పరిమిత ఆవర్తన భిన్నం. దశాంశాలు, నిర్వచనాలు, సంజ్ఞామానం, ఉదాహరణలు, దశాంశాలతో కార్యకలాపాలు

విభజన ఆపరేషన్ అనేక ప్రధాన భాగాల భాగస్వామ్యాన్ని కలిగి ఉంటుంది. వాటిలో మొదటిది డివిడెండ్ అని పిలవబడేది, అనగా విభజన విధానానికి లోబడి ఉండే సంఖ్య. రెండవది డివైజర్, అంటే, విభజన నిర్వహించబడే సంఖ్య. మూడవది గుణకం, అంటే డివిడెండ్‌ను డివైజర్ ద్వారా విభజించే ఆపరేషన్ ఫలితం.

విభజన ఫలితం

అత్యంత సాధారణ ఎంపికడివిడెండ్ మరియు డివైజర్‌గా రెండు సానుకూల పూర్ణాంకాలు ఉపయోగించినప్పుడు లభించే ఫలితం మరొక ధన పూర్ణాంకం. ఉదాహరణకు, 6ని 2తో భాగించినప్పుడు, గుణకం 3కి సమానంగా ఉంటుంది. డివిడెండ్ డివైజర్ అయితే ఈ పరిస్థితి సాధ్యమవుతుంది, అంటే అది శేషం లేకుండా భాగించబడుతుంది.

అయినప్పటికీ, మిగిలినవి లేకుండా విభజన ఆపరేషన్ను నిర్వహించడం అసాధ్యం అయినప్పుడు ఇతర ఎంపికలు ఉన్నాయి. ఈ సందర్భంలో, పూర్ణాంకం కాని సంఖ్య గుణకం అవుతుంది, దీనిని పూర్ణాంకం మరియు పాక్షిక భాగం కలయికగా వ్రాయవచ్చు. ఉదాహరణకు, 5ని 2తో భాగించినప్పుడు, గుణకం 2.5.

వ్యవధిలో సంఖ్య

డివిడెండ్ డివైజర్ యొక్క మల్టిపుల్ కాకపోతే ఏర్పడే ఎంపికలలో ఒకటి వ్యవధిలో సంఖ్య అని పిలవబడేది. గుణకం అనంతంగా పునరావృతమయ్యే సంఖ్యల సమితిగా మారితే అది విభజన ఫలితంగా ఉత్పన్నమవుతుంది. ఉదాహరణకు, 2 సంఖ్యను 3తో భాగించినప్పుడు ఒక పీరియడ్‌లోని ఒక సంఖ్య కనిపించవచ్చు. ఈ పరిస్థితిలో, ఫలితం దశాంశ భిన్నం వలె, దశాంశ బిందువు తర్వాత 6 అంకెల అనంతమైన సంఖ్య కలయికగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది.

అటువంటి విభజన ఫలితాన్ని సూచించడానికి, ఇది కనుగొనబడింది ప్రత్యేక మార్గంఒక వ్యవధిలో సంఖ్యలను వ్రాయడం: అటువంటి సంఖ్య బ్రాకెట్లలో పునరావృతమయ్యే అంకెను ఉంచడం ద్వారా సూచించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, 2ని 3తో భాగిస్తే ఫలితం ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించి 0,(6)గా వ్రాయబడుతుంది. విభజన ఫలితంగా వచ్చిన సంఖ్యలో కొంత భాగం మాత్రమే పునరావృతమైతే కూడా ఈ సంజ్ఞామానం వర్తిస్తుంది.

ఉదాహరణకు, 5ని 6తో భాగించినప్పుడు, ఫలితం 0.8(3) రూపం యొక్క ఆవర్తన సంఖ్య అవుతుంది. ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించడం, మొదట, ఒక వ్యవధిలో సంఖ్య యొక్క మొత్తం లేదా కొంత భాగాన్ని వ్రాయడానికి ప్రయత్నించడంతో పోలిస్తే మరింత ప్రభావవంతంగా ఉంటుంది మరియు రెండవది, అటువంటి సంఖ్యలను ప్రసారం చేసే మరొక పద్ధతితో పోలిస్తే ఇది ఎక్కువ ఖచ్చితత్వాన్ని కలిగి ఉంటుంది - రౌండింగ్, మరియు అదనంగా, ఈ సంఖ్యల పరిమాణాన్ని పోల్చినప్పుడు సంబంధిత విలువతో ఖచ్చితమైన దశాంశ భిన్నం నుండి వ్యవధిలో సంఖ్యలను వేరు చేయడానికి ఇది మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, 0.(6) 0.6 కంటే గణనీయంగా ఎక్కువగా ఉందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది.

ఆవర్తన భిన్నం

అనంతమైన దశాంశ భిన్నం, ఒక నిర్దిష్ట బిందువు నుండి ప్రారంభించి, క్రమానుగతంగా పునరావృతమవుతుంది నిర్దిష్ట సమూహంసంఖ్యలు ఉదాహరణకు, 1.3181818...; సంక్షిప్తంగా, ఈ భిన్నం ఇలా వ్రాయబడింది: 1.3(18), అంటే, వారు కాలాన్ని బ్రాకెట్లలో ఉంచారు (మరియు చెప్పండి: "పీరియడ్‌లో 18"). దశాంశ బిందువు తర్వాత పీరియడ్ వెంటనే ప్రారంభమైతే P. ప్యూర్ అంటారు, ఉదాహరణకు 2(71) = 2.7171..., మరియు దశాంశ బిందువు తర్వాత పీరియడ్‌కు ముందు ఉన్న సంఖ్యలు ఉంటే మిశ్రమంగా ఉంటుంది, ఉదాహరణకు 1.3(18). అంకగణితంలో దశాంశ భిన్నాల పాత్ర హేతుబద్ధమైన సంఖ్యలు, అంటే సాధారణ (సరళమైన) భిన్నాలు దశాంశ భిన్నాల ద్వారా సూచించబడినప్పుడు, పరిమిత లేదా ఆవర్తన భిన్నాలు ఎల్లప్పుడూ పొందబడతాయి. మరింత ఖచ్చితంగా: తగ్గించలేని సాధారణ భిన్నం యొక్క హారం 2 మరియు 5 కాకుండా ఇతర ప్రధాన కారకాలను కలిగి లేనప్పుడు తుది దశాంశ భిన్నం పొందబడుతుంది; అన్ని ఇతర సందర్భాలలో, ఫలితం P. భిన్నం, అంతేకాకుండా, ఇవ్వబడిన తగ్గించలేని భిన్నం యొక్క హారం 2 మరియు 5 కారకాలను కలిగి లేకుంటే అది స్వచ్ఛమైనది మరియు ఈ కారకాల్లో కనీసం ఒకటైనా ఉంటే మిశ్రమంగా ఉంటుంది. హారంలో. ఏదైనా పి.డి.గా మార్చుకోవచ్చు సాధారణ భిన్నం(అంటే, ఇది కొంత హేతుబద్ధ సంఖ్యకు సమానం). స్వచ్ఛమైన భిన్నం ఒక సాధారణ భిన్నానికి సమానం, దీని లవం కాలం, మరియు హారం సంఖ్య 9 ద్వారా సూచించబడుతుంది, వ్యవధిలో ఎన్నిసార్లు అంకెలు ఉన్నాయో అంత సార్లు వ్రాయబడుతుంది; మిశ్రమ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నంలోకి మార్చినప్పుడు, లవం అనేది రెండవ పీరియడ్‌కు ముందు ఉన్న సంఖ్యలచే సూచించబడిన సంఖ్య మరియు మొదటి పీరియడ్‌కు ముందు ఉన్న సంఖ్యల ద్వారా సూచించబడే సంఖ్యల మధ్య వ్యత్యాసం; హారం కంపోజ్ చేయడానికి, మీరు వ్యవధిలో సంఖ్యలు ఎన్నిసార్లు ఉంటే 9 సంఖ్యను వ్రాయాలి మరియు వ్యవధికి ముందు సంఖ్యలు ఉన్నన్ని సున్నాలను కుడివైపుకు జోడించాలి. ఈ నియమాలు ఇచ్చిన P. సరైనదేనని ఊహిస్తుంది, అంటే అది మొత్తం యూనిట్లను కలిగి ఉండదు; కాకపోతే మొత్తం భాగాన్ని ప్రత్యేకంగా పరిగణలోకి తీసుకుంటారు.

ఇచ్చిన సాధారణ భిన్నానికి సంబంధించిన భిన్నం యొక్క వ్యవధిని నిర్ణయించే నియమాలు కూడా తెలుసు. ఉదాహరణకు, ఒక భిన్నం కోసం a/p, ఎక్కడ r -ప్రధాన సంఖ్య మరియు 1 ≤ a ≤ p- 1, పీరియడ్ లెంగ్త్ అనేది డివైజర్ r - 1. కాబట్టి, ఒక సంఖ్యకు తెలిసిన ఉజ్జాయింపుల కోసం (పైని చూడండి) 22/7 మరియు 355/113 కాలాలు వరుసగా 6 మరియు 112కి సమానం.

పెద్దది సోవియట్ ఎన్సైక్లోపీడియా. - M.: సోవియట్ ఎన్సైక్లోపీడియా. 1969-1978 .

పర్యాయపదాలు:

ఇతర నిఘంటువులలో "ఆవర్తన భిన్నం" ఏమిటో చూడండి:

అనంతమైన దశాంశ భిన్నం, దీనిలో ఒక నిర్దిష్ట పాయింట్ నుండి ప్రారంభించి, నిర్దిష్ట అంకెల సమూహం (కాలం) క్రమానుగతంగా పునరావృతమవుతుంది, ఉదాహరణకు. 0.373737... స్వచ్ఛమైన ఆవర్తన భిన్నం లేదా 0.253737... మిశ్రమ ఆవర్తన భిన్నం... పెద్దది ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు

భిన్నం, అనంతమైన భిన్నంరష్యన్ పర్యాయపదాల నిఘంటువు. ఆవర్తన భిన్నం నామవాచకం, పర్యాయపదాల సంఖ్య: 2 అనంత భిన్నం (2) ... పర్యాయపదాల నిఘంటువు

అంకెల శ్రేణి ఒకే క్రమంలో పునరావృతమయ్యే దశాంశ భిన్నం. ఉదాహరణకు, 0.135135135... అనేది p.d, దీని వ్యవధి 135 మరియు ఇది సాధారణ భిన్నం 135/999 = 5/37. రష్యన్ భాషలో విదేశీ పదాల నిఘంటువు చేర్చబడింది. పావ్లెంకోవ్ ఎఫ్... రష్యన్ భాష యొక్క విదేశీ పదాల నిఘంటువు

దశాంశం అనేది 10n యొక్క హారం కలిగిన భిన్నం, ఇక్కడ n అనేది సహజ సంఖ్య. ఇది సంజ్ఞామానం యొక్క ప్రత్యేక రూపాన్ని కలిగి ఉంది: దశాంశ సంఖ్య వ్యవస్థలో పూర్ణాంకం భాగం, ఆపై కామా మరియు తరువాత దశాంశ సంఖ్య వ్యవస్థలో పాక్షిక భాగం, మరియు పాక్షిక భాగం యొక్క అంకెల సంఖ్య ... వికీపీడియా

అనంతమైన దశాంశ భిన్నం, దీనిలో ఒక నిర్దిష్ట పాయింట్ నుండి ప్రారంభించి, నిర్దిష్ట అంకెల సమూహం (కాలం) క్రమానుగతంగా పునరావృతమవుతుంది; ఉదాహరణకు, 0.373737... స్వచ్ఛమైన ఆవర్తన భిన్నం లేదా 0.253737... మిశ్రమ ఆవర్తన భిన్నం. * * * ఆవర్తన..... ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు

అంతులేని దశాంశ భిన్నం, ఒక నిర్దిష్ట స్థలం నుండి ప్రారంభించి, నిర్వచనం క్రమానుగతంగా పునరావృతమవుతుంది. అంకెల సమూహం (కాలం); ఉదాహరణకు, 0.373737... స్వచ్ఛమైన P. d లేదా 0.253737... మిశ్రమ P. d. సహజ శాస్త్రం. ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు

భాగాన్ని చూడండి... రష్యన్ పర్యాయపదాలు మరియు సారూప్య వ్యక్తీకరణల నిఘంటువు. కింద. ed. N. అబ్రమోవా, M.: రష్యన్ నిఘంటువులు, 1999. భిన్నం ట్రిఫిల్, భాగం; డన్స్ట్, బాల్, భోజనం, బక్‌షాట్; పాక్షిక సంఖ్య రష్యన్ పర్యాయపదాల నిఘంటువు ... పర్యాయపదాల నిఘంటువు

ఆవర్తన దశాంశ- - [L.G. సమాచార సాంకేతికతపై ఆంగ్ల-రష్యన్ నిఘంటువు. M.: స్టేట్ ఎంటర్‌ప్రైజ్ TsNIIS, 2003.] అంశాలు సమాచార సాంకేతికతసాధారణంగా EN సర్క్యులేటింగ్ డెసిమల్ రీకరింగ్ డెసిమల్ పెరియోడింగ్ డెసిమల్ పీరియాడిక్ డెసిమల్ పీరియాడికల్ డెసిమల్ ... సాంకేతిక అనువాదకుని గైడ్

కొన్ని పూర్ణాంకం aని మరొక పూర్ణాంకం bతో భాగిస్తే, అంటే, bx = a షరతును సంతృప్తిపరిచే x సంఖ్యను కోరితే, అప్పుడు రెండు సందర్భాలు తలెత్తవచ్చు: పూర్ణాంకాల శ్రేణిలో ఈ పరిస్థితిని సంతృప్తిపరిచే సంఖ్య x ఉంటుంది, లేదా అది మారుతుంది,…… ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు F.A. బ్రోక్‌హాస్ మరియు I.A. ఎఫ్రాన్

హారం పూర్ణాంకం శక్తి 10. భిన్నాలు హారం లేకుండా వ్రాయబడతాయి, హారంలో సున్నాలు ఉన్నందున లవంలోని కుడివైపున ఉన్న అనేక అంకెలను కామాతో వేరు చేస్తుంది. ఉదాహరణకు, అటువంటి రికార్డులో, ఎడమ వైపున ఉన్న భాగం... ... గ్రేట్ సోవియట్ ఎన్సైక్లోపీడియా

దశాంశాల గురించిన మొదటి పాఠంలో దశాంశాలుగా సూచించలేని సంఖ్యా భిన్నాలు ఉన్నాయని నేను ఎలా చెప్పానో గుర్తుందా ("దశాంశాలు" పాఠం చూడండి)? 2 మరియు 5 కాకుండా ఇతర సంఖ్యలు ఏమైనా ఉన్నాయో లేదో చూడటానికి భిన్నాల హారంలను ఎలా లెక్కించాలో కూడా మేము నేర్చుకున్నాము.

కాబట్టి: నేను అబద్ధం చెప్పాను. మరియు ఈ రోజు మనం ఖచ్చితంగా ఏదైనా సంఖ్యా భిన్నాన్ని దశాంశంగా ఎలా మార్చాలో నేర్చుకుంటాము. అదే సమయంలో, మేము అనంతమైన ముఖ్యమైన భాగంతో మొత్తం తరగతి భిన్నాలతో పరిచయం పొందుతాము.

ఆవర్తన దశాంశం అంటే ఏదైనా దశాంశం:

1. ముఖ్యమైన భాగం అనంతమైన అంకెలను కలిగి ఉంటుంది;
2. నిర్దిష్ట వ్యవధిలో, ముఖ్యమైన భాగంలోని సంఖ్యలు పునరావృతమవుతాయి.

ముఖ్యమైన భాగాన్ని తయారు చేసే పునరావృత అంకెల సమితిని భిన్నం యొక్క ఆవర్తన భాగం అని పిలుస్తారు మరియు ఈ సెట్‌లోని అంకెల సంఖ్యను భిన్నం యొక్క కాలం అంటారు. ముఖ్యమైన భాగం యొక్క మిగిలిన భాగాన్ని పునరావృతం చేయని భాగాన్ని నాన్-ఆవర్తన భాగం అంటారు.

అనేక నిర్వచనాలు ఉన్నందున, ఈ భిన్నాలలో కొన్నింటిని వివరంగా పరిగణించడం విలువ:

ఈ భిన్నం చాలా తరచుగా సమస్యలలో కనిపిస్తుంది. నాన్-ఆవర్తన భాగం: 0; ఆవర్తన భాగం: 3; వ్యవధి పొడవు: 1.

నాన్-ఆవర్తన భాగం: 0.58; ఆవర్తన భాగం: 3; వ్యవధి పొడవు: మళ్లీ 1.

నాన్-ఆవర్తన భాగం: 1; ఆవర్తన భాగం: 54; వ్యవధి పొడవు: 2.

నాన్-ఆవర్తన భాగం: 0; ఆవర్తన భాగం: 641025; వ్యవధి పొడవు: 6. సౌలభ్యం కోసం, పునరావృతమయ్యే భాగాలు ఒకదానికొకటి ఖాళీ ద్వారా వేరు చేయబడతాయి - ఈ పరిష్కారంలో ఇది అవసరం లేదు.

నాన్-ఆవర్తన భాగం: 3066; ఆవర్తన భాగం: 6; వ్యవధి పొడవు: 1.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ఆవర్తన భిన్నం యొక్క నిర్వచనం భావనపై ఆధారపడి ఉంటుంది సంఖ్య యొక్క ముఖ్యమైన భాగం. అందువల్ల, అది ఏమిటో మీరు మరచిపోయినట్లయితే, దాన్ని పునరావృతం చేయాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను - "" పాఠాన్ని చూడండి.

ఆవర్తన దశాంశ భిన్నానికి పరివర్తన

a /b రూపంలోని సాధారణ భిన్నాన్ని పరిగణించండి. దాని హారం ప్రధాన కారకాలుగా కారకం చేద్దాం. రెండు ఎంపికలు ఉన్నాయి:

1. విస్తరణలో 2 మరియు 5 కారకాలు మాత్రమే ఉన్నాయి. ఈ భిన్నాలు సులభంగా దశాంశాలకు మార్చబడతాయి - “దశాంశాలు” పాఠాన్ని చూడండి. అటువంటి వ్యక్తుల పట్ల మాకు ఆసక్తి లేదు;
2. విస్తరణలో 2 మరియు 5 కాకుండా వేరొకటి ఉంది. ఈ సందర్భంలో, భిన్నం దశాంశంగా సూచించబడదు, కానీ అది ఆవర్తన దశాంశంగా మార్చబడుతుంది.

ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాన్ని నిర్వచించడానికి, మీరు దాని ఆవర్తన మరియు నాన్-ఆవర్తన భాగాలను కనుగొనాలి. ఎలా? భిన్నాన్ని సరికాని భిన్నానికి మార్చండి, ఆపై మూలను ఉపయోగించి లవంను హారం ద్వారా విభజించండి.

కింది విధంగా జరుగుతుంది:

1. ముందుగా విడిపోతుంది మొత్తం భాగం, అది ఉనికిలో ఉంటే;
2. దశాంశ బిందువు తర్వాత అనేక సంఖ్యలు ఉండవచ్చు;
3. కొంత సమయం తరువాత, సంఖ్యలు ప్రారంభమవుతాయి పునరావృతం.

అంతే! దశాంశ బిందువు తర్వాత పునరావృతమయ్యే సంఖ్యలు ఆవర్తన భాగం ద్వారా సూచించబడతాయి మరియు ముందు ఉన్నవి నాన్-ఆవర్తన భాగం ద్వారా సూచించబడతాయి.

టాస్క్. సాధారణ భిన్నాలను ఆవర్తన దశాంశాలకు మార్చండి:

పూర్ణాంక భాగం లేకుండా అన్ని భిన్నాలు, కాబట్టి మేము "మూలలో" ఉన్న హారం ద్వారా లవంను విభజిస్తాము:

మీరు గమనిస్తే, మిగిలినవి పునరావృతమవుతాయి. భిన్నాన్ని “సరైన” రూపంలో వ్రాస్దాం: 1.733 ... = 1.7(3).

ఫలితం భిన్నం: 0.5833 ... = 0.58(3).

మేము దానిని సాధారణ రూపంలో వ్రాస్తాము: 4.0909 ... = 4,(09).

మేము భిన్నాన్ని పొందుతాము: 0.4141 ... = 0.(41).

ఆవర్తన దశాంశ భిన్నం నుండి సాధారణ భిన్నానికి మార్పు

ఆవర్తన దశాంశ భిన్నం X = abc (a 1 b 1 c 1) పరిగణించండి. దీన్ని క్లాసిక్ "రెండు-అంతస్తుల"గా మార్చడం అవసరం. దీన్ని చేయడానికి, నాలుగు సాధారణ దశలను అనుసరించండి:

1. భిన్నం యొక్క కాలాన్ని కనుగొనండి, అనగా. ఆవర్తన భాగంలో ఎన్ని అంకెలు ఉన్నాయో లెక్కించండి. ఇది k సంఖ్యగా ఉండనివ్వండి;
2. వ్యక్తీకరణ X · 10 k విలువను కనుగొనండి. ఇది దశాంశ బిందువును పూర్తి కాలానికి కుడివైపుకి మార్చడానికి సమానం - "దశాంశాలను గుణించడం మరియు విభజించడం" అనే పాఠాన్ని చూడండి;
3. ఫలిత సంఖ్య నుండి అసలు వ్యక్తీకరణ తప్పనిసరిగా తీసివేయబడాలి. ఈ సందర్భంలో, ఆవర్తన భాగం "కాలిపోయింది" మరియు మిగిలిపోయింది సాధారణ భిన్నం;
4. ఫలిత సమీకరణంలో Xని కనుగొనండి. మేము అన్ని దశాంశ భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలకు మారుస్తాము.

టాస్క్. సాధారణ స్థాయికి తగ్గించండి సరికాని భిన్నంసంఖ్యలు:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

మేము మొదటి భిన్నంతో పని చేస్తాము: X = 9, (6) = 9.666 ...

కుండలీకరణాలు ఒక అంకెను మాత్రమే కలిగి ఉంటాయి, కాబట్టి వ్యవధి k = 1. తర్వాత, మేము ఈ భిన్నాన్ని 10 k = 10 1 = 10తో గుణిస్తాము. మనకు ఇవి ఉన్నాయి:

10X = 10 9.6666... ​​= 96.666...

అసలు భిన్నాన్ని తీసివేసి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:

10X - X = 96.666 ... - 9.666 ... = 96 - 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

ఇప్పుడు రెండవ భాగాన్ని చూద్దాం. కాబట్టి X = 32,(39) = 32.393939...

కాలం k = 2, కాబట్టి అన్నింటినీ 10 k = 10 2 = 100తో గుణించండి:

100X = 100 · 32.393939 ... = 3239.3939 ...

అసలు భిన్నాన్ని మళ్లీ తీసివేసి, సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:

100X - X = 3239.3939 ... − 32.3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

మూడవ భాగానికి వెళ్దాం: X = 0.30(5) = 0.30555... రేఖాచిత్రం ఒకేలా ఉంటుంది, కాబట్టి నేను గణనలను ఇస్తాను:

కాలం k = 1 ⇒ ప్రతిదీ 10 k = 10 1 = 10 ద్వారా గుణించండి;

10X = 10 0.30555... = 3.05555...
10X - X = 3.0555 ... - 0.305555 ... = 2.75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

చివరగా, చివరి భిన్నం: X = 0,(2475) = 0.2475 2475... మళ్ళీ, సౌలభ్యం కోసం, ఆవర్తన భాగాలు ఒకదానికొకటి ఖాళీల ద్వారా వేరు చేయబడతాయి. మాకు ఉన్నాయి:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10,000;
10,000X = 10,000 0.2475 2475 = 2475.2475 ...
10,000X - X = 2475.2475 ... - 0.2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

ఇప్పటికే ప్రవేశించింది ప్రాథమిక పాఠశాలవిద్యార్థులు భిన్నాలను ఎదుర్కొంటారు. ఆపై వారు ప్రతి అంశంలో కనిపిస్తారు. మీరు ఈ సంఖ్యలతో చర్యలను మర్చిపోలేరు. అందువల్ల, మీరు సాధారణ మరియు దశాంశ భిన్నాల గురించి మొత్తం సమాచారాన్ని తెలుసుకోవాలి. ఈ భావనలు సంక్లిష్టంగా లేవు, ప్రధాన విషయం క్రమంలో ప్రతిదీ అర్థం చేసుకోవడం.

భిన్నాలు ఎందుకు అవసరం?

మన చుట్టూ ఉన్న ప్రపంచం మొత్తం వస్తువులను కలిగి ఉంటుంది. అందువల్ల, వాటాల అవసరం లేదు. కానీ రోజువారీ జీవితంవస్తువులు మరియు వస్తువుల భాగాలతో పని చేయడానికి ప్రజలను నిరంతరం నెట్టివేస్తుంది.

ఉదాహరణకు, చాక్లెట్ అనేక ముక్కలను కలిగి ఉంటుంది. అతని టైల్ పన్నెండు దీర్ఘ చతురస్రాల ద్వారా ఏర్పడిన పరిస్థితిని పరిగణించండి. మీరు దానిని రెండుగా విభజిస్తే, మీరు 6 భాగాలు పొందుతారు. దీన్ని సులభంగా మూడుగా విభజించవచ్చు. కానీ ఐదుగురికి మొత్తం చాక్లెట్ ముక్కలను ఇవ్వడం సాధ్యం కాదు.

మార్గం ద్వారా, ఈ ముక్కలు ఇప్పటికే భిన్నాలు. మరియు వారి తదుపరి విభజన మరింత సంక్లిష్ట సంఖ్యల రూపానికి దారితీస్తుంది.

"భిన్నం" అంటే ఏమిటి?

ఇది ఒకదానిలోని భాగాలతో రూపొందించబడిన సంఖ్య. బాహ్యంగా, ఇది క్షితిజ సమాంతర లేదా స్లాష్‌తో వేరు చేయబడిన రెండు సంఖ్యల వలె కనిపిస్తుంది. ఈ లక్షణాన్ని పాక్షికం అంటారు. ఎగువన (ఎడమ) వ్రాసిన సంఖ్యను న్యూమరేటర్ అంటారు. దిగువన (కుడి) ఉన్నది హారం.

ముఖ్యంగా, స్లాష్ విభజన చిహ్నంగా మారుతుంది. అంటే, లవణాన్ని డివిడెండ్ అని, హారంను డివైజర్ అని పిలవవచ్చు.

ఏ భిన్నాలు ఉన్నాయి?

గణితంలో రెండు రకాలు మాత్రమే ఉన్నాయి: సాధారణ మరియు దశాంశ భిన్నాలు. పాఠశాల పిల్లలు మొదట కలుస్తారు ప్రాథమిక పాఠశాల, వాటిని కేవలం "భిన్నాలు" అని పిలుస్తారు. తర్వాత 5వ తరగతిలో నేర్చుకుంటారు. అప్పుడే ఈ పేర్లు కనిపిస్తున్నాయి.

సాధారణ భిన్నాలు అనేవి ఒక పంక్తితో వేరు చేయబడిన రెండు సంఖ్యలుగా వ్రాయబడినవి. ఉదాహరణకు, 4/7. దశాంశం అనేది ఒక సంఖ్య, దీనిలో భిన్న భాగం స్థాన సంజ్ఞామానాన్ని కలిగి ఉంటుంది మరియు మొత్తం సంఖ్య నుండి కామాతో వేరు చేయబడుతుంది. ఉదాహరణకు, 4.7. ఇచ్చిన రెండు ఉదాహరణలు పూర్తిగా భిన్నమైన సంఖ్యలు అని విద్యార్థులు స్పష్టంగా అర్థం చేసుకోవాలి.

ప్రతి సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశంగా వ్రాయవచ్చు. ఈ ప్రకటన రివర్స్‌లో దాదాపు ఎల్లప్పుడూ నిజం. దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నం వలె వ్రాయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే నియమాలు ఉన్నాయి.

ఈ రకమైన భిన్నాలు ఏ ఉప రకాలను కలిగి ఉన్నాయి?

ప్రారంభించడం మంచిది కాలక్రమానుసారం, వారు అధ్యయనం చేస్తున్నారు కాబట్టి. సాధారణ భిన్నాలు మొదట వస్తాయి. వాటిలో, 5 ఉపజాతులను వేరు చేయవచ్చు.

సరైనది. దీని లవం ఎల్లప్పుడూ దాని హారం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

తప్పు. దీని లవం దాని హారం కంటే ఎక్కువ లేదా సమానంగా ఉంటుంది.

తగ్గించదగిన / తగ్గించలేని. ఇది సరైనది లేదా తప్పుగా మారవచ్చు. మరో ముఖ్యమైన విషయం ఏమిటంటే, న్యూమరేటర్ మరియు హారం ఉమ్మడి కారకాలను కలిగి ఉన్నాయా. ఉంటే, అప్పుడు భిన్నం యొక్క రెండు భాగాలను వాటి ద్వారా విభజించడం అవసరం, అంటే దానిని తగ్గించండి.

మిక్స్డ్. పూర్ణాంకం దాని సాధారణ సాధారణ (క్రమరహిత) పాక్షిక భాగానికి కేటాయించబడుతుంది. అంతేకాక, ఇది ఎల్లప్పుడూ ఎడమ వైపున ఉంటుంది.

మిశ్రమ. ఇది ఒకదానికొకటి విభజించబడిన రెండు భిన్నాల నుండి ఏర్పడుతుంది. అంటే, ఇది ఒకేసారి మూడు భిన్న రేఖలను కలిగి ఉంటుంది.

దశాంశ భిన్నాలు కేవలం రెండు ఉప రకాలు మాత్రమే కలిగి ఉంటాయి:

పరిమిత, అంటే, పాక్షిక భాగం పరిమితం చేయబడినది (ముగింపు కలిగి ఉంటుంది);

అనంతం - దశాంశ బిందువు తర్వాత అంకెలు ముగియని సంఖ్య (అవి అనంతంగా వ్రాయబడతాయి).

దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నానికి ఎలా మార్చాలి?

ఇది పరిమిత సంఖ్య అయితే, నియమం ఆధారంగా అనుబంధం వర్తించబడుతుంది - నేను విన్నట్లుగా, నేను వ్రాస్తాను. అంటే, మీరు దానిని సరిగ్గా చదవాలి మరియు దానిని వ్రాయాలి, కానీ కామా లేకుండా, కానీ పాక్షిక పట్టీతో.

అవసరమైన హారం గురించి సూచనగా, ఇది ఎల్లప్పుడూ ఒకటి మరియు అనేక సున్నాలు అని మీరు గుర్తుంచుకోవాలి. సందేహాస్పద సంఖ్య యొక్క పాక్షిక భాగంలో ఎన్ని అంకెలు ఉన్నాయో మీరు అంతిమంగా వ్రాయాలి.

దశాంశ భిన్నాలను వాటి పూర్ణాంకం తప్పిపోయినట్లయితే, అంటే సున్నాకి సమానం అయితే వాటిని సాధారణ భిన్నాలుగా మార్చడం ఎలా? ఉదాహరణకు, 0.9 లేదా 0.05. పేర్కొన్న నియమాన్ని వర్తింపజేసిన తర్వాత, మీరు సున్నా పూర్ణాంకాలను వ్రాయవలసి ఉంటుంది. కానీ అది సూచించబడలేదు. పాక్షిక భాగాలను వ్రాయడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది. మొదటి సంఖ్య 10 హారం కలిగి ఉంటుంది, రెండవది 100 హారం కలిగి ఉంటుంది. అంటే, ఇచ్చిన ఉదాహరణలు క్రింది సంఖ్యలను సమాధానాలుగా కలిగి ఉంటాయి: 9/10, 5/100. అంతేకాకుండా, రెండోది 5 ద్వారా తగ్గించబడుతుందని తేలింది. అందువల్ల, దాని ఫలితాన్ని 1/20గా వ్రాయడం అవసరం.

దాని పూర్ణాంకం భాగం సున్నా కానట్లయితే మీరు దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నంగా ఎలా మార్చగలరు? ఉదాహరణకు, 5.23 లేదా 13.00108. రెండు ఉదాహరణలలో, మొత్తం భాగం చదవబడుతుంది మరియు దాని విలువ వ్రాయబడుతుంది. మొదటి సందర్భంలో ఇది 5, రెండవది 13. అప్పుడు మీరు పాక్షిక భాగానికి వెళ్లాలి. వారితో కూడా అదే ఆపరేషన్ చేయాలన్నారు. మొదటి సంఖ్య 23/100, రెండవది - 108/100000 కనిపిస్తుంది. రెండవ విలువను మళ్లీ తగ్గించాల్సిన అవసరం ఉంది. సమాధానం ఇలా కనిపిస్తుంది మిశ్రమ భిన్నాలు: 5 23/100 మరియు 13 27/25000.

అనంతమైన దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నానికి ఎలా మార్చాలి?

ఇది నాన్-పీరియాడిక్ అయితే, అటువంటి ఆపరేషన్ సాధ్యం కాదు. ఈ వాస్తవం ప్రతి దశాంశ భిన్నం ఎల్లప్పుడూ పరిమిత లేదా ఆవర్తన భిన్నం వలె మార్చబడుతుంది.

అటువంటి భిన్నంతో మీరు చేయగలిగే ఏకైక విషయం దానిని గుండ్రంగా చేయడం. కానీ అప్పుడు దశాంశం ఆ అనంతానికి దాదాపు సమానంగా ఉంటుంది. ఇది ఇప్పటికే సాధారణమైనదిగా మార్చబడుతుంది. కానీ రివర్స్ ప్రక్రియ: దశాంశానికి మార్చడం ఎప్పటికీ ప్రారంభ విలువను ఇవ్వదు. అంటే, అనంతమైన నాన్-ఆవర్తన భిన్నాలు సాధారణ భిన్నాలుగా మార్చబడవు. ఇది గుర్తుంచుకోవలసిన అవసరం ఉంది.

అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నంగా ఎలా వ్రాయాలి?

ఈ సంఖ్యలలో, పునరావృతమయ్యే దశాంశ బిందువు తర్వాత ఎల్లప్పుడూ ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ అంకెలు ఉంటాయి. వాటిని కాలం అంటారు. ఉదాహరణకు, 0.3(3). ఇక్కడ "3" వ్యవధిలో ఉంది. అవి హేతుబద్ధమైనవిగా వర్గీకరించబడ్డాయి ఎందుకంటే అవి సాధారణ భిన్నాలుగా మార్చబడతాయి.

ఆవర్తన భిన్నాలను ఎదుర్కొన్న వారికి అవి స్వచ్ఛంగా లేదా మిశ్రమంగా ఉండవచ్చని తెలుసు. మొదటి సందర్భంలో, కాలం కామా నుండి వెంటనే ప్రారంభమవుతుంది. రెండవదానిలో, పాక్షిక భాగం కొన్ని సంఖ్యలతో ప్రారంభమవుతుంది, ఆపై పునరావృతం ప్రారంభమవుతుంది.

మీరు ఒక సాధారణ భిన్నం వలె అనంతమైన దశాంశాన్ని వ్రాయవలసిన నియమం సూచించిన రెండు రకాల సంఖ్యలకు భిన్నంగా ఉంటుంది. స్వచ్ఛమైన ఆవర్తన భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలుగా వ్రాయడం చాలా సులభం. పరిమిత వాటితో పాటు, అవి మార్చబడాలి: లవంలో కాలాన్ని వ్రాయండి మరియు హారం సంఖ్య 9 అవుతుంది, ఆ వ్యవధిలో ఎన్ని అంకెలు ఉన్నాయో అంత ఎక్కువ సార్లు పునరావృతమవుతుంది.

ఉదాహరణకు, 0,(5). సంఖ్యకు పూర్ణాంకం భాగం లేదు, కాబట్టి మీరు వెంటనే పాక్షిక భాగంతో ప్రారంభించాలి. 5ని న్యూమరేటర్‌గా మరియు 9ని హారంగా రాయండి అంటే, సమాధానం 5/9 అవుతుంది.

మిశ్రమంగా ఉండే సాధారణ దశాంశ ఆవర్తన భిన్నాన్ని ఎలా వ్రాయాలి అనే నియమం.

కాలం యొక్క పొడవు చూడండి. హారంలో ఎన్ని 9లు ఉంటాయి.

హారం వ్రాయండి: మొదటి తొమ్మిది, తరువాత సున్నాలు.

సంఖ్యను నిర్ణయించడానికి, మీరు రెండు సంఖ్యల వ్యత్యాసాన్ని వ్రాయాలి. దశాంశ బిందువు తర్వాత అన్ని సంఖ్యలు వ్యవధితో పాటు కనిష్టీకరించబడతాయి. తీసివేయదగినది - ఇది వ్యవధి లేకుండా ఉంటుంది.

ఉదాహరణకు, 0.5(8) - ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నంగా వ్రాయండి. వ్యవధికి ముందు పాక్షిక భాగం ఒక అంకెను కలిగి ఉంటుంది. కాబట్టి ఒక సున్నా ఉంటుంది. వ్యవధిలో ఒకే ఒక సంఖ్య కూడా ఉంది - 8. అంటే, ఒక తొమ్మిది మాత్రమే ఉంది. అంటే, మీరు హారంలో 90 రాయాలి.

న్యూమరేటర్‌ను నిర్ణయించడానికి, మీరు 58 నుండి 5ని తీసివేయాలి. అది 53 అవుతుంది. ఉదాహరణకు, మీరు సమాధానాన్ని 53/90గా రాయాలి.

భిన్నాలు దశాంశాలకు ఎలా మార్చబడతాయి?

సరళమైన ఎంపిక సంఖ్య 10, 100, మొదలైన వాటి హారం. అప్పుడు హారం కేవలం విస్మరించబడుతుంది మరియు పాక్షిక మరియు మధ్య మొత్తం భాగాలుగాకామా జోడించబడింది.

హారం సులభంగా 10, 100, మొదలైనవిగా మారినప్పుడు పరిస్థితులు ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, సంఖ్యలు 5, 20, 25. వాటిని వరుసగా 2, 5 మరియు 4 ద్వారా గుణిస్తే సరిపోతుంది. మీరు హారం మాత్రమే కాకుండా, లవంను కూడా అదే సంఖ్యతో గుణించాలి.

అన్ని ఇతర సందర్భాలలో, ఒక సాధారణ నియమం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది: లవంను హారం ద్వారా విభజించండి. ఈ సందర్భంలో, మీరు రెండు సాధ్యమైన సమాధానాలను పొందవచ్చు: పరిమిత లేదా ఆవర్తన దశాంశ భిన్నం.

సాధారణ భిన్నాలతో కార్యకలాపాలు

కూడిక మరియు తీసివేత

విద్యార్థులు ఇతరుల కంటే ముందుగానే వారితో పరిచయం కలిగి ఉంటారు. మరియు మొదట భిన్నాలకు అదే హారం, ఆపై భిన్నంగా. సాధారణ నియమాలుఅటువంటి ప్రణాళికకు తగ్గించవచ్చు.

హారం యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనండి.

అన్ని సాధారణ భిన్నాలకు అదనపు కారకాలను వ్రాయండి.

వాటి కోసం పేర్కొన్న కారకాల ద్వారా న్యూమరేటర్లు మరియు హారంలను గుణించండి.

భిన్నాల సంఖ్యలను జోడించండి (తీసివేయండి) మరియు సాధారణ హారం మారకుండా ఉంచండి.

మైన్యూఎండ్ యొక్క న్యూమరేటర్ సబ్‌ట్రాహెండ్ కంటే తక్కువగా ఉంటే, మన ముందు మనం కనుగొనాలి మిశ్రమ సంఖ్యలేదా సరైన భిన్నం.

మొదటి సందర్భంలో, మీరు మొత్తం భాగం నుండి ఒకదాన్ని తీసుకోవలసి ఉంటుంది. భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్‌కు హారం జోడించండి. ఆపై వ్యవకలనం చేయండి.

రెండవదానిలో, చిన్న సంఖ్య నుండి పెద్ద సంఖ్యను తీసివేయడం అనే నియమాన్ని వర్తింపజేయడం అవసరం. అంటే, సబ్‌ట్రాహెండ్ యొక్క మాడ్యూల్ నుండి, మైన్యూఎండ్ యొక్క మాడ్యూల్‌ను తీసివేయండి మరియు ప్రతిస్పందనగా “-” గుర్తును ఉంచండి.

అదనంగా (వ్యవకలనం) ఫలితాన్ని జాగ్రత్తగా చూడండి. మీరు సరికాని భిన్నాన్ని పొందినట్లయితే, మీరు మొత్తం భాగాన్ని ఎంచుకోవాలి. అంటే, న్యూమరేటర్‌ను హారంతో భాగించండి.

గుణకారం మరియు విభజన

వాటిని నిర్వహించడానికి, భిన్నాలను సాధారణ హారంకు తగ్గించాల్సిన అవసరం లేదు. ఇది చర్యలను సులభతరం చేస్తుంది. కానీ వారు ఇప్పటికీ మీరు నియమాలను అనుసరించాలని కోరుతున్నారు.

గుణించేటప్పుడు సాధారణ భిన్నాలున్యూమరేటర్లు మరియు డినామినేటర్లలోని సంఖ్యలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం అవసరం. ఏదైనా న్యూమరేటర్ మరియు హారం ఉమ్మడి కారకాన్ని కలిగి ఉంటే, వాటిని తగ్గించవచ్చు.

న్యూమరేటర్లను గుణించండి.

హారంలను గుణించండి.

ఫలితం తగ్గించదగిన భిన్నం అయితే, అది మళ్లీ సరళీకృతం చేయబడాలి.

విభజించేటప్పుడు, మీరు మొదట భాగహారాన్ని గుణకారంతో మరియు భాగహారాన్ని (రెండవ భిన్నం) పరస్పర భిన్నంతో భర్తీ చేయాలి (లవం మరియు హారం మార్పిడి).

అప్పుడు గుణకారం వలె కొనసాగండి (పాయింట్ 1 నుండి ప్రారంభమవుతుంది).

మీరు పూర్తి సంఖ్యతో గుణించాల్సిన (భాగించాల్సిన) పనిలో, రెండోది సరికాని భిన్నం వలె వ్రాయాలి. అంటే, 1 యొక్క హారంతో. ఆపై పైన వివరించిన విధంగా పని చేయండి.



దశాంశాలతో కార్యకలాపాలు

కూడిక మరియు తీసివేత

వాస్తవానికి, మీరు ఎల్లప్పుడూ దశాంశాన్ని భిన్నంగా మార్చవచ్చు. మరియు ఇప్పటికే వివరించిన ప్రణాళిక ప్రకారం పని చేయండి. కానీ కొన్నిసార్లు ఈ అనువాదం లేకుండా నటించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. అప్పుడు వాటి కూడిక మరియు తీసివేత నియమాలు సరిగ్గా ఒకే విధంగా ఉంటాయి.

సంఖ్య యొక్క పాక్షిక భాగంలో, అంటే దశాంశ బిందువు తర్వాత అంకెల సంఖ్యను సమం చేయండి. దానికి తప్పిపోయిన సున్నాల సంఖ్యను జోడించండి.

కామా కామా క్రింద ఉండేలా భిన్నాలను వ్రాయండి.

సహజ సంఖ్యల వలె జోడించండి (తీసివేయండి).

కామాను తీసివేయండి.

గుణకారం మరియు విభజన

మీరు ఇక్కడ సున్నాలను జోడించాల్సిన అవసరం లేదు. ఉదాహరణలో ఇచ్చిన విధంగా భిన్నాలను వదిలివేయాలి. ఆపై ప్రణాళిక ప్రకారం వెళ్ళండి.

గుణించడం కోసం, మీరు కామాలను విస్మరించి, భిన్నాలను ఒకదానికొకటి క్రింద వ్రాయాలి.

సహజ సంఖ్యల వలె గుణించండి.

సమాధానంలో కామాను ఉంచండి, సమాధానం యొక్క కుడి చివర నుండి రెండు కారకాల యొక్క భిన్న భాగాలలో ఉన్నన్ని అంకెలను లెక్కించండి.

విభజించడానికి, మీరు మొదట డివైజర్‌ను మార్చాలి: దానిని సహజ సంఖ్యగా చేయండి. అంటే, 10, 100 మొదలైన వాటితో గుణించండి, భాగహారం యొక్క పాక్షిక భాగంలో ఎన్ని అంకెలు ఉన్నాయి.

డివిడెండ్‌ను అదే సంఖ్యతో గుణించండి.

సహజ సంఖ్యతో దశాంశ భిన్నాన్ని భాగించండి.

మొత్తం భాగం యొక్క విభజన ముగిసినప్పుడు మీ సమాధానంలో కామాను ఉంచండి.



ఒక ఉదాహరణ రెండు రకాల భిన్నాలను కలిగి ఉంటే ఏమి చేయాలి?

అవును, గణితంలో మీరు సాధారణ మరియు దశాంశ భిన్నాలపై ఆపరేషన్లు చేయవలసిన ఉదాహరణలు తరచుగా ఉన్నాయి. అటువంటి పనులలో రెండు సాధ్యమైన పరిష్కారాలు ఉన్నాయి. మీరు నిష్పాక్షికంగా సంఖ్యలను తూకం వేయాలి మరియు సరైనదాన్ని ఎంచుకోవాలి.

మొదటి మార్గం: సాధారణ దశాంశాలను సూచిస్తుంది

విభజన లేదా అనువాదం పరిమిత భిన్నాలకు దారితీసినట్లయితే ఇది అనుకూలంగా ఉంటుంది. కనీసం ఒక సంఖ్య ఆవర్తన భాగాన్ని ఇస్తే, ఈ సాంకేతికత నిషేధించబడింది. అందువల్ల, సాధారణ భిన్నాలతో పనిచేయడం మీకు ఇష్టం లేకపోయినా, మీరు వాటిని లెక్కించవలసి ఉంటుంది.

రెండవ మార్గం: దశాంశ భిన్నాలను సాధారణమైనదిగా వ్రాయండి

దశాంశ బిందువు తర్వాత భాగం 1-2 అంకెలను కలిగి ఉంటే ఈ సాంకేతికత సౌకర్యవంతంగా మారుతుంది. వాటిలో ఎక్కువ ఉంటే, మీరు చాలా పెద్ద సాధారణ భిన్నాన్ని పొందవచ్చు మరియు దశాంశ సంకేతాలుపనిని వేగంగా మరియు సులభంగా లెక్కించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. అందువల్ల, మీరు ఎల్లప్పుడూ పనిని తెలివిగా అంచనా వేయాలి మరియు సరళమైన పరిష్కార పద్ధతిని ఎంచుకోవాలి.

అనంత దశాంశాలు

దశాంశ బిందువు తర్వాత దశాంశాలు అనంతమైన అంకెలను కలిగి ఉంటాయి.

అనంత దశాంశాలు-- ఇవి దశాంశ భిన్నాలు, వీటి సంజ్ఞామానం అనంతమైన సంఖ్యసంఖ్యలు

అనంతమైన దశాంశ భిన్నాన్ని పూర్తిగా వ్రాయడం దాదాపు అసాధ్యం, కాబట్టి వాటిని వ్రాసేటప్పుడు, అవి దశాంశ బిందువు తర్వాత నిర్దిష్ట పరిమిత సంఖ్యలో అంకెలకు మాత్రమే పరిమితం చేయబడతాయి, తర్వాత అవి ఎలిప్సిస్‌ను ఉంచుతాయి, ఇది అంకెలు అనంతంగా కొనసాగుతున్న క్రమాన్ని సూచిస్తుంది.

ఉదాహరణ 1

ఉదాహరణకు, $0.443340831\చుక్కలు ; 3.1415935432\చుక్కలు ; 135.126730405\చుక్కలు ; 4.33333333333\చుక్కలు ; 676.68349349\చుక్కలు $.

చివరి రెండు అనంత దశాంశాలను చూద్దాం. $4.33333333333\చుక్కలు$ అంకెలో $3$ అనంతంగా పునరావృతమవుతుంది మరియు $676.68349349\dots$ భిన్నంలో $3$, $4$ మరియు $9$ అంకెల సమూహం మూడవ దశాంశ స్థానం నుండి పునరావృతమవుతుంది. అటువంటి అనంతమైన దశాంశ భిన్నాలను ఆవర్తన అంటారు.

ఆవర్తన దశాంశాలు

ఆవర్తన దశాంశాలు(లేదా ఆవర్తన భిన్నాలు) అనంతమైన దశాంశ భిన్నాలు, వీటి రికార్డింగ్‌లో కొంత సంఖ్య లేదా సంఖ్యల సమూహం, భిన్నం యొక్క కాలం అని పిలుస్తారు, నిర్దిష్ట దశాంశ స్థానం నుండి అనంతంగా పునరావృతమవుతుంది).

ఉదాహరణ 2

ఉదాహరణకు, ఆవర్తన భిన్నం $4.33333333333\చుక్కలు $ అంకె $3$, మరియు భిన్నం యొక్క వ్యవధి $676.68349349\dots$ $349$ అంకెల సమూహం.

అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాలను వ్రాయడంలో సంక్షిప్తత కోసం, కుండలీకరణాల్లో చేర్చి, కాలాన్ని ఒకసారి వ్రాయడం ఆచారం. ఉదాహరణకు, ఆవర్తన భిన్నం $4.3333333333\dots$ $4,(3)$ అని వ్రాయబడింది మరియు ఆవర్తన భిన్నం $676.68349349\dots$ $676.68(349)$ అని వ్రాయబడింది.

$2$ మరియు $5$ కాకుండా ఇతర ప్రధాన కారకాలను కలిగి ఉన్న సాధారణ భిన్నాలను దశాంశ భిన్నాలుగా మార్చడం ద్వారా అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాలు పొందబడతాయి.

ఏదైనా పరిమిత దశాంశ భిన్నం (మరియు పూర్ణాంకం) కుడివైపున $0$ అనంతమైన అంకెలను జోడించడం ద్వారా ఆవర్తన భిన్నం వలె వ్రాయబడుతుంది.

ఉదాహరణ 3

ఉదాహరణకు, పరిమిత దశాంశం $45.12$ని ఆవర్తన భిన్నం వలె $45.12(0)$గా వ్రాయవచ్చు మరియు $(74)$ని అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశంగా $74(0)$గా వ్రాయవచ్చు.

9 వ్యవధిని కలిగి ఉన్న ఆవర్తన భిన్నాల విషయంలో, $0$ వ్యవధితో ఆవర్తన భిన్నం యొక్క మరొక సంజ్ఞామానానికి పరివర్తనను ఉపయోగించండి. ఈ ప్రయోజనం కోసం మాత్రమే, వ్యవధి 9 $0$తో భర్తీ చేయబడుతుంది మరియు తదుపరి అత్యధిక అంకె విలువ $1$ పెరిగింది.

ఉదాహరణ 4

ఉదాహరణకు, ఆవర్తన భిన్నం $7.45(9)$ని ఆవర్తన భిన్నం $7.46(0)$ లేదా సమానమైన దశాంశ భిన్నం $7.46$తో భర్తీ చేయవచ్చు.

అనంతమైన దశాంశ ఆవర్తన భిన్నాలు హేతుబద్ధ సంఖ్యలచే సూచించబడతాయి. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఏదైనా ఆవర్తన భిన్నం సాధారణ భిన్నంగా మార్చబడుతుంది మరియు ఏదైనా సాధారణ భిన్నం ఆవర్తన భిన్నం వలె సూచించబడుతుంది.

భిన్నాలను పరిమిత మరియు అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశాలుగా మార్చడం

$10, 100, \dots$ హారం ఉన్న సాధారణ భిన్నాలు మాత్రమే దశాంశ భిన్నానికి మార్చబడతాయి.

కొన్ని సందర్భాల్లో, అసలైన సాధారణ భిన్నం $10$, $100$ లేదా $1\000$ యొక్క హారంకు సులభంగా తగ్గించబడుతుంది, ఆ తర్వాత ఫలిత భిన్నాన్ని దశాంశ భిన్నం వలె సూచించవచ్చు.

ఉదాహరణ 5

$\frac(3)(5)$ భిన్నాన్ని $10$ హారంతో భిన్నానికి మార్చడానికి, మీరు భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంను $2$తో గుణించాలి, ఆ తర్వాత మనకు $\frac(6)( 10)$, ఇది దశాంశ భిన్నం $0.6$కి అనువదించడం కష్టం కాదు.

ఇతర సందర్భాల్లో, సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశంగా మార్చే మరొక పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది:

న్యూమరేటర్ తప్పనిసరిగా దశాంశ బిందువు తర్వాత ఏదైనా సున్నాలతో దశాంశ భిన్నంతో భర్తీ చేయాలి;

భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్‌ను హారం ద్వారా విభజించండి (విభజన సహజ సంఖ్యల విభజనగా కాలమ్‌గా నిర్వహించబడుతుంది మరియు డివిడెండ్ యొక్క మొత్తం భాగం యొక్క విభజన ముగిసిన తర్వాత గుణకంలో దశాంశ బిందువు ఉంచబడుతుంది).

ఉదాహరణ 6

$\frac(621)(4)$ భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.

న్యూమరేటర్‌లోని $621$ సంఖ్యను దశాంశ భిన్నం వలె సూచిస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, దశాంశ బిందువును జోడించండి మరియు స్టార్టర్స్ కోసం, దాని తర్వాత రెండు సున్నాలు. అప్పుడు, అవసరమైతే, మీరు మరిన్ని సున్నాలను జోడించవచ్చు. కాబట్టి, మేము $621.00$ అందుకున్నాము.

$621.00$ సంఖ్యను $4$తో కాలమ్‌గా భాగిద్దాం:

మూర్తి 1.

విభజన డివిడెండ్‌లో దశాంశ బిందువుకు చేరుకుంది మరియు మిగిలినది సున్నా కాదు. ఈ సందర్భంలో, ఒక దశాంశ బిందువు గుణకంలో ఉంచబడుతుంది మరియు విభజన కామాలతో సంబంధం లేకుండా నిలువు వరుసలో కొనసాగుతుంది:

మూర్తి 2.

మిగిలినది సున్నా, అంటే విభజన ముగిసింది.

సమాధానం: $155,25$.

ఒక సాధారణ భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంను విభజించినప్పుడు, మిగిలినది $0$కి దారితీయదు. ఈ సందర్భంలో, విభజన నిరవధికంగా కొనసాగించవచ్చు. ఒక నిర్దిష్ట క్షణం నుండి ప్రారంభించి, విభజన నుండి మిగిలినవి క్రమానుగతంగా పునరావృతమవుతాయి, అంటే గుణకంలోని సంఖ్యలు కూడా పునరావృతమవుతాయి. దీని నుండి ఈ సాధారణ భిన్నం అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నంగా మార్చబడుతుందని మేము నిర్ధారించగలము.

ఉదాహరణ 7

$\frac(19)(44)$ భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చండి.

పరిష్కారం.)

సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చడానికి, దీర్ఘ విభజన చేయండి:

మూర్తి 3.

విభజనలో, $8$ మరియు $36$ మిగిలినవి పునరావృతమవుతాయి మరియు గుణకంలో $1$ మరియు $8$ సంఖ్యలు కూడా పునరావృతమవుతాయి. కాబట్టి, అసలు సాధారణ భిన్నం $\frac(19)(44)$ ఆవర్తన భిన్నం $\frac(19)(44)=0.43181818\చుక్కలు =0.43(18)$గా మార్చబడింది.

సమాధానం: $0,43(18)$.

సాధారణ భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చడం గురించి సాధారణ ముగింపు:

హారంను ప్రధాన కారకాలుగా విడదీయగలిగితే, వాటిలో $2$ మరియు $5$ సంఖ్యలు మాత్రమే ఉంటే, అటువంటి భిన్నాన్ని తుది దశాంశ భిన్నం వలె మార్చవచ్చు;

$2$ మరియు $5$ సంఖ్యలతో పాటు, హారం యొక్క విస్తరణ ఇతర ప్రధాన సంఖ్యలను కలిగి ఉంటే, అటువంటి భిన్నం అనంతమైన దశాంశ ఆవర్తన భిన్నం వలె మార్చబడుతుంది.