ბაიეს ფორმულის ელემენტებსა და მათ აღნიშვნას შორის შესაბამისობა. საერთო ალბათობის ფორმულა და ბეიზის ფორმულები

ბეიზის თეორემა დეტალურად არის აღწერილი ცალკეულ სტატიაში. ეს მშვენიერი ნამუშევარია, მაგრამ 15000 სიტყვაა. კალიდ აზადის სტატიის იგივე თარგმანი მოკლედ ხსნის თეორემის არსს.

• კვლევისა და ტესტირების შედეგები არ არის მოვლენები.არსებობს კიბოს დიაგნოსტიკის მეთოდი და არის თავად მოვლენა - დაავადების არსებობა. ალგორითმი ამოწმებს, შეიცავს თუ არა შეტყობინება სპამს, მაგრამ მოვლენა (სპამი რეალურად მოვიდა ფოსტაში) უნდა განიხილებოდეს დამოუკიდებლად მისი მუშაობის შედეგისგან.
• ტესტის შედეგებში არის შეცდომები.ხშირად ჩვენი კვლევის მეთოდები ავლენს იმას, რაც არ არის (ცრუ დადებითი) და არ იდენტიფიცირებს რა არის (ცრუ უარყოფითი).
• ტესტების დახმარებით ვიღებთ გარკვეული შედეგის ალბათობას.ძალიან ხშირად ჩვენ თვითონ ვუყურებთ ტესტის შედეგებს და არ განვიხილავთ მეთოდის შეცდომებს.
• ყალბი დადებითი შედეგებისურათის დამახინჯება.დავუშვათ, რომ თქვენ ცდილობთ ამოიცნოთ ძალიან იშვიათი მოვლენა (1 შემთხვევა 1,000,000-დან). მაშინაც კი, თუ თქვენი მეთოდი ზუსტია, დიდი შანსია თქვენი დადებითი შედეგი რეალურად იყოს ცრუ დადებითი.
• უფრო მოსახერხებელია ნატურალურ რიცხვებთან მუშაობა.უმჯობესია ვთქვათ: 10000-დან 100 და არა 1%. ამ მიდგომით ნაკლები შეცდომები იქნება, განსაკუთრებით გამრავლებისას. ვთქვათ, ამ 1%-ით უნდა გავაგრძელოთ მუშაობა. პროცენტებში მსჯელობა მოუხერხებელია: „1%-დან 80%-ში იყო დადებითი შედეგი“. ინფორმაციის აღქმა ბევრად უფრო ადვილია შემდეგნაირად: „100-დან 80 შემთხვევაში დაფიქსირდა დადებითი შედეგი“.
• მეცნიერებაშიც კი, ნებისმიერი ფაქტი მხოლოდ მეთოდის გამოყენების შედეგია.ფილოსოფიური თვალსაზრისით, სამეცნიერო ექსპერიმენტი მხოლოდ ტესტია შეცდომის შესაძლებლობით. არსებობს მეთოდი, რომელიც ამჟღავნებს ქიმიური ნივთიერებაან რაიმე ფენომენი, არის თავად მოვლენა - ამ ფენომენის არსებობა. ჩვენი ტესტის მეთოდებმა შეიძლება გამოიწვიოს ცრუ შედეგები და ყველა მოწყობილობას აქვს თანდაყოლილი შეცდომა.

ბეიზის თეორემა აქცევს ტესტის შედეგებს მოვლენათა ალბათობებად.

• თუ ვიცით მოვლენის ალბათობა და ცრუ დადებითი და ცრუ უარყოფითის ალბათობა, ჩვენ შეგვიძლია გამოვასწოროთ გაზომვის შეცდომები.
• თეორემა აკავშირებს მოვლენის ალბათობას გარკვეული შედეგის ალბათობასთან. ჩვენ შეგვიძლია დავაკავშიროთ Pr(A|X): A მოვლენის ალბათობა, მოცემული შედეგი X და Pr(X|A): X შედეგის ალბათობა, მოცემული მოვლენა A.

მოდით გავიგოთ მეთოდი

ამ სტატიის დასაწყისში მიბმული სტატია განიხილავს დიაგნოსტიკურ მეთოდს (მამოგრაფია), რომელიც გამოავლენს ძუძუს კიბოს. განვიხილოთ ეს მეთოდი დეტალურად.

• ყველა ქალის 1% ავადდება ძუძუს კიბოთი (და, შესაბამისად, 99% არ ავადდება)
• მამოგრამების 80% აღმოაჩენს დაავადებას, როდესაც ის რეალურად არსებობს (და, შესაბამისად, 20% არ აღმოაჩენს მას)
• ტესტების 9.6% აღმოაჩენს კიბოს, როდესაც არ არის (და, შესაბამისად, 90.4% სწორად აღმოაჩენს უარყოფით შედეგს)

ახლა შევქმნათ ასეთი ცხრილი:

როგორ ვიმუშაოთ ამ მონაცემებთან?

• ქალების 1% ავადდება ძუძუს კიბოთი
• თუ პაციენტს დაუდგინდა დაავადება, გადახედეთ პირველ სვეტს: არის 80% შანსი, რომ მეთოდმა სწორი შედეგი გამოიღო და 20% შანსი იმისა, რომ ტესტის შედეგი არასწორია (ცრუ უარყოფითი)
• თუ პაციენტის დაავადება არ არის გამოვლენილი, გადახედეთ მეორე სვეტს. 9,6%-იანი ალბათობით შეგვიძლია ვთქვათ, რომ კვლევის დადებითი შედეგი არასწორია, ხოლო 90,4%-იანი ალბათობით შეგვიძლია ვთქვათ, რომ პაციენტი ნამდვილად ჯანმრთელია.

რამდენად ზუსტია მეთოდი?

ახლა მოდით შევხედოთ ტესტის დადებით შედეგს. რა არის იმის ალბათობა, რომ ადამიანი ნამდვილად ავად არის: 80%, 90%, 1%?

მოდით ვიფიქროთ:

• არის დადებითი შედეგი. მოდით შევხედოთ ყველა შესაძლო შედეგს: შედეგი შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი დადებითი ან ცრუ დადებითი.
• ჭეშმარიტი დადებითი შედეგის ალბათობა უდრის: დაავადების მიღების ალბათობას გამრავლებული იმის ალბათობაზე, რომ ტესტმა რეალურად გამოავლინა დაავადება. 1% * 80% = .008
• ცრუ დადებითი შედეგის ალბათობა ტოლია: ალბათობა იმისა, რომ დაავადება არ არსებობს, გამრავლებული ალბათობაზე, რომ მეთოდმა დაავადება არასწორად გამოავლინა. 99% * 9.6% = .09504

ახლა ცხრილი ასე გამოიყურება:

რა არის იმის ალბათობა, რომ ადამიანი რეალურად ავად იყოს, თუ დადებითი მამოგრაფია მიიღება? მოვლენის ალბათობა არის მოვლენის შესაძლო შედეგების რაოდენობის თანაფარდობა ყველა შესაძლო შედეგის საერთო რაოდენობასთან.

მოვლენის ალბათობა = მოვლენის შედეგები / ყველა შესაძლო შედეგი

ჭეშმარიტი დადებითი შედეგის ალბათობა არის .008. დადებითი შედეგის ალბათობა არის ჭეშმარიტი დადებითი შედეგის ალბათობა + ცრუ დადებითის ალბათობა.

(.008 + 0.09504 = .10304)

ასე რომ, დადებითი ტესტის შედეგით დაავადების ალბათობა გამოითვლება შემდეგნაირად: .008/.10304 = 0.0776. ეს მნიშვნელობა არის დაახლოებით 7.8%.

ანუ, მამოგრაფიის დადებითი შედეგი მხოლოდ იმას ნიშნავს, რომ დაავადების ალბათობა არის 7,8% და არა 80% (ეს უკანასკნელი მნიშვნელობა მხოლოდ მეთოდის სავარაუდო სიზუსტეა). ეს შედეგი თავიდან გაუგებარი და უცნაური ჩანს, მაგრამ გასათვალისწინებელია: მეთოდი იძლევა ცრუ დადებით შედეგს შემთხვევების 9,6%-ში (რაც საკმაოდ ბევრია), ამიტომ ნიმუშში ბევრი ცრუ დადებითი შედეგი იქნება. იშვიათი დაავადების შემთხვევაში, ყველაზე დადებითი შედეგები იქნება ცრუ დადებითი.

მოდით გადავხედოთ ცხრილს და შევეცადოთ ინტუიციურად ჩავწვდეთ თეორემის მნიშვნელობას. თუ 100 ადამიანი გვყავს, მათგან მხოლოდ ერთს აქვს ეს დაავადება (1%). ამ ადამიანისთვის 80%-იანი შანსია, რომ მეთოდმა დადებითი შედეგი მოიტანოს. დარჩენილი 99%-დან 10%-ს ექნება დადებითი შედეგი, რაც, უხეშად რომ ვთქვათ, გვაძლევს 100-ს ცრუ დადებით შედეგს 100-დან. თუ გავითვალისწინებთ ყველა დადებით შედეგს, მაშინ 11-დან მხოლოდ 1 იქნება მართალი. ამრიგად, თუ დადებითი შედეგი მიიღება, დაავადების ალბათობა არის 1/11.

ზემოთ ჩვენ გამოვთვალეთ, რომ ეს ალბათობა არის 7,8%, ე.ი. რიცხვი რეალურად უახლოვდება 1/13-ს, მაგრამ აქ რამდენიმე მარტივი მსჯელობით ჩვენ შევძელით უხეში შეფასების პოვნა კალკულატორის გარეშე.

ბეიზის თეორემა

ახლა მოდით აღვწეროთ ჩვენი აზროვნების მატარებელი ფორმულის გამოყენებით, რომელსაც ეწოდება ბეიზის თეორემა. ეს თეორემა საშუალებას გაძლევთ შეასწოროთ კვლევის შედეგები ცრუ დადებითი შედეგებით შემოტანილი დამახინჯების შესაბამისად:

• Pr(A|X) = დაავადების ალბათობა (A) დადებითი შედეგის მიცემის (X). ეს არის ზუსტად ის, რაც ჩვენ გვინდა ვიცოდეთ: რა არის მოვლენის ალბათობა, თუ შედეგი დადებითია. ჩვენს მაგალითში ეს არის 7.8%.
• Pr(X|A) = დადებითი შედეგის ალბათობა (X) იმ შემთხვევაში, როდესაც პაციენტი ნამდვილად ავად არის (A). ჩვენს შემთხვევაში, ეს არის ნამდვილი დადებითი მნიშვნელობა - 80%
• Pr(A) = ავად გახდომის ალბათობა (1%)
• Pr(არა A) = არ დაავადების ალბათობა (99%)
• Pr(X|არა A) = კვლევის დადებითი შედეგის ალბათობა, თუ დაავადება არ არის. ეს არის ცრუ დადებითი მაჩვენებელი - 9,6%.

შეგვიძლია დავასკვნათ: მოვლენის ალბათობის მისაღებად, თქვენ უნდა გაყოთ ჭეშმარიტი პოზიტიური შედეგის ალბათობა ყველა დადებითი შედეგის ალბათობაზე. ახლა ჩვენ შეგვიძლია გავამარტივოთ განტოლება:
Pr(X) არის ნორმალიზაციის მუდმივი. ეს კარგად გვემსახურებოდა: ამის გარეშე, ტესტის დადებითი შედეგი მოგვცემდა მოვლენის 80%-იან შანსს.
Pr(X) არის რაიმე დადებითი შედეგის ალბათობა, იქნება ეს ჭეშმარიტი დადებითი შედეგი პაციენტების კვლევაში (1%) თუ ცრუ დადებითი შედეგი კვლევაში ჯანსაღი ადამიანები (99%).

ჩვენს მაგალითში Pr(X) საკმაოდ დიდი რიცხვია, რადგან ცრუ დადებითი შედეგების ალბათობა მაღალია.

Pr(X) იძლევა 7,8% შედეგს, რაც ერთი შეხედვით არაინტუიციურად გამოიყურება.

თეორემის მნიშვნელობა

ჩვენ ვატარებთ ტესტებს საქმის ჭეშმარიტი მდგომარეობის გასარკვევად. თუ ჩვენი ტესტები სრულყოფილი და ზუსტია, მაშინ ტესტების ალბათობა და მოვლენათა ალბათობა დაემთხვევა. ყველა დადებითი შედეგი იქნება ნამდვილად დადებითი და ყველა უარყოფითი შედეგი იქნება უარყოფითი. მაგრამ ჩვენ რეალურ სამყაროში ვცხოვრობთ. ჩვენს სამყაროში კი ტესტები არასწორ შედეგებს იძლევა. ბეიზის თეორემა ითვალისწინებს მიკერძოებულ შედეგებს, ასწორებს შეცდომებს, აღადგენს პოპულაციას და პოულობს ჭეშმარიტ პოზიტივის ალბათობას.

სპამის ფილტრი

ბეიზის თეორემა წარმატებით გამოიყენება სპამის ფილტრებში.

Ჩვენ გვაქვს:

• ღონისძიება A - სპამი წერილში
• ტესტის შედეგი - წერილში გარკვეული სიტყვების შინაარსი:

ფილტრი ითვალისწინებს ტესტის შედეგებს (წერილში გარკვეული სიტყვების შინაარსს) და პროგნოზირებს შეიცავს თუ არა ასო სპამს. ყველას ესმის, რომ, მაგალითად, სიტყვა „ვიაგრა“ უფრო ხშირად გვხვდება სპამში, ვიდრე ჩვეულებრივ ასოებში.

შავ სიაზე დაფუძნებულ სპამის ფილტრს აქვს უარყოფითი მხარეები - ის ხშირად იძლევა ცრუ დადებით შედეგებს.

ბეიზის თეორემაზე დაფუძნებული სპამის ფილტრი იყენებს შეწონილ და გონივრული მიდგომა: მუშაობს ალბათობით. როდესაც ჩვენ ვაანალიზებთ სიტყვებს ელფოსტაში, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ იმის ალბათობა, რომ ელფოსტა არის სპამი, ვიდრე დიახ/არა გადაწყვეტილებების მიღება. თუ ალბათობა იმისა, რომ წერილი შეიცავს სპამს არის 99%, მაშინ წერილი ნამდვილად არის.

დროთა განმავლობაში, ფილტრი ივარჯიშება უფრო დიდ ნიმუშზე და განაახლებს ალბათობას. ამრიგად, ბეიზის თეორემის საფუძველზე შექმნილი მოწინავე ფილტრები, ზედიზედ ამოწმებენ ბევრ სიტყვას და იყენებენ მათ მონაცემებად.

დამატებითი წყაროები:

ტეგები: ტეგების დამატება

საინფორმაციო ტექნოლოგია, კომპიუტერული მეცნიერება და მენეჯმენტი

ბეიზის ფორმულის გამოყენების შესახებ

DOI 10.12737/16076

A. I. Dolgov **

1 სააქციო საზოგადოება "საპროექტო ბიურო კონტროლის, სანავიგაციო და საკომუნიკაციო სისტემების რადიო მონიტორინგისთვის", დონის როსტოვი, რუსეთის ფედერაცია

ბეიზის გამოყენებადობის შესახებ" ფორმულა*** A. I. Dolgov1**

1 „საპროექტო ბიურო კონტროლის, სანავიგაციო და საკომუნიკაციო სისტემების მონიტორინგის შესახებ“ სს, დონის როსტოვი, რუსეთის ფედერაცია

საგანი ამ კვლევასარის ბეიზის ფორმულა. ამ სამუშაოს მიზანია ფორმულის გამოყენების სფეროს ანალიზი და გაფართოება. უპირველესი ამოცანაა ამ პრობლემისადმი მიძღვნილი პუბლიკაციების შესწავლა, რამაც შესაძლებელი გახადა ბეიზის ფორმულის გამოყენების ხარვეზების იდენტიფიცირება, რამაც გამოიწვია არასწორი შედეგები. შემდეგი ამოცანაა ბეიზის ფორმულის მოდიფიკაციების აგება, რომელიც ითვალისწინებს სხვადასხვა ცალკეულ მტკიცებულებებს და მიიღებს სწორ შედეგებს. და ბოლოს, კონკრეტული წყაროს მონაცემების მაგალითის გამოყენებით, Bayes ფორმულის გამოყენებით მიღებული არასწორი შედეგები შედარებულია შემოთავაზებული ცვლილებების გამოყენებით გამოთვლილ სწორ შედეგებთან. კვლევის ჩასატარებლად გამოყენებული იქნა ორი მეთოდი. პირველ რიგში, ჩატარდა ბეიზის ფორმულის დასაწერად გამოყენებული ცნობილი გამონათქვამების აგების პრინციპების ანალიზი და მისი ცვლილებები. მეორეც, ჩატარდა შედეგების (მათ შორის რაოდენობრივი) შედარებითი შეფასება. შემოთავაზებული ცვლილებები უზრუნველყოფს ბეიზის ფორმულის უფრო ფართო გამოყენებას თეორიასა და პრაქტიკაში, მათ შორის გამოყენებითი პრობლემების გადაჭრაში.

საკვანძო სიტყვები: პირობითი ალბათობები, არათანმიმდევრული ჰიპოთეზები, თავსებადი და შეუთავსებელი მტკიცებულებები, ნორმალიზაცია.

Bayes" ფორმულა არის კვლევის საგანი. სამუშაოს მიზანია ფორმულის გამოყენების ანალიზი და მისი გამოყენებადობის ფარგლების გაფართოება. პირველი პრიორიტეტული პრობლემა მოიცავს ბეიზის" ფორმულის უარყოფითი მხარეების იდენტიფიცირებას შესაბამისი პუბლიკაციების შესწავლის საფუძველზე, რაც იწვევს არასწორს. შედეგები. შემდეგი ამოცანაა ბეიზის ფორმულის მოდიფიკაციების აგება, რათა უზრუნველყოს სხვადასხვა ცალკეული ჩვენებების აღრიცხვა სწორი შედეგების მისაღებად. და ბოლოს, მიღებული არასწორი შედეგები. ერთადბეიზის ფორმულის გამოყენება შედარებულია სწორ შედეგებთან, რომლებიც გამოითვლება შემოთავაზებული ფორმულის ცვლილებების გამოყენებით კონკრეტული საწყისი მონაცემების მაგალითზე. კვლევებში გამოიყენება ორი მეთოდი. პირველი, ცნობილი გამონათქვამების აგების პრინციპების ანალიზი. ჩაწერეთ ბაიესის ფორმულა და ტარდება მისი ცვლილებები. მეორეც, ხდება შედეგების (მათ შორის რაოდენობრივი) შედარებითი შეფასება. შემოთავაზებული ცვლილებები იძლევა ბაიესის ფორმულის უფრო ფართო გამოყენებას როგორც თეორიაში, ასევე პრაქტიკაში, გამოყენებული პრობლემების გადაწყვეტის ჩათვლით. .

საკვანძო სიტყვები: პირობითი ალბათობები, არათანმიმდევრული ჰიპოთეზები, თავსებადი და შეუთავსებელი ჩვენებები, ნორმალიზება.

შესავალი. ბეიზის ფორმულა სულ უფრო ხშირად გამოიყენება თეორიასა და პრაქტიკაში, მათ შორის კომპიუტერული ტექნოლოგიების გამოყენებით გამოყენებითი პრობლემების გადაჭრისას. ორმხრივად დამოუკიდებელი გამოთვლითი პროცედურების გამოყენება შესაძლებელს ხდის ამ ფორმულის განსაკუთრებით ეფექტურად გამოყენებას მრავალპროცესორულ გამოთვლით სისტემებზე პრობლემების გადაჭრისას, რადგან ამ შემთხვევაში პარალელური განხორციელება ხორციელდება ზოგადი მიკროსქემის დონეზე და შემდეგი ალგორითმის ან პრობლემების კლასის დამატებისას. არ არის საჭირო პარალელიზებაზე ხელახლა მუშაობა.

ამ კვლევის საგანია ბეიზის ფორმულის გამოყენებადობა არათანმიმდევრული ჰიპოთეზების უკანა პირობითი ალბათობების შედარებითი შეფასებისთვის სხვადასხვა ცალკეული მტკიცებულებების ქვეშ. როგორც ანალიზი აჩვენებს, ასეთ შემთხვევებში ნორმალიზებული ალბათობა შეუთავსებელი კომბინირებული მოვლენების ეკუთვნის

S X<и ч и

არის eö და IS X X<и H

„სამუშაო საინიციატივო კვლევითი პროექტის ფარგლებში განხორციელდა.

** ელ. ფოსტა: [ელფოსტა დაცულია]

„კვლევა კეთდება დამოუკიდებელი R&D ფარგლებში.

მოვლენების სხვადასხვა სრული ჯგუფის შესაბამისი. ამავდროულად, შედარებული შედეგები არაადეკვატური აღმოჩნდება რეალური სტატისტიკური მონაცემების მიმართ. ეს გამოწვეულია შემდეგი ფაქტორებით:

გამოიყენება არასწორი ნორმალიზება;

მხედველობაში არ მიიღება მხედველობაში მიღებული მტკიცებულებების კვეთათა არსებობა ან არარსებობა.

გამოვლენილი ხარვეზების აღმოსაფხვრელად გამოვლენილია ბეიზის ფორმულის გამოყენების შემთხვევები. თუ მითითებული ფორმულა არ გამოიყენება, მისი მოდიფიკაციის აგების პრობლემა მოგვარებულია, რაც უზრუნველყოფს სხვადასხვა ცალკეული მტკიცებულებების გათვალისწინებას და სწორი შედეგების მიღებას. კონკრეტული საწყისი მონაცემების მაგალითის გამოყენებით, ჩატარდა შედეგების შედარებითი შეფასება:

არასწორი - მიღებულია ბეიზის ფორმულის გამოყენებით;

სწორი - გამოითვლება შემოთავაზებული მოდიფიკაციის გამოყენებით.

საწყისი დებულებები. ქვემოთ მოყვანილი განცხადებები დაფუძნებული იქნება ალბათობის კოეფიციენტების შენარჩუნების პრინციპზე: „მოვლენის ალბათობების სწორი დამუშავება შესაძლებელია მხოლოდ ნორმალიზებით ერთი საერთო ნორმალიზებული გამყოფის გამოყენებით, რომელიც უზრუნველყოფს ნორმალიზებული ალბათობების შეფარდებას შესაბამისი ნორმალიზებული ალბათობების შეფარდებასთან. .” ეს პრინციპი წარმოადგენს ალბათობის თეორიის სუბიექტურ საფუძველს, მაგრამ სათანადოდ არ არის ასახული თანამედროვე საგანმანათლებლო და სამეცნიერო-ტექნიკურ ლიტერატურაში.

თუ ეს პრინციპი ირღვევა, ინფორმაცია განხილული მოვლენების შესაძლებლობის ხარისხის შესახებ დამახინჯებულია. დამახინჯებული ინფორმაციის საფუძველზე მიღებული შედეგები და გადაწყვეტილებები არაადეკვატურია რეალური სტატისტიკური მონაცემების მიმართ.

ეს სტატია გამოიყენებს შემდეგ ცნებებს:

ელემენტარული მოვლენა არის მოვლენა, რომელიც არ იყოფა ელემენტებად;

კომბინირებული მოვლენა - მოვლენა, რომელიც წარმოადგენს ელემენტარული მოვლენების ამა თუ იმ კომბინაციას;

თავსებადი მოვლენები არის მოვლენები, რომლებიც ზოგიერთ შემთხვევაში მათი ალბათობის შედარებითი შეფასების შემთხვევაში შეიძლება იყოს შეუთავსებელი, ხოლო ზოგ შემთხვევაში თავსებადი;

შეუთავსებელი მოვლენები არის მოვლენები, რომლებიც შეუთავსებელია ყველა შემთხვევაში.

ალბათობის გამრავლების თეორემის მიხედვით, I ^ და ელემენტარული მოვლენების ნამრავლის ალბათობა P (I ^E).

E გამოითვლება როგორც P(Ik E) = P(E)P(I^E) ალბათობების ნამრავლი. ამასთან დაკავშირებით, ბეიზის ფორმულა ხშირად

იწერება სახით P(Ik\E) =--- , რომელიც აღწერს უკანა პირობითი ალბათობების განმარტებას

P(I^E) ჰიპოთეზები Ik (k = 1,...n) დაფუძნებული I-დან E-მდე კომბინირებული შეუთავსებელი მოვლენების P(I^E) აპრიორი ალბათობების ნორმალიზებაზე. თითოეული ასეთი მოვლენა წარმოადგენს პროდუქტი, რომლის ფაქტორები არის ერთ-ერთი განხილული ჰიპოთეზა და განხილული ერთი მტკიცებულება. ამავდროულად, ჩვენ განვიხილავთ ყველაფერს

შესაძლო მოვლენები IKE (k = 1,...n) ქმნის შეუთავსებელი კომბინირებული მოვლენების IKE სრულ ჯგუფს, იმის გამო

რომლითაც მათი ალბათობა P(Ik E) უნდა იყოს ნორმალიზებული ჯამური ალბათობის ფორმულის გათვალისწინებით, რომლის მიხედვითაც

Swarm P(E) = 2 P(Ik)P(E\Ik). ამიტომ, ბეიზის ფორმულა ყველაზე ხშირად იწერება ყველაზე ხშირად გამოყენებული ფორმით:

R(Ik) R(EIk)

P(Ik\E) = -. (1)

^ ბეიზის ფორმულის კატიონი.

ბეიზის ფორმულის აგების თავისებურებების ანალიზი, რომელიც მიზნად ისახავს გამოყენებითი პრობლემების გადაჭრას, ასევე მაგალითებს

”და მისი პრაქტიკული გამოყენება საშუალებას გვაძლევს გამოვიტანოთ მნიშვნელოვანი დასკვნა გაერთიანებული მოვლენების სრული ჯგუფის არჩევასთან დაკავშირებით შესაძლებლობის ხარისხის მიხედვით (რომელთაგან თითოეული არის ორი ელემენტარული მოვლენის პროდუქტი - ერთ-ერთი ჰიპოთეზა და მტკიცებულება ანგარიში). ასეთ არჩევანს აკეთებს გადაწყვეტილების მიმღები სუბიექტურად, ტიპიური სიტუაციური პირობების თანდაყოლილი ობიექტური მონაცემების საფუძველზე: შეფასებული ჰიპოთეზების ტიპები და რაოდენობა და კონკრეტულად გათვალისწინებული მტკიცებულებები.

ჰიპოთეზების შეუდარებელი ალბათობა მოცემული ერთი არათანმიმდევრული მტკიცებულებით. ბეიზის ფორმულა ტრადიციულად გამოიყენება იმ შემთხვევაში, როდესაც განვსაზღვრავთ შემდგომი პირობითი ალბათობების, რომლებიც არ არის შესადარებელი შესაძლებლობის ხარისხით.

ჰიპოთეზების ალბათობა H^ მოცემული ერთი შეუთავსებელი მტკიცებულება, რომელთაგან თითოეული შეიძლება „გამოჩნდეს

მხოლოდ რომელიმე ამ ჰიპოთეზთან ერთად“. ამ შემთხვევაში, შერჩეულია სრული ჯგუფები და HkE, კომბინირებული

დაბანილი მოვლენები პროდუქტების სახით, რომელთა ფაქტორები ერთ-ერთი მტკიცებულებაა გ. (1=1,...,t) და ერთი

განსახილველი n ჰიპოთეზისგან.

ბეიზის ფორმულა გამოიყენება თითოეული ასეთი სრული ჯგუფის გაერთიანებული მოვლენების ალბათობის შედარებითი შეფასებისთვის, რომელიც განსხვავდება სხვა სრული ჯგუფებისგან არა მხოლოდ მხედველობაში მიღებული მტკიცებულებებით, არამედ ზოგად შემთხვევაში ჰიპოთეზების ტიპებით H ^. და (ან) მათი რიცხვი n (იხილეთ, მაგალითად,)

RNkY = P(Hk) P(eH)

% Р(Нк) Р(Эг\Нк) к = 1

სპეციალურ შემთხვევაში n = 2-ით

RNk\E,~ P(Hk) P(EN)

% Р(Нк) Р(Э,\Н к) к = 1

და მიღებული შედეგები სწორია, ალბათობის კოეფიციენტების შენარჩუნების პრინციპიდან გამომდინარე:

P(H1E,) _ P(H 1)P(E,\H1) / P(H2) P(E,\H2) = P(H 1) P(E,\H1)

Р(Н 2= % РШ1!) РЭ,\Н0 % ^) РЭ,\Н) "Р(Н 2> 2>"

კომბინირებული მოვლენების სრული ჯგუფის არჩევის სუბიექტურობა შესაძლებლობის ხარისხთან შედარებით (თან

ელემენტარული მოვლენებით შეცვლილი ერთი ან სხვა) საშუალებას გაძლევთ აირჩიოთ მოვლენების სრული ჯგუფი და Hk E ■ ერთად

ელემენტარული მოვლენის უარყოფა E ■ () და ჩაწერეთ ბეიზის ფორმულა (1 = 1,...,t) შემდეგნაირად:

P(Hk\E) -=-RNSh±.

% P(Hk)P(E,Hk)

ეს ფორმულა ასევე გამოიყენება და შესაძლებელს ხდის მოპოვებას სწორი შედეგებითუ გათვლილია

ნორმალიზებული ალბათობები შედარებულია სხვადასხვა ჰიპოთეზებით, მაგრამ არა სხვადასხვა მტკიცებულებით.

საქმეები. ¡^

ჰიპოთეზების შესადარებელი ალბათობა ერთი არათანმიმდევრული მტკიცებულების ქვეშ. თუ ვიმსჯელებთ ცნობილი გამოცემებით

გამოიყენება ჰიპოთეზების უკანა პირობითი ალბათობების შედარებითი შეფასებისთვის სხვადასხვა ცალკეული მტკიცებულებისთვის.

საქმეები. ამასთან, ყურადღება არ ეთმობა შემდეგ ფაქტს. ამ შემთხვევებში შედარებულია n მოვლენის სხვადასხვა სრულ ჯგუფს მიეკუთვნება შეუთავსებელი (შეუთავსებელი) კომბინირებული მოვლენების ნორმალიზებული ^ ალბათობა. თუმცა, in ამ შემთხვევაშიბეიზის ფორმულა არ გამოიყენება, რადგან შედარებულია კომბინირებული მოვლენები, რომლებიც არ შედის ერთ სრულ ჯგუფში, რომელთა ალბათობების ნორმალიზება ხორციელდება სხვადასხვა n ნორმალიზებული გამყოფების გამოყენებით. შეუთავსებელი (შეუთავსებელი) კომბინირებული მოვლენების ნორმალიზებული ალბათობების შედარება შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი მიეკუთვნებიან მოვლენათა იმავე სრულ ჯგუფს და ნორმალიზდება ¡3 საერთო გამყოფის გამოყენებით, რომელიც ტოლია სრულ §-ში შეტანილი ყველა ნორმალიზებული მოვლენის ალბათობების ჯამის.

ზოგადად, შემდეგი შეიძლება ჩაითვალოს შეუთავსებელ მტკიცებულებად:

ორი მტკიცებულება (მაგალითად, მტკიცებულება და მისი უარყოფა); ^

სამი მტკიცებულება (მაგალითად, სათამაშო სიტუაციაში არის მოგება, წაგება და ფრე); ^

ოთხი სერტიფიკატი (კერძოდ, სპორტში, მოგება, წაგება, ფრე და გამეორება) და ა.შ. ^

მოდით განვიხილოთ საკმაოდ მარტივი მაგალითი (შეესაბამება მოცემულ მაგალითს) ბეიზის ფორმულის ^ გამოყენებისათვის ჰიპოთეზის H ^ უკანა პირობითი ალბათობების დასადგენად ორი შეუთავსებელი მოვლენისთვის.

მტკიცებულების სახით L]- და მისი უარყოფა L]

P(H,k) - ^ . ^ P(A^k", (2)

] E R(Hk> R(A]\vk> k - 1

■ _ P(HkA ]) P(Hk> P(A ]\nc>

P(H,\A,) ----k-]-. (3)

V k\L]> P(A> n

] E R(Hk) R(A]\Hk) -1-მდე

(2) და (3) შემთხვევებში, სუბიექტურად შერჩეული სრული ჯგუფები შედარების შესაძლებლობის ხარისხის მიხედვით

ბუნდოვანი მოვლენები, შესაბამისად, არის კომპლექტები და H-დან A-მდე და და H-დან A-მდე. ეს არის შემთხვევა, როდესაც ფორმულა

k-1 k] k-1 k]

Bayes არ გამოიყენება, რადგან დარღვეულია ალბათობის კოეფიციენტების შენარჩუნების პრინციპი - არ არის დაცული ნორმალიზებული ალბათობების თანაფარდობა შესაბამისი ნორმალიზებული ალბათობების თანაფარდობასთან:

P(N-დან A-მდე]] P(Nk) P(A]\Nk) / P(Nk) P(A]\Nk) P(Nk) P(A] Nk)

P(Nk E P(Nk) P(A]\Nk)/ E P(Nk) P(A]\Nk) P(Nk) P(A] Nk)

k - 1 /k - 1 ალბათობის კოეფიციენტების შენარჩუნების პრინციპის მიხედვით, მოვლენის ალბათობების სწორი დამუშავება შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც ნორმალიზდება ერთი საერთო ნორმალიზებადი გამყოფი, რომელიც ტოლია ყველა შედარებით ნორმალიზებული გამოსახულებების ჯამს. Ამიტომაც

E R(Hk)R(A]\Hk) + E R(Hk)R(A]\Hk) - E R(Hk)[P(A]\Hk) + P(Hk) P(A]\Hk)] - EP(Hk) - 1. -1-დან -1-მდე -1-დან -1-მდე

ამგვარად, ირკვევა ფაქტი, რომ არსებობს ბეიზის ფორმულის ჯიშები, რომლებიც განსხვავდება

ცნობილია ნორმალიზებადი გამყოფის არარსებობით:

А,) - Р(Н) Р(А]\Нк), Р(Нк А,) - Р(Н) Р(А, Нк). (4)

J-მდე I ■>-მდე

ამ შემთხვევაში დაფიქსირდა ნორმალიზებული ალბათობების თანაფარდობა შესაბამისი ნორმალიზებული ალბათობების თანაფარდობასთან:

t^A^ P(Hk) P(A]\Hk)

A,) R(N k) R(A,Hk)

შეუთავსებელი კომბინირებული მოვლენების არატრადიციულად ჩაწერილი სრული ჯგუფების სუბიექტური არჩევანის საფუძველზე, შესაძლებელია გაიზარდოს ბეიზის ფორმულის მოდიფიკაციების რაოდენობა, მათ შორის მტკიცებულებები, ისევე როგორც გარკვეული რაოდენობის მათი უარყოფა. მაგალითად, კომბინირებული ღონისძიებების ყველაზე სრულყოფილი ჯგუფი

და და Hk /"./ ^ და და Hk Yo\ შეესაბამება (ნორმალიზებული გამყოფის არარსებობის გათვალისწინებით) ფორმულის მოდიფიკაცია; =1 A"=1 ; =1 ბაიესი

Р(Нк\~) - Р(Н к) ПЁ^^^

სადაც ელემენტარული მოვლენა მტკიცებულების სახით E\ e II II / "/ არის მითითებული სიმრავლის ერთ-ერთი ელემენტი.

o მტკიცებულებათა უარყოფის არარსებობის შემთხვევაში, ანუ როდესაც Ё\ = // e და /"./,

^ P(H\E) P(Hk) P(E,\Hk)

E R(Hk) R(E\Hk) k - 1

ამრიგად, ბეიზის ფორმულის მოდიფიკაცია, რომელიც გამიზნულია ჰიპოთეზების პირობითი ალბათობების დასადგენად, რომლებიც შესადარებელია შესაძლებლობის ხარისხით ცალკეული შეუთავსებელი მტკიცებულებების მიხედვით, ასე გამოიყურება. მრიცხველი შეიცავს ერთ-ერთი კომბინირებული შეუთავსებელი მოვლენის ნორმალიზებულ ალბათობას, რომელიც ქმნის სრულ ჯგუფს, გამოხატული როგორც აპრიორი ალბათობების ნამრავლი, ხოლო მნიშვნელი შეიცავს ყველა ჯამს.

ნორმალიზებული ალბათობა. ამ შემთხვევაში დაცულია ალბათობის კოეფიციენტების შენარჩუნების პრინციპი - და მიღებული შედეგი სწორია.

ჰიპოთეზების ალბათობა მოცემული ერთი თანმიმდევრული მტკიცებულება. ბეიზის ფორმულები ტრადიციულად გამოიყენება Hk (k = 1,...,n) ჰიპოთეზების შედარებითი უკანა პირობითი ალბათობების დასადგენად რამდენიმე განხილული თავსებადი მტკიცებულებიდან ერთ-ერთი EL (1 = 1,...,m). კერძოდ (იხ

მაგალითად, და ), უკანა პირობითი ალბათობების განსაზღვრისას P(H 1E^) და P(H 1 E2) თითოეული ორი თავსებადი მტკიცებულებისთვის E1 და E2, გამოიყენება ფორმის ფორმულები:

P(H 1) PE\H1) P(Hj) P(E2Hj) P(H J E1) = --1- და P(H J E 2) =--1-. (5)

I P(Hk) PE\Hk) I P(Hk) P(E2 Hk)

k = 1 k = 1 გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ეს არის კიდევ ერთი შემთხვევა, როდესაც Bayes-ის ფორმულა არ გამოიყენება. უფრო მეტიც, ამ შემთხვევაში ორი ნაკლი უნდა აღმოიფხვრას:

გაერთიანებული მოვლენების ალბათობების ილუსტრირებული ნორმალიზება არასწორია, იმის გამო, რომ განსახილველი მოვლენები მიეკუთვნება სხვადასხვა სრულ ჯგუფს;

HkEx და HkE2 კომბინირებული მოვლენების სიმბოლური ჩანაწერები არ ასახავს იმ ფაქტს, რომ E x და E 2 გათვალისწინებული მტკიცებულებები თავსებადია.

აღმოფხვრის მიზნით ბოლო ნაკლიშეიძლება გამოყენებულ იქნას კომბინირებული მოვლენების უფრო დეტალური ჩანაწერი, იმის გათვალისწინებით, რომ თავსებადი მტკიცებულება E1 და E2 ზოგიერთ შემთხვევაში შეიძლება იყოს შეუთავსებელი, ხოლო ზოგ შემთხვევაში თავსებადი:

HkE1 = HkE1 E2 და HkE2 = HkE 1E2+HkE1 E2, სადაც E1 და E 2 ეწინააღმდეგება E1 და E 2-ს.

ცხადია, ასეთ შემთხვევებში Hk E1E2 მოვლენების პროდუქტი ორჯერ არის გათვალისწინებული. გარდა ამისა, შეიძლება ცალ-ცალკე გავითვალისწინოთ, მაგრამ ეს ასე არ ხდება. ფაქტია, რომ განსახილველ სიტუაციაში შეფასებულ სიტუაციაზე გავლენას ახდენს სამი სავარაუდო შეუთავსებელი კომბინირებული მოვლენა: HkE1E2, HkE 1E2 და

Hk E1E2. ამავდროულად, გადაწყვეტილების მიმღები დაინტერესებულია მხოლოდ შესაძლებლობის ხარისხის შეფასებით

ორი შეუთავსებელი კომბინირებული მოვლენა: HkE1 E2 და HkE 1E2, რაც შეესაბამება მხოლოდ გ-ს გათვალისწინებას

ერთჯერადი სერთიფიკატები. ც

ამრიგად, ბეიზის ფორმულის მოდიფიკაციის აგებისას უკანა პირობითი მნიშვნელობების დასადგენად,

ჰიპოთეზების ალბათობა ერთი თავსებადი მტკიცებულებით უნდა ეფუძნებოდეს შემდეგს. ვინც მიიღო- ^

გადაწყვეტილების მიღებისას, აინტერესებს, რა სახის ელემენტარული მოვლენაა წარმოდგენილი ამა თუ იმ მტკიცებულებებით

განხილული რიცხვები რეალურად მოხდა კონკრეტულ პირობებში. თუ სხვა ელემენტარული მოვლენა მოხდა კ

ერთიანი მოწმობის სახით, საჭიროა გადაწყვეტილების გადახედვა შედარებითი შეფასების შედეგების საფუძველზე

ჰიპოთეზების უკანა პირობითი ალბათობები სხვა პირობების შეუცვლელი გათვალისწინებით, რომლებიც გავლენას ახდენენ რეალურ ჯამზე

ინსტალაცია 3

შემოვიღოთ შემდეგი აღნიშვნა: HkE- ერთი (და მხოლოდ ერთი) შეუთავსებელი კომბინირებული co-^

არსებობა, რომელიც შედგება იმაში, რომ m > 1 ელემენტარული მოვლენიდან განხილული Ei (i = 1,...,m) ჰიპოთეზასთან ერთად „

Hk ერთი ელემენტარული მოვლენა მოხდა Ex და არ მომხდარა სხვა ელემენტარული მოვლენა. სე"

უმარტივეს შემთხვევაში განიხილება ორი ერთჯერადი შეუთავსებელი მტკიცებულება. თუ დადასტურდა

ერთ-ერთი მათგანი მოსალოდნელია, მტკიცებულების პირობითი ალბათობა ზოგადი ხედიგამოხატული ფორმულით l

P(Hk E-) = P(Ei\Hk) -P(EjE^Hk) = P(Ei\Hk) -P(M^Hk)P(M^Hk) , i = 1, -2 (6) გ

ფორმულის მართებულობა აშკარად ჩანს (ნახ. 1).

ბრინჯი. 1. P(Hk E-)-ის გაანგარიშების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია / = 1,...,2 პირობითად დამოუკიდებელი მტკიცებულებით

P(K1K2\Hk) = p(E\Hk)P(E2\Hk),

ამიტომ, (6) გათვალისწინებით

P(Hk E-) = PE Nk) - P(E1 Nk) P(E21Hk) , = 1,.,2. (7)

ანალოგიურად, ალბათობა P(HkE-) სამიდან ერთ-ერთი (/ = 1,...,3) შეუთავსებელი მოვლენა HkE^ გამოიხატება ფორმულით

მაგალითად, როდესაც i = 1:

p(HkEl) = P(Ei\Hk)-[ S P(Ei\Hk)P(Ej\Hk) ] + P(EiE2E3Hk)

p(HkE-) = P(E7|Hk)- P(E]E^Hk)- P(E7EjHk) + P(E]E2E3\Hk)

ამ ფორმულის მართებულობას ნათლად ადასტურებს წარმოდგენილი გეომეტრიული ინტერპრეტაცია

ბრინჯი. 2. P(Hk E-)-ის გაანგარიშების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია / = 1,...,3-ისთვის

მათემატიკური ინდუქციის მეთოდის გამოყენებით შესაძლებელია P(Hk E-) ალბათობის ზოგადი ფორმულის დამტკიცება ნებისმიერი რაოდენობის მტკიცებულებისთვის e, 0=1,...,t):

P(HkE-) = P(E,Hk)- t RE\Hk) P(E]\Hk) + 1 P(E\Hk) P(E]\Hk) P(E^Hk) +■■■ + (-1)

] = 1(] * 0 ],1 * 1

ალბათობის გამრავლების თეორემის გამოყენებით, ჩვენ ვწერთ პირობით ალბათობას P(HkE~-) ორი ფორმით:

^ საიდანაც გამომდინარეობს, რომ

P(Hk E -) = P(H k) P(E-|Hk) = P(E-) P(Hk

E-)= P(HkE-) "" P(E-)

საერთო ალბათობის ფორმულის გამოყენებით P(Ei) = S P(H£) P(Ei Hk) გამოდის, რომ

E-) = P(HkET)

2 P(HkE-) k = 1

P(HkE-) გამონათქვამების ჩანაცვლებით (8)-ის მარჯვენა მხარის სახით მიღებულ ფორმულაში, მივიღებთ ფორმულის საბოლოო ფორმას ჰიპოთეზის H^ (k = 1,...) უკანა პირობითი ალბათობების დასადგენად. ,ნ) ერთ-ერთი განხილული შეუთავსებელი მტკიცებულებიდან ერთ-ერთისთვის: (E^\Hk)

P(Nk)[P(E,\Nk) - 2 P(E,\Nk) P(Er k) +...+ (-1)t-1 P(P P(Erk)] P(N, E ~) =-] = 1(] * ■----(9)

1 p t t t-მდე

2 P(N k) 2 [P(E,\N k) - 2 P(EgHk) P(E^Hk) + ...+ (-1)m-1 P(P P (Ep k)]

k=1 , = 1 ) = 1() *,) ■! =1

შედარებითი შეფასებები. განიხილება საკმაოდ მარტივი, მაგრამ საილუსტრაციო მაგალითები, რომლებიც შემოიფარგლება ორი ჰიპოთეზიდან ერთის გამოთვლილი უკანა პირობითი ალბათობების ანალიზით, ორი ცალკეული მტკიცებულების გათვალისწინებით. 1. არათანმიმდევრული ცალკეული მტკიცებულებების მოცემული ჰიპოთეზების ალბათობა. მოდით შევადაროთ ბეიზის ფორმულების (2) და (3) გამოყენებით მიღებული შედეგები, ორი მტკიცებულების მაგალითის გამოყენებით, L. = L და L. = L საწყის მონაცემებთან:

Р(Н1 = 0,7; Р(Н2) = 0,3; Р(Л| Н^ = 0,1; Р(Л\н 1) = 0,9; Р(Л\Н2) = 0,6; P(A\H2) = 0,4. H1 ჰიპოთეზის განხილულ მაგალითებში, ტრადიციული ფორმულები (2) და (3) იწვევს შემდეგ შედეგებს:

R(N.) R(A\No 0 07

P(N, L) =-- 11 = - = 0.28,

2 Р(Н к) Р(А\Нк) к = 1

R(N L R(A\N 1) 0 63

P(N, L) =-- 11 = - = 0.84,

2 Р(Нк) Р(А\Нк) к = 1

წარმოქმნის გაყოფას P(H 1 A) = P(H^ P(L\Hp = 0.07; P(H^ A) = P(H1) P(l|H^ = 0.63. შემოთავაზებული ფორმულების 1 ატიცია:

რ<Н)Р(АНА-Р(А|Н1) _ 0,07

და შემოთავაზებული ფორმულებით (4), რომლებსაც არ აქვთ ნორმალიზებული გამყოფები: „და

ამრიგად, შემოთავაზებული ფორმულების გამოყენების შემთხვევაში ნორმალიზებული ალბათობების შეფარდება უდრის ნორმალიზებულ ალბათობათა შეფარდებას: K.

gt f P(N 1) P(A\N 1) A11 |

ცნობილი ფორმულების გამოყენებისას იგივე თანაფარდობით -;-=-= 0,11 ნორმალიზებული ვერონი

Р(Н 1) Р(А\Н 1) «§

მრიცხველებში მითითებული ალბათობები, მიღებული ნორმალიზებული ალბათობების თანაფარდობა: 2

Р(Н 1) Р(А\Н 1) Р(А\Н 1) 0.63

P(N1 L) = 0.28 P(N 1 L) = 0.84

ანუ არ არის დაცული ალბათობის კოეფიციენტების კონსერვაციის პრინციპი და მიიღება არასწორი შედეგები. ამავე დროს £

ცნობილი ფორმულების გამოყენების შემთხვევაში, ჰიპოთეზების უკანა პირობითი ალბათობების (11) ფარდობითი გადახრის მნიშვნელობა სწორი შედეგებიდან (10) აღმოჩნდება ძალიან მნიშვნელოვანი, რადგან ის შეადგენს

°.33 - °.P x 100 = 242%.. ი

2. თავსებადი ცალკეული მტკიცებულებების მოცემული ჰიპოთეზების ალბათობა. მოდით შევადაროთ ბეიზის ფორმულების (5) და აგებული სწორი მოდიფიკაციის (9) გამოყენებით მიღებული შედეგები შემდეგი საწყისი მონაცემების გამოყენებით: ^

P(H1 = 0,7; P(H2) = 0,3; P(E1H1) = 0,4; P(E2H1) = 0,8; P(E1\H2) = 0,7; P(E^ H2) = 0,2,113

H 2 ჰიპოთეზის განხილულ მაგალითებში ტრადიციული ფორმულების გამოყენების შემთხვევაში (5):

P(H 2) P(E1 H 2) Q, 21

P(H 2 E1) = -2-!-2- = - = Q,429,

I p(Hk) p(El Hk) k = 1

P(H 2) P(E 2 H 2) Q,Q6

P(H 2 E 2) = -2-- = - = 0.097.

I P(Hk) P(E 2 Hk) k = 1

შემოთავაზებული ფორმულის (9) გამოყენების შემთხვევაში (7) P(H) გათვალისწინებით

P(H2) 0.168

ე.) ----- 0.291,

Z P(Hk) Z"

P(H2) 0.018

E0) ----- 0,031.

Z P(Hk) Z k - 1 i - 1

შემოთავაზებული სწორი ფორმულების გამოყენებისას, იგივე მნიშვნელების გამო, თანაფარდობა P(H2) -

მრიცხველებში მითითებული ნორმალიზებული ალბათობები თანაფარდობის ტოლია

P(H2)

ნორმალიზებული ალბათობა:

ანუ დაცულია ალბათობის კოეფიციენტების კონსერვაციის პრინციპი.

ამასთან, ცნობილი ფორმულების გამოყენების შემთხვევაში მრიცხველებში მითითებული ნორმალიზებული ალბათობების თანაფარდობით

P(H 2) P(E1\H 2) _ 0.21 _3 5 P(H 2)P(E 2 H 2) 0.06,

ნორმალიზებული ალბათობების თანაფარდობა:

P(H 2 = 0.429 = 4.423. (13)

P(H 2\e2) 0.097

ანუ ალბათობის კოეფიციენტების შენარჩუნების პრინციპი, როგორც ადრე, არ არის დაცული. უფრო მეტიც, ცნობილი ფორმულების გამოყენების შემთხვევაში, ჰიპოთეზების წინა პირობითი ალბათობების თანაფარდობის (13) ფარდობითი გადახრის მნიშვნელობა სწორი შედეგებისგან (12) ასევე ძალიან მნიშვნელოვანი აღმოჩნდება:

9.387 4.423 x 100 = 52.9%.

დასკვნა. კონკრეტული ფორმულის მიმართებების აგების ანალიზი, რომელიც ახორციელებს ბეიეს ფორმულას და მის მოდიფიკაციებს, რომლებიც შემოთავაზებულია პრაქტიკული პრობლემების გადასაჭრელად, საშუალებას გვაძლევს განვაცხადოთ შემდეგი. შესადარებელი კომბინირებული მოვლენების სრული ჯგუფი შეიძლება შეირჩეს სუბიექტურად გადაწყვეტილების მიმღების მიერ. ეს არჩევანი ეფუძნება გათვალისწინებულ ობიექტურ თავდაპირველ მონაცემებს, რომლებიც დამახასიათებელია ტიპიური გარემოსთვის (სპეციფიკური ტიპები და ელემენტარული მოვლენების რაოდენობა - შეფასებული ჰიპოთეზები და მტკიცებულებები). პრაქტიკული ინტერესია სრული ჯგუფისთვის სხვა ვარიანტების სუბიექტური არჩევანი შესაძლებლობის ხარისხის მიხედვით.

კომბინირებული მოვლენების ერთობლიობა - რითაც უზრუნველყოფილია ფორმულის ურთიერთობების მნიშვნელოვანი მრავალფეროვნება ბეიზის ფორმულის მოდიფიკაციების არატრადიციული ვარიანტების აგებისას. ეს, თავის მხრივ, შეიძლება გახდეს პროგრამული უზრუნველყოფის დანერგვის მათემატიკური მხარდაჭერის გაუმჯობესების საფუძველი, ასევე ახალი ფორმულის მიმართებების გამოყენების ფარგლების გაფართოება გამოყენებული პრობლემების გადასაჭრელად.

ბიბლიოგრაფია

1. გნედენკო, B. V. ელემენტარული შესავალი ალბათობის თეორიაში / B. V. Gnedenko, A. Ya. ხინჩინი. - 114 New York: Dover Publications, 1962. - 144 რ.

2. Ventzel, E. S. ალბათობის თეორია / E. S. Ventzel. - მე-10 გამოცემა, წაშლილია. - მოსკოვი: უმაღლესი სკოლა, 2006. - 575გვ.

3. ანდრონოვი. A. M., ალბათობის თეორია და მათემატიკური სტატისტიკა / A. M. Andronov, E. A. Kopytov, L. Ya. Gringlaz. - პეტერბურგი: პეტრე, 2004. - 481გვ.

4. Zmitrovich, A. I. ინტელექტუალური საინფორმაციო სისტემები / A. I. Zmitrovich. - მინსკი: TetraSystems, 1997. - 496გვ.

5. Chernorutsky, I. G. გადაწყვეტილების მიღების მეთოდები / I. G. Chernorutsky. - სანკტ-პეტერბურგი: BHV-Petersburg, 2005. - 416გვ.

6. ნეილორი, C.-M. შექმენით თქვენი საკუთარი საექსპერტო სისტემა / C.-M. ნეილორი. - Chichester: John Wiley & Sons, 1987. - 289 გვ.

7. რომანოვი, V. P. ინტელექტუალური საინფორმაციო სისტემები ეკონომიკაში / V. P. Romanov. - მე-2 გამოცემა, წაშლილია.

მოსკოვი: გამოცდა, 2007. - 496გვ.

8. ეკონომიკური ეფექტურობა და კონკურენტუნარიანობა / D. Yu. Muromtsev [et al.]. - ტამბოვი: ტამბის გამომცემლობა. სახელმწიფო ტექ. უნივერსიტეტი, 2007.- 96გვ.

9. დოლგოვი, ა.ი. ბაიესის ფორმულის სწორი მოდიფიკაციები პარალელური პროგრამირებისთვის / A. I. Dolgov // სუპერკომპიუტერული ტექნოლოგიები: მე-3 სრულიად რუსული მასალები. სამეცნიერო-ტექნიკური კონფ. - დონის როსტოვი. - 2014.- T. 1 - P. 122-126.

10. Dolgov, A. I. Bayes-ის ფორმულის მოდიფიკაციების სისწორის შესახებ / A. I. Dolgov // Vestnik Don. სახელმწიფო ტექ. უნ-ტა.

2014. - T. 14, No3 (78). - გვ 13-20.

1. გნედენკო, ბ.ვ., ხინჩინი, ა.ია. ელემენტარული შესავალი ალბათობის თეორიაში. New York: Dover Publications, 1962, 144 r.

2. ვენცელი, ე.ს. Teoriya veroyatnostey. მე-10 გამოცემა, reimpr. მოსკოვი: ვისშაია შკოლა, 2006, 575 გვ. (რუსულად).

3. ანდრონოვი, A.M., Kopytov, E.A., Gringlaz, L.Y. Teoriya veroyatnostey და matematicheskaya სტატისტიკა. პეტერბურგი: Piter, 2004, 481 გვ. (რუსულად).

4. ზმიტროვიჩი, ა.1. ინტელექტუალური "nye informatsionnye systemy. Minsk: TetraSistems, 1997, 496 გვ. (რუსულად).

5. ჩერნორუტსკი, ი.გ. მეთოდი პრინიატიის გადაწყვეტილება. პეტერბურგი: BKhV-Petersburg, 2005, 416 გვ. (რუსულად).

6. ნეილორი, C.-M. შექმენით თქვენი საკუთარი საექსპერტო სისტემა. Chichester: John Wiley & Sons, 1987, 289 გვ.

7. რომანოვი, ვ.პ. ინტელექტუალური "nye informatsionnye sistemy v ეკონომიკური. 2nd ed., reimpr. მოსკოვი: Ekzamen, 2007, 496 გვ. (რუსულად).

8. მურომცევი, დ.ი., და სხვ. ეკონომიკური ეფექტურობა" და კონკურენტოსპოსობნოსტი". ტამბოვი: იზდ-ვო ტამბ. მიდის. ტექნი. un-ta, 2007, 96 გვ. (რუსულად). ი.ბ.

9. დოლგოვი, A1. Korrektnye modifikatsii formuly Bayesa dlya პარალელურად"nogo programmirovaniya. Superkomp"yuternye Tekhnologii: mat-ly 3-y vseros. ნაუხ-ტექნი. კონფ. როსტოვ-დონ, 2014, ტ. 1, გვ. 122-126 (რუსულად). ^

10. დოლგოვი, A1. O korrektnosti modifikatsiy formully Bayesa. ↑ დსტუს ვესტნიკი, 2014, ტ. 14, არა. 3 (78), გვ. 13-20 (რუსულად). *

მოვლენების ფორმა სრული ჯგუფი, თუ ერთი მათგანი მაინც აუცილებლად მოხდება ექსპერიმენტის შედეგად და წყვილში შეუთავსებელია.

დავუშვათ, რომ მოვლენა აშეიძლება მოხდეს მხოლოდ რამდენიმე წყვილში შეუთავსებელი მოვლენიდან ერთ-ერთთან ერთად, რომლებიც ქმნიან სრულ ჯგუფს. ჩვენ მოვუწოდებთ მოვლენებს ( მე= 1, 2,…, ნ) ჰიპოთეზებიდამატებითი გამოცდილება (აპრიორი). A მოვლენის დადგომის ალბათობა განისაზღვრება ფორმულით სრული ალბათობა :

მაგალითი 16.სამი ურნაა. პირველი ურნა შეიცავს 5 თეთრ და 3 შავ ბურთულას, მეორე შეიცავს 4 თეთრ და 4 შავ ბურთულას, ხოლო მესამე შეიცავს 8 თეთრ ბურთულას. ერთ-ერთი ურნა შერჩეულია შემთხვევით (ეს შეიძლება ნიშნავს, რომ არჩევანი გაკეთებულია დამხმარე ურნადან, რომელიც შეიცავს 1, 2 და 3 ნომრებით სამ ბურთულას). ამ ურნიდან შემთხვევით იშლება ბურთი. რა არის იმის ალბათობა, რომ შავი იყოს?

გამოსავალი.ღონისძიება ა- შავი ბურთი ამოღებულია. თუ ცნობილი იქნებოდა, რომელი ურნადან იყო გაყვანილი ბურთი, მაშინ სასურველი ალბათობა შეიძლება გამოითვალოს ალბათობის კლასიკური განმარტებით. მოდით შემოვიტანოთ ვარაუდები (ჰიპოთეზები) იმის შესახებ, თუ რომელი ურნაა არჩეული ბურთის ამოსაღებად.

ბურთის ამოღება შესაძლებელია როგორც პირველი ურნიდან (ვარაუდი), ასევე მეორედან (ვარაუდი), ან მესამედან (ვარაუდი). ვინაიდან თანაბარი შანსებია რომელიმე ურნის არჩევისთვის, მაშინ .

Აქედან გამომდინარეობს, რომ

მაგალითი 17.ელექტრო ნათურები იწარმოება სამ ქარხანაში. პირველი ქარხანა აწარმოებს ელექტრო ნათურების მთლიანი რაოდენობის 30%-ს, მეორე - 25%-ს.
ხოლო მესამე - დანარჩენი. პირველი ქარხნის პროდუქცია შეიცავს დეფექტურ ელექტრონათურებს 1%, მეორეში - 1,5%, მესამეში - 2%. მაღაზია სამივე ქარხნის პროდუქციას იღებს. რა არის იმის ალბათობა, რომ მაღაზიაში შეძენილი ნათურა დეფექტური აღმოჩნდეს?

გამოსავალი.უნდა გაკეთდეს ვარაუდები იმის შესახებ, თუ რომელ ქარხანაში იყო წარმოებული ნათურა. ამის გაცნობიერებით, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ იმის ალბათობა, რომ ის დეფექტურია. მოდით შემოვიტანოთ მოვლენების აღნიშვნა: ა– შეძენილი ელექტრონათურა გაუმართავი აღმოჩნდა, – ნათურა პირველი ქარხნის მიერ იყო, – ნათურა მეორე ქარხნის მიერ.
– ნათურა მესამე ქარხანამ დაამზადა.

ჩვენ ვპოულობთ სასურველ ალბათობას მთლიანი ალბათობის ფორმულის გამოყენებით:

ბეიზის ფორმულა. მოდით იყოს წყვილი შეუთავსებელი მოვლენების სრული ჯგუფი (ჰიპოთეზები). ა- შემთხვევითი მოვლენა. შემდეგ,

ბოლო ფორმულა, რომელიც საშუალებას აძლევს ადამიანს თავიდან შეაფასოს ჰიპოთეზების ალბათობა მას შემდეგ, რაც ტესტის შედეგი, რომელიც მოჰყვა მოვლენას, ცნობილია, ე.წ. ბეიზის ფორმულა .

მაგალითი 18.საშუალოდ, დაავადების მქონე პაციენტების 50% მოჰყავთ სპეციალიზებულ საავადმყოფოში TO 30% – დაავადებით ლ, 20 % –
ავადმყოფობით მ. დაავადების სრული განკურნების ალბათობა კუდრის 0,7 დაავადებებს ლდა მეს ალბათობა არის 0.8 და 0.9, შესაბამისად. საავადმყოფოში მოთავსებული პაციენტი ჯანმრთელად გაწერეს. იპოვნეთ ალბათობა იმისა, რომ ეს პაციენტი დაავადდა კ.

გამოსავალი.წარმოგიდგენთ ჰიპოთეზებს: – პაციენტს დაავადდა TO ლ, – პაციენტს დაავადდა მ.

მაშინ, პრობლემის პირობების მიხედვით, გვაქვს . წარმოგიდგენთ ღონისძიებას ა- საავადმყოფოში შეყვანილი პაციენტი ჯანმრთელად გაწერეს. პირობით

საერთო ალბათობის ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ:

ბეიზის ფორმულის მიხედვით.

მაგალითი 19.დაე, ურნაში იყოს ხუთი ბურთი და ყველა ვარაუდი თეთრი ბურთების რაოდენობის შესახებ თანაბრად შესაძლებელია. ურნიდან შემთხვევით იღებენ ბურთს და ის თეთრი აღმოჩნდება. რა ვარაუდი არის ყველაზე სავარაუდო ურნის საწყისი შემადგენლობის შესახებ?

გამოსავალი.მოდით იყოს ჰიპოთეზა, რომ ურნაში არის თეთრი ბურთულები , ანუ ექვსი ვარაუდის გაკეთება შეიძლება. მაშინ, პრობლემის პირობების მიხედვით, გვაქვს .

წარმოგიდგენთ ღონისძიებას ა- შემთხვევით აღებული თეთრი ბურთი. გამოვთვალოთ. მას შემდეგ, რაც ბეიზის ფორმულის მიხედვით გვაქვს:

ამრიგად, ყველაზე სავარაუდო ჰიპოთეზა არის იმის გამო.

მაგალითი 20.გამოთვლითი მოწყობილობის სამი დამოუკიდებლად მოქმედი ელემენტიდან ორი ვერ მოხერხდა. იპოვეთ პირველი და მეორე ელემენტების წარუმატებლობის ალბათობა, თუ პირველი, მეორე და მესამე ელემენტების წარუმატებლობის ალბათობა, შესაბამისად, არის 0,2; 0.4 და 0.3.

გამოსავალი.მოდით აღვნიშნოთ აღონისძიება - ორი ელემენტი ვერ მოხერხდა. შემდეგი ჰიპოთეზების დადგენა შეიძლება:

– პირველი და მეორე ელემენტი ვერ მოხერხდა, მაგრამ მესამე ელემენტი ფუნქციონირებს. ვინაიდან ელემენტები დამოუკიდებლად მოქმედებენ, გამრავლების თეორემა მოქმედებს:

ცნობილი იყოს მათი ალბათობა და შესაბამისი პირობითი ალბათობა. მაშინ მოვლენის დადგომის ალბათობაა:

ამ ფორმულას ე.წ საერთო ალბათობის ფორმულები. სახელმძღვანელოებში იგი ჩამოყალიბებულია როგორც თეორემა, რომლის დადასტურებაც ელემენტარულია: მიხედვით მოვლენათა ალგებრა, (მოხდა მოვლენა და ანმოხდა მოვლენა დამას შემდეგ რაც მოხდა მოვლენა ანმოხდა მოვლენა დამას შემდეგ რაც მოხდა მოვლენა ან …. ანმოხდა მოვლენა დამოვლენის შემდეგ). ჰიპოთეზებიდან გამომდინარე შეუთავსებელია და მოვლენა დამოკიდებულია, მაშინ შესაბამისად შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობების დამატების თეორემა (პირველი ნაბიჯი)და დამოკიდებული მოვლენების ალბათობათა გამრავლების თეორემა (მეორე ნაბიჯი):

ბევრი ადამიანი ალბათ მოელის პირველი მაგალითის შინაარსს =)

სადაც არ უნდა დაფურთხოთ, იქ ურნაა:

პრობლემა 1

სამი იდენტური ურნაა. პირველი ურნა შეიცავს 4 თეთრ და 7 შავ ბურთს, მეორე შეიცავს მხოლოდ თეთრ ბურთებს, ხოლო მესამე შეიცავს მხოლოდ შავ ბურთულებს. შემთხვევით ირჩევა ერთი ურნა და მისგან შემთხვევით იშლება ბურთი. რა არის ალბათობა, რომ ეს ბურთი შავია?

გამოსავალი: განიხილეთ მოვლენა - შემთხვევით შერჩეული ურნიდან გამოიღებენ შავ ბურთს. ეს მოვლენა შეიძლება მოხდეს ერთ-ერთი შემდეგი ჰიპოთეზის შედეგად:
– შეირჩევა 1-ლი ურნა;
– შეირჩევა მე-2 ურნა;
– შეირჩევა მე-3 ურნა.

ვინაიდან ურნა არჩეულია შემთხვევით, სამივე ურნადან რომელიმეს არჩევანი თანაბრად შესაძლებელია, აქედან გამომდინარე:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ზემოთ ჩამოთვლილი ჰიპოთეზები ყალიბდება მოვლენების სრული ჯგუფი, ანუ პირობის მიხედვით შავი ბურთი მხოლოდ ამ ურნებიდან შეიძლება გამოჩნდეს და, მაგალითად, ბილიარდის მაგიდიდან არ გამოვიდეს. მოდით გავაკეთოთ მარტივი შუალედური შემოწმება:
კარგი, მოდით გადავიდეთ:

პირველი ურნა შეიცავს 4 თეთრ + 7 შავ = 11 ბურთულას, თითოეული კლასიკური განმარტება:
- შავი ბურთის დახატვის ალბათობა იმის გათვალისწინებით, რომ, რომ 1-ლი ურნა შეირჩევა.

მეორე ურნა შეიცავს მხოლოდ თეთრ ბურთებს, ასე რომ თუ აირჩევაშავი ბურთის გამოჩენა ხდება შეუძლებელია: .

და ბოლოს, მესამე ურნა შეიცავს მხოლოდ შავ ბურთებს, რაც ნიშნავს შესაბამისს პირობითი ალბათობაშავი ბურთის მოპოვება იქნება (ღონისძიება სანდოა).

– ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით შერჩეული ურნადან შავი ბურთი იქნება გამოყვანილი.

უპასუხე:

გაანალიზებული მაგალითი კიდევ ერთხელ გვიჩვენებს, თუ რამდენად მნიშვნელოვანია CONDITION-ში ჩაღრმავება. ავიღოთ იგივე პრობლემები ურნებისა და ბურთების მიმართ - მიუხედავად მათი გარეგანი მსგავსებისა, გადაწყვეტის მეთოდები შეიძლება სრულიად განსხვავებული იყოს: სადღაც თქვენ მხოლოდ უნდა გამოიყენოთ ალბათობის კლასიკური განმარტება, სადღაც მოვლენები დამოუკიდებელი, სადღაც დამოკიდებულიდა სადღაც ჰიპოთეზებზეა საუბარი. ამავდროულად, არ არსებობს გამოსავლის არჩევის მკაფიო ფორმალური კრიტერიუმი - თქვენ თითქმის ყოველთვის გჭირდებათ ამაზე ფიქრი. როგორ გააუმჯობესოთ თქვენი უნარები? ჩვენ ვწყვეტთ, ჩვენ ვწყვეტთ და ისევ ვწყვეტთ!

პრობლემა 2

სასროლეთს აქვს 5 სხვადასხვა სიზუსტის თოფი. მოცემული მსროლელისთვის მიზანზე დარტყმის ალბათობა შესაბამისად უდრის 0,5-ს; 0,55; 0.7; 0.75 და 0.4. რა არის მიზანში მოხვედრის ალბათობა, თუ მსროლელმა შემთხვევით შერჩეული თოფიდან ერთ გასროლას გაისროლა?

მოკლე გამოსავალი და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

უმეტეს თემატურ პრობლემებში ჰიპოთეზები, რა თქმა უნდა, არ არის თანაბრად სავარაუდო:

პრობლემა 3

პირამიდაში არის 5 თოფი, რომელთაგან სამი აღჭურვილია ოპტიკური სამიზნით. ალბათობა იმისა, რომ ტელესკოპური სამიზნე თოფის სროლისას მსროლელი მოხვდეს მიზანში, არის 0,95; ოპტიკური სამიზნის გარეშე შაშხანისთვის ეს ალბათობაა 0,7. იპოვნეთ სამიზნის დარტყმის ალბათობა, თუ მსროლელმა შემთხვევით აღებული თოფიდან ერთ გასროლას გაისროლა.

გამოსავალი: ამ პრობლემაში თოფების რაოდენობა ზუსტად იგივეა, რაც წინაში, მაგრამ არსებობს მხოლოდ ორი ჰიპოთეზა:
– მსროლელი შეარჩევს შაშხანას ოპტიკური სამიზნით;
– მსროლელი ირჩევს თოფს ოპტიკური სამიზნის გარეშე.
ავტორი ალბათობის კლასიკური განმარტება: .
კონტროლი:

განვიხილოთ მოვლენა: – მსროლელი ურტყამს მიზანს შემთხვევით აღებული თოფით.
პირობით: .

საერთო ალბათობის ფორმულის მიხედვით:

უპასუხე: 0,85

პრაქტიკაში სავსებით მისაღებია დავალების ფორმატირების შემცირებული გზა, რომელსაც თქვენც იცნობთ:

გამოსავალი: კლასიკური განმარტების მიხედვით: – ოპტიკური სამიზნით და ოპტიკური სამიზნის გარეშე თოფის არჩევის ალბათობა.

პირობით, – შესაბამისი ტიპის თოფებიდან მიზანში დარტყმის ალბათობა.

საერთო ალბათობის ფორმულის მიხედვით:
– ალბათობა იმისა, რომ მსროლელი შემთხვევით შერჩეული თოფით მოხვდება სამიზნეს.

უპასუხე: 0,85

შემდეგი ამოცანა თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ დამოუკიდებლად:

პრობლემა 4

ძრავა მუშაობს სამ რეჟიმში: ნორმალური, იძულებითი და უმოქმედო. უმოქმედო რეჟიმში მისი წარუმატებლობის ალბათობაა 0,05, ნორმალური მუშაობის რეჟიმში – 0,1, ხოლო იძულებით რეჟიმში – 0,7. 70% ძრავა მუშაობს ნორმალურ რეჟიმში და 20% იძულებით რეჟიმში. რა არის ძრავის უკმარისობის ალბათობა მუშაობის დროს?

ყოველი შემთხვევისთვის, შეგახსენებთ, რომ ალბათობის მნიშვნელობების მისაღებად პროცენტები უნდა გაიყოს 100-ზე. ძალიან ფრთხილად იყავით! ჩემი დაკვირვების თანახმად, ადამიანები ხშირად ცდილობენ აირიონ პრობლემების პირობები, რომლებიც მოიცავს საერთო ალბათობის ფორმულას; და მე კონკრეტულად ავირჩიე ეს მაგალითი. საიდუმლოს გეტყვით - კინაღამ თავი დავიბნე =)

გამოსავალი გაკვეთილის ბოლოს (მოკლედ ფორმატირებული)

პრობლემები ბეიზის ფორმულების გამოყენებით

მასალა მჭიდრო კავშირშია წინა აბზაცის შინაარსთან. დაე, მოვლენა მოხდეს ერთ-ერთი ჰიპოთეზის განხორციელების შედეგად . როგორ განვსაზღვროთ კონკრეტული ჰიპოთეზის გაჩენის ალბათობა?

Იმის გათვალისწინებით, რომიმ მოვლენას უკვე მოხდა, ჰიპოთეზის ალბათობა გადაჭარბებული შეფასებაფორმულების მიხედვით, რომლებმაც მიიღეს ინგლისელი მღვდლის თომას ბეისის სახელი:

– ალბათობა იმისა, რომ ჰიპოთეზა შედგა;
– ალბათობა იმისა, რომ ჰიპოთეზა შედგა;
…
- ალბათობა იმისა, რომ ჰიპოთეზა შედგა.

ერთი შეხედვით სრულიად აბსურდულად გვეჩვენება - რატომ გადათვალეთ ჰიპოთეზების ალბათობა, თუ ისინი უკვე ცნობილია? მაგრამ სინამდვილეში არის განსხვავება:

- ეს აპრიორი(შეფასებული ადრეტესტები) ალბათობა.

- ეს უკანა მხარეს(შეფასებული შემდეგტესტები) იგივე ჰიპოთეზის ალბათობა, ხელახლა გამოთვლილი „ახლად აღმოჩენილ გარემოებებთან“ დაკავშირებით - იმის გათვალისწინებით, რომ მოვლენა აუცილებლად მოხდა.

მოდით შევხედოთ ამ განსხვავებას კონკრეტული მაგალითით:

პრობლემა 5

საწყობში შემოვიდა პროდუქციის 2 პარტია: პირველი - 4000 ცალი, მეორე - 6000 ცალი. არასტანდარტული პროდუქტების საშუალო პროცენტი პირველ პარტიაში 20%-ია, მეორეში კი 10%. საწყობიდან შემთხვევით აღებული პროდუქტი სტანდარტული აღმოჩნდა. იპოვეთ ალბათობა, რომ ის არის: ა) პირველი პარტიიდან, ბ) მეორე პარტიიდან.

Პირველი ნაწილი გადაწყვეტილებებიშედგება საერთო ალბათობის ფორმულის გამოყენებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გამოთვლები ტარდება იმ ვარაუდით, რომ ტესტი ჯერ არ არის წარმოებულიდა მოვლენა ”პროდუქტი აღმოჩნდა სტანდარტული”ჯერ არა.

განვიხილოთ ორი ჰიპოთეზა:
– შემთხვევით მიღებული პროდუქტი იქნება პირველი პარტიიდან;
- შემთხვევით მიღებული პროდუქტი იქნება მე-2 პარტიიდან.

სულ: 4000 + 6000 = 10000 ნივთი მარაგში. კლასიკური განმარტების მიხედვით:
.

კონტროლი:

განვიხილოთ დამოკიდებული მოვლენა: – საწყობიდან შემთხვევით აღებული პროდუქტი ნებასტანდარტული.

პირველ პარტიაში 100% – 20% = 80% სტანდარტული პროდუქტები, შესაბამისად: იმის გათვალისწინებით, რომრომ ის ეკუთვნის 1 პარტიას.

ანალოგიურად, მეორე პარტიაში 100% - 10% = 90% სტანდარტული პროდუქტები და – ალბათობა იმისა, რომ საწყობიდან შემთხვევით აღებული პროდუქტი იქნება სტანდარტული იმის გათვალისწინებით, რომრომ მე-2 მხარეს ეკუთვნის.

საერთო ალბათობის ფორმულის მიხედვით:
– ალბათობა იმისა, რომ საწყობიდან შემთხვევით აღებული პროდუქტი იქნება სტანდარტული.

Მეორე ნაწილი. დაე, საწყობიდან შემთხვევით აღებული პროდუქტი აღმოჩნდეს სტანდარტული. ეს ფრაზა პირდაპირ წერია პირობაში და ის ასახავს იმ ფაქტს, რომ მოვლენა მოხდა.

ბეიზის ფორმულების მიხედვით:

ა) არის ალბათობა იმისა, რომ შერჩეული სტანდარტული პროდუქტი მიეკუთვნება პირველ პარტიას;

ბ) არის ალბათობა იმისა, რომ შერჩეული სტანდარტული პროდუქტი მიეკუთვნება მე-2 პარტიას.

შემდეგ გადაფასებაჰიპოთეზები, რა თქმა უნდა, ჯერ კიდევ იქმნება სრული ჯგუფი:
(გამოკვლევა;-))

უპასუხე:

ჰიპოთეზების გადაფასების მნიშვნელობის გაგებაში დაგვეხმარება ივან ვასილიევიჩი, რომელმაც კვლავ შეცვალა პროფესია და გახდა ქარხნის დირექტორი. მან იცის, რომ დღეს პირველმა სახელოსნომ 4000 პროდუქცია გაგზავნა საწყობში, ხოლო მე-2 სახელოსნომ - 6000 პროდუქცია და მოდის ამაში დასარწმუნებლად. დავუშვათ, რომ ყველა პროდუქტი ერთნაირი ტიპისაა და ერთსა და იმავე კონტეინერშია. ბუნებრივია, ივან ვასილიევიჩმა წინასწარ გამოთვალა, რომ პროდუქტი, რომელსაც ის ახლა ამოიღებდა შესამოწმებლად, სავარაუდოდ, 1-ლი სახელოსნოს მიერ წარმოებული იქნებოდა და სავარაუდოდ მეორე. მაგრამ მას შემდეგ, რაც არჩეული პროდუქტი სტანდარტული აღმოჩნდება, ის იძახის: „რა მაგარი ჭანჭიკია! ”ეს უფრო მეტად გამოიცა მე-2 სემინარმა.” ამრიგად, მეორე ჰიპოთეზის ალბათობა გადაჭარბებულია უკეთესობისკენ, ხოლო პირველი ჰიპოთეზის ალბათობა არ არის შეფასებული: . და ეს გადაფასება არ არის უსაფუძვლო - ბოლოს და ბოლოს, მე-2 სახელოსნომ არა მხოლოდ მეტი პროდუქტი გამოუშვა, არამედ 2-ჯერ უკეთ მუშაობს!

წმინდა სუბიექტივიზმი, თქვენ ამბობთ? ნაწილობრივ - დიახ, უფრო მეტიც, თავად ბაიესმა ინტერპრეტაცია მოახდინა უკანა მხარესალბათობა როგორც ნდობის დონე. თუმცა, ყველაფერი ასე მარტივი არ არის - ბაიესის მიდგომაშიც არის ობიექტური მარცვალი. ყოველივე ამის შემდეგ, ალბათობა იმისა, რომ პროდუქტი სტანდარტული იქნება (0.8 და 0.9 1 და 2 სემინარებისთვის, შესაბამისად)ეს წინასწარი(აპრიორი) და საშუალოშეფასებები. მაგრამ, ფილოსოფიურად რომ ვთქვათ, ყველაფერი მიედინება, ყველაფერი იცვლება, მათ შორის ალბათობაც. სავსებით შესაძლებელია რომ კვლევის დროსუფრო წარმატებულმა მე-2 სემინარმა გაზარდა წარმოებული სტანდარტული პროდუქციის პროცენტული მაჩვენებელი (და/ან 1-ლი სემინარი შემცირდა)და თუ შეამოწმებთ საწყობში უფრო დიდ რაოდენობას ან 10 ათასივე პროდუქტს, მაშინ გადაჭარბებული ღირებულებები უფრო ახლოს აღმოჩნდება სიმართლესთან.

სხვათა შორის, თუ ივან ვასილიევიჩი ამოიღებს არასტანდარტულ ნაწილს, მაშინ პირიქით, ის უფრო "საეჭვო" იქნება პირველ სახელოსნოზე და ნაკლებად მეორეზე. მე გირჩევთ, თავად შეამოწმოთ ეს:

პრობლემა 6

საწყობში შემოვიდა პროდუქციის 2 პარტია: პირველი - 4000 ცალი, მეორე - 6000 ცალი. არასტანდარტული პროდუქტების საშუალო პროცენტი პირველ პარტიაში 20%-ია, მეორეში - 10%. საწყობიდან შემთხვევით ამოღებული პროდუქტი აღმოჩნდა არასტანდარტული. იპოვეთ ალბათობა, რომ ის არის: ა) პირველი პარტიიდან, ბ) მეორე პარტიიდან.

პირობა გამოირჩევა ორი ასოთი, რომლებიც ხაზგასმული მაქვს თამამად. პრობლემის მოგვარება შესაძლებელია ნულიდან, ან წინა გამოთვლების შედეგების გამოყენებით. ნიმუშში მე ჩავატარე სრული გადაწყვეტა, მაგრამ იმისათვის, რომ თავიდან ავიცილოთ რაიმე ფორმალური გადახურვა No5 პრობლემასთან, მოვლენა "საწყობიდან შემთხვევით აღებული პროდუქტი იქნება არასტანდარტული"მიერ მითითებული.

ალბათობების გადაფასების ბაიესის სქემა ყველგან გვხვდება და მას ასევე აქტიურად იყენებენ სხვადასხვა ტიპის თაღლითები. განვიხილოთ სამასოიანი სააქციო საზოგადოება, რომელიც საყოველთაო სახელად იქცა, რომელიც იზიდავს დეპოზიტებს საზოგადოებისგან, ვითომ სადმე ინვესტირებას ახდენს, რეგულარულად იხდის დივიდენდებს და ა.შ. Რა ხდება? გადის დღითი დღე, თვე და თვე და უფრო და უფრო მეტი ახალი ფაქტი, რომელიც გადმოცემულია რეკლამით და ზეპირი სიტყვით, მხოლოდ ზრდის ფინანსური პირამიდის მიმართ ნდობის დონეს. (ბაიესის შემდგომი შეფასება წარსული მოვლენების გამო!). ანუ ინვესტორების თვალში მუდმივი მატებაა იმის ალბათობა "ეს არის სერიოზული კომპანია"; ხოლო საპირისპირო ჰიპოთეზის ალბათობა ("ეს უფრო მეტი თაღლითები არიან")რა თქმა უნდა, მცირდება და მცირდება. რაც მოჰყვება, ვფიქრობ, ნათელია. აღსანიშნავია, რომ დამსახურებული რეპუტაცია ორგანიზატორებს აძლევს დროს, წარმატებით დაემალონ ივან ვასილიევიჩს, რომელიც დარჩა არა მხოლოდ ჭანჭიკების პარტია, არამედ შარვლის გარეშეც.

ჩვენ ცოტა მოგვიანებით დავუბრუნდებით თანაბრად საინტერესო მაგალითებს, მაგრამ ახლა შემდეგი ნაბიჯი არის ალბათ ყველაზე გავრცელებული შემთხვევა სამი ჰიპოთეზაით:

პრობლემა 7

ელექტრო ნათურები იწარმოება სამ ქარხანაში. 1-ლი ქარხანა აწარმოებს ნათურების საერთო რაოდენობის 30%-ს, მე-2 - 55%-ს, ხოლო მე-3 - დანარჩენს. 1-ლი ქარხნის პროდუქტები შეიცავს დეფექტურ ნათურებს 1%, მე-2 - 1,5%, მე-3 - 2%. მაღაზია სამივე ქარხნის პროდუქციას იღებს. ნაყიდი ნათურა დეფექტური აღმოჩნდა. რა არის იმის ალბათობა, რომ ის 2 მცენარემ გამოიმუშავა?

გაითვალისწინეთ, რომ Bayes-ის ფორმულების პრობლემებში მდგომარეობა აუცილებლადარის გარკვეული რა მოხდაღონისძიება, ამ შემთხვევაში ნათურის შეძენა.

გაიზარდა მოვლენები და გამოსავალიუფრო მოსახერხებელია მისი მოწყობა "სწრაფი" სტილში.

ალგორითმი ზუსტად იგივეა: პირველ ეტაპზე ვპოულობთ ალბათობას, რომ შეძენილი ნათურა არის თურმედეფექტური.

საწყისი მონაცემების გამოყენებით, ჩვენ ვაქცევთ პროცენტებს ალბათებად:
– ალბათობა იმისა, რომ ნათურა აწარმოეს შესაბამისად 1, 2 და 3 ქარხნებში.
კონტროლი:

ანალოგიურად: – დეფექტური ნათურის წარმოების ალბათობა შესაბამისი ქარხნებისთვის.

საერთო ალბათობის ფორმულის მიხედვით:

– ალბათობა იმისა, რომ შეძენილი ნათურა იყოს დეფექტური.

ნაბიჯი მეორე. დაე, შეძენილი ნათურა აღმოჩნდეს დეფექტური (მოვლენა მოხდა)

ბეიზის ფორმულის მიხედვით:
– ალბათობა იმისა, რომ შეძენილი დეფექტური ნათურა მეორე ქარხნის მიერ იყო წარმოებული

უპასუხე:

რატომ გაიზარდა მე-2 ჰიპოთეზის საწყისი ალბათობა გადაფასების შემდეგ? ბოლოს და ბოლოს, მეორე ქარხანა აწარმოებს საშუალო ხარისხის ნათურებს (პირველი უკეთესია, მესამე უარესი). მაშ რატომ გაიზარდა უკანა მხარესშეიძლება დეფექტური ნათურა მე-2 ქარხნიდან იყოს? ეს აღარ აიხსნება „რეპუტაციით“, არამედ ზომით. ვინაიდან No2 ქარხანა აწარმოებდა ყველაზე მეტ ნათურებს, ისინი ამას ადანაშაულებენ (სულ მცირე, სუბიექტურად): "სავარაუდოდ, ეს დეფექტური ნათურა იქიდან არის".

საინტერესოა აღინიშნოს, რომ 1-ლი და მე-3 ჰიპოთეზის ალბათობა გადაჭარბებული იყო მოსალოდნელი მიმართულებებით და თანაბარი გახდა:

კონტროლი: , რაც შესამოწმებელი იყო.

სხვათა შორის, არადაფასებული და გადაჭარბებული შეფასებების შესახებ:

პრობლემა 8

სტუდენტურ ჯგუფში 3 ადამიანს აქვს მაღალი მომზადების დონე, 19 - საშუალო დონე და 3 - დაბალი დონე. ამ სტუდენტებისთვის გამოცდის წარმატებით ჩაბარების ალბათობა შესაბამისად უდრის: 0,95; 0.7 და 0.4. ცნობილია, რომ ზოგიერთმა სტუდენტმა ჩააბარა გამოცდა. რა არის იმის ალბათობა, რომ:

ა) ძალიან კარგად იყო მომზადებული;
ბ) მომზადებული იყო ზომიერად;
გ) ცუდად იყო მომზადებული.

განახორციელეთ გამოთვლები და გააანალიზეთ ჰიპოთეზების ხელახალი შეფასების შედეგები.

დავალება რეალობასთან ახლოსაა და განსაკუთრებით დამაჯერებელია ნახევარ განაკვეთზე მოსწავლეთა ჯგუფისთვის, სადაც მასწავლებელს პრაქტიკულად არ აქვს ცოდნა კონკრეტული მოსწავლის შესაძლებლობების შესახებ. ამ შემთხვევაში, შედეგმა შეიძლება გამოიწვიოს საკმაოდ მოულოდნელი შედეგები. (განსაკუთრებით პირველ სემესტრში გამოცდებისთვის). თუ ცუდად მომზადებულ მოსწავლეს გაუმართლა ბილეთი, მაშინ მასწავლებელი მას კარგ მოსწავლედ ან თუნდაც ძლიერ მოსწავლედ მიიჩნევს, რაც მომავალში კარგ დივიდენდებს მოიტანს. (რა თქმა უნდა, თქვენ უნდა "აწიოთ ბარი" და შეინარჩუნოთ თქვენი იმიჯი). თუ სტუდენტი სწავლობდა, აგროვებდა და იმეორებდა 7 დღე და 7 ღამე, მაგრამ უბრალოდ უიღბლო იყო, მაშინ შემდგომი მოვლენები შეიძლება განვითარდეს ყველაზე უარესი გზით - მრავალი ხელახლა და დაბალანსება ელიმინაციის ზღვარზე.

ზედმეტია იმის თქმა, რომ რეპუტაცია ყველაზე მნიშვნელოვანი კაპიტალია; შემთხვევითი არ არის, რომ ბევრი კორპორაცია ატარებს დამფუძნებელ მამების სახელებს, რომლებიც 100-200 წლის წინ ხელმძღვანელობდნენ ბიზნესს და გახდნენ ცნობილი თავიანთი უნაკლო რეპუტაციით.

დიახ, ბაიესის მიდგომა გარკვეულწილად სუბიექტურია, მაგრამ... ასე მუშაობს ცხოვრება!

მოდით გავაერთიანოთ მასალა საბოლოო სამრეწველო მაგალითით, რომელშიც ვისაუბრებ გადაწყვეტის აქამდე უცნობ ტექნიკურ სირთულეებზე:

პრობლემა 9

ქარხნის სამი სახელოსნო აწარმოებს იგივე ტიპის ნაწილებს, რომლებიც იგზავნება საერთო კონტეინერში შესაკრებად. ცნობილია, რომ პირველი სახელოსნო აწარმოებს 2-ჯერ მეტ ნაწილს, ვიდრე მეორე სახელოსნო, ხოლო 4-ჯერ მეტ ნაწილს, ვიდრე მესამე სახელოსნო. პირველ სახელოსნოში ხარვეზის მაჩვენებელია 12%, მეორეში - 8%, მესამეში - 4%. კონტროლისთვის ერთი ნაწილი ამოღებულია კონტეინერიდან. რა არის იმის ალბათობა, რომ დეფექტური იყოს? რა არის იმის ალბათობა, რომ ამოღებული დეფექტური ნაწილი მე-3 სახელოსნომ დაამზადა?

ივან ვასილიევიჩი ისევ ცხენზეა =) ფილმს ბედნიერი დასასრული უნდა ჰქონდეს =)

გამოსავალი: №5-8 ამოცანებისგან განსხვავებით, აქ ცალსახად დაისმება კითხვა, რომელიც წყდება საერთო ალბათობის ფორმულით. მაგრამ მეორეს მხრივ, მდგომარეობა ოდნავ „დაშიფრულია“ და მარტივი განტოლებების შედგენის სასკოლო უნარი დაგვეხმარება ამ თავსატეხის ამოხსნაში. მოსახერხებელია ავიღოთ ყველაზე პატარა მნიშვნელობა, როგორც "x":

მოდით იყოს მესამე სახელოსნოს მიერ წარმოებული ნაწილების წილი.

პირობის მიხედვით, პირველი სახელოსნო აწარმოებს 4-ჯერ მეტს, ვიდრე მესამე სახელოსნო, ამიტომ 1-ლი სახელოსნოს წილი არის .

გარდა ამისა, პირველი სახელოსნო აწარმოებს 2-ჯერ მეტ პროდუქტს, ვიდრე მეორე სახელოსნო, რაც ნიშნავს ამ უკანასკნელის წილს: .

შევქმნათ და მოვაგვაროთ განტოლება:

ამრიგად: – ალბათობა იმისა, რომ კონტეინერიდან ამოღებული ნაწილი შემუშავებული იყო შესაბამისად 1-ლი, მე-2 და მე-3 სახელოსნოების მიერ.

კონტროლი:. გარდა ამისა, ფრაზის ხელახლა ყურება არ დააზარალებს ცნობილია, რომ პირველი სახელოსნო აწარმოებს პროდუქტს 2-ჯერ მეტს, ვიდრე მეორე სახელოსნო და 4-ჯერ მეტს, ვიდრე მესამე სახელოსნო.და დარწმუნდით, რომ მიღებული ალბათობის მნიშვნელობები რეალურად შეესაბამება ამ მდგომარეობას.

თავდაპირველად, 1-ლი ან მე-2 სახელოსნოს წილი შეიძლება ავიღოთ როგორც "X" - ალბათობა იგივე იქნება. მაგრამ, ასეა თუ ისე, ყველაზე რთული ნაწილი გავიდა და გამოსავალი გზაზეა:

მდგომარეობიდან ვხვდებით:
– შესაბამისი სახელოსნოებისთვის დეფექტური ნაწილის დამზადების ალბათობა.

საერთო ალბათობის ფორმულის მიხედვით:
– ალბათობა იმისა, რომ კონტეინერიდან შემთხვევით ამოღებული ნაწილი აღმოჩნდეს არასტანდარტული.

კითხვა მეორე: რა არის იმის ალბათობა, რომ ამოღებული დეფექტური ნაწილი მე-3 სახელოსნომ დაამზადა? ეს კითხვა ვარაუდობს, რომ ნაწილი უკვე ამოღებულია და ის დეფექტური აღმოჩნდა. ჩვენ ხელახლა ვაფასებთ ჰიპოთეზას ბეიზის ფორმულის გამოყენებით:
- სასურველი ალბათობა. სრულიად მოსალოდნელია - ბოლოს და ბოლოს, მესამე სახელოსნო არა მხოლოდ აწარმოებს ნაწილების უმცირეს პროპორციას, არამედ ლიდერობს ხარისხში!

ამ შემთხვევაში საჭირო იყო ოთხსართულიანი წილადის გამარტივება, რომლის გაკეთებაც საკმაოდ ხშირად გიწევთ Bayes-ის ფორმულების გამოყენებით პრობლემებში. მაგრამ ამ გაკვეთილისთვის მე რატომღაც შემთხვევით შევარჩიე მაგალითები, რომლებშიც ბევრი გამოთვლა შეიძლება განხორციელდეს ჩვეულებრივი წილადების გარეშე.

ვინაიდან პირობა არ შეიცავს პუნქტებს „ა“ და „იყოს“, უმჯობესია პასუხი ტექსტის კომენტარებით მოგვაწოდოთ:

უპასუხე: – ალბათობა იმისა, რომ კონტეინერიდან ამოღებული ნაწილი დეფექტური იყოს; – ალბათობა იმისა, რომ ამოღებული დეფექტური ნაწილი დამზადდა მე-3 საამქროს მიერ.

როგორც ხედავთ, საერთო ალბათობის ფორმულასთან და ბეიეს ფორმულასთან დაკავშირებული პრობლემები საკმაოდ მარტივია და, ალბათ, ამ მიზეზით, ისინი ასე ხშირად ცდილობენ გაართულონ მდგომარეობა, რომელიც უკვე ავღნიშნე სტატიის დასაწყისში.

დამატებითი მაგალითები მოცემულია ფაილში მზა გადაწყვეტილებები F.P.V. და ბეიზის ფორმულებიგარდა ამისა, ალბათ იქნებიან ისეთებიც, ვისაც სურს ამ თემის უფრო ღრმად გაცნობა სხვა წყაროებში. და თემა მართლაც ძალიან საინტერესოა - რა ღირს? ბეისის პარადოქსი, რაც ამართლებს ყოველდღიურ რჩევას, რომ თუ ადამიანს დაუდგინდა იშვიათი დაავადება, მაშინ აზრი აქვს მისთვის განმეორებითი ან თუნდაც ორი განმეორებითი დამოუკიდებელი გამოკვლევის ჩატარება. როგორც ჩანს, ამას მხოლოდ სასოწარკვეთილების გამო აკეთებენ... - მაგრამ არა! ოღონდ სამწუხარო რამეებზე ნუ ვილაპარაკებთ.

არის ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით შერჩეული სტუდენტი ჩააბარებს გამოცდას.
მიეცით სტუდენტს გამოცდა ჩაბარება. ბეიზის ფორმულების მიხედვით:
ა) – ალბათობა იმისა, რომ სტუდენტი, რომელმაც გამოცდა ჩააბარა, ძალიან კარგად იყო მომზადებული. ობიექტური საწყისი ალბათობა გადაჭარბებულია, რადგან თითქმის ყოველთვის ზოგიერთ "საშუალო" სტუდენტს გაუმართლა კითხვები და პასუხობს ძალიან მკაცრად, რაც უნაკლო მომზადების არასწორ შთაბეჭდილებას ტოვებს.
ბ) – ალბათობა იმისა, რომ გამოცდაზე ჩაბარებული სტუდენტი იყო საშუალოდ მომზადებული. საწყისი ალბათობა ოდნავ გადაჭარბებული აღმოჩნდება, რადგან მომზადების საშუალო დონის მოსწავლეები, როგორც წესი, უმრავლესობას წარმოადგენენ, გარდა ამისა, აქ მასწავლებელი მოიცავს „შესანიშნავ“ მოსწავლეებს, რომლებმაც წარუმატებლად უპასუხეს და ხანდახან სუსტად წარმატებულ მოსწავლეს, რომელსაც ძალიან გაუმართლა ბილეთი.
V) – ალბათობა იმისა, რომ სტუდენტი, რომელმაც გამოცდაზე ჩააბარა, ცუდად იყო მომზადებული. საწყისი ალბათობა გადაჭარბებული იყო უარესობისკენ. გასაკვირი არაა.
გამოცდა:
უპასუხე : ბეიზის ფორმულა:

H i ჰიპოთეზების ალბათობებს P(H i) ეწოდება აპრიორი ალბათობა – ალბათობა ექსპერიმენტების ჩატარებამდე.
ალბათობებს P(A/H i) ეწოდება უკანა ალბათობები - ჰიპოთეზების H i, გამოცდილების შედეგად დახვეწილი ალბათობები.

მაგალითი No1. მოწყობილობის აწყობა შესაძლებელია მაღალი ხარისხის ნაწილებისგან და ჩვეულებრივი ხარისხის ნაწილებისგან. მოწყობილობების დაახლოებით 40% აწყობილია მაღალი ხარისხის ნაწილებისგან. თუ მოწყობილობა აწყობილია მაღალი ხარისხის ნაწილებისგან, მისი საიმედოობა (უშეცდომოდ მუშაობის ალბათობა) დროთა განმავლობაში t არის 0,95; თუ იგი დამზადებულია ჩვეულებრივი ხარისხის ნაწილებისგან, მისი საიმედოობაა 0.7. მოწყობილობა გამოცდილი იყო t დროზე და მუშაობდა უნაკლოდ. იპოვეთ ალბათობა, რომ იგი დამზადებულია მაღალი ხარისხის ნაწილებისგან.
გამოსავალი.შესაძლებელია ორი ჰიპოთეზა: H 1 - მოწყობილობა აწყობილია მაღალი ხარისხის ნაწილებისგან; H 2 - მოწყობილობა აწყობილია ჩვეულებრივი ხარისხის ნაწილებისგან. ამ ჰიპოთეზების ალბათობა ექსპერიმენტამდე: P(H 1) = 0.4, P(H 2) = 0.6. ექსპერიმენტის შედეგად დაფიქსირდა მოვლენა A - მოწყობილობა უნაკლოდ მუშაობდა დრო ტ. ამ მოვლენის პირობითი ალბათობა H 1 და H 2 ჰიპოთეზებში ტოლია: P(A|H 1) = 0,95; P(A|H 2) = 0.7. ფორმულის გამოყენებით (12) ვპოულობთ H 1 ჰიპოთეზის ალბათობას ექსპერიმენტის შემდეგ:

მაგალითი No2. ორი მსროლელი, ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად, ისვრის ერთ სამიზნეს, თითოეული ისვრის თითო გასროლას. სამიზნეზე დარტყმის ალბათობა პირველი მსროლელისთვის არის 0,8, მეორესთვის 0,4. სროლის შემდეგ მიზანში ერთი ხვრელი აღმოაჩინეს. თუ ვივარაუდებთ, რომ ორი მსროლელი ვერ მოხვდება ერთსა და იმავე წერტილში, იპოვნეთ ალბათობა იმისა, რომ პირველი მსროლელი მოხვდება მიზანში.
გამოსავალი.დაე, მოვლენა A - სროლის შემდეგ მიზანში აღმოჩენილია ერთი ხვრელი. სროლის დაწყებამდე შესაძლებელია ჰიპოთეზები:
H 1 - არც პირველი და არც მეორე მსროლელი არ მოხვდება, ამ ჰიპოთეზის ალბათობა: P(H 1) = 0.2 · 0.6 = 0.12.
H 2 - ორივე მსროლელი მოხვდება, P(H 2) = 0.8 · 0.4 = 0.32.
H 3 - პირველი მსროლელი მოხვდება, მაგრამ მეორე არ დაარტყამს, P(H 3) = 0.8 · 0.6 = 0.48.
H 4 - პირველი მსროლელი არ მოხვდება, მაგრამ მეორე მოხვდება, P (H 4) = 0.2 · 0.4 = 0.08.
A მოვლენის პირობითი ალბათობა ამ ჰიპოთეზებში ტოლია:

ექსპერიმენტის შემდეგ ჰიპოთეზები H 1 და H 2 შეუძლებელი ხდება, ხოლო H 3 და H 4 ჰიპოთეზების ალბათობა
თანაბარი იქნება:

ასე რომ, დიდი ალბათობით, მიზანს პირველი მსროლელი მოხვდა.

მაგალითი No3. სამონტაჟო მაღაზიაში მოწყობილობას უკავშირდება ელექტროძრავა. ელექტროძრავებს სამი მწარმოებელი აწვდის. საწყობში განთავსებულია დასახელებული ქარხნების ელექტროძრავები, შესაბამისად, 19,6 და 11 ცალი რაოდენობით, რომლებსაც შეუძლიათ საგარანტიო ვადის დასრულებამდე უშეცდომოდ მუშაობა, შესაბამისად, 0,85, 0,76 და 0,71 ალბათობით. მუშა შემთხვევით იღებს ერთ ძრავას და ამაგრებს მოწყობილობას. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ელექტროძრავა დაყენებული და უშეცდომოდ მუშაობდა საგარანტიო პერიოდის დასრულებამდე, მიწოდებული იყო შესაბამისად პირველი, მეორე ან მესამე მწარმოებლის მიერ.
გამოსავალი.პირველი ტესტი არის ელექტროძრავის არჩევანი, მეორე არის ელექტროძრავის მუშაობა საგარანტიო პერიოდში. განვიხილოთ შემდეგი მოვლენები:
A - ელექტროძრავა მუშაობს უშეცდომოდ საგარანტიო ვადის დასრულებამდე;
H 1 - ინსტალერი აიღებს ძრავას პირველი ქარხნის წარმოებიდან;
H 2 - ინსტალატორი აიღებს ძრავას მეორე ქარხნის წარმოებიდან;
H 3 - ინსტალატორი აიღებს ძრავას მესამე ქარხნის წარმოებიდან.
A მოვლენის ალბათობა გამოითვლება საერთო ალბათობის ფორმულით:

პირობითი ალბათობები მითითებულია პრობლემის განცხადებაში:

მოდი ვიპოვოთ ალბათობები

ბეიზის ფორმულების (12) გამოყენებით, ჩვენ ვიანგარიშებთ H i ჰიპოთეზების პირობით ალბათობებს:

მაგალითი No4. ალბათობა იმისა, რომ სამი ელემენტისაგან შემდგარი სისტემის მუშაობის დროს 1, 2 და 3 ნომრიანი ელემენტები ჩაიშლება, არის თანაფარდობა 3: 2: 5. ამ ელემენტების გაუმართაობის გამოვლენის ალბათობა შესაბამისად 0,95-ის ტოლია; 0.9 და 0.6.

ბ) ამ ამოცანის პირობებში სისტემის მუშაობისას გამოვლინდა გაუმართაობა. რომელი ელემენტი, სავარაუდოდ, ვერ მოხერხდა?

გამოსავალი.
დაე, A იყოს წარუმატებელი მოვლენა. შემოვიღოთ ჰიპოთეზების სისტემა H1 - პირველი ელემენტის წარუმატებლობა, H2 - მეორე ელემენტის წარუმატებლობა, H3 - მესამე ელემენტის წარუმატებლობა.
ჩვენ ვპოულობთ ჰიპოთეზის ალბათობას:
P(H1) = 3/(3+2+5) = 0.3
P(H2) = 2/(3+2+5) = 0.2
P(H3) = 5/(3+2+5) = 0.5

პრობლემის პირობების მიხედვით A მოვლენის პირობითი ალბათობა უდრის:
P(A|H1) = 0.95, P(A|H2) = 0.9, P(A|H3) = 0.6

ა) იპოვნეთ სისტემაში გაუმართაობის გამოვლენის ალბათობა.
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 0.3*0.95 + 0.2*0.9 + 0.5 *0.6 = 0.765

ბ) ამ ამოცანის პირობებში სისტემის მუშაობისას გამოვლინდა გაუმართაობა. რომელი ელემენტი, სავარაუდოდ, ვერ მოხერხდა?
P1 = P(H1)*P(A|H1)/ P(A) = 0.3*0.95 / 0.765 = 0.373
P2 = P(H2)*P(A|H2)/ P(A) = 0.2*0.9 / 0.765 = 0.235
P3 = P(H3)*P(A|H3)/ P(A) = 0.5*0.6 / 0.765 = 0.392

მესამე ელემენტს აქვს მაქსიმალური ალბათობა.