உயர் கணிதம். தீர்வுகளுடன் ஷாப்கின் சிக்கல்கள் 2 இயந்திரங்கள் ஒருவருக்கொருவர் சுயாதீனமாக வேலை செய்கின்றன
பல நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகை இந்த நிகழ்வுகளில் குறைந்தபட்சம் ஒரு நிகழ்வைக் கொண்ட ஒரு நிகழ்வாகும்.
பல நிகழ்வுகளின் தயாரிப்பு என்பது இந்த நிகழ்வுகளின் கூட்டு நிகழ்வைக் கொண்ட ஒரு நிகழ்வாகும்.
நிகழ்தகவு கூட்டல் தேற்றம். A1, A2, ..., Ap ஆகிய நிகழ்வுகள் பொருந்தாதவையாக இருந்தால், அதாவது, இரண்டும் ஒன்றாக நிகழ முடியாது.
நிகழ்வு A இன் நிகழ்தகவு, நிகழ்வு B நிகழ்ந்தது என்ற அனுமானத்தின் கீழ் கணக்கிடப்பட்ட நிகழ்வு A கொடுக்கப்பட்ட B இன் நிபந்தனை நிகழ்தகவு என அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் P (A / B) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.
நிகழ்தகவு பெருக்கல் தேற்றம். பல நிகழ்வுகள் நிகழும் நிகழ்தகவு, அவற்றில் ஒன்றின் நிகழ்தகவு மற்றும் மற்ற அனைத்தின் நிபந்தனை நிகழ்தகவுகளின் விளைபொருளுக்கு சமம், மேலும் ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த நிகழ்வின் நிகழ்தகவும் முந்தைய அனைத்து நிகழ்வுகளும் ஏற்கனவே நிகழ்ந்தன என்ற அனுமானத்தின் கீழ் கணக்கிடப்படுகிறது:
A1, A2, ..., Аn நிகழ்வுகள் சுயாதீனமாக இருந்தால், அதாவது, அவற்றில் ஏதேனும் ஒரு நிகழ்வானது மீதமுள்ள நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளை மாற்றாது.
எடுத்துக்காட்டு 6.6. இரண்டு இயந்திரங்களும் ஒன்றையொன்று சாராமல் இயங்குகின்றன. சில நேரம் t முதல் இயந்திரத்தின் தடையற்ற செயல்பாட்டின் நிகழ்தகவு p1 = 0.9 க்கு சமம், இரண்டாவது - p2 = 0.8. குறிப்பிட்ட காலத்திற்கு இரண்டு இயந்திரங்களும் தடையின்றி செயல்படுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
முதல் வழி. எதிர் நிகழ்வான B ஐக் கருத்தில் கொள்வோம், அதாவது t நேரத்தின் போது இரண்டு இயந்திரங்களின் செயலிழப்பு நேரமாகும். வெளிப்படையாக, நிகழ்வு B என்பது நிகழ்வுகள் A1 மற்றும் A2 ஆகியவற்றின் கலவையாகும் - முதல் மற்றும் இரண்டாவது இயந்திரங்களின் செயலிழப்பு, அதாவது B = A1A2. A மற்றும் A2 நிகழ்வுகள் சுயாதீனமானவை என்பதால்
இங்கிருந்து 
இரண்டாவது வழி. பின்வரும் மூன்று இணக்கமற்ற நிகழ்வுகளில் ஒன்று நிகழும்போது நிகழ்வு B ஏற்படுகிறது: ஒன்று
A1 ¦ A2 - நிகழ்வுகள் A1 மற்றும் A2 (முதல் இயந்திரம் வேலை செய்கிறது,
இரண்டாவது - வேலை செய்யாது), அல்லது A1 ¦ A2 - நிகழ்வுகள் A1 மற்றும் A2 (முதல் இயந்திரம் வேலை செய்யாது, இரண்டாவது வேலை செய்கிறது), அல்லது A1 A2 - நிகழ்வுகள் A1 மற்றும் A2 (இரண்டு இயந்திரங்களும் வேலை செய்கின்றன), அதாவது.
சூத்திரம் (3) ஐப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்:
நிகழ்வுகள் A1 மற்றும் A2, எனவே A2 ஆகியவை சுயாதீனமானவை என்பதால், எங்களிடம் உள்ளது: 
எடுத்துக்காட்டு 6.8. மின்னழுத்தம் அதிகரிக்கும் போது, தொடரில் இணைக்கப்பட்ட மூன்று உறுப்புகளில் ஒன்றின் தோல்வி காரணமாக மின்சுற்றில் ஒரு இடைவெளி ஏற்படலாம்; உறுப்பு தோல்வியின் நிகழ்தகவு முறையே 0.2 க்கு சமம்; 0.3; 0.4 சங்கிலி உடைந்து போகாத நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்கவும்.
தீர்வு. A1, A2, A3 நிகழ்வுகள் முறையே முதல், இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது கூறுகளின் தோல்வியைக் குறிக்கும். நிபந்தனையின்படி அவற்றின் நிகழ்தகவுகள் முறையே சமம்: P (A1) = 0.2; பி(A2) = 0.3; பி(A3) = 0.4. பின்னர் நிகழ்தகவு எதிர்
நிகழ்வுகள் A1, A2, A3, முறையே, முதல், இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது உறுப்பு தோல்வியடையவில்லை) இதற்கு சமம்:
நிகழ்வு A, சுற்று உடைக்கவில்லை என்ற உண்மையை உள்ளடக்கியது,
இது சுயாதீன நிகழ்வுகளின் கலவையாகும், எனவே (5) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்:
எடுத்துக்காட்டு 6.9. கலசத்தில் 6 கருப்பு, 5 சிவப்பு மற்றும் 4 வெள்ளை பந்துகள் உள்ளன. மூன்று பந்துகள் அடுத்தடுத்து எடுக்கப்படுகின்றன. முதல் பந்து கருப்பு, இரண்டாவது சிவப்பு மற்றும் மூன்றாவது வெள்ளை என்று நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு. பின்வரும் நிகழ்வுகளைக் கவனியுங்கள்: A - வரையப்பட்ட முதல் பந்து கருப்பு, B - இரண்டாவது பந்து சிவப்பு, C - மூன்றாவது பந்து வெள்ளை. கருப்பு, சிவப்பு, வெள்ளை ஆகிய வரிசையில் பந்துகள் வரையப்பட்ட நிகழ்வை D ஆல் குறிப்போம். வெளிப்படையாக, D = A ¦ B ¦ C.
P (B) = P (A) ¦ P (B / A) ¦ P (C / AB).
இந்த சமத்துவத்தின் வலது பக்கத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள நிகழ்தகவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம். கருப்பு பந்து ஆரம்பத்தில் வரையப்பட்ட நிகழ்தகவு
P (A) - மற்றும் - 5. கலசத்தில் இருந்து ஒரு சிவப்பு பந்தை அகற்றுவதற்கான நிகழ்தகவு, கருப்பு பந்து ஆரம்பத்தில் வெளியே எடுக்கப்பட்டது, P (B/A) -14, கருப்பு பந்தை அகற்றிய பிறகு, 14 பந்துகள் எஞ்சியிருந்தன. கலசம் மற்றும் இவற்றின் - 5 சிவப்பு. ஒரு கருப்பு மற்றும் சிவப்பு பந்து வரையப்பட்ட பிறகு ஒரு கலசத்தில் இருந்து ஒரு வெள்ளை பந்தை வரைவதற்கான நிகழ்தகவு
ny பந்துகள், P (C/AB) -13 (கருப்பு மற்றும் சிவப்பு நிறத்தை நீக்கிய பின்
கலசத்தில் 13 பந்துகள் உள்ளன, அவற்றில் 4 வெண்மையானவை).
இவ்வாறு,
R(b) - 2. -. — - —.
எடுத்துக்காட்டு 6.10. ஆலை ஒரு குறிப்பிட்ட வகை தயாரிப்புகளை உற்பத்தி செய்கிறது; ஒவ்வொரு தயாரிப்புக்கும் நிகழ்தகவு p1 = 0.1 உடன் குறைபாடு உள்ளது. தயாரிப்பு ஒரு ஆய்வாளரால் பரிசோதிக்கப்படுகிறது; நிகழ்தகவு p2 = 0.8 உடன் ஏற்கனவே உள்ள குறைபாட்டைக் கண்டறிந்து, குறைபாடு கண்டறியப்படாவிட்டால், அது தயாரிப்பை முடிக்கப்பட்ட தயாரிப்புக்குள் அனுப்புகிறது. கூடுதலாக, இன்ஸ்பெக்டர் ஒரு குறைபாடு இல்லாத தயாரிப்பை தவறாக நிராகரிக்கலாம்; இதன் நிகழ்தகவு p3 = 0.3. பின்வரும் நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைக் கண்டறியவும்:
A1 - தயாரிப்பு நிராகரிக்கப்படும், ஆனால் தவறாக;
வீட்டுப்பாடம் #9
№1 ஏ IN பதில். 0, 85; 0, 25.
№2 . விளையாட்டு தினத்தன்று, சிசோவ் மைதானத்திற்குச் சென்றார். நீங்கள் 0.3 நிகழ்தகவு கொண்ட கால்பந்து டிக்கெட்டை வாங்கலாம் அல்லது 0.4 நிகழ்தகவு கொண்ட கூடைப்பந்து டிக்கெட்டை வாங்கலாம் அல்லது 0.2 நிகழ்தகவு கொண்ட கைப்பந்து டிக்கெட்டை வாங்கலாம். நிகழ்தகவு என்ன: 1) சிசோவ் போட்டியில் இறங்கினார்; 2) உதைப்பது தடைசெய்யப்பட்ட ஒரு போட்டியில் சிசோவ் இறங்கினார்? பதில்.ஓ,9; 0.6
№3. பதில். 0,37.
№4 . குழுவில் 20 மாணவர்கள் உள்ளனர். 10 மாணவர்கள் வாலிபால் விளையாடுகிறார்கள், 7 மாணவர்கள் பனிச்சறுக்கு விளையாடுகிறார்கள், 3 மாணவர்கள் கூடைப்பந்து விளையாடுகிறார்கள். தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மாணவர் கூடைப்பந்து விளையாடாத நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.
பதில். 17/20.
№5. பதில். ¾.
№6.
№7. பதில்
№8.
№9. பதில். 0,7.
№10.
வீட்டுப்பாடம் #9
№1 . துப்பாக்கி சுடும் வீரர் பத்து நிகழ்தகவு 0.05, ஒன்பது நிகழ்தகவு 0.2, மற்றும் எட்டு நிகழ்தகவு 0.6. ஒரு ஷாட் சுடப்பட்டது. பின்வரும் நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவு என்ன: ஏ- "குறைந்தது எட்டு புள்ளிகள் நாக் அவுட்", IN- "எட்டு புள்ளிகளுக்கு மேல் அடித்தார்களா"? பதில். 0, 85; 0, 25.
№2 . விளையாட்டு தினத்தன்று, சிசோவ் மைதானத்திற்குச் சென்றார். நீங்கள் 0.3 நிகழ்தகவு கொண்ட கால்பந்து டிக்கெட்டை வாங்கலாம் அல்லது 0.4 நிகழ்தகவு கொண்ட கூடைப்பந்து டிக்கெட்டை வாங்கலாம் அல்லது 0.2 நிகழ்தகவு கொண்ட கைப்பந்து டிக்கெட்டை வாங்கலாம். நிகழ்தகவு என்ன: 1) சிசோவ் போட்டியில் இறங்கினார்; 2) உதைப்பது தடைசெய்யப்பட்ட ஒரு போட்டியில் சிசோவ் இறங்கினார்? பதில்.ஓ,9; 0.6
№3. பணிமனையில் மூன்று இயந்திரங்கள் வேலை செய்கின்றன. மாற்றத்தின் போது, முதல் இயந்திரத்திற்கு 0.15 நிகழ்தகவுடன் சரிசெய்தல் தேவைப்படலாம். இரண்டாவது இயந்திரத்திற்கு இந்த நிகழ்தகவு 0.1, மூன்றாவது இயந்திரத்திற்கு இது 0.12 ஆகும். ஒரு மாற்றத்தின் போது குறைந்தபட்சம் ஒரு இயந்திரமாவது சரிசெய்தல் தேவைப்படும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும். பதில். 0,37.
№4 . குழுவில் 20 மாணவர்கள் உள்ளனர். 10 மாணவர்கள் வாலிபால் விளையாடுகிறார்கள், 7 மாணவர்கள் பனிச்சறுக்கு விளையாடுகிறார்கள், 3 மாணவர்கள் கூடைப்பந்து விளையாடுகிறார்கள். தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மாணவர் கூடைப்பந்து விளையாடாத நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.
பதில். 17/20.
№5. இரண்டு நாணயங்கள் வீசப்படுகின்றன. குறைந்தபட்சம் ஒரு கோட் ஆப் ஆர்ம்ஸ் தோன்றுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன? பதில். ¾.
№6. இரண்டு இயந்திரங்களும் ஒன்றையொன்று சாராமல் இயங்குகின்றன. வாய்ப்பு அதுதான். முதல் இயந்திரம் சரிசெய்தல் இல்லாமல் ஒரு ஷிப்ட் வேலை செய்யும் 0.9, மற்றும் இரண்டாவது - 0.8. நிகழ்தகவு என்ன: a) இரண்டு இயந்திரங்களும் சரிசெய்தல் இல்லாமல் ஒரு ஷிப்ட் வேலை செய்யும்; b) மாற்றத்தின் போது இரண்டு இயந்திரங்களுக்கும் சரிசெய்தல் தேவையா?
№7. மூன்று துப்பாக்கி சுடும் வீரர்கள் ஒருவருக்கொருவர் சுயாதீனமாக இலக்கை நோக்கி சுடுகிறார்கள். முதல் துப்பாக்கி சுடும் வீரருக்கு வெற்றியின் நிகழ்தகவு 0.8, இரண்டாவது - 0.75, மூன்றாவது - 0.7. நிகழ்தகவு என்ன: 1) குறைந்தது ஒரு வெற்றி; 2) சரியாக ஒரு வெற்றி; எச்) சரியாக இரண்டு வெற்றிகள்; 4) எல்லோரும் ஒரு ஷாட் அடித்தால் மூன்று அடி? 5) அனைவரும் தவறவிட்ட நிகழ்தகவு என்ன? பதில். 1) 0,985; 2) 0,14; 3) 0,425; 4) 0,42; 5) 0,015.
№8. பணிமனையில் மூன்று இயந்திரங்கள் வேலை செய்கின்றன. ஒரு மாற்றத்தின் போது, முதல் இயந்திரத்திற்கு 0.15 நிகழ்தகவுடன் சரிசெய்தல் தேவைப்படலாம் (அதற்குப் பிறகு ஷிப்ட் முடிவடையும் வரை சரிசெய்தல் தேவையில்லை). இரண்டாவது இயந்திரத்திற்கு இந்த நிகழ்தகவு 0.1, மூன்றாவது 0.12. இயந்திரங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சாராமல் சரிசெய்தல் தேவைப்பட்டால், குறைந்தபட்சம் ஒரு இயந்திரமாவது மாற்றத்தின் போது சரிசெய்தல் தேவைப்படும் நிகழ்தகவு என்ன?
№9. பகலில் செயல்படும் சாதனம், மூன்று கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது, ஒவ்வொன்றும் ஒருவருக்கொருவர் சுயாதீனமாக, இந்த நேரத்தில் தோல்வியடையும். ஒரு முனையின் தோல்வி சாதனத்தின் தோல்விக்கு வழிவகுக்கிறது. முதல் முனையின் நாளில் தோல்வி-இல்லாத செயல்பாட்டின் நிகழ்தகவு 0.9, இரண்டாவது 0.95 மற்றும் மூன்றாவது 0.85 ஆகும். பகலில் சாதனம் தோல்வியின்றி செயல்படும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும். பதில். 0,7.
№10. ஒரு பகுதியை உற்பத்தி செய்யும் போது, இரண்டு செயல்பாடுகள் செய்யப்படுகின்றன. முதல் செயல்பாட்டின் போது குறைபாடுகளின் நிகழ்தகவு 0.01, மற்றும் இரண்டாவது போது - 0.02. இரண்டு செயல்பாடுகளுக்குப் பிறகு பகுதி நிலையானதாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
விளக்கம்
மூன்று இயந்திரங்களும் ஒன்றையொன்று சார்ந்து இயங்குகின்றன. மாற்றத்தின் போது முதல் இயந்திரம் தோல்வியடையும் நிகழ்தகவு 0.1, இரண்டாவது - 0.2 மற்றும் மூன்றாவது - 0.3. ஒரு மாற்றத்தின் போது பின்வருபவை தோல்வியடையும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்: a) குறைந்தது இரண்டு இயந்திரங்கள்; b) இரண்டு இயந்திரங்கள்; c) மூன்று இயந்திரங்கள்.
தீர்வு. நிகழ்தகவுகளின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் விதிகளைப் பயன்படுத்துவோம்.
b) ஒரு மாற்றத்தின் போது இரண்டு இயந்திரங்கள் தோல்வியடையும் நிகழ்தகவு சமம்:
சி) ஒரு மாற்றத்தின் போது மூன்று இயந்திரங்கள் தோல்வியடையும் நிகழ்தகவு சமம்:
A) ஒரு மாற்றத்தின் போது குறைந்தது இரண்டு இயந்திரங்கள் (இரண்டு அல்லது மூன்று இயந்திரங்கள்) தோல்வியடையும் நிகழ்தகவு:
வேலை 1 கோப்பைக் கொண்டுள்ளது
பிரச்சனை எண் 1.30.
மூன்று இயந்திரங்களும் ஒன்றையொன்று சார்ந்து இயங்குகின்றன. ஒரு மாற்றத்தின் போது முதல் இயந்திரம் தோல்வியடையும் நிகழ்தகவு 0.1, இரண்டாவது - 0.2 மற்றும் மூன்றாவது - 0.3. ஒரு மாற்றத்தின் போது பின்வருபவை தோல்வியடையும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்: a) குறைந்தது இரண்டு இயந்திரங்கள்; b) இரண்டு இயந்திரங்கள்; c) மூன்று இயந்திரங்கள்.
தீர்வு.நிகழ்தகவுகளின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் விதிகளைப் பயன்படுத்துவோம்.
b)ஒரு மாற்றத்தின் போது இரண்டு இயந்திரங்கள் தோல்வியடையும் நிகழ்தகவு:
V)ஒரு மாற்றத்தின் போது மூன்று இயந்திரங்கள் தோல்வியடையும் நிகழ்தகவு:
A)ஒரு மாற்றத்தின் போது குறைந்தது இரண்டு இயந்திரங்கள் (இரண்டு அல்லது மூன்று இயந்திரங்கள்) தோல்வியடையும் நிகழ்தகவு:
பதில்: a) 0.098; b) 0.092; c) 0.006.
பிரச்சனை எண் 2.30.
இரண்டு தொழிற்சாலைகள் குளிர்சாதன பெட்டிகளை உற்பத்தி செய்கின்றன. அவற்றில் முதலாவது அனைத்து தயாரிப்புகளிலும் 60%, இரண்டாவது - 40%, மற்றும் முதல் ஆலையின் 80% மற்றும் இரண்டாவது 90% மிக உயர்ந்த தரம் வாய்ந்தவை. அ) சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட குளிர்சாதனப் பெட்டி சிறந்த தரம் வாய்ந்ததாக இருக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும். b) சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட குளிர்சாதனப் பெட்டி மிக உயர்ந்த தரம் வாய்ந்ததாக மாறியது. இது இரண்டாவது ஆலையில் தயாரிக்கப்பட்டதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
தீர்வு.நிகழ்வுகளை உள்ளிடுவோம்: ஏ- ஒரு குளிர்சாதனப்பெட்டியானது, மிக உயர்ந்த தரத்தில் சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்பட்டது, - குளிர்சாதன பெட்டி - ஆலையில் தயாரிக்கப்பட்டது, நிகழ்வுகள் நிகழ்வுகளின் முழுமையான குழுவை உருவாக்குகின்றன.
கருதுகோள் நிகழ்தகவு சிக்கலின் நிபந்தனைகளின்படி:
மற்றும் நிகழ்வுகளின் நிபந்தனை நிகழ்தகவுகள்:
A)மொத்த நிகழ்தகவு சூத்திரத்தின்படி, ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஏ(ஒரு உயர்தர குளிர்சாதன பெட்டி சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்பட்டது):
b)சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்பட்ட குளிர்சாதனப் பெட்டி மிக உயர்ந்த தரம் வாய்ந்ததாக மாறியது. இது இரண்டாவது ஆலையில் தயாரிக்கப்பட்ட நிகழ்தகவு:
பதில்: a) 0.84; b) 0.43
பிரச்சனை எண் 3.30.
ஒரு அரசாங்க கடன் பத்திரத்தை வெல்வதற்கான நிகழ்தகவு 1/3 ஆகும். இந்தக் கடனில் 6 பத்திரங்கள் இருந்தால், நீங்கள் வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்: அ) இரண்டு பத்திரங்களில்; b) மூன்று பத்திரங்களுக்கு; c) குறைந்தது இரண்டு பத்திரங்களுக்கு.
A)இரண்டு பத்திரங்களில் வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு சமம்:
b)மூன்று பத்திரங்களில் வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு சமம்:
V)நிகழ்வை விடுங்கள் உடன்- ஆதாயம் இரண்டுக்கும் குறைவான பத்திரங்களில் இருக்கும். பின்னர் எதிர் நிகழ்வு - குறைந்தது இரண்டு பத்திரங்களில் லாபம் இருக்கும். இந்த நிகழ்வின் நிகழ்தகவு:
பதில்: a) 0.329; b) 0.219; c) 0.735.
பிரச்சனை எண் 4.30.
கொடுக்கப்பட்ட தனித்த சீரற்ற மாறிக்கு, கண்டறிக: 1) விநியோக சட்டம்; 2) விநியோக செயல்பாடு மற்றும் அதன் வரைபடத்தை உருவாக்குதல்; 3) கணித எதிர்பார்ப்பு; 4) சிதறல்; 5) நிலையான விலகல்
சோதனை மாதிரியின் மூன்று சுயாதீன அளவீடுகள் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு அளவீட்டிலும் பிழை ஏற்படுவதற்கான நிகழ்தகவு 0.01 ஆகும். ஒரு சீரற்ற மாறி என்பது அளவீடுகளில் செய்யப்பட்ட பிழைகளின் எண்ணிக்கை.
தீர்வு.தனித்த சீரற்ற மாறி (அளவீடுகளில் செய்யப்பட்ட பிழைகளின் எண்ணிக்கை) மதிப்புகளை எடுக்கலாம் மற்றும் அதன் விநியோகச் சட்டம் நிகழ்தகவுகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:
கட்டுப்பாடு: 0.970299 + 0.029403 + 0.000297 + 0.000001 = 1.
பின்னர் SV இன் விரும்பிய விநியோகச் சட்டம் படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:
| 0 | 1 | 2 | 3 | |
| ப | 0,970299 | 0,029403 | 0,000297 | 0,000001 |
தனித்த சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு:
தனித்த சீரற்ற மாறியின் பரவல்:
நிலையான விலகல்சீரற்ற மாறி:
வரையறையின்படி, விநியோக செயல்பாடு வடிவம் உள்ளது:
எப்போது
மணிக்கு
மணிக்கு
மணிக்கு
எனவே, விநியோக செயல்பாடு வடிவம் உள்ளது:
விநியோக செயல்பாட்டைத் திட்டமிடுவோம்
0,999999
0,999702
0,970299
0
1
2
3
பிரச்சனை எண் 5.30.
சீரற்ற மாறியின் பரவல் அடர்த்தி கொடுக்கப்பட்டுள்ளது
கண்டுபிடி: 1) அளவுரு 2) விநியோக செயல்பாடு; 3) கணித எதிர்பார்ப்பு; 4) சிதறல்; 5) சீரற்ற மாறி ஒரு பிரிவில் விழும் நிகழ்தகவு
தீர்வு. 1)அளவுருவை வரையறுப்போம் cசமத்துவத்தில் இருந்து:
2) விநியோக செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம் F(x)அப்படியானால்
அப்படியானால்
அப்படியானால், விநியோகச் செயல்பாட்டிற்கு வடிவம் உள்ளது:
3) ஒரு சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு:
4) சீரற்ற மாறியின் பரவல்:
தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிலையான விலகல்:
5) SV பிரிவைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு இதற்கு சமம்:
பிரச்சனை எண் 6.30.
சோதனையின் விளைவாக, தரவு புள்ளிவிவரத் தொடரின் வடிவத்தில் பதிவு செய்யப்பட்டது:
| 44 | 36 | 50 | 30 | 58 | 37 | 18 | 72 | 57 | 35 |
| 28 | 38 | 15 | 38 | 45 | 27 | 59 | 45 | 68 | 52 |
| 18 | 64 | 36 | 43 | 22 | 38 | 31 | 57 | 17 | 42 |
| 31 | 42 | 25 | 35 | 60 | 46 | 51 | 24 | 60 | 50 |
| 17 | 38 | 46 | 19 | 43 | 9 | 43 | 32 | 61 | 37 |
| 23 | 43 | 32 | 52 | 39 | 46 | 27 | 39 | 21 | 53 |
| 37 | 10 | 40 | 33 | 54 | 62 | 26 | 47 | 40 | 54 |
| 43 | 40 | 25 | 40 | 47 | 16 | 53 | 41 | 32 | 40 |
| 26 | 42 | 62 | 41 | 48 | 41 | 55 | 10 | 48 | 34 |
| 33 | 21 | 41 | 49 | 56 | 34 | 63 | 49 | 56 | 29 |
தேவை:
a) மாறுபாட்டின் வரம்பைக் கண்டறிந்து ஒரு இடைவெளி மாறுபாடு தொடரை உருவாக்குதல்;
b) ஒரு அதிர்வெண் பலகோணத்தை உருவாக்குதல், சார்பு அதிர்வெண்களின் ஹிஸ்டோகிராம்;
c) அனுபவ விநியோக செயல்பாட்டைக் கணக்கிட்டு அதைத் திட்டமிடுங்கள்;
ஈ) மாதிரியின் எண்ணியல் பண்புகளைக் கண்டறியவும்
e) ஒரு சாதாரண விநியோகத்திற்கு ஒத்த மாதிரியைக் கருத்தில் கொண்டு, நம்பகத்தன்மையுடன் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகளைக் கண்டறியவும்
f) H ஐ பூஜ்ய கருதுகோளாக ஏற்றுக்கொள்வது 0
: மாதிரி பிரித்தெடுக்கப்பட்ட பொது மக்களிடம் இயல்பான விநியோகம் உள்ளது, முக்கியத்துவ மட்டத்தில் பியர்சன் சோதனையைப் பயன்படுத்தி சரிபார்க்கவும்
தீர்வு.சோதனையின் முடிவுகளின் அடிப்படையில், நாங்கள் ஒரு மாறுபாடு தொடரை உருவாக்குவோம்:
| விருப்பங்கள் | 9 | 10 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |
| அதிர்வெண்கள் | 1 | 2 | 1 | 1 | 2 | 2 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 1 |
| விருப்பங்கள் | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 |
| அதிர்வெண்கள் | 1 | 1 | 2 | 3 | 2 | 2 | 2 | 2 | 3 | 4 | 2 | 5 | 4 | 3 | 5 |
| விருப்பங்கள் | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 |
| அதிர்வெண்கள் | 1 | 2 | 3 | 2 | 2 | 2 | 2 | 1 | 2 | 2 | 2 | 1 | 2 | 2 | 1 |
| விருப்பங்கள் | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 68 | 72 | |||||||
| அதிர்வெண்கள் | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 |
எடுத்துக்காட்டு 6.6. இரண்டு இயந்திரங்களும் ஒன்றையொன்று சாராமல் இயங்குகின்றன. சில நேரம் t முதல் இயந்திரத்தின் தடையற்ற செயல்பாட்டின் நிகழ்தகவு p1 = 0.9 க்கு சமம், இரண்டாவது - p2 = 0.8. குறிப்பிட்ட காலப்பகுதியில் இரண்டு இயந்திரங்களும் தடையின்றி செயல்படுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
தீர்வு. பின்வரும் நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்: А1 и А2 - முறையே முதல் மற்றும் இரண்டாவது இயந்திரங்களின் தடையற்ற செயல்பாடு, t நேரத்தில்; A - குறிப்பிட்ட நேரத்திற்கு இரண்டு இயந்திரங்களின் தடையற்ற செயல்பாடு. நிகழ்வு A என்பது நிகழ்வுகள் A1 மற்றும் À2, t.å ஆகியவற்றின் கலவையாகும். À = À1 À2 . A1 மற்றும் À2 நிகழ்வுகள் சுயாதீனமாக இருப்பதால் (இயந்திரங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சுயாதீனமாக இயங்குகின்றன), பின்னர் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (5) நாம் பெறுகிறோம்:
P (À) = P (À1) · P (À2) = 0.9 · 0.8 = 0.72.
எடுத்துக்காட்டு 6.7. சிக்கல் 6.6 இல். இரண்டு இயந்திரங்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்றின் தடையற்ற செயல்பாட்டின் நிகழ்தகவை தீர்மானிக்கவும் и அது (நிகழ்வு B).
முதல் வழி. எதிர் நிகழ்வான B ஐக் கருத்தில் கொள்வோம், அதாவது t நேரத்தின் போது இரண்டு இயந்திரங்களின் செயலிழப்பு நேரமாகும். வெளிப்படையாக -
ஆனால் அந்த நிகழ்வு B என்பது A1 மற்றும் A 2 நிகழ்வுகளின் கலவையாகும் - முதல் மற்றும் இரண்டாவது இயந்திரங்களின் வேலையில்லா நேரம், அதாவது. B = A1 A2. A1 மற்றும் A2 நிகழ்வுகள் சுயாதீனமானவை என்பதால்
P (B) = P (A1)×P (A2) = = 0.1×0.2 = 0.02.
பி(பி) = 1− பி(பி) = 0.98.
இரண்டாவது வழி. பின்வரும் மூன்று இணக்கமற்ற நிகழ்வுகளில் ஒன்று நிகழும்போது நிகழ்வு B ஏற்படுகிறது: ஒன்று
А1 · ஏ 2 - நிகழ்வுகளின் கலவை А1 மற்றும் А2 (முதல் இயந்திரம் வேலை செய்கிறது,
இரண்டாவது - வேலை செய்யாது), அல்லது A1 · À2 - நிகழ்வுகளின் கலவை A1 è À2 (முதல் இயந்திரம் வேலை செய்யாது, இரண்டாவது வேலை செய்கிறது), அல்லது A1 À2 - நிகழ்வுகள் A1 è À2 (இரண்டு இயந்திரங்களும் வேலை செய்கின்றன), அதாவது.
B = A1 × A2 + A1 × A2 + A1 × A2.
சூத்திரம் (3) ஐப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்:
P(B) = P(A1×A2) + P(A1×A2) + P(A1×A2).
 நிகழ்வுகள் ஏ 1 è À2 , எனவே A1 è A2 , A1
மற்றும் எ 2 சுயாதீனமானவை, எங்களிடம் உள்ளது:
P (B) = P (A 1)×P (A2) + P (A1)×P (A2) + P (A1)×P (A2) =
P (A 1 ) + P (A2 ) + P (A1 )×P (A2 ) = 0.98.
எடுத்துக்காட்டு 6.8. மின்னழுத்தம் அதிகரிக்கும் போது, தொடரில் இணைக்கப்பட்ட மூன்று உறுப்புகளில் ஒன்றின் தோல்வி காரணமாக மின்சுற்றில் ஒரு இடைவெளி ஏற்படலாம்; உறுப்புகளின் நிகழ்தகவு மற்றும் தோல்வி முறையே 0.2க்கு சமம்; 0.3; 0.4 சங்கிலி உடைந்து போகாத நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்கவும்.
தீர்வு. A1, À2, À3 நிகழ்வுகள் முறையே முதல், இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது கூறுகளின் தோல்வியைக் குறிக்கும். நிபந்தனையின்படி அவற்றின் நிகழ்தகவுகள் முறையே சமம்: P (A1) = 0.2; பி(A2) = 0.3; பி(A3) = 0.4. பின்னர் நிகழ்தகவு எதிர்
நிகழ்வுகள் A 1 , A2 , A 3 , முறையே, முதல், இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது உறுப்பு தோல்வியடையவில்லை) இதற்கு சமம்:
P (A1) =1- P (A1) = 0.8; பி(A2) = 0.7; பி(A3) = 0.6.
நிகழ்வு A, சுற்று உடைக்கவில்லை என்ற உண்மையை உள்ளடக்கியது,
A 1, A2, A 3: A = A1 × A2 × A3 என்ற சுயாதீன நிகழ்வுகளின் கலவை உள்ளது. எனவே, சூத்திரம் (5) படி நாம் பெறுகிறோம்:
P(A) = P(A1)×P(A2)×P(A3) = 0.8×0.7×0.6 = 0.336.
எடுத்துக்காட்டு 6.9. கலசத்தில் 6 கருப்பு, 5 சிவப்பு மற்றும் 4 வெள்ளை பந்துகள் உள்ளன. மூன்று பந்துகள் அடுத்தடுத்து எடுக்கப்படுகின்றன. முதல் பந்து கருப்பாகவும், இரண்டாவது சிவப்பு நிறமாகவும், மூன்றாவது வெள்ளை நிறமாகவும் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு. பின்வரும் நிகழ்வுகளைக் கவனியுங்கள்: A - வரையப்பட்ட முதல் பந்து கருப்பு, B - இரண்டாவது பந்து சிவப்பு, C - மூன்றாவது பந்து வெள்ளை. கருப்பு, சிவப்பு, வெள்ளை ஆகிய வரிசையில் பந்துகள் வரையப்பட்ட நிகழ்வை D ஆல் குறிப்போம். வெளிப்படையாக, D = A · B · C.
சூத்திரம் (4) இன் படி எங்களிடம் உள்ளது:
P(D) = P(A) P(B/A) P(C/AB).
இந்த சமத்துவத்தின் வலது பக்கத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள நிகழ்தகவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம். கருப்பு பந்து p ஆரம்பத்தில் வரையப்பட்ட நிகழ்தகவு
பி(A)= |
ஒரு கலசத்தில் இருந்து சிவப்பு பந்தை வரைவதற்கான நிகழ்தகவு |
|||||||
கருப்பு பந்து முதலில் வரையப்பட்டது |
||||||||
பி(பி/ஏ)= |
கலசத்தில் உள்ள கருப்பு பந்து அகற்றப்பட்ட பிறகு உள்ளது |
|||||||
14 பந்துகள் உள்ளன, அவற்றில் 5 சிவப்பு நிறத்தில் உள்ளன. கருப்பு மற்றும் சிவப்பு பந்துகள் வரையப்பட்ட பிறகு ஒரு கலசத்தில் இருந்து ஒரு வெள்ளை பந்தை வரைவதற்கான நிகழ்தகவு
íûé øàðû, P (C / AB) = 13 4 (கருப்பு மற்றும் சிவப்பு நிறத்தை நீக்கிய பின்
கலசத்தில் 13 பந்துகள் உள்ளன, அவற்றில் 4 வெண்மையானவை). இவ்வாறு,
பி (டி) = 2 5 × 14 5 × 13 4 = 91 4 .
எடுத்துக்காட்டு 6.10. ஆலை ஒரு குறிப்பிட்ட வகை தயாரிப்புகளை உற்பத்தி செய்கிறது; ஒவ்வொரு தயாரிப்புக்கும் நிகழ்தகவு p1 = 0.1 உடன் குறைபாடு உள்ளது. தயாரிப்பு ஒரு ஆய்வாளரால் பரிசோதிக்கப்படுகிறது; நிகழ்தகவு p2 = 0.8 உடன் ஏற்கனவே உள்ள குறைபாட்டைக் கண்டறிந்து, குறைபாடு கண்டறியப்படாவிட்டால், அது தயாரிப்பை முடிக்கப்பட்ட தயாரிப்புக்குள் அனுப்புகிறது. கூடுதலாக, இன்ஸ்பெக்டர் ஒரு குறைபாடு இல்லாத தயாரிப்பை தவறாக நிராகரிக்கலாம்; இதன் நிகழ்தகவு p3 = 0.3. பின்வரும் நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைக் கண்டறியவும்:
А1 - தயாரிப்பு நிராகரிக்கப்படும், ஆனால் தவறாக; A2 - தயாரிப்பு குறைபாடுகளுடன் முடிக்கப்பட்ட தயாரிப்புக்குள் அனுப்பப்படும்
ஓம்; ஏ3 - தயாரிப்பு நிராகரிக்கப்படும்.
தீர்வு. பின்வரும் நிகழ்வுகளைக் கவனியுங்கள்: B1 - தயாரிப்பு ஒரு குறைபாடு உள்ளது;
Â2 - இன்ஸ்பெக்டர் ஏற்கனவே உள்ள குறைபாட்டைக் கண்டறிவார்; B3 - இன்ஸ்பெக்டர் குறைபாடு இல்லாத தயாரிப்பை நிராகரிப்பார்.
பிரச்சனையின் நிபந்தனைகளின் படி P (B1) = p1 = 0.1; P(B2) = p2 = 0.8; PB1 (B3) = p3 = 0.3. நிகழ்வு A1 என்பது பொருள்: “தயாரிப்பு இல்லை
குறைபாடு உள்ளது மற்றும் தயாரிப்பு ஆய்வாளரால் நிராகரிக்கப்படும்," அதாவது. A1 = B1 × B3. பிறகு
P (A1) = P (B1 × B3) = P (B1) × PB 1 (B3) = (1- p1 ) × p3 = 0.9 × 0.3 = 0.27.
நிகழ்வு A2 என்பது பொருள்: "தயாரிப்பு குறைபாடு உள்ளது மற்றும் ஆய்வாளர் குறைபாட்டைக் கண்டறிய முடியாது," அதாவது. A2 = B1 × B2. பிறகு
P (A2) = P (B1)×P (B2) = p1 ×(1- p2) = 0.1×0.2 = 0.02,
ஏனெனில் நிகழ்வுகள் B மற்றும் B2 சுயாதீனமானவை.
நிகழ்வு A3 என்பது பொருள்: "தயாரிப்பு ஒரு குறைபாடு உள்ளது மற்றும் ஆய்வாளர் ஒரு குறைபாட்டைக் கண்டறிகிறார், அல்லது தயாரிப்பு குறைபாடு இல்லை மற்றும் ஆய்வாளர் தயாரிப்பை நிராகரிக்கிறார்," அதாவது.
A3 = B1 × B2 + B1 × B3
P (A 3) = P (B1 × B2 + B1 × B3) = P (B1) × P (B2) + P(B1) × PB 1 (B3) =
P 1 × P2 + (1- p1 ) × p3 = 0.1 × 0.8 + 0.9 × 0.3 = 0.35.
6.1.4. மொத்த நிகழ்தகவு ஃபார்முலா மற்றும் பேய்ஸ் ஃபார்முலா
சில அனுபவங்கள் n பரஸ்பர பிரத்தியேக நிகழ்வுகளுடன் (கருதுகோள்கள்) H1, Í2, …, Ín தொடர்புடையதாக இருந்தால், நிகழ்வு A இந்த கருதுகோள்களில் ஒன்றின் கீழ் மட்டுமே நிகழலாம் என்றால், நிகழ்வு A இன் நிகழ்தகவு மொத்த நிகழ்தகவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது:
P (A) = P (H1) P (A/H1) + P (H2) P (A/H2) + … + P (Hn) P (A/Hn).
பரிசோதனைக்கு முன் கருதுகோள்களின் நிகழ்தகவுகள் P (H1), P (H2), ..., P (Hn) ஆக இருந்தால், பரிசோதனைக்குப் பிறகு, எந்த நிகழ்வின் விளைவாக A நிகழ்ந்தது, கருதுகோள்களின் நிகழ்தகவுகள் பேய்ஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மறுமதிப்பீடு செய்யப்பட்டது:
P(Hi/A)= |
P(Hi)×P(A/Hi) |
(i =1,2,..., n). |
å P (Hi )× P (A/ Hi ) |
||
எடுத்துக்காட்டு 6.11. பந்துகளுடன் மூன்று கலசங்கள் உள்ளன. முதல் கலசத்தில் 4 வெள்ளை மற்றும் 5 கருப்பு பந்துகளும், இரண்டாவது கலசத்தில் 5 வெள்ளை மற்றும் 4 கருப்பு பந்துகளும், மூன்றாவது கலசத்தில் 6 வெள்ளை பந்துகளும் உள்ளன. யாரோ ஒருவர் சீரற்ற முறையில் கலசங்களில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுத்து அதிலிருந்து ஒரு பந்தை அகற்றுகிறார். நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்: அ) இந்த பந்து வெண்மையாக இருக்கும்; b) வெள்ளை பந்து இரண்டாவது கலசத்தில் இருந்து வரையப்பட்டது.
a) A நிகழ்வாக இருக்கட்டும், அதாவது ஒரு வெள்ளை பந்து வரையப்பட்டது. மூன்று கருதுகோள்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்:
பந்து வரையப்பட்ட கலசம் சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டதால்
நிகழ்வு A இன் நிபந்தனை நிகழ்தகவுகள் முறையே சமம்:
பி(A/H2) = |
(இரண்டாவது கலசத்திலிருந்து ஒரு வெள்ளைப் பந்தை வரைவதற்கான நிகழ்தகவு), |
||
பி(A/H3) = 1 |
(மூன்றாவது கலசத்திலிருந்து ஒரு வெள்ளைப் பந்தை வரைவதற்கான நிகழ்தகவு). |
||
இங்கிருந்து, மொத்த நிகழ்தகவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:
பி (A) = 1 3 × 4 9 + 1 3 × 5 9 + 1 3 × 1= 1 3 × 2 = 2 3.
b) இரண்டாவது கலசத்திலிருந்து வெள்ளைப் பந்து வரையப்பட்டதற்கான நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்க, நாங்கள் பேய்ஸின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
P(H2)P(A/H2) |
||||||||||||
பி(H2 |
||||||||||||
எடுத்துக்காட்டு 6.12. A மற்றும் B ஆகிய இரண்டு சமிக்ஞைகள் தகவல்தொடர்பு வரியில் அனுப்பப்படுகின்றன
முறையே, 0.72 மற்றும் 0.28 நிகழ்தகவுகளுடன். குறுக்கீடு காரணமாக பகுதி 6
ஏ-சிக்னல்கள் சிதைந்து பி-சிக்னல்களாகவும், 7-வது பாகமாகவும் பெறப்படுகின்றன
கடத்தப்பட்ட B சமிக்ஞைகள் A சமிக்ஞைகளாகப் பெறப்படுகின்றன.
a) பெறும் இடத்தில் A-சிக்னல் பெறப்படும் நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்கவும்.
ஆ) ஏ-சிக்னல் பெறப்பட்டதாக அறியப்படுகிறது. அது கடத்தப்பட்டதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
a) நிகழ்வு A - பெறும் இடத்தில் A- சமிக்ஞை தோன்றும். கருதுகோள்களை அறிமுகப்படுத்துவோம்: HÀ – சமிக்ஞை A கடத்தப்படுகிறது, HÂ – சமிக்ஞை B ஆனது நிபந்தனையின் படி, P (HA ) = 0.72; P(HB) = 0.28.
ஒரு ஏ-சிக்னல் பெறப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு, அது அனுப்பப்பட்டால், இதற்கு சமம்:
பி (A/ HA) =1- 1 6 = 5 6.
B சிக்னல் அனுப்பப்பட்டால் A சமிக்ஞை பெறப்படும் நிகழ்தகவு:
பி(A/HB) = 1 7.
இங்கிருந்து, மொத்த நிகழ்தகவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்
P (A) = P (HA)×P (A/ HA) + P (HB)×P (A/ HB) = 0.72 × 5 6 + 0.28 × 1 7 = 0.64.
b) A- சமிக்ஞையைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு, அது அனுப்பப்பட்டிருந்தால், பேய்ஸின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்படும்:
P(HA)×P(A/HA) |
||||||||
P(HA/A) = |
||||||||
எடுத்துக்காட்டு 6.13. மூன்று டிக்கெட் அலுவலகங்களில் ஒன்றில் ஒரு பயணி டிக்கெட்டுக்கு விண்ணப்பிக்கலாம். ஒவ்வொரு பணப் பதிவேட்டைப் பார்வையிடுவதற்கான சாத்தியக்கூறுகள் அவற்றின் இருப்பிடத்தைப் பொறுத்தது மற்றும் முறையே p1, p2, p3 க்கு சமமாக இருக்கும். பயணிகள் வருவதற்குள் டிக்கெட் அலுவலகத்தில் இருக்கும் டிக்கெட்டுகள் விற்றுத் தீர்ந்துவிடும் நிகழ்தகவு, முதல் டிக்கெட் அலுவலகத்தின் p4க்கு சமம், äëÿ
இரண்டாவது - p5, மூன்றாவது - p6. பயணி டிக்கெட் எடுக்க சென்றார். அவர் டிக்கெட் வாங்குவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
தீர்வு. பின்வரும் சீரற்ற நிகழ்வுகளைக் கவனியுங்கள்:
À - பயணி ஒரு டிக்கெட் வாங்குவார்;
Í1 - பயணி முதல் டிக்கெட் அலுவலகத்திற்குச் சென்றார்;
Í 2 - பயணி இரண்டாவது டிக்கெட் அலுவலகத்திற்குச் சென்றார்;
Í 3 - பயணி மூன்றாவது டிக்கெட் அலுவலகத்திற்குச் சென்றார்.
H1, Í2, Í3 நிகழ்வுகள் ஒரு முழுமையான நிகழ்வுகளை உருவாக்குகின்றன, மேலும் அவை பொருந்தாதவை என்பது தெளிவாகிறது (பயணிகள் ஒரு டிக்கெட் அலுவலகத்திற்கு மட்டுமே செல்ல முடியும் என்று நாங்கள் நம்புகிறோம்). நிகழ்வுகள் H1, Í2, Í3 ஆகியவை கருதுகோள்கள். கருதுகோள்களில் ஒன்று ஏற்பட்டால் மட்டுமே நிகழ்வு A நிகழ முடியும்.
மொத்த நிகழ்தகவு சூத்திரத்தின்படி:
P (A) = P (H 1 )× PH 1 (A) + P (H2 )× PH 2 (A) + P (H3)× PH 3 (A) =
P 1 (1- p4) + P2 (1- p5) + P3 (1- p6).
எடுத்துக்காட்டு 6.14. மூன்று தொகுதி பாகங்கள் உள்ளன, ஒவ்வொன்றிலும் 30 பாகங்கள் உள்ளன. முதல், இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது தொகுதிகளில் உள்ள நிலையான பகுதிகளின் எண்ணிக்கை முறையே 20, 15, 10 ஆகும். தோராயமாக எடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிலிருந்து, நிலையானதாக மாறிய ஒரு பகுதி சீரற்ற முறையில் பிரித்தெடுக்கப்பட்டது. பின்னர், அதே தொகுப்பிலிருந்து, ஒரு பகுதி மீண்டும் சீரற்ற முறையில் அகற்றப்பட்டது, அதுவும் நிலையானதாக மாறியது. மூன்றாவது தொகுப்பிலிருந்து பாகங்கள் அகற்றப்பட்ட நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு. நிகழ்வை A ஆல் குறிப்போம் - இரண்டு சோதனைகளில் ஒவ்வொன்றிலும் ஒரு நிலையான பகுதி அகற்றப்பட்டது.
மூன்று அனுமானங்கள் (கருதுகோள்கள்) செய்யப்படலாம்: H1 - பாகங்கள் முதல் தொகுதியிலிருந்து பிரித்தெடுக்கப்பட்டன; H2 - பாகங்கள் இரண்டாவது தொகுப்பிலிருந்து அகற்றப்பட்டன; H3 - பாகங்கள் மூன்றாவது தொகுப்பிலிருந்து அகற்றப்பட்டன.
தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிலிருந்து விவரங்கள் பிரித்தெடுக்கப்பட்டதால், கருதுகோள்களின் நிகழ்தகவுகள் ஒரே மாதிரியானவை:
P (H1) = P (H2) = P (H3) = 1 3.
நிபந்தனை நிகழ்தகவு P H 1 (A), அதாவது. அந்த வாய்ப்பு
முதல் தொகுப்பிலிருந்து இரண்டு நிலையான பாகங்கள் தொடர்ச்சியாக பிரித்தெடுக்கப்படும்:
PH 1 (A) = 20 30 × 19 29 = 38 87.
நிபந்தனை நிகழ்தகவு PH 2 (A), அதாவது. அந்த வாய்ப்பு
இரண்டாவது தொகுப்பிலிருந்து இரண்டு நிலையான பாகங்கள் தொடர்ச்சியாக அகற்றப்படும் (திரும்பாமல்):
PH 2 (A) = 15 30 × 14 29 = 29 7.
நிபந்தனை நிகழ்தகவு P H 3 (A), அதாவது. அந்த வாய்ப்பு
மூன்றாவது தொகுப்பிலிருந்து இரண்டு நிலையான பாகங்கள் தொடர்ச்சியாக பிரித்தெடுக்கப்படும்:
PH 3 (A) = 10 30 × 29 9 = 29 3.
பேய்ஸின் சூத்திரத்தின்படி, பிரித்தெடுக்கப்பட்ட இரண்டு நிலையான பகுதிகளும் மூன்றாவது தொகுப்பிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவு இதற்கு சமம்:
(H3) = |
(H3)×PH 3 (A) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
பி(H1) |
×PH |
(H2)×PH |
(A) + P(H3)×PH |
||||||||||||||||||||||||||||||
6.2. மறுசோதனை திட்டம்
6.2.1. பெர்னோலியின் சூத்திரம்
அதே நிபந்தனைகளின் கீழ், ஒரு குறிப்பிட்ட சோதனை n முறை மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்பட்டால், ஒவ்வொரு சோதனையிலும் சில நிகழ்வு A நிகழ்வதற்கான நிகழ்தகவு p க்கு சமமாக இருந்தால், n சோதனைகளின் தொடரில் நிகழ்வு A சரியாக k முறை நிகழும். பெர்னோலியின் சூத்திரத்தால் கண்டறியப்பட்டது:
இங்கு [...] என்பது எண்ணின் முழு எண் பகுதியைக் குறிக்கிறது.
எண் np + p ஒரு முழு எண்ணாக இருந்தால், அதே நிகழ்தகவு Pn (k0 ) உடன் மிகவும் சாத்தியமான எண் k0 - 1 ஆக இருக்கும்.
எடுத்துக்காட்டு 6.15. ஒரு தொழிலாளியால் செயலாக்கப்பட்ட பாகங்களில், சராசரியாக 4% தரமற்றவை. சோதனைக்காக எடுக்கப்பட்ட 30 பாகங்களில் இரண்டு பாகங்கள் தரமற்றதாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும். பரிசீலனையில் உள்ள 30 பகுதிகளின் மாதிரியில் உள்ள தரமற்ற பகுதிகளின் எண்ணிக்கை என்ன மற்றும் அதன் நிகழ்தகவு என்ன?
தீர்வு. இங்கே அனுபவமானது 30 பாகங்களில் ஒவ்வொன்றையும் தரம் சரிபார்க்கிறது. நிகழ்வு A - தரமற்ற பகுதியின் தோற்றம்; அதன் நிகழ்தகவு P = 0.04, பின்னர் q = 0.96. இங்கிருந்து, பெர்னௌலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் காண்கிறோம்:
P30 (2) = C30 2 (0.04)2 (0.96)28 » 0.202.
கொடுக்கப்பட்ட மாதிரியில் உள்ள தரமற்ற பகுதிகளின் எண்ணிக்கை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது (2):
k0 = = = 1, a அதன் நிகழ்தகவு சமம்
P30 (1) = C30 1 ×0.041 ×(0.96)29 » 0.305.
எடுத்துக்காட்டு 6.16. ஒரு ஷாட் மூலம் இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு 0.8 ஆகும். நான்கு ஷாட்களின் தொடரில் இருக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்: அ) குறைந்தது ஒரு வெற்றி; b) குறைந்தது மூன்று வெற்றிகள்; c) ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட வெற்றி இல்லை.
தீர்வு. இங்கே n = 4, p = 0.8, q = 0.2. அ) எதிர் நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம் - நான்கு ஷாட்களின் தொடரில் இலக்கில் ஒரு வெற்றி கூட இல்லை:
P4 (0) = C4 0 p0 q4 = 0.24 = 0.0016. 4 = 0.8192.
c) இலக்கை ஒரு முறைக்கு மேல் தாக்காத நிகழ்தகவு இதேபோல் கணக்கிடப்படுகிறது:
P4 (k £1) = P4 (0) + P4 (1) = 0.0016 +C4 1 p1 q3 =
0.0016 + 4×0.8×0.2 3 = 0.2576.
6.2.2. உள்ளூர் லாப்லேஸ் தேற்றம்
சில நிகழ்வு A நிகழ்வதற்கான நிகழ்தகவு p ஆனது n சார்பற்ற சோதனைகளில் நிலையானதாகவும், 0 மற்றும் 1 இலிருந்து வேறுபட்டதாகவும் இருந்தால், இந்தச் சோதனைகளில் A நிகழ்வு n → ∞ ஐப் போல் m முறை நிகழும் Pmn நிகழ்தகவு உறவை திருப்திப்படுத்துகிறது:
npq Pmn |
||
n →∞ |
ϕ(x) |
எடுத்துக்காட்டு 6.17. இந்த இயந்திரத்தில் உயர்தர பகுதியை உற்பத்தி செய்வதற்கான நிகழ்தகவு 0.4 ஆகும். தற்செயலாக எடுக்கப்பட்ட 26 பாகங்களில் பாதி உயர்ந்த தரத்தில் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.
