ భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలకు మారుద్దాం:

3. కొన్ని భిన్నాలను ఇతరులకు మార్చకుండా లెక్కలు నిర్వహించబడతాయి.

ఉదాహరణలో గుణకారం మరియు భాగహారం మాత్రమే ఉన్నప్పుడు ఇది చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు,

ఉదాహరణను ఇలా తిరిగి వ్రాద్దాం:

4. కొన్ని సందర్భాల్లో అన్ని భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చండి(ఆవర్తనాలుగా మారేవి కూడా) మరియు సుమారుగా ఫలితాన్ని కనుగొనండి. ఉదాహరణకు,

2/3ని దశాంశ భిన్నానికి మారుద్దాం, మనల్ని మనం వెయ్యికి పరిమితం చేసుకుంటాము.

తెలిసినట్లుగా, హేతుబద్ధ సంఖ్యల సమితి (Q) పూర్ణాంకాల సమితిని (Z) కలిగి ఉంటుంది, ఇది సహజ సంఖ్యల (N) సమితిని కలిగి ఉంటుంది. పూర్ణ సంఖ్యలతో పాటు, హేతుబద్ధ సంఖ్యలు భిన్నాలను కలిగి ఉంటాయి.

అలాంటప్పుడు మొత్తం హేతుబద్ధ సంఖ్యల సమితిని కొన్నిసార్లు అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాలుగా ఎందుకు పరిగణిస్తారు? నిజానికి, భిన్నాలతో పాటు, అవి పూర్ణాంకాలతో పాటు ఆవర్తన రహిత భిన్నాలను కూడా కలిగి ఉంటాయి.

వాస్తవం ఏమిటంటే, అన్ని పూర్ణాంకాలు, అలాగే ఏదైనా భిన్నం, అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నం వలె సూచించబడతాయి. అంటే, అన్ని హేతుబద్ధ సంఖ్యల కోసం మీరు ఒకే రికార్డింగ్ పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు.

అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశం ఎలా సూచించబడుతుంది? అందులో, దశాంశ బిందువు తర్వాత పునరావృతమయ్యే సంఖ్యల సమూహం బ్రాకెట్లలో ఉంచబడుతుంది. ఉదాహరణకు, 1.56(12) అనేది 12 అంకెల సమూహం పునరావృతమయ్యే భిన్నం, అనగా భిన్నం 1.561212121212 విలువను కలిగి ఉంటుంది... మరియు అనంతంగా ఉంటుంది. పునరావృతమయ్యే సంఖ్యల సమూహాన్ని కాలం అంటారు.

అయినప్పటికీ, మనం ఈ రూపంలో ఏదైనా సంఖ్యను సూచించగలము, దాని వ్యవధిని 0 సంఖ్యగా పరిగణించినట్లయితే, అది కూడా అనంతంగా పునరావృతమవుతుంది. ఉదాహరణకు, సంఖ్య 2 2.00000 వలె ఉంటుంది.... కాబట్టి, దీనిని అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నం వలె వ్రాయవచ్చు, అనగా 2,(0).

ఏదైనా పరిమిత భిన్నంతో కూడా అదే చేయవచ్చు. ఉదాహరణకు:

0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)

అయినప్పటికీ, ఆచరణలో వారు పరిమిత భిన్నాన్ని అనంతమైన ఆవర్తనంగా మార్చడాన్ని ఉపయోగించరు. అందువల్ల, అవి పరిమిత భిన్నాలు మరియు అనంతమైన ఆవర్తన వాటిని వేరు చేస్తాయి. కాబట్టి, హేతుబద్ధ సంఖ్యలు కూడా ఉన్నాయని చెప్పడం మరింత సరైనది

• అన్ని పూర్ణాంకాలు
• చివరి భిన్నాలు,
• అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నాలు.

అదే సమయంలో, పూర్ణాంకాలు మరియు పరిమిత భిన్నాలు అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నాల రూపంలో సిద్ధాంతంలో ప్రాతినిధ్యం వహిస్తాయని గుర్తుంచుకోండి.

మరోవైపు, పరిమిత మరియు అనంతమైన భిన్నాల భావనలు దశాంశ భిన్నాలకు వర్తిస్తాయి. భిన్నాల విషయానికి వస్తే, పరిమిత మరియు అనంతమైన దశాంశాలు రెండింటినీ భిన్నం వలె ప్రత్యేకంగా సూచించవచ్చు. దీని అర్థం సాధారణ భిన్నాల కోణం నుండి, ఆవర్తన మరియు పరిమిత భిన్నాలు ఒకే విషయం. అదనంగా, మేము సంఖ్యను 1తో భాగిస్తున్నామని ఊహించడం ద్వారా పూర్ణ సంఖ్యలను కూడా భిన్నం వలె సూచించవచ్చు.

దశాంశ అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నం వలె ఎలా సూచించాలి? సాధారణంగా ఉపయోగించే అల్గోరిథం ఇలా ఉంటుంది:

1. భిన్నాన్ని తగ్గించండి, తద్వారా దశాంశ బిందువు తర్వాత కాలం మాత్రమే కనిపిస్తుంది.
2. అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నాన్ని 10 లేదా 100తో గుణించండి లేదా ... తద్వారా దశాంశ బిందువు కుడివైపుకి ఒక వ్యవధితో కదులుతుంది (అనగా, ఒక వ్యవధి మొత్తం భాగంలో ముగుస్తుంది).
3. అసలైన భిన్నాన్ని (a) వేరియబుల్ xకి సమం చేయండి మరియు N నుండి Nx సంఖ్యతో గుణించడం ద్వారా పొందిన భిన్నం (b)ని సమం చేయండి.
4. Nx నుండి xని తీసివేయండి. b నుండి నేను a తీసివేస్తాను. అంటే, అవి Nx – x = b – a అనే సమీకరణాన్ని తయారు చేస్తాయి.
5. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు, ఫలితం సాధారణ భిన్నం.

అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నంలోకి మార్చడానికి ఉదాహరణ:
x = 1.13333...
10x = 11.3333...
10x * 10 = 11.33333... * 10
100x = 113.3333...
100x – 10x = 113.3333... – 11.3333...
90x = 102
x =

గణనల సౌలభ్యం కోసం మీరు సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశంగా మార్చాలి మరియు దీనికి విరుద్ధంగా ఉండాలి. దీన్ని ఎలా చేయాలో ఈ వ్యాసంలో మాట్లాడుతాము. సాధారణ భిన్నాలను దశాంశాలకు మరియు దీనికి విరుద్ధంగా మార్చడానికి నియమాలను చూద్దాం మరియు ఉదాహరణలను కూడా ఇవ్వండి.

Yandex.RTB R-A-339285-1

మేము ఒక నిర్దిష్ట క్రమాన్ని అనుసరించి సాధారణ భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చడాన్ని పరిశీలిస్తాము. ముందుగా, 10 యొక్క గుణకారంతో కూడిన సాధారణ భిన్నాలు దశాంశాలుగా ఎలా మార్చబడతాయో చూద్దాం: 10, 100, 1000, మొదలైనవి. అటువంటి హారంతో కూడిన భిన్నాలు, వాస్తవానికి, దశాంశ భిన్నాల యొక్క మరింత గజిబిజిగా ఉండే సంజ్ఞామానం.

తర్వాత, 10 యొక్క గుణకారం కాకుండా, ఏదైనా హారంతో ఉన్న సాధారణ భిన్నాలను దశాంశ భిన్నాలుగా ఎలా మార్చాలో చూద్దాం. సాధారణ భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చేటప్పుడు, పరిమిత దశాంశాలు మాత్రమే కాకుండా, అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాలు కూడా లభిస్తాయని గమనించండి.

ప్రారంభిద్దాం!

10, 100, 1000, మొదలైన హారంతో సాధారణ భిన్నాల అనువాదం. దశాంశాలకు

అన్నింటిలో మొదటిది, కొన్ని భిన్నాలు దశాంశ రూపంలోకి మార్చడానికి ముందు కొంత తయారీ అవసరం అని చెప్పండి. ఇది ఏమిటి? న్యూమరేటర్‌లోని సంఖ్యకు ముందు, మీరు చాలా సున్నాలను జోడించాలి, తద్వారా న్యూమరేటర్‌లోని అంకెల సంఖ్య హారంలోని సున్నాల సంఖ్యకు సమానంగా మారుతుంది. ఉదాహరణకు, భిన్నం 3100 కోసం, 0 సంఖ్యను లవంలోని 3కి ఎడమ వైపున ఒకసారి జోడించాలి. భిన్నం 610, పైన పేర్కొన్న నియమం ప్రకారం, సవరణ అవసరం లేదు.

మరొక ఉదాహరణను చూద్దాం, దాని తర్వాత మేము మొదట ఉపయోగించడానికి ప్రత్యేకంగా అనుకూలమైన నియమాన్ని రూపొందిస్తాము, అయితే భిన్నాలను మార్చడంలో ఎక్కువ అనుభవం లేదు. కాబట్టి, న్యూమరేటర్‌లో సున్నాలను జోడించిన తర్వాత 1610000 భిన్నం 001510000 లాగా కనిపిస్తుంది.

10, 100, 1000, మొదలైన హారంతో సాధారణ భిన్నాన్ని ఎలా మార్చాలి. దశాంశానికి?

సాధారణ సరైన భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చడానికి నియమం

1. 0ని వ్రాసి దాని తర్వాత కామా పెట్టండి.
2. మేము సున్నాలను జోడించిన తర్వాత పొందిన సంఖ్య నుండి సంఖ్యను వ్రాస్తాము.

ఇప్పుడు ఉదాహరణలకు వెళ్దాం.

ఉదాహరణ 1: భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చడం

39,100 భిన్నాన్ని దశాంశానికి మారుద్దాం.

మొదట, మేము భిన్నాన్ని పరిశీలిస్తాము మరియు ఎటువంటి సన్నాహక చర్యలను చేయవలసిన అవసరం లేదని చూస్తాము - న్యూమరేటర్‌లోని అంకెల సంఖ్య హారంలోని సున్నాల సంఖ్యతో సమానంగా ఉంటుంది.

నియమాన్ని అనుసరించి, మేము 0 అని వ్రాస్తాము, దాని తర్వాత ఒక దశాంశ బిందువును ఉంచండి మరియు సంఖ్యను నుండి సంఖ్యను వ్రాస్తాము. మనకు దశాంశ భిన్నం 0.39 వస్తుంది.

ఈ అంశంపై మరొక ఉదాహరణకి పరిష్కారాన్ని చూద్దాం.

ఉదాహరణ 2. భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చడం

105 10000000 భిన్నాన్ని దశాంశంగా వ్రాద్దాం.

హారంలోని సున్నాల సంఖ్య 7, మరియు న్యూమరేటర్‌లో మూడు అంకెలు మాత్రమే ఉంటాయి. న్యూమరేటర్‌లోని సంఖ్యకు ముందు మరో 4 సున్నాలను జోడిద్దాం:

0000105 10000000

ఇప్పుడు మనం 0ని వ్రాస్తాము, దాని తర్వాత ఒక దశాంశ బిందువును ఉంచాము మరియు సంఖ్యను నుండి సంఖ్యను వ్రాస్తాము. మనకు దశాంశ భిన్నం 0.0000105 వస్తుంది.

అన్ని ఉదాహరణలలో పరిగణించబడిన భిన్నాలు సాధారణ సరైన భిన్నాలు. కానీ మీరు సరికాని భిన్నాన్ని దశాంశానికి ఎలా మారుస్తారు? అటువంటి భిన్నాలకు సున్నాలను జోడించి తయారీ అవసరం లేదని వెంటనే చెప్పండి. ఒక నియమాన్ని రూపొందిద్దాం.

సాధారణ సరికాని భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చడానికి నియమం

1. న్యూమరేటర్‌లో ఉన్న సంఖ్యను వ్రాయండి.
2. అసలు భిన్నం యొక్క హారంలో సున్నాలు ఉన్నంత వరకు కుడివైపున ఉన్న అనేక అంకెలను వేరు చేయడానికి మేము దశాంశ బిందువును ఉపయోగిస్తాము.

ఈ నియమాన్ని ఎలా ఉపయోగించాలో క్రింద ఒక ఉదాహరణ.

ఉదాహరణ 3. భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చడం

56888038009 100000 భిన్నాన్ని సాధారణ క్రమరహిత భిన్నం నుండి దశాంశానికి మారుద్దాం.

ముందుగా, న్యూమరేటర్ నుండి సంఖ్యను వ్రాస్దాం:

ఇప్పుడు, కుడి వైపున, మేము దశాంశ బిందువుతో ఐదు అంకెలను వేరు చేస్తాము (హారంలోని సున్నాల సంఖ్య ఐదు). మేము పొందుతాము:

సహజంగా ఉత్పన్నమయ్యే తదుపరి ప్రశ్న: మిశ్రమ సంఖ్యను దశాంశ భిన్నంలోకి ఎలా మార్చాలి, దాని భిన్న భాగం యొక్క హారం సంఖ్య 10, 100, 1000, మొదలైనవి అయితే. అటువంటి సంఖ్యను దశాంశ భిన్నానికి మార్చడానికి, మీరు క్రింది నియమాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.

మిశ్రమ సంఖ్యలను దశాంశాలకు మార్చడానికి నియమం

1. అవసరమైతే, మేము సంఖ్య యొక్క పాక్షిక భాగాన్ని సిద్ధం చేస్తాము.
2. మేము అసలు సంఖ్య యొక్క మొత్తం భాగాన్ని వ్రాసి, దాని తర్వాత కామాను ఉంచుతాము.
3. జోడించిన సున్నాలతో పాటు పాక్షిక భాగం యొక్క న్యూమరేటర్ నుండి మేము సంఖ్యను వ్రాస్తాము.

ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం.

ఉదాహరణ 4: మిశ్రమ సంఖ్యలను దశాంశాలకు మార్చడం

మిశ్రమ సంఖ్య 23 17 10000ని దశాంశ భిన్నానికి మారుద్దాం.

పాక్షిక భాగంలో మనకు 17 10000 వ్యక్తీకరణ ఉంది. దానిని సిద్ధం చేసి, న్యూమరేటర్‌కు ఎడమవైపున మరో రెండు సున్నాలను కలుపుదాం. మనకు లభిస్తుంది: 0017 10000.

ఇప్పుడు మేము సంఖ్య యొక్క మొత్తం భాగాన్ని వ్రాసి, దాని తర్వాత కామాను ఉంచుతాము: 23, . .

దశాంశ బిందువు తర్వాత, సున్నాలతో పాటు సంఖ్యను వ్రాయండి. మేము ఫలితాన్ని పొందుతాము:

23 17 10000 = 23 , 0017

సాధారణ భిన్నాలను పరిమిత మరియు అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నాలుగా మార్చడం

వాస్తవానికి, మీరు 10, 100, 1000 మొదలైన వాటికి సమానం కాని హారంతో దశాంశాలు మరియు సాధారణ భిన్నాలకు మార్చవచ్చు.

తరచుగా ఒక భిన్నాన్ని కొత్త హారంకి సులభంగా తగ్గించవచ్చు, ఆపై ఈ వ్యాసం యొక్క మొదటి పేరాలో పేర్కొన్న నియమాన్ని ఉపయోగించండి. ఉదాహరణకు, భిన్నం 25 యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారం 2 ద్వారా గుణించడం సరిపోతుంది మరియు మేము భిన్నం 410 ను పొందుతాము, ఇది దశాంశ రూపం 0.4కి సులభంగా మార్చబడుతుంది.

అయినప్పటికీ, భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చే ఈ పద్ధతి ఎల్లప్పుడూ ఉపయోగించబడదు. పరిగణించబడిన పద్ధతిని వర్తింపజేయడం అసాధ్యం అయితే ఏమి చేయాలో మేము క్రింద పరిశీలిస్తాము.

భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చడానికి ప్రాథమికంగా కొత్త మార్గం ఏమిటంటే, లవంను హారంతో నిలువు వరుసతో విభజించడం. ఈ ఆపరేషన్ సహజ సంఖ్యలను నిలువు వరుసతో విభజించడానికి చాలా పోలి ఉంటుంది, కానీ దాని స్వంత లక్షణాలను కలిగి ఉంటుంది.

విభజించేటప్పుడు, న్యూమరేటర్ దశాంశ భిన్నం వలె సూచించబడుతుంది - లవం యొక్క చివరి అంకె యొక్క కుడి వైపున కామా ఉంచబడుతుంది మరియు సున్నాలు జోడించబడతాయి. ఫలిత భాగవతంలో, న్యూమరేటర్ యొక్క పూర్ణాంక భాగం యొక్క విభజన ముగిసినప్పుడు దశాంశ బిందువు ఉంచబడుతుంది. ఈ పద్ధతి సరిగ్గా ఎలా పనిచేస్తుందో ఉదాహరణలను చూసిన తర్వాత స్పష్టమవుతుంది.

ఉదాహరణ 5. భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చడం

సాధారణ భిన్నం 621 4ని దశాంశ రూపంలోకి మారుద్దాం.

దశాంశ బిందువు తర్వాత కొన్ని సున్నాలను జోడించి, న్యూమరేటర్ నుండి 621 సంఖ్యను దశాంశ భిన్నంగా సూచిస్తాము. 621 = 621.00

ఇప్పుడు కాలమ్‌ని ఉపయోగించి 621.00ని 4తో భాగిద్దాం. విభజన యొక్క మొదటి మూడు దశలు సహజ సంఖ్యలను విభజించేటప్పుడు అదే విధంగా ఉంటాయి మరియు మనం పొందుతాము.

మేము డివిడెండ్‌లోని దశాంశ బిందువుకు చేరుకున్నప్పుడు మరియు మిగిలినది సున్నాకి భిన్నంగా ఉన్నప్పుడు, మేము గుణకంలో దశాంశ బిందువును ఉంచాము మరియు డివిడెండ్‌లోని కామాపై దృష్టి పెట్టడం లేదు.

ఫలితంగా, మేము దశాంశ భిన్నం 155, 25ని పొందుతాము, ఇది సాధారణ భిన్నం 621 4ని రివర్స్ చేయడం వల్ల వస్తుంది.

621 4 = 155 , 25

పదార్థాన్ని బలోపేతం చేయడానికి మరొక ఉదాహరణను చూద్దాం.

ఉదాహరణ 6. భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చడం

సాధారణ భిన్నం 21 800ని రివర్స్ చేద్దాం.

దీన్ని చేయడానికి, భిన్నం 21,000ని 800తో కాలమ్‌గా విభజించండి. మొత్తం భాగం యొక్క విభజన మొదటి దశలో ముగుస్తుంది, కాబట్టి దాని తర్వాత వెంటనే మేము గుణకంలో దశాంశ బిందువును ఉంచుతాము మరియు విభజనను కొనసాగిస్తాము, డివిడెండ్‌లోని కామాపై శ్రద్ధ చూపకుండా సున్నాకి సమానం.

ఫలితంగా, మాకు వచ్చింది: 21,800 = 0.02625.

అయితే, విభజించేటప్పుడు, మనకు ఇప్పటికీ 0 మిగిలి ఉండకపోతే ఏమి చేయాలి. అటువంటి సందర్భాలలో, విభజనను నిరవధికంగా కొనసాగించవచ్చు. అయితే, ఒక నిర్దిష్ట దశ నుండి ప్రారంభించి, అవశేషాలు క్రమానుగతంగా పునరావృతమవుతాయి. దీని ప్రకారం, గుణకంలోని సంఖ్యలు పునరావృతమవుతాయి. దీని అర్థం ఒక సాధారణ భిన్నం దశాంశ అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నం వలె మార్చబడుతుంది. దీనిని ఒక ఉదాహరణతో ఉదహరిద్దాం.

ఉదాహరణ 7. భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చడం

సాధారణ భిన్నం 19 44ని దశాంశానికి మారుద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, మేము కాలమ్ ద్వారా విభజన చేస్తాము.

విభజన సమయంలో, అవశేషాలు 8 మరియు 36 పునరావృతమవుతాయని మేము చూస్తాము. ఈ సందర్భంలో, 1 మరియు 8 సంఖ్యలు గుణకంలో పునరావృతమవుతాయి. ఇది దశాంశ భిన్నంలో ఉన్న కాలం. రికార్డింగ్ చేసేటప్పుడు, ఈ సంఖ్యలు బ్రాకెట్లలో ఉంచబడతాయి.

అందువలన, అసలు సాధారణ భిన్నం అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నం వలె మార్చబడుతుంది.

19 44 = 0 , 43 (18) .

తగ్గించలేని సాధారణ భిన్నాన్ని చూద్దాం. ఇది ఏ రూపంలో ఉంటుంది? ఏ సాధారణ భిన్నాలు పరిమిత దశాంశాలకు మార్చబడతాయి మరియు ఏవి అనంతమైన ఆవర్తన వాటికి మార్చబడతాయి?

మొదట, ఒక భిన్నాన్ని 10, 100, 1000... అనే హారంలలో ఒకదానికి తగ్గించగలిగితే, అది చివరి దశాంశ భిన్నం యొక్క రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది. భిన్నం ఈ హారంలో ఒకదానికి తగ్గించబడాలంటే, దాని హారం తప్పనిసరిగా 10, 100, 1000, మొదలైన సంఖ్యలలో కనీసం ఒకదాని భాగహారం అయి ఉండాలి. కారకం సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా మార్చే నియమాల ప్రకారం, సంఖ్యల భాగహారం 10, 100, 1000, మొదలైనవి. తప్పనిసరిగా, ప్రధాన కారకాలుగా పరిగణించబడినప్పుడు, 2 మరియు 5 సంఖ్యలను మాత్రమే కలిగి ఉండాలి.

చెప్పబడినదానిని సంగ్రహిద్దాం:

1. ఒక సాధారణ భిన్నాన్ని దాని హారం 2 మరియు 5 యొక్క ప్రధాన కారకాలుగా కారకం చేయగలిగితే తుది దశాంశానికి తగ్గించబడుతుంది.
2. ఒకవేళ, 2 మరియు 5 సంఖ్యలతో పాటు, హారం యొక్క విస్తరణలో ఇతర ప్రధాన సంఖ్యలు ఉంటే, భిన్నం అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నం రూపంలోకి తగ్గించబడుతుంది.

ఒక ఉదాహరణ ఇద్దాం.

ఉదాహరణ 8. భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చడం

ఈ భిన్నాలలో ఏది 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 తుది దశాంశ భిన్నం వలె మార్చబడుతుంది మరియు ఏది - ఆవర్తన మాత్రమే. భిన్నాన్ని నేరుగా దశాంశానికి మార్చకుండా ఈ ప్రశ్నకు సమాధానం ఇద్దాం.

భిన్నం 47 20, సులభంగా చూడగలిగే విధంగా, న్యూమరేటర్ మరియు హారంను 5తో గుణించడం ద్వారా కొత్త హారం 100కి తగ్గించబడుతుంది.

47 20 = 235 100. దీని నుండి ఈ భిన్నం తుది దశాంశ భిన్నానికి మార్చబడిందని మేము నిర్ధారించాము.

భిన్నం 7 12 యొక్క హారం కారకం 12 = 2 · 2 · 3 ఇస్తుంది. ప్రధాన కారకం 3 2 మరియు 5 నుండి భిన్నంగా ఉన్నందున, ఈ భిన్నం పరిమిత దశాంశ భిన్నం వలె సూచించబడదు, కానీ అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నం యొక్క రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

భిన్నం 21 56, ముందుగా, తగ్గించాల్సిన అవసరం ఉంది. 7 తగ్గింపు తర్వాత, మేము తగ్గించలేని భిన్నం 3 8ని పొందుతాము, దీని హారం 8 = 2 · 2 · 2 ఇవ్వడానికి కారకం చేయబడింది. కాబట్టి, ఇది చివరి దశాంశ భిన్నం.

భిన్నం 31 17 విషయంలో, హారం కారకం అనేది ప్రధాన సంఖ్య 17. దీని ప్రకారం, ఈ భిన్నాన్ని అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నంగా మార్చవచ్చు.

ఒక సాధారణ భిన్నం అనంత మరియు నాన్-ఆవర్తన దశాంశ భిన్నం వలె మార్చబడదు

పైన మేము పరిమిత మరియు అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నాల గురించి మాత్రమే మాట్లాడాము. కానీ ఏదైనా సాధారణ భిన్నం అనంతమైన నాన్-ఆవర్తన భిన్నం వలె మార్చబడుతుందా?

మేము సమాధానం: లేదు!

ముఖ్యమైనది!

అనంతమైన భిన్నాన్ని దశాంశంగా మార్చినప్పుడు, ఫలితం పరిమిత దశాంశం లేదా అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశం.

విభజన యొక్క మిగిలిన భాగం ఎల్లప్పుడూ డివైజర్ కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, విభజన సిద్ధాంతం ప్రకారం, మనం కొంత సహజ సంఖ్యను q సంఖ్యతో భాగిస్తే, ఏ సందర్భంలోనైనా విభజన యొక్క మిగిలిన భాగం q-1 కంటే ఎక్కువగా ఉండకూడదు. విభజన పూర్తయిన తర్వాత, కింది పరిస్థితులలో ఒకటి సాధ్యమవుతుంది:

1. మనకు మిగిలిన 0 వస్తుంది మరియు ఇక్కడే విభజన ముగుస్తుంది.
2. మేము శేషాన్ని పొందుతాము, ఇది తదుపరి విభజనపై పునరావృతమవుతుంది, ఫలితంగా అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నం ఏర్పడుతుంది.

భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చేటప్పుడు ఏ ఇతర ఎంపికలు ఉండకూడదు. అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నంలో కాలం (అంకెల సంఖ్య) యొక్క పొడవు ఎల్లప్పుడూ సంబంధిత సాధారణ భిన్నం యొక్క హారంలోని అంకెల సంఖ్య కంటే తక్కువగా ఉంటుందని కూడా చెప్పండి.

దశాంశాలను భిన్నాలుగా మారుస్తోంది

ఇప్పుడు దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నంగా మార్చే రివర్స్ ప్రక్రియను చూడవలసిన సమయం వచ్చింది. మూడు దశలను కలిగి ఉన్న అనువాద నియమాన్ని రూపొందిద్దాం. దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నానికి ఎలా మార్చాలి?

దశాంశ భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలకు మార్చడానికి నియమం

1. న్యూమరేటర్‌లో మనం అసలైన దశాంశ భిన్నం నుండి సంఖ్యను వ్రాస్తాము, కామా మరియు ఎడమవైపు ఉన్న అన్ని సున్నాలు ఏవైనా ఉంటే వాటిని విస్మరిస్తాము.
2. హారంలో మనం అసలు దశాంశ భిన్నంలో దశాంశ బిందువు తర్వాత ఎన్ని సున్నాలు ఉంటే అంత సున్నాలు ఒకటి వ్రాస్తాము.
3. అవసరమైతే, ఫలిత సాధారణ భిన్నాన్ని తగ్గించండి.

ఉదాహరణలను ఉపయోగించి ఈ నియమం యొక్క అనువర్తనాన్ని చూద్దాం.

ఉదాహరణ 8. దశాంశ భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలుగా మార్చడం

3.025 సంఖ్యను సాధారణ భిన్నంలా ఊహించుకుందాం.

1. మేము కామా: 3025ని విస్మరిస్తూ, దశాంశ భిన్నాన్ని న్యూమరేటర్‌లో వ్రాస్తాము.
2. హారంలో మనం ఒకటి వ్రాస్తాము మరియు దాని తర్వాత మూడు సున్నాలు - దశాంశ బిందువు తర్వాత అసలు భిన్నంలో ఎన్ని అంకెలు ఉన్నాయి: 3025 1000.
3. ఫలితంగా వచ్చే భిన్నం 3025 1000ని 25 తగ్గించవచ్చు, ఫలితంగా: 3025 1000 = 121 40.

ఉదాహరణ 9. దశాంశ భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలుగా మార్చడం

0.0017 భిన్నాన్ని దశాంశం నుండి సాధారణానికి మారుద్దాం.

1. న్యూమరేటర్‌లో ఎడమవైపున కామా మరియు సున్నాలను విస్మరిస్తూ భిన్నం 0, 0017ని వ్రాస్తాము. ఇది 17 గా మారుతుంది.
2. మేము హారంలో ఒకటి వ్రాస్తాము మరియు దాని తర్వాత మేము నాలుగు సున్నాలను వ్రాస్తాము: 17 10000. ఈ భిన్నం తగ్గించలేనిది.

ఒక దశాంశ భిన్నం పూర్ణాంకం భాగాన్ని కలిగి ఉంటే, అటువంటి భిన్నాన్ని వెంటనే మిశ్రమ సంఖ్యగా మార్చవచ్చు. దీన్ని ఎలా చేయాలి?

మరో నియమాన్ని రూపొందిద్దాం.

దశాంశాలను మిశ్రమ సంఖ్యలుగా మార్చడానికి నియమం.

1. భిన్నంలోని దశాంశ బిందువుకు ముందు ఉన్న సంఖ్య మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క పూర్ణాంకం వలె వ్రాయబడుతుంది.
2. న్యూమరేటర్‌లో మనం భిన్నంలో దశాంశ బిందువు తర్వాత సంఖ్యను వ్రాస్తాము, ఎడమవైపు ఉన్న సున్నాలు ఏవైనా ఉంటే వాటిని విస్మరిస్తాము.
3. పాక్షిక భాగం యొక్క హారంలో మనం పాక్షిక భాగంలో దశాంశ బిందువు తర్వాత అంకెలు ఉన్నంత వరకు ఒకటి మరియు అనేక సున్నాలను జోడిస్తాము.

ఒక ఉదాహరణ తీసుకుందాం

ఉదాహరణ 10. దశాంశాన్ని మిశ్రమ సంఖ్యగా మార్చడం

భిన్నం 155, 06005 మిశ్రమ సంఖ్యగా ఊహించుకుందాం.

1. మేము 155 సంఖ్యను పూర్ణాంక భాగంగా వ్రాస్తాము.
2. న్యూమరేటర్‌లో మనం దశాంశ బిందువు తర్వాత సంఖ్యలను వ్రాస్తాము, సున్నాని విస్మరిస్తాము.
3. మేము హారంలో ఒకటి మరియు ఐదు సున్నాలను వ్రాస్తాము

మిశ్రమ సంఖ్యను నేర్చుకుందాం: 155 6005 100000

పాక్షిక భాగాన్ని 5 తగ్గించవచ్చు. మేము దానిని తగ్గించి, తుది ఫలితాన్ని పొందుతాము:

155 , 06005 = 155 1201 20000

అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశాలను భిన్నాలుగా మారుస్తోంది

ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలుగా ఎలా మార్చాలో ఉదాహరణలను చూద్దాం. మనం ప్రారంభించడానికి ముందు, స్పష్టం చేద్దాం: ఏదైనా ఆవర్తన దశాంశ భిన్నం సాధారణ భిన్నానికి మార్చబడుతుంది.

భిన్నం యొక్క కాలం సున్నా అయినప్పుడు సరళమైన సందర్భం. సున్నా వ్యవధితో ఆవర్తన భిన్నం చివరి దశాంశ భిన్నంతో భర్తీ చేయబడుతుంది మరియు అటువంటి భిన్నాన్ని రివర్స్ చేసే ప్రక్రియ చివరి దశాంశ భిన్నాన్ని రివర్స్ చేయడానికి తగ్గించబడుతుంది.

ఉదాహరణ 11. ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నానికి మార్చడం

ఆవర్తన భిన్నం 3, 75 (0)ని విలోమం చేద్దాం.

కుడి వైపున ఉన్న సున్నాలను తొలగిస్తే, మనకు చివరి దశాంశ భిన్నం 3.75 వస్తుంది.

మునుపటి పేరాల్లో చర్చించిన అల్గోరిథం ఉపయోగించి ఈ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నానికి మార్చడం, మేము పొందుతాము:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

భిన్నం యొక్క కాలం సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటే ఏమి చేయాలి? ఆవర్తన భాగాన్ని రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తంగా పరిగణించాలి, ఇది తగ్గుతుంది. దీనిని ఒక ఉదాహరణతో వివరించండి:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

అనంతం తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తానికి సూత్రం ఉంది. ప్రోగ్రెస్షన్ యొక్క మొదటి పదం b మరియు హారం q అయితే 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కొన్ని ఉదాహరణలను చూద్దాం.

ఉదాహరణ 12. ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నానికి మార్చడం

మనకు ఆవర్తన భిన్నం 0, (8) ఉండనివ్వండి మరియు మనం దానిని సాధారణ భిన్నానికి మార్చాలి.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

ఇక్కడ మనం మొదటి పదం 0, 8 మరియు హారం 0, 1తో అనంతమైన తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతిని కలిగి ఉన్నాము.

సూత్రాన్ని వర్తింపజేద్దాం:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

ఇది అవసరమైన సాధారణ భిన్నం.

పదార్థాన్ని ఏకీకృతం చేయడానికి, మరొక ఉదాహరణను పరిగణించండి.

ఉదాహరణ 13. ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నానికి మార్చడం

భిన్నం 0, 43 (18)ని రివర్స్ చేద్దాం.

మొదట మనం భిన్నాన్ని అనంతమైన మొత్తంగా వ్రాస్తాము:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

బ్రాకెట్లలోని నిబంధనలను చూద్దాం. ఈ రేఖాగణిత పురోగతిని ఈ క్రింది విధంగా సూచించవచ్చు:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

మేము ఫలితాన్ని తుది భిన్నం 0, 43 = 43 100కి జోడిస్తాము మరియు ఫలితాన్ని పొందండి:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

ఈ భిన్నాలను జోడించి, తగ్గించిన తర్వాత, మేము తుది సమాధానం పొందుతాము:

0 , 43 (18) = 19 44

ఈ కథనాన్ని ముగించడానికి, ఆవర్తన రహిత అనంత దశాంశ భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలుగా మార్చలేమని మేము చెబుతాము.

మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి