Cum se compară numerele cu diferiți numitori. Comparația fracțiilor

Din două fracții cu aceiași numitori cel cu numărătorul mai mare este mai mare, iar cel cu numărătorul mai mic este mai mic. De fapt, numitorul arată în câte părți a fost împărțită o valoare întreagă, iar numărătorul arată câte astfel de părți au fost luate.

Se pare că am împărțit fiecare cerc întreg la același număr 5 , dar au luat cantități diferite piese: au luat mai multe - o fracție mai mare și s-a dovedit.

Dintre două fracții cu aceiași numărători, cea cu numitorul mai mic este mai mare, iar cea cu numitorul mai mare este mai mică. Ei bine, de fapt, dacă împărțim un cerc în 8 piese, iar cealaltă pe 5 părți și ia câte o parte din fiecare dintre cercuri. Care parte va fi mai mare?

Desigur, dintr-un cerc împărțit la 5 părți! Acum imaginați-vă că împărțeau nu cercuri, ci prăjituri. Ce piesă ai prefera, sau mai bine zis, care împarte: o cincime sau o opta?

Pentru a compara fracții cu diferiți numărători și diferiți numitori, trebuie să reduceți fracțiile la cel mai mic numitor comun și apoi să comparați fracțiile cu aceiași numitori.

Exemple. Comparați fracțiile comune:

Să reducem aceste fracții la cel mai mic numitor comun. NOZ(4 ; 6)=12. Găsim factori suplimentari pentru fiecare dintre fracții. Pentru prima fracție un factor suplimentar 3 (12: 4=3 ). Pentru a 2-a fracție un factor suplimentar 2 (12: 6=2 ). Acum comparăm numărătorii celor două fracții rezultate cu aceiași numitori. Deoarece numărătorul primei fracții este mai mic decât numărătorul celei de-a doua fracții ( 9<10) , atunci prima fracție în sine este mai mică decât a doua fracție.

În această lecție vom învăța cum să comparăm fracțiile între ele. Aceasta este o abilitate foarte utilă care este necesară pentru a rezolva o întreagă clasă de probleme mai complexe.

Mai întâi, permiteți-mi să vă reamintesc definiția egalității fracțiilor:

Fracțiile a /b și c /d se spune că sunt egale dacă ad = bc.

1. 5/8 = 15/24, deoarece 5 24 = 8 15 = 120;
2. 3/2 = 27/18, deoarece 3 18 = 2 27 = 54.

În toate celelalte cazuri, fracțiile sunt inegale și una dintre următoarele afirmații este adevărată pentru ele:

1. Fracția a/b este mai mare decât fracția c/d;
2. Fracția a/b este mai mică decât fracția c/d.

Se spune că fracția a /b este mai mare decât fracția c /d dacă a /b − c /d > 0.

Se spune că o fracție x /y este mai mică decât o fracție s /t dacă x /y - s /t< 0.

Desemnare:

Astfel, compararea fracțiilor se reduce la scăderea lor. Întrebare: cum să nu fii confundat cu notațiile „mai mult decât” (>) și „mai puțin decât” (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

1. Partea evazată a copacului indică întotdeauna către numărul mai mare;
2. Nasul ascuțit al unui copacă indică întotdeauna un număr mai mic.

Adesea, în problemele în care trebuie să comparați numere, un semn „∨” este plasat între ele. Aceasta este o zi cu nasul în jos, care pare să sugereze: cel mai mare dintre numere nu a fost încă determinat.

Sarcină. Comparați numerele:

După definiție, scădeți fracțiile una de la alta:

În fiecare comparație, ni s-a cerut să reducem fracțiile la un numitor comun. Mai exact, folosind metoda încrucișată și găsirea celui mai mic multiplu comun. Nu m-am concentrat în mod deliberat asupra acestor puncte, dar dacă ceva nu este clar, aruncați o privire la lecția „Adunarea și scăderea fracțiilor” - este foarte ușor.

Comparația zecimale

În cazul fracțiilor zecimale, totul este mult mai simplu. Nu este nevoie să scădeți nimic aici - comparați doar cifrele. Este o idee bună să vă amintiți care este partea semnificativă a unui număr. Pentru cei care au uitat, vă sugerez să repetați lecția „Înmulțirea și împărțirea zecimalelor” - și aceasta va dura doar câteva minute.

O zecimală X pozitivă este mai mare decât o zecimală Y pozitivă dacă conține o zecimală astfel încât:

1. Cifra din acest loc în fracția X este mai mare decât cifra corespunzătoare din fracția Y;
2. Toate cifrele mai mari decât aceasta pentru fracțiile X și Y sunt aceleași.

1. 12.25 > 12.16. Primele două cifre sunt aceleași (12 = 12), iar a treia este mai mare (2 > 1);
2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

Cu alte cuvinte, parcurgem zecimale una câte una și căutăm diferența. În acest caz, un număr mai mare corespunde unei fracții mai mari.

Cu toate acestea, această definiție necesită o clarificare. De exemplu, cum se scrie și se compară zecimale? Amintiți-vă: orice număr scris în formă zecimală poate avea orice număr de zerouri adăugat la stânga. Iată încă câteva exemple:

1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (despre care vorbim despre gradul superior).
2. 2300,5 > 0,0025, deoarece 0,0025 = 0000,0025 - trei zerouri au fost adăugate în stânga. Acum puteți vedea că diferența începe din prima cifră: 2 > 0.

Desigur, în exemplele date cu zerouri a existat o exagerare evidentă, dar ideea este exact aceasta: completați biții lipsă din stânga și apoi comparați.

Sarcină. Comparați fracții:

1. 0,029 ∨ 0,007;
2. 14,045 ∨ 15,5;
3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
4. 1700,1 ∨ 0,99501.

Prin definiție avem:

1. 0,029 > 0,007. Primele două cifre coincid (00 = 00), apoi începe diferența (2 > 0);
2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
3. 0,00003 > 0,0000099. Aici trebuie să numărați cu atenție zerourile. Primele 5 cifre din ambele fracții sunt zero, dar apoi în prima fracție există 3, iar în a doua - 0. Evident, 3 > 0;
4. 1700,1 > 0,99501. Să rescriem a doua fracție ca 0000,99501, adăugând 3 zerouri la stânga. Acum totul este evident: 1 > 0 - diferența este detectată în prima cifră.

Din păcate, schema dată pentru compararea fracțiilor zecimale nu este universală. Această metodă poate doar compara numere pozitive. În cazul general, algoritmul de operare este următorul:

1. O fracție pozitivă este întotdeauna mai mare decât o fracție negativă;
2. Două fracții pozitive sunt comparate folosind algoritmul de mai sus;
3. Două fracții negative sunt comparate în același mod, dar la final semnul inegalității este inversat.

Ei bine, nu este slab? Acum să ne uităm la exemple concrete- și totul va deveni clar.

Sarcină. Comparați fracții:

1. 0,0027 ∨ 0,0072;
2. −0,192 ∨ −0,39;
3. 0,15 ∨ −11,3;
4. 19,032 ∨ 0,0919295;
5. −750 ∨ −1,45.

1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
2. −0,192 > −0,39. Fracțiile sunt negative, a 2-a cifră este diferită. 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
3. 0,15 > −11,3. Un număr pozitiv este întotdeauna mai mare decât un număr negativ;
4. 19,032 > 0,091. Este suficient să rescrieți a doua fracție sub forma 00.091 pentru a vedea că diferența apare deja în prima cifră;
5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. Diferența este în prima categorie.

Cum se compară fracțiile fără a le reduce la un numitor comun?

Când comparați fracții, mai întâi trebuie să determinați dacă fracțiile sunt proprii sau improprie o fracție improprie are un numărător mai mare decât numitorul; numitorul corect mai mare decât numărătorul. Fracție improprie mai corect. Dacă ambele fracții sunt corecte, atunci trebuie să comparați numărul de cifre din numitori. O fracție cu mai puține cifre în numitor va fi mai mare. La cantități egale semnele numărătorilor și numitorilor, trebuie să începeți împărțirea numărătorilor la numitori până când este identificată prima cifră mai mare.

De exemplu, avem 5/10 și 2/3 - cum putem compara aceste două numere fără a reduce fracțiile la un numitor comun? Tot ce trebuie să faceți este să luați un calculator (sau un smartphone) și să efectuați acțiunea, adică să împărțiți fracții. Numerele rezultate sunt 0,5 și 0,67, ceea ce înseamnă că fracția 2/3 este mai mare decât 5/10.

În primul rând, trebuie să acordați atenție fracției în sine - cea necorespunzătoare va fi în orice caz mai mare decât cea corectă. Unul incorect este unul care are un numărător mai mare decât numitorul.

Bine următoarea opțiune- aceasta este pur și simplu pentru a efectua procesul de divizare și a vedea clar care dintre ele este mai mare.

În astfel de cazuri, încerc întotdeauna să reduc cumva fracțiile din mintea mea și să mă uit la raportul dintre numărător și numitor. Iată un exemplu: există o fracție 7/14 și 3/4. Reducând prima fracție (nu trebuie să o reduceți, în principiu) obținem 1/2 sau jumătate, bine, 3/4 este în mod clar mai mult de jumătate (75%). Prin urmare, a doua fracție va fi mai mare. Toate acestea sunt luate în considerare în minte și automat, în mod natural.

Ei bine, în primul rând, uită-te la numitor. Dacă o fracție are mai puțin, este probabil cea mai mică fracție. Apoi uită-te la numărător. De exemplu, mă uit și îmi dau seama. Uneori ajută. Poate te va ajuta si pe tine...

• Există câteva fracții care trebuie comparate fără a le aduce la un numitor comun. Aici puteți încerca câteva trucuri speculative.

  1. Vedeți unde sunt fracțiile proprii și improprii. Cu primele, este simplu - numărătorul este mai mic decât numitorul, nu există nicio unitate, doar o parte. 5/8. Cele doua necesită o formă mai adecvată de 1+un fel de coadă, în care numărătorul depășește numitorul. 8/5. O fracție improprie este mai mare decât orice fracție proprie.
  2. Vă puteți folosi imaginația și răspunde la următoarea întrebare: Câte fracții lipsesc uneia? 5/6 vs 7/8. Desigur, ultimul număr câștigă, pentru că lipsește partea a opta, care este mult mai mică decât partea a șasea.
  3. Îl poți compara cu jumătate. Pentru a face acest lucru, poate fi necesar să adăugați o claritate, de exemplu, să desenați cercuri și să pictați părțile necesare în ele. Dacă ambele sunt mai puține sau mai multe, atunci trebuie să căutați o altă fracție pentru a compara ambele fracții.

Să continuăm să studiem fracțiile. Astăzi vom vorbi despre comparația lor. Subiectul este interesant și util. Acesta va permite unui începător să se simtă ca un om de știință într-o haină albă.

Esența comparării fracțiilor este de a afla care dintre două fracții este mai mare sau mai mică.

Pentru a răspunde la întrebarea care dintre două fracții este mai mare sau mai mică, utilizați, de exemplu, mai mult (>) sau mai puțin (<).

Matematicienii s-au ocupat deja de reguli gata făcute care le permit să răspundă imediat la întrebarea care fracție este mai mare și care este mai mică. Aceste reguli pot fi aplicate în siguranță.

Ne vom uita la toate aceste reguli și vom încerca să ne dăm seama de ce se întâmplă acest lucru.

Conținutul lecției

Compararea fracțiilor cu aceiași numitori

Fracțiile care trebuie comparate sunt diferite. Cel mai bun caz este atunci când fracțiile au aceiași numitori, dar numărători diferiți. În acest caz, se aplică următoarea regulă:

Dintre două fracții cu același numitor, fracția cu numărătorul mai mare este mai mare. Și în consecință, fracția cu numărătorul mai mic va fi mai mică.

De exemplu, să comparăm fracții și să răspundem care dintre aceste fracții este mai mare. Numitorii sunt aceiași, dar numărătorii sunt diferiți. Fracția are un numărător mai mare decât fracția. Aceasta înseamnă că fracția este mai mare decât . Așa că răspundem. Trebuie să răspundeți folosind pictograma mai multe (>)

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim despre pizza, care sunt împărțite în patru părți. Există mai multe pizza decât pizza:

Toată lumea va fi de acord că prima pizza este mai mare decât a doua.

Compararea fracțiilor cu aceiași numărători

Următorul caz în care putem intra este atunci când numărătorii fracțiilor sunt aceiași, dar numitorii sunt diferiți. Pentru astfel de cazuri, este prevăzută următoarea regulă:

Dintre două fracții cu aceiași numărători, fracția cu numitorul mai mic este mai mare. Și în consecință, fracția al cărei numitor este mai mare este mai mică.

De exemplu, să comparăm fracțiile și . Aceste fracții numărători identici. O fracție are un numitor mai mic decât o fracție. Aceasta înseamnă că fracția este mai mare decât fracția. Așa că răspundem:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim despre pizza, care sunt împărțite în trei și patru părți. Există mai multe pizza decât pizza:

Toată lumea va fi de acord că prima pizza este mai mare decât a doua.

Compararea fracțiilor cu diferiți numărători și diferiți numitori

De multe ori se întâmplă să fii nevoit să compari fracții cu diferiți numărători și diferiți numitori.

De exemplu, comparați fracții și . Pentru a răspunde la întrebarea care dintre aceste fracții este mai mare sau mai mică, trebuie să le aduceți la același numitor (comun). Apoi puteți determina cu ușurință care fracție este mai mare sau mai mică.

Să aducem fracțiile la același numitor (comun). Să găsim LCM al numitorilor ambelor fracții. LCM a numitorilor fracțiilor și acesta este numărul 6.

Acum găsim factori suplimentari pentru fiecare fracție. Să împărțim LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 6, iar numitorul primei fracții este numărul 2. Împărțim 6 la 2, obținem un factor suplimentar de 3. Îl scriem deasupra primei fracții:

Acum să găsim al doilea factor suplimentar. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 6, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împărțim 6 la 3, obținem un factor suplimentar de 2. Îl scriem deasupra celei de-a doua fracții:

Să înmulțim fracțiile cu factorii lor suplimentari:

Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori. Și știm deja cum să comparăm astfel de fracții. Dintre două fracții cu același numitor, fracția cu numărătorul mai mare este mai mare:

Regula este regula și vom încerca să ne dăm seama de ce este mai mult de . Pentru a face acest lucru, selectați întreaga parte din fracțiune. Nu este nevoie să evidențiați nimic în fracție, deoarece fracția este deja adecvată.

După izolarea părții întregi în fracție, obținem următoarea expresie:

Acum puteți înțelege cu ușurință de ce mai mult de . Să desenăm aceste fracții ca pizza:

2 pizza întregi și pizza, mai mult decât pizza.

Scăderea numerelor mixte. Cazuri dificile.

Scăderea numere mixte, uneori s-ar putea să descoperi că lucrurile nu merg atât de bine pe cât ți-ai dori. Se întâmplă adesea ca atunci când rezolvi un exemplu, răspunsul să nu fie ceea ce ar trebui să fie.

La scăderea numerelor, minuendul trebuie să fie mai mare decât subtraend. Numai în acest caz se va primi un răspuns normal.

De exemplu, 10−8=2

10 - decrementabil

8 - scăderea

2 - diferenta

Minuendul 10 este mai mare decât subtrahendul 8, așa că obținem răspunsul normal 2.

Acum să vedem ce se întâmplă dacă minuend este mai mic decât subtraend. Exemplul 5−7=−2

5 — descrescabilă

7 - scăderea

−2 — diferență

În acest caz, depășim limitele numerelor cu care suntem obișnuiți și ne regăsim în lumea numerelor negative, unde este prea devreme să mergem și chiar periculos. Pentru a lucra cu numere negative, avem nevoie de o pregătire matematică adecvată, pe care nu am primit-o încă.

Dacă, atunci când rezolvați exemple de scădere, descoperiți că minuend este mai mic decât subtraend, atunci puteți sări peste acest exemplu pentru moment. Este permis să lucrați cu numere negative numai după ce le-ați studiat.

Situația este aceeași cu fracțiile. Minendul trebuie să fie mai mare decât subtraend. Numai în acest caz va fi posibil să obțineți un răspuns normal. Și pentru a înțelege dacă fracția care se reduce este mai mare decât fracția care se scade, trebuie să poți compara aceste fracții.

De exemplu, să rezolvăm exemplul.

Acesta este un exemplu de scădere. Pentru a o rezolva, trebuie să verificați dacă fracția care se reduce este mai mare decât fracția care se scade. mai mult decât

astfel încât să putem reveni în siguranță la exemplu și să-l rezolvăm:

Acum să rezolvăm acest exemplu

Verificăm dacă fracția care se reduce este mai mare decât fracția care se scade. Constatăm că este mai puțin:

În acest caz, este mai înțelept să te oprești și să nu mai continui calculul. Să revenim la acest exemplu când studiem numerele negative.

De asemenea, este recomandabil să verificați numerele mixte înainte de scădere. De exemplu, să găsim valoarea expresiei .

Mai întâi, să verificăm dacă numărul mixt care se reduce este mai mare decât numărul mixt care se scade. Pentru a face acest lucru, convertim numere mixte în fracții improprii:

Am primit fracții cu numărători diferiți și numitori diferiți. Pentru a compara astfel de fracții, trebuie să le aduceți la același numitor (comun). Nu vom descrie în detaliu cum să facem acest lucru. Dacă aveți dificultăți, asigurați-vă că repetați.

După reducerea fracțiilor la același numitor, obținem următoarea expresie:

Acum trebuie să comparați fracțiile și . Acestea sunt fracții cu aceiași numitori. Dintre două fracții cu același numitor, fracția cu numărătorul mai mare este mai mare.

Fracția are un numărător mai mare decât fracția. Aceasta înseamnă că fracția este mai mare decât fracția.

Aceasta înseamnă că minuend este mai mare decât subtraend

Aceasta înseamnă că putem reveni la exemplul nostru și îl putem rezolva în siguranță:

Exemplul 3. Găsiți valoarea unei expresii

Să verificăm dacă minuend este mai mare decât subtraend.

Să convertim numerele mixte în fracții improprii:

Am primit fracții cu numărători diferiți și numitori diferiți. Să reducem aceste fracții la același numitor (comun).