తక్షణ వేగాన్ని కనుగొనడం. తక్షణ వేగం: భావన, గణన సూత్రం, కనుగొనడానికి సిఫార్సులు

t  0 అయినప్పుడు పరిమితిలో m.t అంతరిక్షంలోకి వెళ్లే సమయ వ్యవధిని నిరవధికంగా తగ్గించడం, మేము తక్షణ వేగాన్ని పొందుతాము, అనగా.

తక్షణ వేగం వెక్టార్ ఈ పెంపు సంభవించిన కాలానికి, m.t వ్యాసార్థం యొక్క ఇంక్రిమెంట్ యొక్క పరిమితికి సమానం t 0 లేదా సమయానికి సంబంధించి వ్యాసార్థ వెక్టర్ యొక్క మొదటి ఉత్పన్నానికి సమానం.

ఇన్‌స్టంటేనియస్ వెలాసిటీ వెక్టర్ ఇన్ ప్రస్తుతానికిసమయం ఇచ్చిన పాయింట్ వద్ద పథానికి tangentially దర్శకత్వం (Fig. 9).

నిజానికి, t  0 వద్ద, పాయింట్ M 2 M 1కి చేరుకున్నప్పుడు, తీగ (సెకెంట్) , ఆర్క్ సెగ్మెంట్ s మరియు పరిమితిలో s = పొడవును చేరుకుంటుంది , మరియు సెకాంట్ టాంజెంట్ అవుతుంది. ఇది ప్రయోగాల ద్వారా స్పష్టంగా నిర్ధారించబడింది. ఉదాహరణకు, ఒక సాధనాన్ని పదును పెట్టేటప్పుడు స్పార్క్స్ ఎల్లప్పుడూ గ్రౌండింగ్ వీల్‌కు టాంజెంట్‌గా దర్శకత్వం వహించబడతాయి. వేగం వెక్టార్ పరిమాణం కాబట్టి, దాని మాడ్యులస్

.

కొన్ని రకాల యాక్సిలరేటర్లలో (ఉదాహరణకు, సైక్లోట్రాన్లు మొదలైనవి), కణాలు ఆపకుండా మూసి ఉన్న పథం వెంట పదేపదే కదులుతాయి. పర్యవసానంగా, పథంలోని ఏదైనా పాయింట్‌లో తక్షణ వేగం వెక్టర్ యొక్క సంపూర్ణ విలువ సున్నాకి భిన్నంగా ఉండాలి. ఈ ముగింపు సమీకరణం (15) ద్వారా మాత్రమే నిర్ధారించబడింది, కానీ సగటు స్కేలార్ వేగం (ఫార్ములా 11) భావనతో కూడా స్థిరంగా ఉంటుంది. సమీకరణం (11)లో మనం t  0 వద్ద పరిమితికి వెళితే, ప్రాథమిక స్థానభ్రంశం వెక్టర్ యొక్క మాడ్యూల్ నుండి భిన్నంగా లేని పథంలోని చిన్న చిన్న విభాగాలను మనం పరిగణించాలి. . అప్పుడు, సమీకరణం (11) ఆధారంగా, మనం తక్షణ స్కేలార్ వేగం యొక్క విలువను పొందవచ్చు

తక్షణ వేగం వెక్టార్ పరిమాణంతో సమానంగా ఉంటుంది
,

t  0 వద్ద r = s నుండి.

తక్షణ వేగం వెక్టర్ (15) యొక్క ఒక సమీకరణాన్ని మూడు స్కేలార్ సమీకరణాల సమానమైన వ్యవస్థ ద్వారా భర్తీ చేయవచ్చు, సమన్వయ అక్షాలపై వేగం వెక్టర్ యొక్క అంచనాలు

v x = dx/dt, v y = dy/dt, v z = dz/dt. (16)

తక్షణ వేగం వెక్టర్ వ్యక్తీకరణ ద్వారా కోఆర్డినేట్ అక్షాలపై దాని అంచనాలకు సంబంధించినది

, (17)

ఎక్కడ
– యూనిట్ వెక్టర్స్ వరుసగా X, Y, Z అక్షాల వెంట దర్శకత్వం వహించబడతాయి.

మాడ్యులో

. (18)

అందువలన, వేగం వెక్టార్ కాలక్రమేణా పరిమాణం మరియు దిశలో అంతరిక్షంలో కదలికలో మార్పు యొక్క వేగాన్ని వర్ణిస్తుంది. వేగం అనేది సమయం యొక్క విధి.

1.12 సగటు త్వరణం

శరీరాలు కదిలినప్పుడు, సాధారణ సందర్భంలో వేగం పరిమాణం మరియు దిశలో రెండింటినీ మార్చవచ్చు.

అటువంటి కదలికలకు ఉదాహరణలు మన గెలాక్సీ మధ్యలో సౌర వ్యవస్థ యొక్క కదలిక లేదా బ్రేకింగ్ చేసేటప్పుడు రైలు యొక్క కదలిక మొదలైనవి. ఒక వృత్తంలో ద్రవ్యరాశి యొక్క ఏకరీతి కదలిక దిశలో దాని వేగం మారినప్పుడు, స్థిరంగా ఉన్నప్పుడు ఒక ఉదాహరణ. పరిమాణం. ఒక యంత్రం ఒక నిర్దిష్ట పథంలో కదులుతున్నట్లయితే, వేగం యొక్క పరిమాణం మరియు దిశను మార్చినట్లయితే, దాని కదలికను వర్గీకరించడానికి ఇది ఇకపై స్థానభ్రంశం మరియు వేగాన్ని తెలుసుకోవడం సరిపోదు, అనగా మీరు వేగం యొక్క మార్పు రేటును కూడా తెలుసుకోవాలి. త్వరణం.

t 1 యొక్క కొంత సమయంలో m.t పాయింట్ M 1 వద్ద ఉండనివ్వండి మరియు వేగంతో కదలండి , మరియు సమయంలో t 2 - పాయింట్ M 2 వద్ద - వేగంతో (Fig. 10).

వెక్టార్‌ని కదిలిద్దాం పాయింట్ M 1కి సమాంతరంగా ఉంటుంది, తద్వారా వెక్టర్స్ యొక్క మూలాలు సమానంగా ఉంటాయి మరియు .

అప్పుడు వెక్టర్ తేడా మరియు సమయం t = t 2 - t 1, అంటే కొంత వ్యవధిలో వేగం యొక్క మార్పు (పెంపు) వెక్టర్.

. (19)

సగటు త్వరణం వెక్టార్ ఈ మార్పు సంభవించిన సమయ వ్యవధికి వేగం మార్పు వెక్టర్ యొక్క నిష్పత్తికి సమానం.

అందుకే,

. (20)

సగటు త్వరణం వెక్టార్ వేగం మార్పు వెక్టర్ యొక్క దిశతో సమానంగా ఉంటుంది మరియు పథం యొక్క వక్రత లోపల నిర్దేశించబడుతుంది.

ఒక వెక్టర్ సమీకరణం (1.20) కోఆర్డినేట్ అక్షాలపై సగటు త్వరణం వెక్టర్ యొక్క అంచనాల కోసం మూడు స్కేలార్ సమీకరణాల వ్యవస్థకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

సగటు త్వరణం వెక్టర్ మాడ్యూల్

. (22)

త్వరణం యొక్క SI యూనిట్ సెకనుకు మీటర్ స్క్వేర్డ్.

ఇది వెక్టర్ భౌతిక పరిమాణం, సంఖ్యాపరంగా సగటు వేగం అనంతమైన వ్యవధిలో ఉండే పరిమితికి సమానం:

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, తక్షణ వేగం అనేది కాలక్రమేణా వ్యాసార్థ వెక్టర్.

తక్షణ వేగం వెక్టర్ ఎల్లప్పుడూ శరీరం యొక్క కదలిక దిశలో శరీరం యొక్క పథానికి టాంజెన్షియల్‌గా నిర్దేశించబడుతుంది.

తక్షణ వేగంఒక నిర్దిష్ట సమయంలో కదలిక గురించి ఖచ్చితమైన సమాచారాన్ని అందిస్తుంది. ఉదాహరణకు, ఏదో ఒక సమయంలో కారును నడుపుతున్నప్పుడు, డ్రైవర్ స్పీడోమీటర్‌ని చూసి పరికరం 100 కిమీ/గం చూపిస్తుంది. కొంత సమయం తరువాత, స్పీడోమీటర్ సూది గంటకు 90 కి.మీ, మరియు కొన్ని నిమిషాల తర్వాత - గంటకు 110 కి.మీ. జాబితా చేయబడిన అన్ని స్పీడోమీటర్ రీడింగులు నిర్దిష్ట సమయాలలో కారు యొక్క తక్షణ వేగం యొక్క విలువలు. అంతరిక్ష కేంద్రాలను డాకింగ్ చేసేటప్పుడు, విమానాలను ల్యాండింగ్ చేసేటప్పుడు మొదలైన వాటిలో ప్రతి క్షణం మరియు పథం యొక్క ప్రతి పాయింట్ వద్ద వేగం తప్పనిసరిగా తెలుసుకోవాలి.

"తక్షణ వేగం" అనే భావనకు భౌతిక అర్ధం ఉందా? వేగం అనేది అంతరిక్షంలో మార్పు యొక్క లక్షణం. అయితే, ఉద్యమం ఎలా మారిందో గుర్తించడానికి, కొంత సమయం పాటు కదలికను గమనించడం అవసరం. రాడార్ ఇన్‌స్టాలేషన్‌ల వంటి వేగాన్ని కొలిచే అత్యంత అధునాతన సాధనాలు కూడా కొంత వ్యవధిలో వేగాన్ని కొలుస్తాయి - ఇది చాలా చిన్నది అయినప్పటికీ, ఇది ఇప్పటికీ పరిమిత సమయ విరామం, మరియు సమయానికి ఒక క్షణం కాదు. భౌతిక శాస్త్ర కోణం నుండి "ఒక నిర్దిష్ట సమయంలో శరీరం యొక్క వేగం" అనే వ్యక్తీకరణ సరైనది కాదు. అయినప్పటికీ, తక్షణ వేగం యొక్క భావన గణిత గణనలలో చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది మరియు నిరంతరం ఉపయోగించబడుతుంది.

"తక్షణ వేగం" అనే అంశంపై సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ 1

ఉదాహరణ 2

వ్యాయామం	సరళ రేఖలో బిందువు యొక్క చలన నియమం సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది. కదలిక ప్రారంభమైన 10 సెకన్ల తర్వాత పాయింట్ యొక్క తక్షణ వేగాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం	ఒక బిందువు యొక్క తక్షణ వేగం సమయం లో వ్యాసార్థం వెక్టర్. కాబట్టి, తక్షణ వేగం కోసం మనం వ్రాయవచ్చు: కదలిక ప్రారంభమైన 10 సెకన్ల తర్వాత, తక్షణ వేగం విలువను కలిగి ఉంటుంది:
సమాధానం	కదలిక ప్రారంభమైన 10 సెకన్ల తర్వాత, పాయింట్ యొక్క తక్షణ వేగం m/s.

ఉదాహరణ 3

వ్యాయామం	ఒక శరీరం సరళ రేఖలో కదులుతుంది, తద్వారా దాని కోఆర్డినేట్ (మీటర్లలో) చట్టం ప్రకారం మారుతుంది. కదలిక ప్రారంభమైన ఎన్ని సెకన్ల తర్వాత శరీరం ఆగిపోతుంది?
పరిష్కారం	శరీరం యొక్క తక్షణ వేగాన్ని కనుగొనండి:

మేము అసమాన కదలికను ఏకరీతి కదలికకు తగ్గించే ప్రయత్నం చేసాము మరియు దీని కోసం మేము సగటు కదలిక వేగాన్ని పరిచయం చేసాము. కానీ ఇది మాకు సహాయం చేయలేదు: సగటు వేగాన్ని తెలుసుకోవడం, మీరు ఎక్కువగా నిర్ణయించలేరు ప్రధాన పనిమెకానిక్స్ - ఏ సమయంలోనైనా శరీరం యొక్క స్థానాన్ని నిర్ణయించండి. అసమాన చలనాన్ని ఏకరీతి చలనానికి తగ్గించడానికి వేరే మార్గం ఏదైనా ఉందా?

యాంత్రిక కదలిక నిరంతర ప్రక్రియ ఎందుకంటే ఇది, ఇది చేయలేము. చలనం యొక్క కొనసాగింపు అనేది ఉదాహరణకు, ఒక శరీరం (లేదా ఒక పాయింట్), పెరుగుతున్న వేగంతో రెక్టిలినియర్‌గా కదులుతున్నట్లయితే, పాయింట్ A నుండి పాయింట్ Bకి కదులుతున్నట్లయితే, అది ఖచ్చితంగా A మరియు B మధ్య ఉన్న అన్ని ఇంటర్మీడియట్ పాయింట్లను సందర్శించాలి. ఏదైనా లోపాలు. అయితే అంతే కాదు. పాయింట్ A కి చేరువవుతున్నప్పుడు, శరీరం 5 m/సెకను వేగంతో ఏకరీతిగా కదిలిందని, మరియు పాయింట్ Bని దాటిన తర్వాత అది కూడా ఏకరీతిగా కదిలిందని, కానీ 30 m/sec వేగంతో ఉందని అనుకుందాం. ఈ సందర్భంలో, శరీరం AB విభాగం గుండా 15 సెకన్లు గడిపింది. పర్యవసానంగా, సెగ్మెంట్ ABలో శరీరం యొక్క వేగం 15 సెకన్లలో 25 మీ/సెకనుకు మారింది. కానీ దాని కదలికలో ఉన్న శరీరం దాని మార్గంలో ఏ పాయింట్‌ను దాటలేనట్లే, దాని వేగం 5 మరియు 30 మీ/సెకను మధ్య అన్ని వేగ విలువలను పొందవలసి ఉంటుంది. అలాగే ఎలాంటి లోపాలు లేకుండా! ఇది యాంత్రిక చలనం యొక్క కొనసాగింపు: శరీరం యొక్క కోఆర్డినేట్లు లేదా దాని వేగం ఆకస్మికంగా మారవు. దీని నుండి మనం చాలా ముఖ్యమైన ముగింపును తీసుకోవచ్చు. 5 నుండి 30 మీ/సెకను పరిధిలో లెక్కలేనన్ని విభిన్న వేగ విలువలు ఉన్నాయి (గణితంలో వారు అనంతమైన అనేక విలువలు ఉన్నాయని చెప్పారు). కానీ A మరియు B పాయింట్ల మధ్య అనంతమైన సంఖ్య (అనంతమైన అనేక!) పాయింట్లు ఉన్నాయి మరియు 15-సెకన్ల సమయ విరామంలో శరీరం A నుండి పాయింట్ Bకి మారినప్పుడు అనంతమైన సమయ విరామాలు ఉంటాయి (సమయం కూడా జంప్‌లు లేకుండా ప్రవహిస్తుంది !) .

పర్యవసానంగా, కదలిక యొక్క పథం యొక్క ప్రతి పాయింట్ వద్ద మరియు ప్రతి క్షణంలో శరీరం ఒక నిర్దిష్ట వేగాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

ఒక నిర్దిష్ట సమయంలో మరియు పథంలోని ఒక నిర్దిష్ట బిందువు వద్ద శరీరం కలిగి ఉన్న వేగాన్ని తక్షణ వేగం అంటారు.

ఏకరీతి రెక్టిలినియర్ మోషన్‌తో, శరీరం యొక్క వేగం ఈ కదలిక చేసిన కాలానికి దాని కదలిక నిష్పత్తి ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. ఒక నిర్దిష్ట సమయంలో లేదా నిర్దిష్ట సమయంలో వేగం అంటే ఏమిటి?

కొంత శరీరం (ఎప్పటిలాగే, వాస్తవానికి ఈ శరీరం యొక్క నిర్దిష్ట బిందువు అని అర్ధం) నిటారుగా కదులుతుంది, కానీ ఏకరీతిగా కాదు అని అనుకుందాం. దాని పథంలోని ఏదో ఒక పాయింట్ A వద్ద దాని తక్షణ వేగాన్ని ఎలా లెక్కించాలి? పాయింట్ A (Fig. 38)తో సహా ఈ పథంలో ఒక చిన్న విభాగాన్ని ఎంచుకుందాం. ద్వారా ఈ ప్రాంతంలో శరీరం యొక్క చిన్న స్థానభ్రంశం సూచిస్తాము

మరియు పూర్తి చేసిన తక్కువ వ్యవధిలో, విభజించడం ద్వారా మేము ఈ విభాగంలో సగటు వేగాన్ని పొందుతాము: అన్ని తరువాత, వేగం నిరంతరం మారుతుంది మరియు విభాగం 1 యొక్క వివిధ ప్రదేశాలలో ఇది భిన్నంగా ఉంటుంది.

ఇప్పుడు సెక్షన్ 1 యొక్క పొడవును తగ్గిద్దాం. సెక్షన్ 2ని ఎంచుకుందాం (అంజీర్ 38 చూడండి), ఇందులో పాయింట్ A కూడా ఉంటుంది. ఈ చిన్న విభాగంలో, స్థానభ్రంశం సమానంగా ఉంటుంది మరియు దాని గుండా కొంత వ్యవధిలో శరీరం వెళుతుంది సెక్షన్ 2లో శరీరం యొక్క వేగం తక్కువ మొత్తంలో మారడానికి సమయం ఉందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. కానీ నిష్పత్తి ఇప్పటికీ ఈ చిన్న ప్రాంతానికి సగటు వేగాన్ని అందిస్తుంది. సెక్షన్ 3 (పాయింట్ Aతో సహా) సమయంలో వేగంలో మార్పు, ఇది సెక్షన్లు 1 మరియు 2 కంటే చిన్నది, అయితే కదలికను కొంత కాలానికి విభజించడం ద్వారా మేము ఈ చిన్న విభాగంలోని సగటు వేగాన్ని మళ్లీ పొందుతాము పథం. మేము క్రమంగా విభాగం యొక్క పొడవును తగ్గిస్తాము మరియు దానితో పాటు శరీరం ఈ విభాగాన్ని దాటే కాలం. ముగింపులో, మేము పాయింట్ A నుండి పాయింట్ Aకి ప్రక్కనే ఉన్న పథం యొక్క విభాగాన్ని మరియు సమయం యొక్క క్షణానికి సమయ విరామాన్ని కుదిస్తాము. అప్పుడు సగటు వేగం తక్షణ వేగం అవుతుంది, ఎందుకంటే తగినంత చిన్న ప్రాంతంలో వేగంలో మార్పు చాలా తక్కువగా ఉంటుంది, దానిని విస్మరించవచ్చు, అంటే వేగం మారదని మనం భావించవచ్చు.

తక్షణ వేగం, లేదా ఇచ్చిన పాయింట్ వద్ద వేగం, ఈ బిందువుకు ప్రక్కనే ఉన్న పథంలోని చిన్న విభాగంలో తగినంత చిన్న కదలిక నిష్పత్తికి ఈ కదలిక సంభవించే చిన్న కాలానికి సమానం.

ఏకరీతి రెక్టిలినియర్ మోషన్ యొక్క వేగం దాని తక్షణ మరియు సగటు వేగం రెండూ అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది.

తక్షణ వేగం అనేది వెక్టార్ పరిమాణం. దాని దిశలో కదలిక దిశతో (కదలిక) మేము అర్థాన్ని స్పష్టం చేయడానికి ఆశ్రయించాము

తక్షణ వేగం, కాబట్టి కింది వాటిని కలిగి ఉంటుంది. మేము మానసికంగా పథం యొక్క విభాగాన్ని మరియు అది ప్రయాణించే సమయాన్ని క్రమంగా తగ్గిస్తాము, ఆ విభాగం ఇకపై ఒక బిందువు నుండి, ఒక క్షణం నుండి సమయం నుండి మరియు ఏకరీతి కదలిక నుండి అసమాన కదలిక నుండి వేరు చేయబడదు. నిరంతరం మారుతున్న కొన్ని పరిమాణాలు పాత్ర పోషిస్తున్న దృగ్విషయాలను అధ్యయనం చేసేటప్పుడు ఈ సాంకేతికత ఎల్లప్పుడూ ఉపయోగించబడుతుంది.

పథంలో ఏ సమయంలోనైనా మరియు ఏ సమయంలోనైనా శరీరం యొక్క తక్షణ వేగాన్ని కనుగొనడానికి మనం తెలుసుకోవలసినది ఇప్పుడు మనం కనుగొనాలి.

2.2 పాయింట్ సరళ రేఖలో కదులుతున్నప్పుడు సగటు మరియు తక్షణ వేగం

మేము ఇప్పటికే గుర్తించినట్లుగా, ఏకరీతి చలనం అనేది యాంత్రిక చలనం యొక్క సరళమైన నమూనా. అటువంటి నమూనా వర్తించకపోతే, మరింత క్లిష్టమైన నమూనాలను ఉపయోగించాలి. వాటిని నిర్మించడానికి, అసమాన కదలిక విషయంలో వేగం యొక్క భావనను మనం పరిగణించాలి.

నుండి సమయ విరామం కోసం లెట్ t 0 నుండి tనుండి 1 పాయింట్ కోఆర్డినేట్ మార్చబడింది x 0 నుండి x 1. మేము అదే నియమాన్ని ఉపయోగించి వేగాన్ని లెక్కించినట్లయితే

\(~\upsilon_(cp) = \frac(\Delta x)(\Delta t) = \frac(x_1 - x_0)(t_1 - t_0) \) , (1)

అప్పుడు మేము పరిమాణాన్ని పొందుతాము (దీనిని పిలుస్తారు సగటు వేగం), ఇది కదలిక వేగాన్ని “సగటున” వివరిస్తుంది - కదలిక సమయం యొక్క మొదటి సగం సమయంలో పాయింట్ మారడం చాలా సాధ్యమే ఎక్కువ దూరంరెండవదాని కంటే.

సగటు వేగం అనేది ఈ మార్పు సంభవించిన సమయ విరామానికి పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్లలో మార్పు యొక్క నిష్పత్తికి సమానమైన భౌతిక పరిమాణం.

రేఖాగణిత అర్థం సగటు వేగం- సెకెంట్ వాలు గుణకం ABమోషన్ గ్రాఫిక్స్ చట్టం.

కదలిక యొక్క మరింత వివరణాత్మక, మరింత ఖచ్చితమైన వివరణ కోసం, మీరు రెండు సగటు వేగ విలువలను సెట్ చేయవచ్చు - కదలిక సమయం మొదటి సగం కోసం υ sr1, రెండవ సగం కోసం - υ cp2. అటువంటి ఖచ్చితత్వం మనకు సరిపోకపోతే, సమయ వ్యవధిని మరింతగా విభజించడం అవసరం - నాలుగు, ఎనిమిది, మొదలైనవి. భాగాలు. ఈ సందర్భంలో, వరుసగా నాలుగు, ఎనిమిది మొదలైన వాటిని సెట్ చేయడం అవసరం. సగటు వేగం విలువలు. అంగీకరిస్తున్నారు, అటువంటి వివరణ గజిబిజిగా మరియు అసౌకర్యంగా మారుతుంది. ఈ పరిస్థితి నుండి బయటపడే మార్గం చాలా కాలంగా కనుగొనబడింది - ఇది వేగాన్ని సమయం యొక్క విధిగా పరిగణించడంలో ఉంది.

ఈ వేగాన్ని మనం లెక్కించే సమయ వ్యవధి తగ్గినప్పుడు సగటు వేగం ఎలా మారుతుందో చూద్దాం. మూర్తి 6 ఒక మెటీరియల్ పాయింట్ మరియు సమయం యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది. నుండి సమయ వ్యవధిలో మేము సగటు వేగాన్ని గణిస్తాము t 0 నుండి t 1, వరుసగా విలువను చేరుకుంటుంది t 1 కి t 0 . అంతేకాక, సెకెంట్ల కుటుంబం ఎ 0 ఎ 1 , ఎ 0 ఎ 1 ’, ఎ 0 ఎ 1 '' (Fig. 6), సరళ రేఖ యొక్క నిర్దిష్ట పరిమితి స్థానానికి మొగ్గు చూపుతుంది ఎ 0 బి, ఇది చలన చట్టం యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్. తక్షణ వేగం సగటు వేగం కంటే ఎక్కువగా లేదా తక్కువగా ఉంటుందని చూపించడానికి మేము రెండు వేర్వేరు సందర్భాలను అందిస్తున్నాము. ఈ విధానాన్ని బీజగణితంలో కూడా వర్ణించవచ్చు, వరుసగా సంబంధాలను \(~\upsilon_(cp) = \frac(x_1 - x_0)(t_1 - t_0)\) , \(~\upsilon"_(cp) = \frac( x" _1 - x_0)(t"_1 - t_0)\) , \(~\upsilon""_(cp) = \frac(x""_1 - x_0)(t""_1 - t_0)\) ఈ సందర్భంలో అది మారుతుంది , ఈ పరిమాణాలు కొన్ని నిర్దిష్ట విలువను చేరుకుంటాయి. పరిమితి విలువపేరు వచ్చింది తక్షణ వేగం.

తక్షణ వేగం అనేది ఒక బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లోని మార్పు మరియు ఈ మార్పు సంభవించిన సమయ విరామానికి నిష్పత్తి, సమయ విరామం సున్నాకి ఉంటుంది:

\(~\upsilon = \frac(\Delta x)(\Delta t)\) , Δ వద్ద t → 0 . (2)

తక్షణ వేగం యొక్క రేఖాగణిత అర్థం చలన చట్టం యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ యొక్క వాలు గుణకం.

అందువలన, మేము తక్షణ వేగం యొక్క విలువను "టై" చేసాము నిర్దిష్ట క్షణంసమయం - స్పీడ్ విలువను నిర్దిష్ట సమయంలో, స్థలంలో ఇచ్చిన సమయంలో సెట్ చేయండి. అందువల్ల, శరీరం యొక్క వేగాన్ని సమయం యొక్క విధిగా లేదా కోఆర్డినేట్‌ల ఫంక్షన్‌గా పరిగణించే అవకాశం మనకు ఉంది.

గణిత కోణం నుండి, ఇది చాలా తక్కువ సమయ వ్యవధిలో సగటు వేగాన్ని పేర్కొనడం కంటే చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. అయితే, వేగానికి ఒక నిర్దిష్ట సమయంలో భౌతిక అర్థం ఉందా అని ఆలోచించండి? వేగం అనేది కదలిక యొక్క లక్షణం ఈ సందర్భంలోఅంతరిక్షంలో శరీరం యొక్క కదలిక. కదలికను రికార్డ్ చేయడానికి, కొంత సమయం పాటు కదలికను గమనించడం అవసరం. వేగాన్ని కొలవడానికి, మీకు కొంత సమయం కూడా అవసరం. అత్యంత అధునాతన స్పీడ్ మీటర్లు మరియు రాడార్ ఇన్‌స్టాలేషన్‌లు కూడా కార్లు కదిలే వేగాన్ని కొలుస్తాయి, అయితే ఒక చిన్న (సెకనులో మిలియన్ వంతు) వ్యవధిలో, మరియు ఏదో ఒక సమయంలో కాదు. అందువల్ల, భౌతిక శాస్త్రం యొక్క కోణం నుండి "ఇచ్చిన సమయంలో వేగం" అనే వ్యక్తీకరణ తప్పు. అయినప్పటికీ, మెకానిక్స్లో తక్షణ వేగం యొక్క భావన నిరంతరం ఉపయోగించబడుతుంది, ఇది గణిత గణనలలో చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. గణితశాస్త్రపరంగా, తార్కికంగా, పరిమితి Δకి వెళ్లడాన్ని మనం పరిగణించవచ్చు t→ 0, మరియు భౌతికంగా విరామం Δ యొక్క కనీస సాధ్యం విలువ ఉంది t, దీని కోసం వేగాన్ని కొలవవచ్చు.

భవిష్యత్తులో, వేగం గురించి మాట్లాడేటప్పుడు, మేము తక్షణ వేగం అని అర్థం. ఏకరీతి కదలికతో, తక్షణ వేగం గతంలో నిర్ణయించిన వేగంతో సమానంగా ఉంటుందని గమనించండి, ఎందుకంటే ఏకరీతి కదలికతో నిష్పత్తి \(~\frac(\Delta x)(\Delta t)\) సమయ విరామం విలువపై ఆధారపడి ఉండదు. , కాబట్టి ఇది ఏకపక్ష చిన్న Δ కోసం మారదు t.

వేగం సమయం మీద ఆధారపడి ఉంటుంది కాబట్టి, దీనిని పరిగణించాలి ఫంక్షన్సమయం మరియు దానిని గ్రాఫ్‌గా ప్రదర్శించండి.

IN సాధారణ లక్ష్యాలుఆబ్జెక్ట్ (v) యొక్క వేగాన్ని కనుగొనడం చాలా సులభమైన పని: మీరు నిర్దిష్ట సమయంలో (ల) స్థానభ్రంశం (ల)ని ఈ సమయానికి (t) విభజించాలి, అంటే v = s/t సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి. అయితే, ఈ విధంగా శరీరం యొక్క సగటు వేగం పొందబడుతుంది. కొన్ని గణనలను ఉపయోగించి, మీరు మార్గం వెంట ఏ సమయంలోనైనా శరీరం యొక్క వేగాన్ని కనుగొనవచ్చు. ఈ వేగాన్ని అంటారు తక్షణ వేగంమరియు ఫార్ములా ద్వారా లెక్కించబడుతుంది v = (ds)/(dt), అంటే, ఇది శరీరం యొక్క సగటు వేగాన్ని లెక్కించడానికి సూత్రం యొక్క ఉత్పన్నం. .

దశలు

పార్ట్ 1

తక్షణ వేగం యొక్క గణన

1. తక్షణ వేగాన్ని లెక్కించడానికి, మీరు శరీరం యొక్క కదలికను వివరించే సమీకరణాన్ని తెలుసుకోవాలి (ఒక నిర్దిష్ట సమయంలో దాని స్థానం), అంటే, ఒక వైపున ఉన్న సమీకరణం (శరీరం యొక్క కదలిక), మరియు మరొక వైపు వేరియబుల్ t (సమయం)తో నిబంధనలు ఉన్నాయి.
   

   ఉదాహరణకు:

   • s = -1.5t 2 + 10t + 4 ఈ సమీకరణంలో: స్థానభ్రంశం =లు t. స్థానభ్రంశం అనేది ఒక వస్తువు ప్రయాణించే మార్గం. ఉదాహరణకు, ఒక శరీరం 10 మీ ముందుకు మరియు 7 మీటర్ల వెనుకకు వెళితే, అప్పుడు శరీరం యొక్క మొత్తం స్థానభ్రంశం 10 - 7 = 3 మీ (మరియు 10 + 7 = 17 మీ).

2. సమయం =

   • . సాధారణంగా సెకన్లలో కొలుస్తారు.
     

     ఉదాహరణకు:
     పై సమీకరణం ద్వారా స్థానభ్రంశం వివరించబడిన శరీరం యొక్క తక్షణ వేగాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు ఈ సమీకరణం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని తప్పనిసరిగా లెక్కించాలి.
     ఉత్పన్నం అనేది ఏ సమయంలోనైనా (ఏ సమయంలోనైనా) గ్రాఫ్ యొక్క వాలును లెక్కించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే సమీకరణం. ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి, ఫంక్షన్‌ను ఈ క్రింది విధంగా వేరు చేయండి: y = a*x n అయితే, ఉత్పన్నం = a*n*x n-1. ఈ నియమం బహుపది యొక్క ప్రతి పదానికి వర్తిస్తుంది.
     మరో మాటలో చెప్పాలంటే, వేరియబుల్ tతో ఉన్న ప్రతి పదం యొక్క ఉత్పన్నం కారకం యొక్క ఉత్పత్తికి (వేరియబుల్ ముందు) మరియు వేరియబుల్ యొక్క శక్తికి సమానం, అసలు శక్తి మైనస్ 1కి సమానమైన శక్తికి వేరియబుల్ ద్వారా గుణించబడుతుంది. నకిలీ పదం (వేరియబుల్ లేని పదం, అంటే సంఖ్య) అదృశ్యమవుతుంది ఎందుకంటే ఇది 0తో గుణించబడుతుంది. మా ఉదాహరణలో:

3. (2)-1.5t (2-1) + (1)10t 1 - 1 + (0)4t 0

   • -3t 1 + 10t 0
     

     -3t+10

4. కొత్త సమీకరణం అసలు సమీకరణం యొక్క ఉత్పన్నం (అంటే tతో s యొక్క ఉత్పన్నం) అని చూపడానికి "s"ని "ds/dt"తో భర్తీ చేయండి.
   

   -3t+10
   ఉత్పన్నం అనేది ఒక నిర్దిష్ట బిందువు వద్ద (ఒక నిర్దిష్ట సమయంలో) గ్రాఫ్ యొక్క వాలు. ఉదాహరణకు, t = 5 వద్ద s = -1.5t 2 + 10t + 4 ఫంక్షన్ ద్వారా వివరించబడిన పంక్తి యొక్క వాలును కనుగొనడానికి, కేవలం 5ని ఉత్పన్న సమీకరణంలోకి మార్చండి.
   మా ఉదాహరణలో, ఉత్పన్న సమీకరణం ఇలా ఉండాలి: ds/dt = -3t + 10

   • ఒక నిర్దిష్ట సమయంలో తక్షణ వేగాన్ని కనుగొనడానికి తగిన t విలువను ఉత్పన్న సమీకరణంలోకి మార్చండి.

   ఉదాహరణకు, మీరు తక్షణ వేగాన్ని t = 5 వద్ద కనుగొనాలనుకుంటే, ds/dt = -3 + 10 ఉత్పన్న సమీకరణంలోకి 5 (t కోసం) ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. ఆపై సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:

   ds/dt = -3(5) + 10

   1. ds/dt = -15 + 10 =మునుపటి అధ్యాయంలో, మీరు ఫార్ములా (ఒక నిర్దిష్ట పాయింట్ వద్ద గ్రాఫ్ యొక్క వాలును కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే ఉత్పన్న సమీకరణం) ఉపయోగించి తక్షణ వేగాన్ని లెక్కించారు. శరీరం యొక్క కదలిక యొక్క గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేయడం ద్వారా, మీరు ఏ సమయంలోనైనా దాని వంపుని కనుగొనవచ్చు మరియు అందువల్ల ఒక నిర్దిష్ట సమయంలో తక్షణ వేగాన్ని నిర్ణయించవచ్చు.

      • Y అక్షం స్థానభ్రంశం, మరియు X అక్షం సమయం. పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లు (x, y) t యొక్క వివిధ విలువలను అసలు స్థానభ్రంశం సమీకరణంలోకి మార్చడం ద్వారా మరియు s యొక్క సంబంధిత విలువలను లెక్కించడం ద్వారా పొందబడతాయి.
      • గ్రాఫ్ X- అక్షం కంటే దిగువకు పడిపోవచ్చు, శరీరం యొక్క కదలిక యొక్క గ్రాఫ్ X- అక్షం కంటే తక్కువగా ఉంటే, దీని అర్థం శరీరం కదలిక యొక్క మూలం నుండి వ్యతిరేక దిశలో కదులుతుంది. సాధారణంగా, ప్లాట్ Y అక్షం దాటి విస్తరించదు ( ప్రతికూల విలువలు x) – మేము సమయానికి వెనుకకు కదిలే వస్తువుల వేగాన్ని కొలవము!

   2. గ్రాఫ్ (కర్వ్)లో దానికి దగ్గరగా పాయింట్ P మరియు పాయింట్ Q ఎంచుకోండి.పాయింట్ P వద్ద గ్రాఫ్ యొక్క వాలును కనుగొనడానికి, మేము పరిమితి భావనను ఉపయోగిస్తాము. పరిమితి - వక్రరేఖపై ఉన్న 2 పాయింట్లు P మరియు Q ద్వారా డ్రా చేయబడిన సెకాంట్ విలువ సున్నాకి ఉండే స్థితి.

      • ఉదాహరణకు, P(1,3) మరియు Q(4,7) పాయింట్లను పరిగణించండి మరియు పాయింట్ P వద్ద తక్షణ వేగాన్ని లెక్కించండి.

   3. సెగ్మెంట్ PQ యొక్క వాలును కనుగొనండి. PQ సెగ్మెంట్ యొక్క వాలు P మరియు Q పాయింట్ల "y" కోఆర్డినేట్ల విలువలలోని వ్యత్యాసం మరియు P మరియు Q పాయింట్ల "x" కోఆర్డినేట్ల విలువలలోని వ్యత్యాసానికి సమానం. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, H = (y Q - y P)/(x Q - x P), ఇక్కడ H – సెగ్మెంట్ PQ యొక్క వాలు. మా ఉదాహరణలో, సెగ్మెంట్ PQ యొక్క వాలు:
      

      H = (y Q - y P)/(x Q - x P)
      H = (7 - 3)/(4 - 1)
      H = (4)/(3) = 1.33

   4. ప్రక్రియను అనేకసార్లు పునరావృతం చేయండి, పాయింట్ Qని పాయింట్ Pకి దగ్గరగా తీసుకువస్తుంది.రెండు పాయింట్ల మధ్య దూరం చిన్నది, ది దగ్గరి విలువపాయింట్ P వద్ద గ్రాఫ్ యొక్క వాలుకు ఫలిత విభాగాల వాలు. మా ఉదాహరణలో, మేము పాయింట్ Q కోసం కోఆర్డినేట్‌లతో (2,4.8), (1.5,3.95) మరియు (1.25,3.49) (కోఆర్డినేట్‌లతో గణనలను చేస్తాము పాయింట్ P అలాగే ఉంటుంది):
      

      Q = (2,4.8): H = (4.8 - 3)/(2 - 1)
      H = (1.8)/(1) = 1.8

      Q = (1.5,3.95): H = (3.95 - 3)/(1.5 - 1)
      H = (.95)/(.5) = 1.9

      Q = (1.25,3.49): H = (3.49 - 3)/(1.25 - 1)
      H = (.49)/(.25) = 1.96

   5. P మరియు Q బిందువుల మధ్య దూరం ఎంత తక్కువగా ఉంటే, H యొక్క విలువ పాయింట్ P వద్ద గ్రాఫ్ యొక్క వాలుకు దగ్గరగా ఉంటుంది.పాయింట్లు P మరియు Q మధ్య దూరం చాలా తక్కువగా ఉంటే, H యొక్క విలువ పాయింట్ P వద్ద గ్రాఫ్ యొక్క వాలుకు సమానంగా ఉంటుంది. మేము రెండు పాయింట్ల మధ్య చాలా చిన్న దూరాన్ని కొలవలేము లేదా లెక్కించలేము కాబట్టి, గ్రాఫికల్ పద్ధతి అంచనాను ఇస్తుంది పాయింట్ P వద్ద గ్రాఫ్ యొక్క వాలు.

      • మా ఉదాహరణలో, Q P కి చేరువైనప్పుడు, మేము H: 1.8 యొక్క క్రింది విలువలను పొందాము; 1.9 మరియు 1.96. ఈ సంఖ్యలు 2కి ఉంటాయి కాబట్టి, పాయింట్ P వద్ద గ్రాఫ్ యొక్క వాలు 2 అని మనం చెప్పగలం.
      • ఇచ్చిన పాయింట్ వద్ద గ్రాఫ్ యొక్క వాలు ఆ సమయంలో ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నానికి సమానంగా ఉంటుందని గుర్తుంచుకోండి (గ్రాఫ్ ప్లాట్ చేయబడింది). గ్రాఫ్ కాలక్రమేణా శరీరం యొక్క కదలికను ప్రదర్శిస్తుంది మరియు మునుపటి విభాగంలో గుర్తించినట్లుగా, శరీరం యొక్క తక్షణ వేగం ఈ శరీరం యొక్క స్థానభ్రంశం యొక్క సమీకరణం యొక్క ఉత్పన్నానికి సమానంగా ఉంటుంది. అందువలన, మేము t = 2 వద్ద తక్షణ వేగం 2 m/s (ఇది ఒక అంచనా).

   పార్ట్ 3

   ఉదాహరణలు

   1. శరీరం యొక్క కదలికను s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9 సమీకరణం ద్వారా వివరించినట్లయితే, తక్షణ వేగాన్ని t = 4 వద్ద లెక్కించండి.ఈ ఉదాహరణ మొదటి విభాగం నుండి సమస్యకు సమానంగా ఉంటుంది, ఇక్కడ మనకు మూడవ ఆర్డర్ సమీకరణం ఉంది (రెండవది కాదు).

      • ముందుగా, ఈ సమీకరణం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని గణిద్దాం:
        

        s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9
        s = (3)5t (3 - 1) - (2)3t (2 - 1) + (1)2t (1 - 1) + (0)9t 0 - 1
        15t (2) - 6t (1) + 2t (0)
        15t (2) - 6t + 2

        t = 1.01: s = 4(1.01) 2 - (1.01)
        4(1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, కాబట్టి Q = (1.01,3.0704)

      • ఇప్పుడు H లెక్కిద్దాం:
        

        Q = (2.14): H = (14 - 3)/(2 - 1)
        H = (11)/(1) = 11

        Q = (1.5,7.5): H = (7.5 - 3)/(1.5 - 1)
        H = (4.5)/(.5) = 9

        Q = (1.1,3.74): H = (3.74 - 3)/(1.1 - 1)
        H = (.74)/(.1) = 7.3

        Q = (1.01,3.0704): H = (3.0704 - 3)/(1.01 - 1)
        H = (.0704)/(.01) = 7.04

      • H యొక్క పొందిన విలువలు 7కి ఉంటాయి కాబట్టి, పాయింట్ (1.3) వద్ద శరీరం యొక్క తక్షణ వేగం 7 m/s (అంచనా విలువ)కి సమానం అని మనం చెప్పగలం.
   • త్వరణాన్ని కనుగొనడానికి (కాలక్రమేణా వేగంలో మార్పు), స్థానభ్రంశం ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని పొందడానికి మొదటి భాగంలో పద్ధతిని ఉపయోగించండి. అప్పుడు ఫలిత ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని మళ్లీ తీసుకోండి. ఇది ఒక నిర్దిష్ట సమయంలో త్వరణాన్ని కనుగొనడానికి మీకు సమీకరణాన్ని ఇస్తుంది - మీరు చేయాల్సిందల్లా సమయానికి విలువను ప్లగ్ చేయడం.
   • y (స్థానభ్రంశం) వర్సెస్ x (సమయం)ని వివరించే సమీకరణం చాలా సరళంగా ఉంటుంది, ఉదాహరణకు: y = 6x + 3. ఈ సందర్భంలో, వాలు స్థిరంగా ఉంటుంది మరియు దానిని కనుగొనడానికి మీరు ఉత్పన్నం తీసుకోవలసిన అవసరం లేదు. లీనియర్ గ్రాఫ్‌ల సిద్ధాంతం ప్రకారం, వాటి వాలు వేరియబుల్ x యొక్క కోఎఫీషియంట్‌కు సమానం, అంటే మన ఉదాహరణలో = 6.
   • స్థానభ్రంశం అనేది దూరం లాంటిది, కానీ అది ఒక నిర్దిష్ట దిశను కలిగి ఉంటుంది, ఇది వెక్టార్ పరిమాణంగా మారుతుంది. స్థానభ్రంశం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది, అయితే దూరం సానుకూలంగా ఉంటుంది.