예제 6.6. 두 기계는 서로 독립적으로 작동합니다. 일정 시간 t 동안 첫 번째 기계가 중단 없이 작동할 확률은 p1 = 0.9, 두 번째 기계 p2 = 0.8입니다. 지정된 기간 동안 두 기계가 중단 없이 작동할 확률은 얼마입니까?

해결책. 다음 이벤트를 고려해 보겠습니다. А1 и А2 - 시간 t 동안 각각 첫 번째 및 두 번째 머신의 중단 없는 작동; A - 지정된 시간 동안 두 기계의 중단 없는 작동. 그러면 사건 A는 사건 A1 è À2, t.å의 조합입니다. À = À1 À2 . 사건 A1과 À2는 독립적이므로(기계는 서로 독립적으로 작동함) 공식 (5)를 사용하여 다음을 얻습니다.

P(-) = P(-1) · P(-2) = 0.9 · 0.8 = 0.72.

예제 6.7. 문제 6.6에서. иt(사건 B) 동안 두 기계 중 적어도 하나가 중단 없이 작동할 확률을 결정합니다.

첫 번째 방법. 시간 t 동안 두 시스템의 가동 중지 시간을 의미하는 반대 이벤트 B를 고려해 보겠습니다. 확실히-

그러나 해당 이벤트 B는 이벤트 A1과 A 2의 조합입니다. 즉, 첫 번째 및 두 번째 시스템의 가동 중지 시간입니다. 비 = A1 A2 . 사건 A1과 A2는 독립이므로,

P(B) = P(A1)×P(A2) = = 0.1×0.2 = 0.02.

P(B) = 1− P(B) = 0.98.

두 번째 방법. 이벤트 B는 다음 세 가지 호환되지 않는 이벤트 중 하나가 발생할 때 발생합니다.

А1 · А 2 - 이벤트 А1 и А2의 조합(첫 번째 기계가 작동 중입니다.

두 번째 - 작동하지 않음) 또는 A1 · À2 - 이벤트 A1 è À2의 조합(첫 번째 기계는 작동하지 않고 두 번째 기계는 작동함) 또는 A1 À2 - 이벤트 A1 è À2(두 기계 모두 작동)의 조합, 즉

B = A1 × A2 + A1 × A2 + A1 × A2.

공식 (3)을 사용하면 다음을 얻습니다.

P(B) = P(A1×A2) + P(A1×A2) + P(A1×A2).

 사건 A 때문에 1 è À2 , 따라서 A1 è A2 , A1

è А 2는 독립입니다.

P(B) = P(A1)×P(A2) + P(A1)×P(A2) + P(A1)×P(A2) =

P(A1) + P(A2) + P(A1)×P(A2) = 0.98.

예제 6.8. 전압이 증가하면 직렬로 연결된 세 요소 중 하나의 고장으로 인해 전기 회로가 파손될 수 있습니다. 요소의 확률과 실패는 각각 0.2와 같습니다. 0.3; 0.4. 체인이 끊어지지 않을 확률을 결정합니다.

해결책. 사건 A1, ?2, ?3은 각각 첫 번째, 두 번째, 세 번째 요소의 실패를 의미한다고 가정합니다. 조건에 따른 확률은 각각 동일합니다. P(A1) = 0.2; P(A2) = 0.3; P(A3) = 0.4. 그렇다면 확률은 반대다.

이벤트 A 1 , A2 , A 3 각각 첫 번째, 두 번째 및 세 번째 요소는 실패하지 않았습니다)는 다음과 같습니다.

P(A1) =1 - P(A1) = 0.8; P(A2) = 0.7; P(A3) = 0.6.

회로가 파손되지 않았다는 사실로 구성된 사건 A,

독립적인 사건 A 1, A2, A 3의 조합이 있습니다: A = A1 × A2 × A3. 따라서 공식 (5)에 따라 다음을 얻습니다.

P(A) = P(A1)×P(A2)×P(A3) = 0.8×0.7×0.6 = 0.336.

예제 6.9. 항아리 안에는 검정색 공 6개, 빨간색 공 5개, 흰색 공 4개가 있습니다. 공 3개를 연속으로 꺼냅니다. 첫 번째 공이 검은색, 두 번째 공이 빨간색, 세 번째 공이 흰색일 확률을 구하세요.

해결책. 다음 이벤트를 고려하십시오. A - 첫 번째 추첨된 공은 검은색이고, B - 두 번째 공은 빨간색이며, C - 세 번째 공은 흰색입니다. 공이 검은색, 빨간색, 흰색의 순서로 그려지는 이벤트를 D로 표시하겠습니다. 당연히 D=A·B·C이다.

공식 (4)에 따르면 다음과 같습니다.

P(D) = P(A) P(B/A) P(C/AB).

이 등식의 우변에 포함된 확률을 찾아보겠습니다. 검은색 공 p가 처음에 뽑힐 확률은 다음과 같습니다.

	피(A)=							다음과 같은 경우 항아리에서 빨간 공을 꺼낼 확률
					검은 공은 원래 그려졌던 것이고,
	피(B/A)=							왜냐하면 항아리에 있는 검은 공을 제거한 후에도 남아 있기 때문입니다.

14개의 공이 있고 그 중 5개가 빨간색입니다. 검정색 공과 빨간색 공을 뽑은 후 항아리에서 흰색 공을 꺼낼 확률은 다음과 같습니다.

íûé øàðû, P(C/AB) = 13 4(검은색과 빨간색을 제거한 후)

항아리에는 13개의 공이 남아 있고 그 중 4개가 흰색입니다. 따라서,

P(D) = 2 5 × 14 5 × 13 4 = 91 4 .

예제 6.10. 공장은 특정 유형의 제품을 생산합니다. 각 제품에는 확률 p1 = 0.1의 결함이 있습니다. 제품은 한 명의 검사관에 의해 검사됩니다. 확률 p2 = 0.8로 기존 결함을 감지하고, 결함이 감지되지 않으면 제품을 완제품으로 전달합니다. 또한 검사관은 결함이 없는 제품을 실수로 거부할 수도 있습니다. 이에 대한 확률은 p3 = 0.3입니다. 다음 사건의 확률을 구하세요.

А1 – 제품이 거부되지만 부정확합니다. A2 - 제품이 결함이 있는 완제품으로 전달됩니다.

òîm; А3 – 제품이 거부됩니다.

해결책. 다음 이벤트를 고려하십시오. B1 – 제품에 결함이 있습니다.

Â2 - 검사관이 기존 결함을 감지합니다. B3 – 검사관은 결함이 없는 제품을 거부합니다.

문제의 조건에 따르면 P(B1) = p1 = 0.1; P(B2) = p2 = 0.8; PB1(B3) = p3 = 0.3. 이벤트 A1의 의미는 다음과 같습니다. “제품이 그렇지 않습니다.

결함이 있으며 검사관이 해당 제품을 거부할 것입니다.” 즉, A1 = B1 × B3. 그 다음에

P(A1) = P(B1 × B3) = P(B1) × PB1(B3) = (1- p1 ) × p3 = 0.9 × 0.3 = 0.27.

이벤트 A2는 "제품에 결함이 있고 검사관이 결함을 발견하지 못한다"는 의미를 의미합니다. A2 = B1 × B2. 그 다음에

P(A2) = P(B1)×P(B2) = p1 ×(1-p2) = 0.1×0.2 = 0.02,

왜냐하면 사건 B와 B2는 독립적이다.

이벤트 A3는 "제품에 결함이 있는데 검사관이 결함을 발견하거나, 제품에 결함이 없는데 검사관이 제품을 거부합니다"를 의미합니다.

A3 = B1 × B2 + B1 × B3

P(A 3 ) = P(B1 × B2 + B1 × B3 ) = P(B1 ) × P(B2 ) + P(B1 ) × PB 1(B3 ) =

P1 × P2 + (1- p1 ) × p3 = 0.1 × 0.8 + 0.9 × 0.3 = 0.35.

6.1.4. 총 확률 공식 및 베이즈 공식

어떤 경험이 n개의 상호 배타적인 사건(가설) H1, Í2, …, Ín과 연관되어 있고 사건 A가 이러한 가설 중 하나에서만 발생할 수 있는 경우 사건 A의 확률은 총 확률 공식을 사용하여 계산됩니다.

P(A) = P(H1) P(A/H1) + P(H2) P(A/H2) + … + P(Hn) P(A/Hn).

실험 전 가설의 확률이 P(H1), P(H2), ..., P(Hn)라면, 실험 후 사건 A가 발생한 결과 가설의 확률은 다음과 같습니다. Bayes 공식을 사용하여 재추정됩니다.

P(안녕하세요/A)=	P(안녕)×P(A/안녕)	(i =1,2,...,n).
	å P(안녕)× P(A/안녕)

예제 6.11. 공이 담긴 항아리가 세 개 있습니다. 첫 번째 항아리에는 흰색 공 4개와 검은색 공 5개가 들어 있고, 두 번째 항아리에는 흰색 공 5개와 검은색 공 4개, 세 번째 항아리에는 흰색 공 6개가 들어 있습니다. 누군가가 항아리 중 하나를 무작위로 선택하고 거기에서 공을 꺼냅니다. 다음의 확률을 구하십시오. a) 이 공은 흰색일 것입니다. b) 두 번째 항아리에서 흰색 공을 꺼냅니다.

a) A를 흰 공을 뽑는다는 의미의 사건이라고 하자. 세 가지 가설을 고려해 보겠습니다.

공을 뽑는 항아리는 무작위로 선택되므로

사건 A의 조건부 확률은 각각 다음과 같습니다.

	P(A/H2) =		(두 번째 항아리에서 흰색 공이 나올 확률)
	P(A/H3) = 1		(세 번째 항아리에서 흰색 공이 나올 확률)

여기에서 총 확률 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.

P(A) = 1 3 × 4 9 + 1 3 × 5 9 + 1 3 ×1= 1 3 ×2 = 2 3.

b) 두 번째 항아리에서 흰 공이 나올 확률을 결정하기 위해 Bayes의 공식을 사용합니다.

피(H2)피(A/H2)

P(H2

예제 6.12. 두 개의 신호 A와 B가 통신선을 따라 전송됩니다.

확률은 각각 0.72와 0.28입니다. 간섭으로 인해 6부

A신호는 왜곡되어 B신호로 수신되며, 7번째 부분은

전송된 B 신호는 A 신호로 수신됩니다.

a) A 신호가 수신 지점에서 수신될 확률을 결정합니다.

b) A-신호가 수신된 것으로 알려져 있다. 전송되었을 확률은 얼마입니까?

a) 이벤트 A를 보자 - A 신호가 수신 지점에 나타납니다. 가설을 소개하자면: H - 신호 A가 전송되고, H - 신호 B가 전송되며, 조건에 따라 P(HA) = 0.72; P(HB) = 0.28.

A 신호가 전송된 경우 A 신호가 수신될 확률은 다음과 같습니다.

P(A/HA) =1- 1 6 = 5 6.

B 신호가 전송될 때 A 신호가 수신될 확률은 다음과 같습니다.

P(A/HB) = 1 7.

여기에서 전체 확률 공식을 사용하면

P(A) = P(HA)×P(A/HA) + P(HB)×P(A/HB) = 0.72×56+0.28×17=0.64.

b) A 신호가 전송된 경우 A 신호를 수신할 확률은 베이즈 공식을 사용하여 구합니다.

		P(하)×P(A/하)
	P(HA/A) =

예제 6.13. 승객은 세 곳의 매표소 중 한 곳에서 항공권을 신청할 수 있습니다. 각 금전등록기를 방문할 확률은 위치에 따라 다르며 각각 p1, p2, p3과 같습니다. 승객이 도착할 때 매표소에서 구할 수 있는 티켓이 매진될 확률은 첫 번째 매표소의 p4, äëÿ와 같습니다.

두 번째 – p5, 세 번째 – p6. 승객은 티켓을 사러 갔다. 그가 표를 구입할 확률은 얼마나 됩니까?

해결책. 다음과 같은 무작위 이벤트를 고려하십시오.

À – 승객이 항공권을 구매합니다.

Í1 – 승객이 첫 번째 매표소로 갔습니다.

Í 2 – 승객이 두 번째 매표소로 갔습니다.

Í 3 – 승객이 세 번째 매표소로 갔습니다.

이벤트 H1, Í2, Í3은 완전한 이벤트 그룹을 형성하고 호환되지 않는 것이 분명합니다(승객은 하나의 매표소에만 갈 수 있다고 생각합니다). 사건 H1, Í2, Í3은 가설입니다. 사건 A는 가설 중 하나가 발생하는 경우에만 발생할 수 있습니다.

총 확률 공식에 따르면:

P(A) = P(H1)× PH1(A) + P(H2)× PH2(A) + P(H3)× PH3(A) =

P 1(1- p4) + P2(1- p5) + P3(1- p6).

예제 6.14. 3개의 부품 배치가 있으며 각 배치에는 30개의 부품이 포함되어 있습니다. 첫 번째, 두 번째, 세 번째 배치의 표준 부품 수는 각각 20, 15, 10개입니다. 무작위로 추출한 배치에서 표준으로 판명된 부품을 무작위로 추출했습니다. 그런 다음 동일한 배치에서 부품이 두 번째로 무작위로 제거되었으며 이는 표준으로 판명되었습니다. 부품이 세 번째 배치에서 제거될 확률을 구합니다.

해결책. 이벤트를 A로 표시하겠습니다. 두 테스트 각각에서 표준 부품이 제거되었습니다.

세 가지 가정(가설)을 세울 수 있습니다. H1 - 첫 번째 배치에서 부품이 추출되었습니다. H2 - 두 번째 배치에서 부품이 제거되었습니다. H3 - 세 번째 배치에서 부품이 제거되었습니다.

세부 사항은 무작위로 선택된 배치에서 추출되었으므로 가설의 확률은 동일합니다.

P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1 3.

조건부 확률 PH 1 (A), 즉 가능성은

첫 번째 배치에서 두 개의 표준 부품이 순차적으로 추출됩니다.

PH 1 (A) = 20 30 × 19 29 = 38 87.

조건부 확률 PH 2 (A)를 찾아보겠습니다. 가능성은

두 번째 배치에서 두 개의 표준 부품이 순차적으로 제거됩니다(반품 없이).

PH 2 (A) = 15 30 × 14 29 = 29 7.

조건부 확률 PH 3 (A), 즉 가능성은

세 번째 배치에서 두 개의 표준 부품이 순차적으로 추출됩니다.

PH 3 (A) = 10 30 × 29 9 = 29 3.

베이즈 공식에 따라 추출된 두 표준 부품이 세 번째 배치에서 모두 추출될 확률은 다음과 같습니다.

(H3) =

(H3)×PH3 (A)

피(H1)

×PH

(H2)×PH

(A) + P(H3)×PH

6.2. 재시험 계획

6.2.1. 베르누이의 공식

동일한 조건에서 특정 실험이 n번 반복되고 각 실험에서 어떤 사건 A가 발생할 확률이 p와 같다면 일련의 n번 실험에서 사건 A가 정확히 k번 발생할 확률은 다음과 같습니다. Bernoulli의 공식에 의해 구해진다:

여기서 [...] 기호는 숫자의 정수 부분을 의미합니다.

숫자 np + p가 정수인 경우 가장 가능성 있는 숫자는 동일한 확률 Pn(k0)을 갖는 k0 – 1이 됩니다.

예제 6.15. 작업자가 처리하는 부품 중 평균 4%가 비표준 부품입니다. 테스트를 위해 가져온 30개 부품 중 2개 부품이 비표준일 확률을 구합니다. 고려 중인 부품 30개 표본에서 비표준 부품이 포함될 가능성이 가장 높은 부품 수는 얼마이며 그 확률은 얼마입니까?

해결책. 여기서의 경험은 30개 부품 각각의 품질을 확인하는 것으로 구성됩니다. 사건 A – 비표준 부품의 출현; 확률은 P = 0.04이고 q = 0.96입니다. 여기에서 Bernoulli의 공식을 사용하여 다음을 찾습니다.

P30 (2) = C30 2 (0.04)2 (0.96)28 » 0.202.

주어진 샘플에서 비표준 부품의 가장 가능성 있는 수는 공식(2)을 사용하여 계산됩니다.

k0 = = = 1, a 확률은 같다

P30 (1) = C30 1 ×0.041 ×(0.96)29 » 0.305.

예제 6.16. 한 번의 사격으로 목표물을 맞출 확률은 0.8입니다. 일련의 4번의 사격에서 다음이 나올 확률을 구하십시오. a) 적어도 한 번의 안타; b) 적어도 3개의 안타; c) 안타는 1회 이하입니다.

해결책. 여기서 n = 4, p = 0.8, q = 0.2입니다. a) 반대 사건의 확률을 구합니다. 일련의 4발의 사격에서 목표물에 단 한 번의 명중도 없습니다.

P4(0) = C40 p0 q4 = 0.24 = 0.0016. 4 = 0.8192.

c) 목표물을 두 번 이상 맞출 확률은 비슷하게 계산됩니다.

P4(k￡1) = P4(0) + P4(1) = 0.0016 +C4 1 p1 q3 =

0.0016 + 4×0.8×0.2 3 = 0.2576.

6.2.2. 국소 라플라스 정리

어떤 사건 A가 발생할 확률 p가 n개의 독립적 시행에서 일정하고 0과 1이 아닌 경우, 이러한 시행에서 사건 A가 n → 에 따라 m번 발생할 확률 Pmn은 다음 관계를 충족합니다.

	npq 오후
n → ∨	∅(x)

예제 6.17. 이 기계에서 고품질 부품을 생산할 확률은 0.4입니다. 무작위로 추출한 26개 부품 중 절반이 최고 등급일 확률을 구합니다.

여러 사건의 합은 이들 사건 중 적어도 하나의 발생으로 구성된 사건입니다.

여러 사건의 산물은 이 모든 사건의 공동 발생으로 구성된 사건입니다.

확률 덧셈 정리. 사건 A1, A2, ..., Ap가 호환되지 않는 경우, 즉 두 사건이 동시에 발생할 수 없는 경우

사건 B가 발생했다는 가정하에 계산된 사건 A의 확률을 B가 주어졌을 때 사건 A의 조건부 확률이라고 하며 P(A/B)로 표시합니다.

확률 곱셈 정리. 여러 사건이 발생할 확률은 그 중 하나의 확률과 다른 모든 사건의 조건부 확률을 곱한 것과 동일하며, 각 후속 사건의 확률은 모든 이전 사건이 이미 발생했다는 가정하에 계산됩니다.

사건 A1, A2, ..., Аn이 독립적인 경우, 즉 사건 중 어떤 수의 발생이 나머지 사건의 발생 확률을 변경하지 않는 경우

예제 6.6. 두 기계는 서로 독립적으로 작동합니다. 일정 시간 t 동안 첫 번째 기계가 중단 없이 작동할 확률은 p1 = 0.9, 두 번째 기계 p2 = 0.8입니다. 두 기계가 지정된 시간 동안 중단 없이 작동할 확률은 얼마입니까?

첫 번째 방법. 시간 t 동안 두 시스템의 가동 중지 시간을 의미하는 반대 이벤트 B를 고려해 보겠습니다. 분명히 이벤트 B는 이벤트 A1과 A2의 조합입니다(첫 번째 및 두 번째 시스템의 가동 중지 시간, 즉 B = A1A2). 사건 A와 A2는 독립이므로,

여기에서

두 번째 방법. 이벤트 B는 다음 세 가지 호환되지 않는 이벤트 중 하나가 발생할 때 발생합니다.

A1 ¦ A2 - 이벤트 A1과 A2의 조합(첫 번째 시스템이 작동 중입니다.

두 번째 - 작동하지 않음) 또는 A1 ¦ A2 - 이벤트 A1과 A2의 조합(첫 번째 기계는 작동하지 않고 두 번째 기계는 작동함) 또는 A1 A2 - 이벤트 A1과 A2의 조합(두 기계 모두 작동), 즉

공식 (3)을 사용하면 다음을 얻습니다.

사건 A1과 A2, 즉 A2가 독립이라는 사실로 인해 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

예제 6.8. 전압이 증가하면 직렬로 연결된 세 요소 중 하나의 고장으로 인해 전기 회로가 파손될 수 있습니다. 요소 고장 확률은 각각 0.2와 같습니다. 0.3; 0.4. 체인이 끊어지지 않을 확률을 결정합니다.

해결책. 이벤트 A1, A2, A3은 각각 첫 번째, 두 번째, 세 번째 요소의 실패를 의미한다고 가정합니다. 조건에 따른 확률은 각각 동일합니다. P(A1) = 0.2; P(A2) = 0.3; P(A3) = 0.4. 그렇다면 확률은 반대다.

이벤트 A1, A2, A3, 각각 첫 번째, 두 번째 및 세 번째 요소가 실패하지 않음)는 다음과 같습니다.

회로가 파손되지 않았다는 사실로 구성된 사건 A,

는 독립적인 사건의 조합이므로 공식 (5)를 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

예제 6.9. 항아리 안에는 검정색 공 6개, 빨간색 공 5개, 흰색 공 4개가 있습니다. 공 3개를 연속으로 꺼냅니다. 첫 번째 공이 검은색, 두 번째 공이 빨간색, 세 번째 공이 흰색일 확률을 구하세요.

해결책. 다음 이벤트를 고려하십시오. A - 첫 번째 추첨된 공은 검은색이고, B - 두 번째 공은 빨간색이며, C - 세 번째 공은 흰색입니다. 공이 검은색, 빨간색, 흰색의 순서로 그려지는 이벤트를 D로 표시하겠습니다. 당연히 D = A ¦ B ¦ C입니다.

P(B) = P(A) ¦ P(B/A) ¦ P(C/AB).

이 등식의 우변에 포함된 확률을 찾아보겠습니다. 처음에 검은색 공이 뽑힐 확률은 다음과 같습니다.

P (A) - 및 - 5. 처음에 검은 공을 꺼낸 경우 항아리에서 빨간 공을 제거할 확률 P(B/A) -14, 검은 공을 제거한 후 14개의 공이 남아 있기 때문입니다. 항아리와 이것들 중 - 빨간색 5개. 검은색 공과 빨간색 공을 뽑은 후 항아리에서 흰색 공을 꺼낼 확률

ny볼, P(C/AB) -13(검은색과 빨간색 제거 후)

항아리에는 13개의 공이 남아 있고 그 중 4개가 흰색입니다.

따라서,

R(b) - 2. — . — - —.

예제 6.10. 공장은 특정 유형의 제품을 생산합니다. 각 제품에는 확률 p1 = 0.1의 결함이 있습니다. 제품은 한 명의 검사관에 의해 검사됩니다. 확률 p2 = 0.8로 기존 결함을 감지하고, 결함이 감지되지 않으면 제품을 완제품으로 전달합니다. 또한 검사관은 결함이 없는 제품을 실수로 거부할 수도 있습니다. 이에 대한 확률은 p3 = 0.3입니다. 다음 사건의 확률을 구하세요.

A1 - 제품이 거부되지만 부정확합니다.

숙제 9번

№1 ㅏ 안에 답변. 0, 85; 0, 25.

№2 . 운동회에 Sizov는 경기장에갔습니다. 0.3의 확률로 축구 표를 살 수도 있고, 0.4의 확률로 농구 표를 살 수도 있고, 0.2의 확률로 배구 표를 살 수도 있습니다. 1) Sizov가 경쟁에 참가할 확률은 얼마입니까? 2) Sizov가 발차기가 금지된 대회에 참가했습니까? 답변.오,9; 0.6.

№3. 답변. 0,37.

№4 . 그룹에는 20명의 학생이 있습니다. 10명의 학생은 배구를 하고, 7명의 학생은 스키를, 3명의 학생은 농구를 합니다. 무작위로 선택된 학생이 농구를 하지 않을 확률을 구하십시오.

답변. 17/20.

№5. 답변. ¾.

№6.

№7. 답변

№8.

№9. 답변. 0,7.

№10.

숙제 9번

№1 . 범인은 0.05의 확률로 10개를 맞히고, 0.2의 확률로 9개, 0.6의 확률로 8개를 맞힙니다. 한 발이 발사되었습니다. 다음 사건의 확률은 얼마입니까? ㅏ- "최소 8점이 탈락했습니다", 안에- "8점 이상 득점"? 답변. 0, 85; 0, 25.

№2 . 운동회에 Sizov는 경기장에갔습니다. 0.3의 확률로 축구 표를 살 수도 있고, 0.4의 확률로 농구 표를 살 수도 있고, 0.2의 확률로 배구 표를 살 수도 있습니다. 1) Sizov가 경쟁에 참가할 확률은 얼마입니까? 2) Sizov가 발차기가 금지된 대회에 참가했습니까? 답변.오,9; 0.6.

№3. 작업장에는 3대의 기계가 작동하고 있습니다. 교대 중에 첫 번째 기계는 0.15의 확률로 조정이 필요할 수 있습니다. 두 번째 기계의 경우 이 확률은 0.1이고 세 번째 기계의 경우 0.12입니다. 기계가 동시에 조정을 요구할 수 없다는 가정 하에 교대 근무 중에 최소한 하나의 기계가 조정을 필요로 할 확률을 구하십시오. 답변. 0,37.

№4 . 그룹에는 20명의 학생이 있습니다. 10명의 학생은 배구를 하고, 7명의 학생은 스키를, 3명의 학생은 농구를 합니다. 무작위로 선택된 학생이 농구를 하지 않을 확률을 구하십시오.

답변. 17/20.

№5. 동전 2개가 던져집니다. 적어도 하나의 문장이 나타날 확률은 얼마입니까? 답변. ¾.

№6. 두 기계는 서로 독립적으로 작동합니다. 확률은 그렇습니다. 첫 번째 기계는 조정 없이 교대 근무를 하며 두 번째 기계는 0.8입니다. a) 두 기계 모두 조정 없이 교대 근무를 할 확률은 얼마입니까? b) 교대근무 중에 두 기계 모두 조정이 필요합니까?

№7. 세 명의 사수가 서로 독립적으로 표적을 향해 사격합니다. 첫 번째 사수의 안타 확률은 0.8, 두 번째 사수의 경우 0.75, 세 번째 사수의 경우 0.7입니다. 1) 적어도 한 번의 적중; 2) 정확히 한 번의 안타; H) 정확히 2개의 안타; 4) 모두가 한발씩 쏘면 세발? 5) 모두가 놓칠 확률은 얼마나 됩니까? 답변. 1) 0,985; 2) 0,14; 3) 0,425; 4) 0,42; 5) 0,015.

№8. 작업장에는 3대의 기계가 작동하고 있습니다. 교대 중에 첫 번째 기계는 0.15의 확률로 조정이 필요할 수 있습니다(그 이후에는 교대가 끝날 때까지 조정이 필요하지 않습니다). 두 번째 기계의 경우 이 확률은 0.1이고 세 번째 기계의 경우 0.12입니다. 기계가 서로 독립적으로 조정이 필요한 경우 교대 근무 중에 최소한 하나의 기계가 조정이 필요할 확률은 얼마나 됩니까?

№9. 낮 동안 작동하는 장치는 세 가지 구성 요소로 구성되어 있으며 각 구성 요소는 이 시간 동안 서로 독립적으로 작동하지 않을 수 있습니다. 하나의 노드라도 오류가 발생하면 장치 오류가 발생합니다. 첫 번째 노드가 있는 날 동안 무장애 작동 확률은 0.9, 두 번째 노드는 0.95, 세 번째 노드는 0.85이다. 하루 동안 장치가 고장 없이 작동할 확률을 구하십시오. 답변. 0,7.

№10. 부품을 제조할 때 두 가지 작업이 수행됩니다. 첫 번째 작업 중 결함 확률은 0.01이고 두 번째 작업 중 결함 확률은 0.02입니다. 두 번의 작업 후에 해당 부품이 표준이 될 확률은 얼마입니까?

설명

세 기계는 서로 독립적으로 작동합니다. 교대 중에 첫 번째 기계가 고장날 확률은 0.1, 두 번째 기계는 0.2, 세 번째 기계는 0.3입니다. 교대근무 중에 다음이 실패할 확률을 구하십시오. a) 최소 두 대의 기계; b) 두 대의 기계; c) 세 대의 기계.
해결책. 우리는 확률의 덧셈과 곱셈의 규칙을 사용할 것입니다.
b) 교대근무 중에 두 기계가 고장날 확률은 다음과 같습니다.

C) 교대 근무 중에 세 대의 기계가 고장날 확률은 다음과 같습니다.

A) 교대근무 중에 최소 2대의 기계(2~3대)가 고장날 확률은 다음과 같습니다.

작품은 1개의 파일로 구성되어 있습니다.

문제 번호 1.30.

세 기계는 서로 독립적으로 작동합니다. 교대 중에 첫 번째 기계가 고장날 확률은 0.1, 두 번째 기계는 0.2, 세 번째 기계는 0.3입니다. 교대근무 중에 다음이 실패할 확률을 구하십시오. a) 최소 두 대의 기계; b) 두 대의 기계; c) 세 대의 기계.

해결책.우리는 확률의 덧셈과 곱셈의 규칙을 사용할 것입니다.

비)교대근무 중에 두 대의 기계가 고장날 확률은 다음과 같습니다.

V)교대 근무 중에 세 대의 기계가 고장날 확률은 다음과 같습니다.

ㅏ)교대 근무 중에 최소 두 대의 기계(두 개 또는 세 대)가 고장날 확률은 다음과 같습니다.

답변: a) 0.098; b) 0.092; 다) 0.006.

문제 번호 2.30.

두 공장에서 냉장고를 생산합니다. 그 중 첫 번째 공장이 전체 제품의 60%를 만들고, 두 번째 공장이 40%를 생산하며, 첫 번째 공장 제품의 80%와 두 번째 공장 제품의 90%가 최고 품질을 자랑합니다. a) 무작위로 선택한 냉장고의 품질이 우수할 확률을 구하십시오. b) 무작위로 선택한 냉장고의 품질이 가장 좋은 것으로 나타났습니다. 제2공장에서 제조되었을 확률은 얼마나 됩니까?

해결책.이벤트를 입력해 보겠습니다. ㅏ– 최고 품질의 냉장고를 무작위로 선택합니다. – 냉장고는 공장에서 제조되었습니다. 이벤트는 완전한 이벤트 그룹을 형성합니다.

가설 확률 문제의 조건에 따르면:

사건의 조건부 확률:

ㅏ)총 확률 공식에 따르면 어떤 사건이 일어날 확률은 ㅏ(무작위로 가져온 최고 품질의 냉장고):

비)무작위로 가져온 냉장고는 최고 품질의 것으로 나타났습니다. 두 번째 공장에서 제조되었을 확률은 다음과 같습니다.

답변: a) 0.84; 나) 0.43.

문제 번호 3.30.

국고채 1개가 당첨될 확률은 1/3이다. 이 대출의 채권이 6개 있으면 다음을 이길 수 있는 확률을 구하십시오. a) 채권 2개; b) 3개의 채권의 경우; c) 적어도 두 개의 채권에 대해.

ㅏ)두 채권에서 승리할 확률은 다음과 같습니다.

비)세 개의 채권에서 승리할 확률은 다음과 같습니다.

V)이벤트를 하자 와 함께– 이익은 2개 미만의 채권에서 발생합니다. 그러면 반대 이벤트가 발생합니다. 최소 두 개의 채권에서 이익이 발생합니다. 이 사건의 확률은 다음과 같습니다.

답변: a) 0.329; b) 0.219; 다) 0.735.

문제 번호 4.30.

주어진 이산 확률 변수에 대해 다음을 찾으십시오. 1) 분포 법칙; 2) 분포 함수 및 그래프 작성; 3) 수학적 기대; 4) 분산; 5) 표준편차

테스트 샘플에 대해 세 가지 독립적인 측정이 수행됩니다. 각 측정에서 오류가 발생할 확률은 0.01입니다. 확률변수는 측정에서 발생한 오류의 수입니다.

해결책.이산확률변수 (측정 시 발생한 오류 수)는 값을 취할 수 있으며 분포 법칙은 확률에 따라 결정됩니다.

제어: 0.970299 + 0.029403 + 0.000297 + 0.000001 = 1.

그런 다음 SV의 원하는 분배 법칙은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

	0	1	2	3
피	0,970299	0,029403	0,000297	0,000001

이산 확률 변수의 수학적 기대:

이산 확률 변수의 분산:

표준 편차무작위 변수:

정의에 따르면 분포 함수의 형식은 다음과 같습니다.

언제 언제

~에

~에

~에

따라서 분포 함수의 형식은 다음과 같습니다.

분포함수를 그려보자

0,999999

0,999702

0,970299

0 1 2 3

문제 번호 5.30.

확률변수의 분포밀도는 다음과 같습니다.

찾기: 1) 매개변수 2) 분포 함수; 3) 수학적 기대; 4) 분산; 5) 세그먼트에 랜덤 변수가 포함될 확률

해결책. 1)매개변수를 정의해보자 씨평등에서 :

2) 분포함수를 구해보자 에프엑스(F(x)).그렇다면

그렇다면

그렇다면 분포 함수의 형식은 다음과 같습니다.

3) 확률변수의 수학적 기대:

4) 확률 변수의 분산:

연속확률변수의 표준편차:

5) SV가 세그먼트에 도달할 확률은 다음과 같습니다.

문제번호 6.30.

실험 결과, 통계 시리즈 형식으로 기록된 데이터가 얻어졌습니다.

44	36	50	30	58	37	18	72	57	35
28	38	15	38	45	27	59	45	68	52
18	64	36	43	22	38	31	57	17	42
31	42	25	35	60	46	51	24	60	50
17	38	46	19	43	9	43	32	61	37
23	43	32	52	39	46	27	39	21	53
37	10	40	33	54	62	26	47	40	54
43	40	25	40	47	16	53	41	32	40
26	42	62	41	48	41	55	10	48	34
33	21	41	49	56	34	63	49	56	29

필수의:

a) 변동 범위를 찾고 구간 변동 계열을 구성합니다.

b) 상대 빈도의 히스토그램인 빈도 다각형을 구성합니다.

c) 경험적 분포 함수를 계산하고 플롯팅합니다.

d) 표본의 수치적 특성을 찾는다

e) 정규 분포에 해당하는 표본을 고려하여 신뢰성 있는 수학적 기대값에 대한 신뢰 구간을 찾습니다.

f) H를 귀무가설로 받아들임 0 : 표본이 추출된 일반 모집단이 정규분포를 가지고 있는지, 유의수준에서 Pearson test를 이용하여 확인

해결책.실험 결과를 바탕으로 변형 시리즈를 구성합니다.

옵션	9	10	15	16	17	18	19	21	22	23	24	25	26	27	28
주파수	1	2	1	1	2	2	1	2	1	1	1	2	2	2	1
옵션	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43
주파수	1	1	2	3	2	2	2	2	3	4	2	5	4	3	5
옵션	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58
주파수	1	2	3	2	2	2	2	1	2	2	2	1	2	2	1
옵션	59	60	61	62	63	64	68	72
주파수	1	2	1	2	1	1	1	1