సరైన భిన్నాలను ఎలా పోల్చాలి. భిన్నాలు

ప్రధాన సంఖ్యలను మాత్రమే కాకుండా, భిన్నాలను కూడా పోల్చవచ్చు. అన్నింటికంటే, భిన్నం అనేది అదే సంఖ్య, ఉదాహరణకు, సహజ సంఖ్యలు. మీరు భిన్నాలను పోల్చిన నియమాలను మాత్రమే తెలుసుకోవాలి.

భిన్నాలను ఒకే హారంతో పోల్చడం.

రెండు భిన్నాలు ఒకే హారం కలిగి ఉంటే, అటువంటి భిన్నాలను పోల్చడం సులభం.

భిన్నాలను ఒకే హారంతో పోల్చడానికి, మీరు వాటి సంఖ్యలను సరిపోల్చాలి. పెద్ద సంఖ్యను కలిగి ఉన్న భిన్నం పెద్దది.

ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:

భిన్నాలను సరిపోల్చండి \(\frac(7)(26)\) మరియు \(\frac(13)(26)\).

రెండు భిన్నాల హారం ఒకేలా ఉంటాయి మరియు 26కి సమానంగా ఉంటాయి, కాబట్టి మేము న్యూమరేటర్లను పోల్చాము. 13 సంఖ్య 7 కంటే ఎక్కువగా ఉంది. మనకు లభిస్తుంది:

\(\frac(7)(26)< \frac{13}{26}\)

భిన్నాలను సమాన సంఖ్యలతో పోల్చడం.

భిన్నం ఒకే సంఖ్యలను కలిగి ఉంటే, చిన్న హారంతో భిన్నం ఎక్కువగా ఉంటుంది.

జీవితం నుండి ఒక ఉదాహరణ ఇవ్వడం ద్వారా ఈ నియమాన్ని అర్థం చేసుకోవచ్చు. మా దగ్గర కేక్ ఉంది. 5 లేదా 11 మంది అతిథులు మమ్మల్ని సందర్శించడానికి రావచ్చు. 5 మంది అతిథులు వస్తే, మేము కేక్‌ను 5 సమాన ముక్కలుగా కట్ చేస్తాము మరియు 11 మంది అతిథులు వస్తే, మేము దానిని 11 సమాన ముక్కలుగా విభజిస్తాము. ప్రతి అతిథికి ఏ సందర్భంలో పెద్ద కేక్ ముక్క ఉంటుందో ఇప్పుడు ఆలోచించండి? అయితే, 5 మంది అతిథులు వచ్చినప్పుడు, కేక్ ముక్క పెద్దదిగా ఉంటుంది.

లేదా మరొక ఉదాహరణ. మా దగ్గర 20 క్యాండీలు ఉన్నాయి. మేము మిఠాయిని 4 స్నేహితులకు సమానంగా ఇవ్వవచ్చు లేదా మిఠాయిని 10 మంది స్నేహితుల మధ్య సమానంగా పంచుకోవచ్చు. ఏ సందర్భంలో ప్రతి స్నేహితుడికి ఎక్కువ క్యాండీలు ఉంటాయి? వాస్తవానికి, మేము కేవలం 4 మంది స్నేహితులతో మాత్రమే భాగస్వామ్యం చేసినప్పుడు, ప్రతి స్నేహితుడికి క్యాండీల సంఖ్య ఎక్కువగా ఉంటుంది. ఈ సమస్యను గణితశాస్త్రంలో తనిఖీ చేద్దాం.

\(\frac(20)(4) > \frac(20)(10)\)

మేము ఈ భిన్నాలను ముందే పరిష్కరిస్తే, మనకు \(\frac(20)(4) = 5\) మరియు \(\frac(20)(10) = 2\) సంఖ్యలు లభిస్తాయి. మనకు 5 > 2 వస్తుంది

భిన్నాలను ఒకే సంఖ్యలతో పోల్చడానికి ఇది నియమం.

మరొక ఉదాహరణ చూద్దాం.

భిన్నాలను ఒకే సంఖ్యతో సరిపోల్చండి \(\frac(1)(17)\) మరియు \(\frac(1)(15)\) .

న్యూమరేటర్‌లు ఒకే విధంగా ఉన్నందున, చిన్న హారంతో భిన్నం పెద్దదిగా ఉంటుంది.

\(\frac(1)(17)< \frac{1}{15}\)

భిన్నాలను వేర్వేరు హారం మరియు సంఖ్యలతో పోల్చడం.

భిన్నాలను వేర్వేరు హారంతో పోల్చడానికి, మీరు భిన్నాలను కు తగ్గించి, ఆపై సంఖ్యలను సరిపోల్చాలి.

భిన్నాలను సరిపోల్చండి \(\frac(2)(3)\) మరియు \(\frac(5)(7)\).

ముందుగా, భిన్నాల యొక్క సాధారణ హారంని కనుగొనండి. ఇది 21 సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది.

\(\begin(align)&\frac(2)(3) = \frac(2 \times 7)(3 \times 7) = \frac(14)(21)\\\\&\frac(5) (7) = \frac(5 \times 3)(7 \times 3) = \frac(15)(21)\\\\ \end(align)\)

అప్పుడు మేము న్యూమరేటర్లను పోల్చడానికి వెళ్తాము. భిన్నాలను ఒకే హారంతో పోల్చడానికి నియమం.

\(\ప్రారంభం(సమలేఖనం)&\frac(14)(21)< \frac{15}{21}\\\\&\frac{2}{3} < \frac{5}{7}\\\\ \end{align}\)

పోలిక.

సరైన భిన్నం కంటే సరికాని భిన్నం ఎల్లప్పుడూ పెద్దదిగా ఉంటుంది.ఎందుకంటే సరికాని భిన్నం 1 కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది మరియు సరైన భిన్నం 1 కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ:
భిన్నాలను సరిపోల్చండి \(\frac(11)(13)\) మరియు \(\frac(8)(7)\).

భిన్నం \(\frac(8)(7)\) సరికాదు మరియు 1 కంటే ఎక్కువ.

\(1 < \frac{8}{7}\)

భిన్నం \(\frac(11)(13)\) సరైనది మరియు ఇది 1 కంటే తక్కువ. పోల్చి చూద్దాం:

\(1 > \frac(11)(13)\)

మేము పొందుతాము, \(\frac(11)(13)< \frac{8}{7}\)

సంబంధిత ప్రశ్నలు:
భిన్నాలను వేర్వేరు హారంతో పోల్చడం ఎలా?
సమాధానం: మీరు భిన్నాలను ఒక సాధారణ హారంలోకి తీసుకురావాలి, ఆపై వాటి సంఖ్యలను సరిపోల్చాలి.

భిన్నాలను ఎలా పోల్చాలి?
సమాధానం: ముందుగా మీరు భిన్నాలు ఏ వర్గానికి చెందినవారో నిర్ణయించుకోవాలి: వాటికి ఉమ్మడి హారం ఉంది, వాటికి సాధారణ గణాంకం ఉంది, వాటికి సాధారణ హారం మరియు లవం లేదు, లేదా మీకు సరైన మరియు సరికాని భిన్నం ఉంది. భిన్నాలను వర్గీకరించిన తర్వాత, తగిన పోలిక నియమాన్ని వర్తింపజేయండి.

భిన్నాలను ఒకే సంఖ్యలతో పోల్చడం అంటే ఏమిటి?
సమాధానం: భిన్నాలు ఒకే సంఖ్యలను కలిగి ఉంటే, చిన్న హారంతో భిన్నం పెద్దదిగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ #1:
భిన్నాలను సరిపోల్చండి \(\frac(11)(12)\) మరియు \(\frac(13)(16)\).

పరిష్కారం:
ఒకే విధమైన న్యూమరేటర్‌లు లేదా హారం లేనందున, మేము విభిన్న హారంతో పోలిక నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము. మేము ఒక సాధారణ హారం కనుగొనాలి. ఉమ్మడి హారం 96 అవుతుంది. భిన్నాలను సాధారణ హారంలోకి తీసుకువద్దాం. మొదటి భిన్నం \(\frac(11)(12)\)ని 8 అదనపు కారకంతో గుణించండి మరియు రెండవ భిన్నం \(\frac(13)(16)\)ని 6తో గుణించండి.

\(\begin(align)&\frac(11)(12) = \frac(11 \times 8)(12 \times 8) = \frac(88)(96)\\\\&\frac(13) (16) = \frac(13 \times 6)(16 \times 6) = \frac(78)(96)\\\\ \end(align)\)

మేము భిన్నాలను న్యూమరేటర్‌లతో పోలుస్తాము, పెద్ద న్యూమరేటర్‌తో భిన్నం పెద్దదిగా ఉంటుంది.

\(\begin(align)&\frac(88)(96) > \frac(78)(96)\\\\&\frac(11)(12) > \frac(13)(16)\\\ \\ముగింపు(సమలేఖనం)\)

ఉదాహరణ #2:
సరైన భిన్నాన్ని ఒకదానితో పోల్చాలా?

పరిష్కారం:
ఏదైనా సరైన భిన్నం ఎల్లప్పుడూ 1 కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

టాస్క్ #1:
కొడుకు, తండ్రి ఫుట్‌బాల్ ఆడుతున్నారు. కొడుకు 10 అప్రోచ్‌లలో 5 సార్లు గోల్ కొట్టాడు. మరియు తండ్రి 5 విధానాలలో 3 సార్లు గోల్ కొట్టాడు. ఎవరి ఫలితం మంచిది?

పరిష్కారం:
కొడుకు 10 సాధ్యమైన విధానాలలో 5 సార్లు కొట్టాడు. దానిని భిన్నం \(\frac(5)(10)\)గా వ్రాద్దాం.
సాధ్యమయ్యే 5 విధానాలలో నాన్న 3 సార్లు కొట్టారు. దానిని భిన్నం \(\frac(3)(5)\)గా వ్రాద్దాం.

భిన్నాలను పోల్చి చూద్దాం. మనకు వేర్వేరు సంఖ్యలు మరియు హారం ఉన్నాయి, వాటిని ఒక హారంకు కుదిద్దాం. సాధారణ హారం 10 అవుతుంది.

\(\begin(align)&\frac(3)(5) = \frac(3 \times 2)(5 \times 2) = \frac(6)(10)\\\\&\frac(5) (10)< \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10} < \frac{3}{5}\\\\ \end{align}\)

జవాబు: నాన్నకు మంచి ఫలితం ఉంది.

సమీకరణాలు మరియు అసమానతలు, అలాగే మాడ్యూల్స్‌తో సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, మీరు కనుగొన్న మూలాలను సంఖ్య లైన్‌లో ఉంచాలి.

మీకు తెలిసినట్లుగా, కనుగొనబడిన మూలాలు భిన్నంగా ఉండవచ్చు. అవి ఇలా ఉండవచ్చు: , లేదా అవి ఇలా ఉండవచ్చు: , .

తదనుగుణంగా, సంఖ్యలు హేతుబద్ధమైనవి కాకపోయినా అహేతుకమైనవి (మీరు అవి ఏమిటో మర్చిపోయినట్లయితే, టాపిక్‌లో చూడండి), లేదా సంక్లిష్టమైన గణిత వ్యక్తీకరణలు అయితే, వాటిని సంఖ్యా రేఖపై ఉంచడం చాలా సమస్యాత్మకం.

అంతేకాకుండా, మీరు పరీక్ష సమయంలో కాలిక్యులేటర్లను ఉపయోగించలేరు మరియు ఉజ్జాయింపు లెక్కలు ఒక సంఖ్య మరొకదాని కంటే తక్కువగా ఉందని 100% హామీలను అందించవు (పోలుస్తున్న సంఖ్యల మధ్య వ్యత్యాసం ఉంటే ఏమి చేయాలి?).

వాస్తవానికి, ప్రతికూల సంఖ్యల కంటే సానుకూల సంఖ్యలు ఎల్లప్పుడూ పెద్దవిగా ఉంటాయని మీకు తెలుసు, మరియు మనం ఒక సంఖ్య అక్షాన్ని ఊహించినట్లయితే, పోల్చినప్పుడు, అతి పెద్ద సంఖ్యలు చిన్నదాని కంటే కుడి వైపున ఉంటాయి: ; ; మొదలైనవి

కానీ ప్రతిదీ ఎల్లప్పుడూ చాలా సులభం?

సంఖ్యా రేఖపై మనం ఎక్కడ గుర్తించాము, .

వాటిని ఎలా పోల్చవచ్చు, ఉదాహరణకు, సంఖ్యతో? ఇది రుద్దు...)

ఈ వ్యాసంలో మేము సంఖ్యలను సరిపోల్చడానికి అన్ని మార్గాలను పరిశీలిస్తాము, తద్వారా పరీక్ష సమయంలో ఇది మీకు సమస్య కాదు!

మొదట, ఎలా మరియు దేనితో పోల్చాలి అనే దాని గురించి సాధారణ పరంగా మాట్లాడుకుందాం.

ముఖ్యమైనది: అసమానత గుర్తు మారని విధంగా పరివర్తనలు చేయడం మంచిది!అంటే, పరివర్తన సమయంలో ప్రతికూల సంఖ్యతో గుణించడం అవాంఛనీయమైనది మరియు అది నిషేధించబడిందిభాగాలలో ఒకటి ప్రతికూలంగా ఉంటే చతురస్రం.

భిన్నాల పోలిక

కాబట్టి, మేము రెండు భిన్నాలను పోల్చాలి: మరియు.

దీన్ని ఎలా చేయాలో అనేక ఎంపికలు ఉన్నాయి.

ఎంపిక 1. భిన్నాలను సాధారణ హారంకు తగ్గించండి.

దీన్ని సాధారణ భిన్నం రూపంలో వ్రాస్దాం:

- (మీరు చూడగలిగినట్లుగా, నేను న్యూమరేటర్ మరియు హారం కూడా తగ్గించాను).

ఇప్పుడు మనం భిన్నాలను పోల్చాలి:

ఇప్పుడు మనం రెండు విధాలుగా పోల్చడం కొనసాగించవచ్చు. మనం చేయగలము:

1. రెండు భిన్నాలను సరికానిదిగా చూపుతూ, అన్నింటినీ ఒక సాధారణ హారంలోకి తీసుకురండి (సంఖ్య హారం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది):

   ఏ సంఖ్య ఎక్కువ? అది నిజం, పెద్ద న్యూమరేటర్ ఉన్నది, అంటే మొదటిది.

2. “విస్మరిద్దాం” (మనం ప్రతి భిన్నం నుండి ఒకదానిని తీసివేసినట్లు పరిగణించండి మరియు భిన్నాల నిష్పత్తి ఒకదానికొకటి తదనుగుణంగా మారలేదు) మరియు భిన్నాలను సరిపోల్చండి:

   మేము వాటిని ఒక సాధారణ హారంకి కూడా తీసుకువస్తాము:

   మునుపటి సందర్భంలో మాదిరిగానే మేము అదే ఫలితాన్ని పొందాము - మొదటి సంఖ్య రెండవదాని కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది:

   మనం ఒకదాన్ని సరిగ్గా తీసివేసామా లేదా అని కూడా తనిఖీ చేద్దాం? మొదటి గణన మరియు రెండవ గణనలో లవంలోని వ్యత్యాసాన్ని గణిద్దాం:
   1)
   2)

కాబట్టి, భిన్నాలను ఎలా పోల్చాలో మేము చూశాము, వాటిని ఒక సాధారణ హారంకి తీసుకువస్తుంది. వేరొక పద్ధతికి వెళ్దాం - భిన్నాలను పోల్చడం, వాటిని ఒక సాధారణ... న్యూమరేటర్‌కి తీసుకురావడం.

ఎంపిక 2. సాధారణ సంఖ్యకు తగ్గించడం ద్వారా భిన్నాలను పోల్చడం.

అవును, అవును. ఇది అక్షర దోషం కాదు. ఈ పద్ధతి పాఠశాలలో ఎవరికైనా చాలా అరుదుగా బోధించబడుతుంది, కానీ చాలా తరచుగా ఇది చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. మీరు దాని సారాంశాన్ని త్వరగా అర్థం చేసుకోవడానికి, నేను మిమ్మల్ని ఒకే ఒక ప్రశ్న అడుగుతాను - “ఏ సందర్భాలలో భిన్నం యొక్క విలువ గొప్పది?” అయితే, మీరు "ల్యూమరేటర్ వీలైనంత పెద్దగా ఉన్నప్పుడు మరియు హారం వీలైనంత చిన్నగా ఉన్నప్పుడు" అని చెబుతారు.

ఉదాహరణకు, ఇది నిజమని మీరు ఖచ్చితంగా చెప్పగలరా? మనం ఈ క్రింది భిన్నాలను పోల్చవలసి వస్తే ఏమి చేయాలి: ? మీరు వెంటనే గుర్తును కూడా సరిగ్గా ఉంచుతారని నేను అనుకుంటున్నాను, ఎందుకంటే మొదటి సందర్భంలో అవి భాగాలుగా విభజించబడ్డాయి మరియు రెండవది మొత్తంగా విభజించబడ్డాయి, అంటే రెండవ సందర్భంలో ముక్కలు చాలా చిన్నవిగా మారతాయి మరియు తదనుగుణంగా: . మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ఇక్కడ హారం భిన్నంగా ఉంటుంది, కానీ న్యూమరేటర్లు ఒకే విధంగా ఉంటాయి. అయితే, ఈ రెండు భిన్నాలను పోల్చడానికి, మీరు సాధారణ హారం కోసం చూడవలసిన అవసరం లేదు. అయినప్పటికీ... దాన్ని కనుగొని, పోలిక గుర్తు ఇంకా తప్పుగా ఉందో లేదో చూడండి?

కానీ సంకేతం ఒకటే.

మన అసలు పనికి తిరిగి వెళ్దాం - సరిపోల్చండి మరియు... మేము పోల్చి చూస్తాము మరియు ... మనం ఈ భిన్నాలను సాధారణ హారంగా కాకుండా సాధారణ సంఖ్యకు కుదిద్దాం. దీన్ని కేవలం చేయడానికి న్యూమరేటర్ మరియు హారంమొదటి భిన్నాన్ని గుణించండి. మేము పొందుతాము:

మరియు. ఏ భిన్నం పెద్దది? అది నిజం, మొదటిది.

ఎంపిక 3: వ్యవకలనం ఉపయోగించి భిన్నాలను పోల్చడం.

వ్యవకలనం ఉపయోగించి భిన్నాలను ఎలా పోల్చాలి? అవును, చాలా సులభం. మేము ఒక భిన్నం నుండి మరొకదాన్ని తీసివేస్తాము. ఫలితం సానుకూలంగా ఉంటే, మొదటి భిన్నం (minuend) రెండవ (సబ్‌ట్రాహెండ్) కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది మరియు ప్రతికూలంగా ఉంటే, అప్పుడు వైస్ వెర్సా.

మా సందర్భంలో, రెండవ నుండి మొదటి భిన్నాన్ని తీసివేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం: .

మీరు ఇప్పటికే అర్థం చేసుకున్నట్లుగా, మేము కూడా సాధారణ భిన్నానికి మారుస్తాము మరియు అదే ఫలితాన్ని పొందుతాము - . మా వ్యక్తీకరణ రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:

తరువాత, మేము ఇప్పటికీ సాధారణ హారంకు తగ్గింపును ఆశ్రయించవలసి ఉంటుంది. ప్రశ్న: మొదటి మార్గంలో, భిన్నాలను సరికాని వాటిగా మార్చడం లేదా రెండవ మార్గంలో, యూనిట్ను "తొలగించడం" లాగా? మార్గం ద్వారా, ఈ చర్య పూర్తిగా గణిత సమర్థనను కలిగి ఉంది. చూడండి:

నేను రెండవ ఎంపికను మెరుగ్గా ఇష్టపడుతున్నాను, ఎందుకంటే సాధారణ హారంకు తగ్గించబడినప్పుడు న్యూమరేటర్‌లో గుణించడం చాలా సులభం అవుతుంది.

దీనిని ఒక సాధారణ హారంలోకి తీసుకువద్దాం:

ఇక్కడ ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే, మనం ఏ సంఖ్య నుండి మరియు ఎక్కడ నుండి తీసివేసాము అనే దాని గురించి గందరగోళం చెందకూడదు. పరిష్కారం యొక్క పురోగతిని జాగ్రత్తగా చూడండి మరియు అనుకోకుండా సంకేతాలను కంగారు పెట్టవద్దు. రెండవ సంఖ్య నుండి మొదటి సంఖ్యను తీసివేసి, ప్రతికూల సమాధానం వచ్చింది, కాబట్టి?.. అది సరే, మొదటి సంఖ్య రెండవ సంఖ్య కంటే ఎక్కువ.

అర్థమైందా? భిన్నాలను పోల్చడానికి ప్రయత్నించండి:

ఆపు, ఆపు. సాధారణ హారం తీసుకురావడానికి లేదా తీసివేయడానికి తొందరపడకండి. చూడండి: మీరు దీన్ని సులభంగా దశాంశ భిన్నానికి మార్చవచ్చు. ఎంతకాలం ఉంటుంది? కుడి. చివరికి ఇంకేముంది?

ఇది మరొక ఎంపిక - దశాంశానికి మార్చడం ద్వారా భిన్నాలను పోల్చడం.

ఎంపిక 4: విభజనను ఉపయోగించి భిన్నాలను పోల్చడం.

అవును, అవును. మరియు ఇది కూడా సాధ్యమే. తర్కం చాలా సులభం: మనం పెద్ద సంఖ్యను చిన్న సంఖ్యతో భాగించినప్పుడు, మనకు వచ్చే సమాధానం ఒకటి కంటే ఎక్కువ సంఖ్య, మరియు చిన్న సంఖ్యను పెద్ద సంఖ్యతో భాగిస్తే, సమాధానం నుండి విరామంపై వస్తుంది.

ఈ నియమాన్ని గుర్తుంచుకోవడానికి, పోలిక కోసం ఏదైనా రెండు ప్రధాన సంఖ్యలను తీసుకోండి, ఉదాహరణకు, మరియు. ఇంతకు మించి ఏముందో తెలుసా? ఇప్పుడు విభజన చేద్దాం. మా సమాధానం. దీని ప్రకారం, సిద్ధాంతం సరైనది. మనం విభజించినట్లయితే, మనకు ఒకటి కంటే తక్కువ వస్తుంది, ఇది వాస్తవానికి తక్కువగా ఉందని నిర్ధారిస్తుంది.

ఈ నియమాన్ని సాధారణ భిన్నాలకు వర్తింపజేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం. పోల్చి చూద్దాం:

మొదటి భిన్నాన్ని రెండవ దానితో భాగించండి:

బై అండ్ బై షార్ట్ చేద్దాం.

పొందిన ఫలితం తక్కువ, అంటే డివిడెండ్ డివైజర్ కంటే తక్కువగా ఉంటుంది, అంటే:

మేము భిన్నాలను పోల్చడానికి సాధ్యమయ్యే అన్ని ఎంపికలను పరిశీలించాము. మీరు వాటిని ఎలా చూస్తారు 5:

• సాధారణ హారంకు తగ్గింపు;
• సాధారణ సంఖ్యకు తగ్గింపు;
• దశాంశ భిన్నం రూపానికి తగ్గింపు;
• వ్యవకలనం;
• విభజన.

శిక్షణ ఇవ్వడానికి సిద్ధంగా ఉన్నారా? భిన్నాలను సరైన మార్గంలో సరిపోల్చండి:

సమాధానాలను పోల్చి చూద్దాం:

1. (- దశాంశానికి మార్చండి)
2. (ఒక భిన్నాన్ని మరొకదానితో విభజించి, న్యూమరేటర్ మరియు హారం ద్వారా తగ్గించండి)
3. (మొత్తం భాగాన్ని ఎంచుకుని, అదే న్యూమరేటర్ సూత్రం ఆధారంగా భిన్నాలను సరిపోల్చండి)
4. (ఒక భిన్నాన్ని మరొకదానితో విభజించి, న్యూమరేటర్ మరియు హారం ద్వారా తగ్గించండి).

2. డిగ్రీల పోలిక

ఇప్పుడు మనం కేవలం సంఖ్యలను మాత్రమే కాకుండా, డిగ్రీ () ఉన్న వ్యక్తీకరణలను సరిపోల్చాల్సిన అవసరం ఉందని ఊహించండి.

వాస్తవానికి, మీరు సులభంగా ఒక చిహ్నాన్ని ఉంచవచ్చు:

అన్నింటికంటే, మేము డిగ్రీని గుణకారంతో భర్తీ చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

ఈ చిన్న మరియు ప్రాచీన ఉదాహరణ నుండి నియమం క్రింది విధంగా ఉంది:

ఇప్పుడు కింది వాటిని పోల్చడానికి ప్రయత్నించండి: . మీరు సులభంగా గుర్తును కూడా ఉంచవచ్చు:

ఎందుకంటే మనం ఘాతాంకాన్ని గుణకారంతో భర్తీ చేస్తే...

సాధారణంగా, మీరు ప్రతిదీ అర్థం చేసుకుంటారు మరియు ఇది అస్సలు కష్టం కాదు.

పోల్చినప్పుడు, డిగ్రీలు వేర్వేరు స్థావరాలు మరియు సూచికలను కలిగి ఉన్నప్పుడు మాత్రమే ఇబ్బందులు తలెత్తుతాయి. ఈ సందర్భంలో, ఒక సాధారణ మైదానానికి దారితీసేందుకు ప్రయత్నించడం అవసరం. ఉదాహరణకు:

వాస్తవానికి, ఇది తదనుగుణంగా, వ్యక్తీకరణ రూపాన్ని తీసుకుంటుందని మీకు తెలుసు:

బ్రాకెట్లను తెరిచి, మనకు లభించే వాటిని సరిపోల్చండి:

డిగ్రీ () యొక్క బేస్ ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉన్నప్పుడు కొంత ప్రత్యేక సందర్భం.

ఒకవేళ, రెండు డిగ్రీలు మరియు అంతకంటే ఎక్కువ ఉంటే, దీని ఇండెక్స్ తక్కువగా ఉంటుంది.

ఈ నియమాన్ని నిరూపించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. అది ఉండనివ్వండి.

మరియు మధ్య వ్యత్యాసంగా కొంత సహజ సంఖ్యను పరిచయం చేద్దాం.

లాజికల్, కాదా?

మరియు ఇప్పుడు మనం మరోసారి పరిస్థితికి శ్రద్ధ చూపుదాం - .

వరుసగా: . అందుకే, .

ఉదాహరణకు:

మీరు అర్థం చేసుకున్నట్లుగా, డిగ్రీల బేస్‌లు సమానంగా ఉన్నప్పుడు మేము కేసును పరిగణించాము. ఇప్పుడు బేస్ నుండి వరకు విరామంలో ఉన్నప్పుడు చూద్దాం, కానీ ఘాతాంకాలు సమానంగా ఉంటాయి. ఇక్కడ ప్రతిదీ చాలా సులభం.

ఉదాహరణను ఉపయోగించి దీన్ని ఎలా పోల్చాలో గుర్తుంచుకోండి:

వాస్తవానికి, మీరు గణితాన్ని త్వరగా చేసారు:

అందువల్ల, మీరు పోలిక కోసం ఇలాంటి సమస్యలను ఎదుర్కొన్నప్పుడు, మీరు త్వరగా లెక్కించగల కొన్ని సాధారణ సారూప్య ఉదాహరణలను గుర్తుంచుకోండి మరియు ఈ ఉదాహరణ ఆధారంగా, మరింత సంక్లిష్టమైన వాటిలో సంకేతాలను ఉంచండి.

పరివర్తనలు చేస్తున్నప్పుడు, మీరు గుణిస్తే, జోడించి, తీసివేస్తే లేదా విభజించినట్లయితే, అన్ని చర్యలు ఎడమ మరియు కుడి వైపులా చేయాలి (మీరు గుణిస్తే, మీరు రెండింటినీ గుణించాలి).

అదనంగా, ఏదైనా అవకతవకలు చేయడం లాభదాయకం కానప్పుడు కేసులు ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, మీరు సరిపోల్చాలి. ఈ సందర్భంలో, శక్తిని పెంచడం మరియు దీని ఆధారంగా గుర్తును ఏర్పాటు చేయడం అంత కష్టం కాదు:

సాధన చేద్దాం. డిగ్రీలను సరిపోల్చండి:

సమాధానాలను పోల్చడానికి సిద్ధంగా ఉన్నారా? నాకు లభించినవి ఇక్కడ ఉన్నాయి:

1. - అదే
2. - అదే
3. - అదే
4. - అదే

3. సంఖ్యలను మూలాలతో పోల్చడం

మొదట, మూలాలు ఏమిటో గుర్తుంచుకోండి? ఈ రికార్డింగ్ మీకు గుర్తుందా?

వాస్తవ సంఖ్య యొక్క శక్తి యొక్క మూలం సమానత్వం కలిగి ఉన్న సంఖ్య.

మూలాలుప్రతికూల మరియు ధనాత్మక సంఖ్యలకు బేసి డిగ్రీలు ఉన్నాయి మరియు మూలాలు కూడా- అనుకూలమైన వాటికి మాత్రమే.

మూల విలువ తరచుగా అనంతమైన దశాంశం, ఇది ఖచ్చితంగా లెక్కించడం కష్టతరం చేస్తుంది, కాబట్టి మూలాలను పోల్చడం చాలా ముఖ్యం.

మీరు అది ఏమిటో మరియు దానితో ఏమి తింటారో మీరు మరచిపోయినట్లయితే - . మీరు ప్రతిదీ గుర్తుంచుకుంటే, మూలాలను దశలవారీగా పోల్చడం నేర్చుకుందాం.

మనం పోల్చాలి అని చెప్పండి:

ఈ రెండు మూలాలను పోల్చడానికి, మీరు ఎటువంటి గణనలను చేయవలసిన అవసరం లేదు, కేవలం "రూట్" అనే భావనను విశ్లేషించండి. నేను ఏమి మాట్లాడుతున్నానో మీకు అర్థమైందా? అవును, దీని గురించి: లేకుంటే అది రాడికల్ వ్యక్తీకరణకు సమానమైన కొంత సంఖ్య యొక్క మూడవ శక్తిగా వ్రాయవచ్చు.

ఇంకేముంది? లేదా? వాస్తవానికి, మీరు దీన్ని ఏ కష్టం లేకుండా పోల్చవచ్చు. మనం ఎంత పెద్ద సంఖ్యను శక్తికి పెంచితే, విలువ అంత ఎక్కువగా ఉంటుంది.

కాబట్టి. ఒక నియమాన్ని రూపొందిద్దాం.

మూలాల ఘాతాంకాలు ఒకే విధంగా ఉంటే (మా విషయంలో ఇది), అప్పుడు రాడికల్ వ్యక్తీకరణలను (మరియు) పోల్చడం అవసరం - పెద్ద రాడికల్ సంఖ్య, సమాన ఘాతాంకాలతో మూలం యొక్క విలువ ఎక్కువ.

గుర్తుంచుకోవడం కష్టమా? అప్పుడు మీ తలపై ఒక ఉదాహరణ ఉంచండి మరియు... ఇంకేముంది?

మూలం చతురస్రంగా ఉన్నందున మూలాల ఘాతాంకాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి. ఒక సంఖ్య () యొక్క రాడికల్ వ్యక్తీకరణ మరొక () కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది, అంటే నియమం నిజంగా నిజం.

రాడికల్ వ్యక్తీకరణలు ఒకేలా ఉంటే, కానీ మూలాల డిగ్రీలు భిన్నంగా ఉంటే? ఉదాహరణకు: .

అధిక డిగ్రీ యొక్క మూలాన్ని సంగ్రహించినప్పుడు, ఒక చిన్న సంఖ్య పొందబడుతుందని కూడా చాలా స్పష్టంగా ఉంది. ఉదాహరణకు తీసుకుందాం:

మొదటి మూలం యొక్క విలువను ఇలా, మరియు రెండవది - ఇలా, అప్పుడు:

ఈ సమీకరణాలలో తప్పనిసరిగా మరిన్ని ఉండాలని మీరు సులభంగా చూడవచ్చు, కాబట్టి:

రాడికల్ ఎక్స్‌ప్రెషన్స్ ఒకేలా ఉంటే(మా విషయంలో), మరియు మూలాల ఘాతాంకాలు భిన్నంగా ఉంటాయి(మా విషయంలో ఇది మరియు) అప్పుడు ఘాతాంకాలను పోల్చడం అవసరం(మరియు) - అధిక సూచిక, ఈ వ్యక్తీకరణ చిన్నది.

కింది మూలాలను సరిపోల్చడానికి ప్రయత్నించండి:

ఫలితాలను పోల్చి చూద్దాం?

మేము దీన్ని విజయవంతంగా క్రమబద్ధీకరించాము :). మరొక ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: మనమందరం భిన్నంగా ఉంటే? డిగ్రీ మరియు రాడికల్ వ్యక్తీకరణ రెండూ? ప్రతిదీ చాలా క్లిష్టంగా లేదు, మేము కేవలం అవసరం ... రూట్ యొక్క "తొలగించు". అవును, అవును. దాన్ని వదిలించుకోండి)

మనకు వేర్వేరు డిగ్రీలు మరియు రాడికల్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లు ఉంటే, మూలాల ఘాతాంకాల కోసం మనం అతి తక్కువ సాధారణ మల్టిపుల్‌ని (విభాగాన్ని చదవండి) కనుగొనాలి మరియు రెండు వ్యక్తీకరణలను అతి తక్కువ సాధారణ గుణకారానికి సమానమైన శక్తికి పెంచాలి.

మనమందరం మాటలలో మరియు మాటలలో ఉన్నాము. ఇక్కడ ఒక ఉదాహరణ:

1. మేము మూలాల సూచికలను పరిశీలిస్తాము - మరియు. వారి అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం .
2. రెండు వ్యక్తీకరణలను శక్తికి పెంచుదాం:
3. వ్యక్తీకరణను మార్చండి మరియు బ్రాకెట్లను తెరవండి (అధ్యాయంలో మరిన్ని వివరాలు):
4. మనం ఏమి చేశామో లెక్కించి, గుర్తు పెట్టండి:

4. లాగరిథమ్‌ల పోలిక

కాబట్టి, నెమ్మదిగా కానీ ఖచ్చితంగా, మేము లాగరిథమ్‌లను ఎలా పోల్చాలి అనే ప్రశ్నకు వస్తాము. ఇది ఏ రకమైన జంతువు అని మీకు గుర్తులేకపోతే, మొదట విభాగం నుండి సిద్ధాంతాన్ని చదవమని నేను మీకు సలహా ఇస్తున్నాను. మీరు చదివారా? ఆపై కొన్ని ముఖ్యమైన ప్రశ్నలకు సమాధానం ఇవ్వండి:

1. సంవర్గమానం యొక్క వాదన ఏమిటి మరియు దాని ఆధారం ఏమిటి?
2. ఫంక్షన్ పెరుగుతుందా లేదా తగ్గుతుందా అని ఏది నిర్ణయిస్తుంది?

మీరు ప్రతిదీ గుర్తుంచుకొని మరియు దానిని సంపూర్ణంగా ప్రావీణ్యం పొందినట్లయితే, ప్రారంభించండి!

లాగరిథమ్‌లను ఒకదానితో ఒకటి పోల్చడానికి, మీరు 3 పద్ధతులను మాత్రమే తెలుసుకోవాలి:

• అదే ప్రాతిపదికన తగ్గింపు;
• అదే వాదనకు తగ్గింపు;
• మూడవ సంఖ్యతో పోలిక.

ప్రారంభంలో, లాగరిథమ్ యొక్క స్థావరానికి శ్రద్ద. అది తక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు ఫంక్షన్ తగ్గుతుంది మరియు ఎక్కువ ఉంటే, అది పెరుగుతుంది అని మీకు గుర్తుందా. దీని ఆధారంగానే మా తీర్పులు ఉంటాయి.

ఇప్పటికే అదే బేస్ లేదా ఆర్గ్యుమెంట్‌కి తగ్గించబడిన లాగరిథమ్‌ల పోలికను పరిశీలిద్దాం.

ప్రారంభించడానికి, సమస్యను సరళీకృతం చేద్దాం: పోల్చబడిన సంవర్గమానాలను తెలియజేయండి సమాన మైదానాలు. అప్పుడు:

1. ఫంక్షన్, కోసం, నుండి విరామంలో పెరుగుతుంది, అంటే, నిర్వచనం ప్రకారం, అప్పుడు ("ప్రత్యక్ష పోలిక").
2. ఉదాహరణ:- ఆధారాలు ఒకే విధంగా ఉన్నాయి, మేము తదనుగుణంగా వాదనలను పోల్చాము: , కాబట్టి:
3. ఫంక్షన్, వద్ద, నుండి విరామంలో తగ్గుతుంది, అంటే, నిర్వచనం ప్రకారం, ఆపై ("రివర్స్ పోలిక"). - స్థావరాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి, మేము తదనుగుణంగా ఆర్గ్యుమెంట్‌లను పోలుస్తాము: అయితే, సంవర్గమానాల సంకేతం “రివర్స్” అవుతుంది, ఎందుకంటే ఫంక్షన్ తగ్గుతోంది: .

ఇప్పుడు కారణాలు భిన్నంగా ఉన్న సందర్భాలను పరిగణించండి, కానీ వాదనలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి.

1. పునాది పెద్దది.
   • . ఈ సందర్భంలో మేము "రివర్స్ పోలిక" ఉపయోగిస్తాము. ఉదాహరణకు: - వాదనలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి మరియు. బేస్‌లను పోల్చి చూద్దాం: అయితే, లాగరిథమ్‌ల సంకేతం "రివర్స్" అవుతుంది:
2. బేస్ a ఖాళీలో ఉంది.
   • . ఈ సందర్భంలో మేము "ప్రత్యక్ష పోలిక" ఉపయోగిస్తాము. ఉదాహరణకు:
   • . ఈ సందర్భంలో మేము "రివర్స్ పోలిక" ఉపయోగిస్తాము. ఉదాహరణకు:

అన్నింటినీ సాధారణ పట్టిక రూపంలో వ్రాస్దాం:

, అయితే	, అయితే

దీని ప్రకారం, మీరు ఇప్పటికే అర్థం చేసుకున్నట్లుగా, లాగరిథమ్‌లను పోల్చినప్పుడు, మేము ఒక బేస్ నుండి మరొకదానికి వెళ్లడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి అదే స్థావరానికి దారితీయాలి.

మీరు లాగరిథమ్‌లను మూడవ సంఖ్యతో పోల్చవచ్చు మరియు దీని ఆధారంగా, ఏది తక్కువ మరియు ఏది ఎక్కువ అనే దాని గురించి ఒక తీర్మానాన్ని రూపొందించండి. ఉదాహరణకు, ఈ రెండు లాగరిథమ్‌లను ఎలా పోల్చాలో ఆలోచించండి?

ఒక చిన్న సూచన - పోలిక కోసం, సంవర్గమానం మీకు చాలా సహాయం చేస్తుంది, దీని వాదన సమానంగా ఉంటుంది.

ఆలోచన? కలిసి నిర్ణయం తీసుకుందాం.

మేము ఈ రెండు లాగరిథమ్‌లను మీతో సులభంగా పోల్చవచ్చు:

ఎలాగో తెలియదా? పైన చూడండి. మేము దీన్ని ఇప్పుడే క్రమబద్ధీకరించాము. ఏ సంకేతం ఉంటుంది? కుడి:

అంగీకరిస్తున్నారా?

ఒకదానితో ఒకటి పోల్చి చూద్దాం:

మీరు ఈ క్రింది వాటిని పొందాలి:

ఇప్పుడు మా అన్ని తీర్మానాలను ఒకటిగా కలపండి. ఇది పని చేసిందా?

5. త్రికోణమితి వ్యక్తీకరణల పోలిక.

సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్, కోటాంజెంట్ అంటే ఏమిటి? మనకు యూనిట్ సర్కిల్ ఎందుకు అవసరం మరియు దానిపై త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల విలువను ఎలా కనుగొనాలి? ఈ ప్రశ్నలకు సమాధానాలు మీకు తెలియకపోతే, మీరు ఈ అంశంపై సిద్ధాంతాన్ని చదవాలని నేను బాగా సిఫార్సు చేస్తున్నాను. మరియు మీకు తెలిస్తే, త్రికోణమితి వ్యక్తీకరణలను ఒకదానితో ఒకటి పోల్చడం మీకు కష్టం కాదు!

మన జ్ఞాపకశక్తిని కొద్దిగా రిఫ్రెష్ చేద్దాం. యూనిట్ త్రికోణమితి వృత్తాన్ని మరియు దానిలో చెక్కబడిన త్రిభుజాన్ని గీయండి. మీరు నిర్వహించారా? ఇప్పుడు త్రిభుజం యొక్క భుజాలను ఉపయోగించి మనం కొసైన్‌ను ఏ వైపున మరియు ఏ వైపున సైన్‌ను ప్లాట్ చేస్తాము. (మీరు, వాస్తవానికి, సైన్ అనేది హైపోటెన్యూస్‌కి ఎదురుగా ఉండే నిష్పత్తి మరియు కొసైన్ ప్రక్కనే ఉన్న భాగమని గుర్తుంచుకోండి?). మీరు దానిని గీసారా? గొప్ప! అంతిమ స్పర్శ ఏమిటంటే, మనకు అది ఎక్కడ ఉంటుంది, ఎక్కడ మరియు మొదలైనవి. నువ్వే పెట్టావా? ఫ్యూ) మీకు మరియు నాకు ఏమి జరిగిందో పోల్చి చూద్దాం.

అయ్యో! ఇప్పుడు పోలికను ప్రారంభిద్దాం!

మనం పోల్చి చూడాల్సిన అవసరం ఉందని చెప్పండి మరియు. యూనిట్ సర్కిల్‌పై పాయింట్లను ఉంచడం ద్వారా బాక్స్‌లలోని ప్రాంప్ట్‌లను ఉపయోగించి ఈ కోణాలను గీయండి (మనం ఎక్కడ గుర్తించాము). మీరు నిర్వహించారా? ఇక్కడ నేను పొందాను.

ఇప్పుడు మనం సర్కిల్‌పై గుర్తించిన పాయింట్ల నుండి అక్షం మీదకు లంబంగా వదలండి... ఏది? ఏ అక్షం సైన్స్ విలువను చూపుతుంది? కుడి, . మీరు పొందవలసినది ఇదే:

ఈ చిత్రాన్ని చూస్తే, ఏది పెద్దది: లేదా? వాస్తవానికి, పాయింట్ పాయింట్ పైన ఉన్నందున.

ఇదే విధంగా, మేము కొసైన్‌ల విలువను పోల్చాము. మేము అక్షానికి లంబంగా మాత్రమే తగ్గిస్తాము... అది నిజం, . దీని ప్రకారం, ఏ బిందువు కుడి వైపున ఉందో చూస్తాము (లేదా అంతకంటే ఎక్కువ, సైన్స్ విషయంలో), అప్పుడు విలువ ఎక్కువగా ఉంటుంది.

టాంజెంట్‌లను ఎలా పోల్చాలో మీకు ఇప్పటికే తెలిసి ఉండవచ్చు, సరియైనదా? టాంజెంట్ అంటే ఏమిటో మీరు తెలుసుకోవలసినది. కాబట్టి టాంజెంట్ అంటే ఏమిటి?) అది సరే, కొసైన్‌కి సైన్ నిష్పత్తి.

టాంజెంట్లను పోల్చడానికి, మేము మునుపటి సందర్భంలో మాదిరిగానే కోణాన్ని గీస్తాము. మనం పోల్చాలి అని చెప్పండి:

మీరు దానిని గీసారా? ఇప్పుడు మేము కోఆర్డినేట్ అక్షంపై సైన్ విలువలను కూడా గుర్తించాము. మీరు గమనించారా? ఇప్పుడు కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో కొసైన్ విలువలను సూచించండి. ఇది పని చేసిందా? పోల్చి చూద్దాం:

ఇప్పుడు మీరు వ్రాసిన వాటిని విశ్లేషించండి. - మేము పెద్ద విభాగాన్ని చిన్నదిగా విభజిస్తాము. సమాధానం ఖచ్చితంగా ఒకటి కంటే ఎక్కువ విలువను కలిగి ఉంటుంది. సరియైనదా?

మరియు మేము చిన్నదాన్ని పెద్దదానితో విభజించినప్పుడు. సమాధానం సరిగ్గా ఒకటి కంటే తక్కువ ఉన్న సంఖ్యగా ఉంటుంది.

కాబట్టి ఏ త్రికోణమితి వ్యక్తీకరణకు ఎక్కువ విలువ ఉంది?

కుడి:

మీరు ఇప్పుడు అర్థం చేసుకున్నట్లుగా, కోటాంజెంట్‌లను పోల్చడం అనేది అదే విషయం, రివర్స్‌లో మాత్రమే: కొసైన్ మరియు సైన్ నిర్వచించే విభాగాలు ఒకదానితో ఒకటి ఎలా సంబంధం కలిగి ఉన్నాయో మేము పరిశీలిస్తాము.

కింది త్రికోణమితి వ్యక్తీకరణలను మీరే సరిపోల్చడానికి ప్రయత్నించండి:

ఉదాహరణలు.

సమాధానాలు.

సంఖ్యల పోలిక. ఇంటర్మీడియట్ స్థాయి.

ఏ సంఖ్య ఎక్కువ: లేదా? సమాధానం స్పష్టంగా ఉంది. మరియు ఇప్పుడు: లేదా? ఇకపై అంత స్పష్టంగా లేదు, సరియైనదా? కాబట్టి: లేదా?

తరచుగా మీరు ఏ సంఖ్యా వ్యక్తీకరణ ఎక్కువ అని తెలుసుకోవాలి. ఉదాహరణకు, అసమానతను పరిష్కరించేటప్పుడు పాయింట్లను సరైన క్రమంలో అక్షం మీద ఉంచడం.

అటువంటి సంఖ్యలను ఎలా పోల్చాలో ఇప్పుడు నేను మీకు నేర్పుతాను.

మీరు సంఖ్యలను సరిపోల్చవలసి వస్తే మరియు వాటి మధ్య మేము ఒక గుర్తును ఉంచుతాము (లాటిన్ పదం వెర్సస్ లేదా సంక్షిప్తంగా వర్సెస్ - వ్యతిరేకంగా): . ఈ గుర్తు తెలియని అసమానత గుర్తు ()ని భర్తీ చేస్తుంది. తరువాత, సంఖ్యల మధ్య ఏ గుర్తును ఉంచాలో స్పష్టంగా కనిపించే వరకు మేము ఒకే విధమైన పరివర్తనలను చేస్తాము.

సంఖ్యలను పోల్చడం యొక్క సారాంశం ఇది: మేము సంకేతాన్ని ఒక రకమైన అసమానత గుర్తుగా భావిస్తాము. మరియు వ్యక్తీకరణతో మనం సాధారణంగా చేసే ప్రతిదాన్ని అసమానతలతో చేయవచ్చు:

• రెండు వైపులా ఏదైనా సంఖ్యను జోడించండి (మరియు, మేము కూడా తీసివేయవచ్చు)
• "అన్నీ ఒక వైపుకు తరలించు", అంటే, రెండు భాగాల నుండి పోల్చిన వ్యక్తీకరణలలో ఒకదాన్ని తీసివేయండి. తీసివేసిన వ్యక్తీకరణ స్థానంలో మిగిలి ఉంటుంది: .
• అదే సంఖ్యతో గుణించండి లేదా భాగించండి. ఈ సంఖ్య ప్రతికూలంగా ఉంటే, అసమానత గుర్తు రివర్స్ అవుతుంది: .
• రెండు వైపులా ఒకే శక్తికి పెంచండి. ఈ శక్తి సమానంగా ఉంటే, రెండు భాగాలకు ఒకే గుర్తు ఉందని మీరు నిర్ధారించుకోవాలి; రెండు భాగాలు సానుకూలంగా ఉంటే, శక్తికి పెంచినప్పుడు గుర్తు మారదు, కానీ అవి ప్రతికూలంగా ఉంటే, అది వ్యతిరేకతకు మారుతుంది.
• రెండు భాగాల నుండి ఒకే డిగ్రీ యొక్క మూలాన్ని సంగ్రహించండి. మనం సరి డిగ్రీ యొక్క మూలాన్ని సంగ్రహిస్తున్నట్లయితే, ముందుగా రెండు వ్యక్తీకరణలు ప్రతికూలంగా లేవని నిర్ధారించుకోవాలి.
• ఏదైనా ఇతర సమానమైన పరివర్తనలు.

ముఖ్యమైనది: అసమానత గుర్తు మారని విధంగా పరివర్తనలు చేయడం మంచిది! అంటే, పరివర్తన సమయంలో, ప్రతికూల సంఖ్యతో గుణించడం అవాంఛనీయమైనది మరియు భాగాలలో ఒకటి ప్రతికూలంగా ఉంటే మీరు దానిని వర్గీకరించలేరు.

కొన్ని సాధారణ పరిస్థితులను చూద్దాం.

1. ఎక్స్పోనెన్షియేషన్.

ఉదాహరణ.

ఏది ఎక్కువ: లేదా?

పరిష్కారం.

అసమానత యొక్క రెండు వైపులా సానుకూలంగా ఉన్నందున, మూలాన్ని వదిలించుకోవడానికి మనం దానిని వర్గీకరించవచ్చు:

ఉదాహరణ.

ఏది ఎక్కువ: లేదా?

పరిష్కారం.

ఇక్కడ మనం దానిని కూడా వర్గీకరించవచ్చు, కానీ ఇది వర్గమూలాన్ని వదిలించుకోవడానికి మాత్రమే మాకు సహాయపడుతుంది. ఇక్కడ రెండు మూలాలు అదృశ్యమయ్యేంత స్థాయికి పెంచడం అవసరం. దీని అర్థం ఈ డిగ్రీ యొక్క ఘాతాంకం తప్పనిసరిగా రెండింటి ద్వారా (మొదటి మూలం యొక్క డిగ్రీ) మరియు ద్వారా భాగించబడాలి. ఈ సంఖ్య, కాబట్టి, వ శక్తికి పెంచబడింది:

2. దాని సంయోగం ద్వారా గుణకారం.

ఉదాహరణ.

ఏది ఎక్కువ: లేదా?

పరిష్కారం.

ప్రతి వ్యత్యాసాన్ని సంయోగ మొత్తంతో గుణిద్దాం మరియు భాగిద్దాం:

సహజంగానే, కుడి వైపున ఉన్న హారం ఎడమ వైపున ఉన్న హారం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. కాబట్టి, కుడి భిన్నం ఎడమ కంటే చిన్నది:

3. తీసివేత

అది గుర్తుంచుకుందాం.

ఉదాహరణ.

ఏది ఎక్కువ: లేదా?

పరిష్కారం.

వాస్తవానికి, మేము ప్రతిదానిని వర్గీకరించవచ్చు, మళ్లీ సమూహపరచవచ్చు మరియు మళ్లీ వర్గీకరించవచ్చు. కానీ మీరు తెలివిగా ఏదైనా చేయవచ్చు:

ఎడమ వైపున ప్రతి పదం కుడి వైపున ఉన్న ప్రతి పదం కంటే తక్కువగా ఉన్నట్లు చూడవచ్చు.

దీని ప్రకారం, ఎడమ వైపున ఉన్న అన్ని నిబంధనల మొత్తం కుడి వైపున ఉన్న అన్ని నిబంధనల మొత్తం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

అయితే జాగ్రత్త! ఇంకా ఏమిటని మమ్మల్ని అడిగారు...

కుడివైపు పెద్దది.

ఉదాహరణ.

సంఖ్యలను సరిపోల్చండి మరియు...

పరిష్కారం.

త్రికోణమితి సూత్రాలను గుర్తుంచుకోండి:

త్రికోణమితి వృత్తంలోని ఏ క్వార్టర్స్‌లో పాయింట్లు మరియు అబద్ధాలు ఉన్నాయో తనిఖీ చేద్దాం.

4. విభజన.

ఇక్కడ మేము ఒక సాధారణ నియమాన్ని కూడా ఉపయోగిస్తాము: .

వద్ద లేదా, అంటే.

గుర్తు మారినప్పుడు: .

ఉదాహరణ.

సరిపోల్చండి: .

పరిష్కారం.

5. సంఖ్యలను మూడవ సంఖ్యతో సరిపోల్చండి

ఒకవేళ మరియు, అప్పుడు (ట్రాన్సిటివిటీ యొక్క చట్టం).

ఉదాహరణ.

సరిపోల్చండి.

పరిష్కారం.

సంఖ్యలను ఒకదానితో ఒకటి కాకుండా సంఖ్యతో సరిపోల్చండి.

సహజంగానే.

మరొక వైపు, .

ఉదాహరణ.

ఏది ఎక్కువ: లేదా?

పరిష్కారం.

రెండు సంఖ్యలు పెద్దవి, కానీ చిన్నవి. ఒకటి కంటే ఎక్కువ, కానీ మరొకదాని కంటే తక్కువగా ఉండే సంఖ్యను ఎంచుకుందాం. ఉదాహరణకు, . తనిఖీ చేద్దాం:

6. లాగరిథమ్‌లతో ఏమి చేయాలి?

ప్రత్యేకంగా ఏమీ లేదు. లాగరిథమ్‌లను ఎలా వదిలించుకోవాలో అంశంలో వివరంగా వివరించబడింది. ప్రాథమిక నియమాలు:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \ఎడమవైపున (\rm( ))\ఎడమ[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \wedge y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

మేము వివిధ స్థావరాలు మరియు ఒకే వాదనతో లాగరిథమ్‌ల గురించి నియమాన్ని కూడా జోడించవచ్చు:

దీనిని ఈ విధంగా వివరించవచ్చు: బేస్ ఎంత పెద్దదైతే, అదే విషయాన్ని పొందడానికి అది తక్కువ డిగ్రీని పెంచాలి. బేస్ చిన్నగా ఉంటే, దానికి విరుద్ధంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే సంబంధిత ఫంక్షన్ మార్పు లేకుండా తగ్గుతుంది.

ఉదాహరణ.

సంఖ్యలను సరిపోల్చండి: మరియు.

పరిష్కారం.

పై నిబంధనల ప్రకారం:

మరియు ఇప్పుడు అధునాతన కోసం ఫార్ములా.

లాగరిథమ్‌లను పోల్చడానికి నియమాన్ని మరింత క్లుప్తంగా వ్రాయవచ్చు:

ఉదాహరణ.

ఏది ఎక్కువ: లేదా?

పరిష్కారం.

ఉదాహరణ.

ఏ సంఖ్య ఎక్కువగా ఉందో సరిపోల్చండి: .

పరిష్కారం.

సంఖ్యల పోలిక. ప్రధాన విషయాల గురించి క్లుప్తంగా

1. ఎక్స్పోనెన్షియేషన్

అసమానత యొక్క రెండు వైపులా సానుకూలంగా ఉంటే, మూలాన్ని వదిలించుకోవడానికి వాటిని వర్గీకరించవచ్చు

2. దాని సంయోగం ద్వారా గుణకారం

సంయోగం అనేది చతురస్రాల ఫార్ములా యొక్క వ్యత్యాసానికి వ్యక్తీకరణను పూర్తి చేసే అంశం: - కోసం సంయోగం మరియు వైస్ వెర్సా, ఎందుకంటే .

3. తీసివేత

4. విభజన

ఎప్పుడు లేదా అది

గుర్తు మారినప్పుడు:

5. మూడవ సంఖ్యతో పోలిక

ఉంటే ఆపై

6. లాగరిథమ్‌ల పోలిక

ప్రాథమిక నియమాలు:

విభిన్న స్థావరాలు మరియు ఒకే వాదనతో లాగరిథమ్‌లు:

మిగిలిన 2/3 వ్యాసాలు యూక్లెవర్ విద్యార్థులకు మాత్రమే అందుబాటులో ఉన్నాయి!

YouClever విద్యార్థి అవ్వండి,

"నెలకు ఒక కప్పు కాఫీ" ధర కోసం గణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ లేదా యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ కోసం సిద్ధం చేయండి,

అలాగే “YouClever” పాఠ్యపుస్తకం, “100gia” ప్రిపరేషన్ ప్రోగ్రామ్ (వర్క్‌బుక్), అపరిమిత ట్రయల్ యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ మరియు యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్, పరిష్కారాల విశ్లేషణతో 6000 సమస్యలు మరియు ఇతర YouClever మరియు 100gia సేవలకు అపరిమిత యాక్సెస్‌ను పొందండి.

సాధారణ భిన్నాలను పోల్చడానికి నియమాలు భిన్నం రకం (సరైన, సరికాని, మిశ్రమ భిన్నం) మరియు పోల్చిన భిన్నాల యొక్క హారం (అదే లేదా భిన్నమైనవి)పై ఆధారపడి ఉంటాయి.

ఈ విభాగం ఒకే న్యూమరేటర్లు లేదా డినామినేటర్లను కలిగి ఉన్న భిన్నాలను పోల్చడానికి ఎంపికలను చర్చిస్తుంది.

నియమం. రెండు భిన్నాలను ఒకే హారంతో పోల్చడానికి, మీరు వాటి సంఖ్యలను సరిపోల్చాలి. గ్రేటర్ (తక్కువ) అనేది ఒక భిన్నం, దీని సంఖ్య ఎక్కువ (తక్కువ).

ఉదాహరణకు, భిన్నాలను సరిపోల్చండి:

నియమం. సరైన భిన్నాలను వంటి సంఖ్యలతో పోల్చడానికి, మీరు వాటి హారంలను సరిపోల్చాలి. గ్రేటర్ (తక్కువ) అనేది ఒక భిన్నం, దీని హారం తక్కువగా ఉంటుంది (ఎక్కువ).

ఉదాహరణకు, భిన్నాలను సరిపోల్చండి:

సరైన, సరికాని మరియు మిశ్రమ భిన్నాలను ఒకదానితో ఒకటి పోల్చడం

నియమం. సరికాని మరియు మిశ్రమ భిన్నాలు ఏదైనా సరైన భిన్నం కంటే ఎల్లప్పుడూ పెద్దవిగా ఉంటాయి.

సరైన భిన్నం నిర్వచనం ప్రకారం 1 కంటే తక్కువ, కాబట్టి సరికాని మరియు మిశ్రమ భిన్నాలు (1కి సమానమైన లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యను కలిగి ఉన్నవి) సరైన భిన్నం కంటే ఎక్కువగా ఉంటాయి.

నియమం. రెండు మిశ్రమ భిన్నాలలో, భిన్నం యొక్క మొత్తం భాగం ఎక్కువ (తక్కువ) ఉన్నది పెద్దది (చిన్నది). మిశ్రమ భిన్నాల మొత్తం భాగాలు సమానంగా ఉన్నప్పుడు, పెద్ద (చిన్న) పాక్షిక భాగంతో భిన్నం ఎక్కువగా ఉంటుంది (చిన్నది).

భిన్నాలను సాధారణంగా ఏది పెద్దది మరియు ఏది చిన్నదో తెలుసుకోవడానికి పోల్చబడుతుంది. భిన్నాలను పోల్చడానికి, మీరు వాటిని అదే హారంకు తగ్గించాలి, ఆపై పెద్ద లవం ఉన్న భిన్నం పెద్దది మరియు చిన్న లవం కలిగినది చిన్నది. భిన్నాలు ఒకే విధమైన హారం కలిగి ఉండేలా ఎలా చేయాలో గుర్తించడం కష్టతరమైన భాగం, కానీ అది కనిపించేంత కష్టం కాదు. ఇవన్నీ ఎలా చేయాలో మేము మీకు చెప్తాము. చదవండి!

దశలు

1. భిన్నాలు ఒకే హారం కలిగి ఉన్నాయో లేదో కనుగొనండి.హారం అనేది భిన్న రేఖకు దిగువన, దిగువన ఉన్న సంఖ్య మరియు లవం ఎగువన ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, భిన్నం 5/7 మరియు 9/13 ఒకే హారం కలిగి ఉండవు. మీరు వాటిని ఒకే హారంలోకి తీసుకురావాలి.

   • భిన్నాల హారం ఒకేలా ఉంటే, ఏ భిన్నం పెద్దదో తెలుసుకోవడానికి మీరు న్యూమరేటర్‌లను సరిపోల్చాలి.

2. సాధారణ హారం కనుగొనండి.భిన్నాలను పోల్చడానికి, మీరు ముందుగా ఒక సాధారణ హారంని కనుగొనాలి. పోలిక కోసం, అలాగే భిన్నాలు, కూడిక, తీసివేత మొదలైన వాటితో గణిత కార్యకలాపాలను నిర్వహించడానికి ఇది అవసరం. జోడించేటప్పుడు లేదా తీసివేసేటప్పుడు, మీరు తప్పనిసరిగా అత్యల్ప సాధారణ హారం కోసం వెతకాలి. అయితే, ఈ సందర్భంలో (భిన్నాలను పోల్చడం), మీరు రెండు భిన్నాల హారంలను మాత్రమే గుణించగలరు మరియు ఫలిత సంఖ్య సాధారణ హారం అవుతుంది. గుర్తుంచుకోండి, ఈ సాధారణ హారం కనుగొనే పద్ధతి భిన్నాలను పోల్చినప్పుడు మాత్రమే పని చేస్తుంది (జోడించడం, తీసివేయడం మొదలైనవి కాదు.)

   • 7 x 13 = 91, కొత్త సాధారణ హారం 91 అవుతుంది.

3. భిన్నాల సంఖ్యలను మార్చండి.మీరు సాధారణ హారంను కనుగొన్న తర్వాత, ఈ సందర్భంలో 91, భిన్నం యొక్క విలువను అలాగే ఉంచడానికి మీరు సంఖ్యలను మార్చాలి. దీన్ని చేయడానికి, మీరు ఒక భిన్నం యొక్క సంఖ్యలను రెండవ హారంతో గుణించాలి మరియు రెండవది మొదటి హారం ద్వారా గుణించాలి. ఇలా:

   • ప్రారంభ భిన్నం 5/7లో, మేము 7ని 13తో గుణించాము మరియు 91 వచ్చింది, ఇప్పుడు మనం కొత్త న్యూమరేటర్‌ని పొందడానికి 5ని 13తో గుణించాలి. 5/7 x 13/13 = 65/91.
   • భిన్నం 9/13లో, కొత్త హారం 91 పొందడానికి మేము 13ని 7తో గుణించాము, ఇప్పుడు కొత్త లవం పొందడానికి 9ని 7తో గుణించండి. 9 x 7 = 63, కాబట్టి మా కొత్త భిన్నం 63/91 లాగా కనిపిస్తుంది.

రోజువారీ జీవితంలో, మనం తరచుగా పాక్షిక పరిమాణాలను పోల్చాలి. చాలా తరచుగా ఇది ఎటువంటి ఇబ్బందులను కలిగించదు. నిజానికి, సగం ఆపిల్ పావు వంతు కంటే పెద్దదని అందరూ అర్థం చేసుకుంటారు. కానీ దానిని గణిత వ్యక్తీకరణగా వ్రాసేటప్పుడు, అది గందరగోళంగా ఉంటుంది. కింది గణిత నియమాలను వర్తింపజేయడం ద్వారా, మీరు ఈ సమస్యను సులభంగా పరిష్కరించవచ్చు.

భిన్నాలను ఒకే హారంతో ఎలా పోల్చాలి

ఇటువంటి భిన్నాలు పోల్చడానికి చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటాయి. ఈ సందర్భంలో, నియమాన్ని ఉపయోగించండి:

ఒకే హారం ఉన్న రెండు భిన్నాలు కానీ వేర్వేరు సంఖ్యలు, పెద్దది పెద్దది, మరియు చిన్నది చిన్నది.

ఉదాహరణకు, 3/8 మరియు 5/8 భిన్నాలను సరిపోల్చండి. ఈ ఉదాహరణలోని హారం సమానంగా ఉంటుంది, కాబట్టి మేము ఈ నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

నిజానికి, మీరు రెండు పిజ్జాలను 8 ముక్కలుగా కట్ చేస్తే, 3/8 స్లైస్ ఎల్లప్పుడూ 5/8 కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

భిన్నాలను వంటి న్యూమరేటర్‌లతో మరియు హారంలా కాకుండా పోల్చడం

ఈ సందర్భంలో, హారం షేర్ల పరిమాణాలు పోల్చబడతాయి. వర్తించవలసిన నియమం:

రెండు భిన్నాలు సమాన సంఖ్యలను కలిగి ఉంటే, హారం చిన్నగా ఉన్న భిన్నం ఎక్కువగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణకు, 3/4 మరియు 3/8 భిన్నాలను సరిపోల్చండి. ఈ ఉదాహరణలో, న్యూమరేటర్లు సమానంగా ఉంటాయి, అంటే మనం రెండవ నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాము. భిన్నం 3/4 భిన్నం 3/8 కంటే చిన్న హారం కలిగి ఉంటుంది. కాబట్టి 3/4>3/8

నిజానికి, మీరు 3 పిజ్జా ముక్కలను 4 భాగాలుగా విభజించి తింటే, మీరు 3 పిజ్జా ముక్కలను 8 భాగాలుగా విభజించి తిన్న దానికంటే ఎక్కువ నిండుగా ఉంటారు.

భిన్నాలను వేర్వేరు సంఖ్యలు మరియు హారంలతో పోల్చడం

మూడవ నియమాన్ని వర్తింపజేద్దాం:

భిన్నాలను వేర్వేరు హారంలతో పోల్చడం భిన్నాలను ఒకే హారంతో పోల్చడానికి దారి తీస్తుంది. దీన్ని చేయడానికి, మీరు భిన్నాలను సాధారణ హారంకు తగ్గించి, మొదటి నియమాన్ని ఉపయోగించాలి.

ఉదాహరణకు, మీరు భిన్నాలను సరిపోల్చాలి మరియు . పెద్ద భిన్నాన్ని గుర్తించడానికి, మేము ఈ రెండు భిన్నాలను సాధారణ హారంకి తగ్గిస్తాము:

• ఇప్పుడు రెండవ అదనపు కారకాన్ని కనుగొనండి: 6:3=2. మేము దానిని రెండవ భిన్నం పైన వ్రాస్తాము: