შერეული პერიოდული წილადის ჩვეულებრივ წილადად გადაქცევის წესი. ათობითი წილადის გადაქცევა საერთო წილადად და პირიქით: წესი, მაგალითები

უკვე დაწყებით სკოლაში მოსწავლეები ექვემდებარებიან წილადებს. და მერე ჩნდებიან ყველა თემაში. თქვენ არ შეგიძლიათ დაივიწყოთ მოქმედებები ამ ნომრებით. ამიტომ, თქვენ უნდა იცოდეთ ყველა ინფორმაცია ჩვეულებრივი და ათობითი წილადების შესახებ. ეს ცნებები არ არის რთული, მთავარია ყველაფერი წესრიგში გავიგოთ.

რატომ არის საჭირო წილადები?

ჩვენს ირგვლივ სამყარო შედგება მთელი ობიექტებისგან. ამიტომ აქციების საჭიროება არ არის. მაგრამ ყოველდღიური ცხოვრება მუდმივად უბიძგებს ადამიანებს იმუშაონ საგნებისა და ნივთების ნაწილებთან.

მაგალითად, შოკოლადი შედგება რამდენიმე ცალისაგან. განვიხილოთ სიტუაცია, როდესაც მისი ფილა თორმეტი მართკუთხედით არის ჩამოყალიბებული. თუ ორად გაყოფთ, მიიღებთ 6 ნაწილად. ის ადვილად შეიძლება დაიყოს სამად. მაგრამ ხუთ ადამიანს შოკოლადის ნაჭრების მთელი რაოდენობის მიცემა არ იქნება შესაძლებელი.

სხვათა შორის, ეს ნაჭრები უკვე წილადებია. და მათი შემდგომი დაყოფა იწვევს უფრო რთული რიცხვების გამოჩენას.

რა არის "ფრაქცია"?

ეს არის რიცხვი, რომელიც შედგება ერთეულის ნაწილებისგან. გარეგნულად, ის ჰგავს ორ რიცხვს, რომლებიც გამოყოფილია ჰორიზონტალურად ან ხაზებით. ამ მახასიათებელს წილადი ეწოდება. ზედა (მარცხნივ) დაწერილ რიცხვს მრიცხველი ეწოდება. რაც არის ბოლოში (მარჯვნივ) არის მნიშვნელი.

არსებითად, ხაზი გამოდის გაყოფის ნიშანი. ანუ მრიცხველს შეიძლება ეწოდოს დივიდენდი, ხოლო მნიშვნელს - გამყოფი.

რა წილადები არსებობს?

მათემატიკაში არსებობს მხოლოდ ორი ტიპი: ჩვეულებრივი და ათობითი წილადები. სკოლის მოსწავლეები პირველებს ეცნობიან დაწყებით სკოლაში და მათ უბრალოდ „ფრაქციებს“ უწოდებენ. ამ უკანასკნელს მე-5 კლასში ისწავლიან. სწორედ მაშინ ჩნდება ეს სახელები.

საერთო წილადები არის ყველა ის, ვინც იწერება წრფით გამოყოფილი ორი რიცხვის სახით. მაგალითად, 4/7. ათწილადი არის რიცხვი, რომელშიც წილადის ნაწილს აქვს პოზიციური აღნიშვნა და გამოყოფილია მთელი რიცხვისგან მძიმით. მაგალითად, 4.7. მოსწავლეებმა ნათლად უნდა გაიგონ, რომ მოცემული ორი მაგალითი სრულიად განსხვავებული რიცხვია.

ყოველი მარტივი წილადი შეიძლება ჩაიწეროს ათწილადად. ეს განცხადება თითქმის ყოველთვის მართალია პირიქით. არსებობს წესები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ დაწეროთ ათობითი წილადი, როგორც საერთო წილადი.

რა ქვეტიპები აქვთ ამ ტიპის წილადებს?

უმჯობესია დაიწყოთ ქრონოლოგიური თანმიმდევრობით, რადგან ისინი შესწავლილია. საერთო წილადები პირველ რიგში მოდის. მათ შორის შეიძლება გამოიყოს 5 ქვესახეობა.

სწორი. მისი მრიცხველი ყოველთვის ნაკლებია მის მნიშვნელზე.

არასწორი. მისი მრიცხველი მეტია ან ტოლია მის მნიშვნელზე.

შემცირებადი / შეუმცირებელი. შეიძლება აღმოჩნდეს ან სწორი ან არასწორი. კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი ისაა, აქვთ თუ არა მრიცხველსა და მნიშვნელს საერთო ფაქტორები. თუ არსებობს, მაშინ აუცილებელია წილადის ორივე ნაწილის მათზე გაყოფა, ანუ შემცირება.

შერეული. მთელი რიცხვი ენიჭება მის ჩვეულებრივ რეგულარულ (არარეგულარულ) წილად ნაწილს. უფრო მეტიც, ის ყოველთვის მარცხნივ არის.

კომპოზიტური. იგი წარმოიქმნება ერთმანეთის მიერ გაყოფილი ორი წილადისგან. ანუ ის შეიცავს ერთდროულად სამ წილად ხაზს.

ათწილად წილადებს მხოლოდ ორი ქვეტიპი აქვთ:

სასრული, ანუ ის, რომლის წილადი ნაწილი შეზღუდულია (აქვს დასასრული);

უსასრულო - რიცხვი, რომლის ციფრებიც ათწილადის შემდეგ არ მთავრდება (ისინი შეიძლება დაუსრულებლად დაიწეროს).

როგორ გადავიყვანოთ ათობითი წილადი საერთო წილადად?

თუ ეს სასრული რიცხვია, მაშინ ასოციაცია გამოიყენება წესის საფუძველზე - როგორც მესმის, ისე ვწერ. ანუ, თქვენ უნდა წაიკითხოთ სწორად და ჩაწეროთ, მაგრამ მძიმის გარეშე, მაგრამ წილადი ზოლით.

როგორც მინიშნება საჭირო მნიშვნელის შესახებ, უნდა გახსოვდეთ, რომ ის ყოველთვის არის ერთი და რამდენიმე ნული. ამ უკანასკნელთაგან იმდენი უნდა დაწეროთ, რამდენი ციფრია მოცემული რიცხვის წილადში.

როგორ გადავიყვანოთ ათობითი წილადები ჩვეულებრივ წილადებად, თუ მათი მთელი ნაწილი აკლია, ანუ ნულის ტოლია? მაგალითად, 0.9 ან 0.05. მითითებული წესის გამოყენების შემდეგ აღმოჩნდება, რომ თქვენ უნდა დაწეროთ ნულოვანი რიცხვები. მაგრამ ეს არ არის მითითებული. რჩება მხოლოდ წილადი ნაწილების ჩაწერა. პირველ რიცხვს ექნება მნიშვნელი 10, მეორეს მნიშვნელი 100. ანუ მოცემულ მაგალითებს პასუხად ექნება შემდეგი რიცხვები: 9/10, 5/100. უფრო მეტიც, გამოდის, რომ ეს უკანასკნელი შეიძლება შემცირდეს 5-ით. ამიტომ, მისთვის შედეგი უნდა დაიწეროს როგორც 1/20.

როგორ შეგიძლიათ გადაიყვანოთ ათობითი წილადი ჩვეულებრივ წილადად, თუ მისი მთელი ნაწილი განსხვავდება ნულიდან? მაგალითად, 5.23 ან 13.00108. ორივე მაგალითში იკითხება მთელი ნაწილი და იწერება მისი მნიშვნელობა. პირველ შემთხვევაში ეს არის 5, მეორეში არის 13. შემდეგ თქვენ უნდა გადახვიდეთ წილადის ნაწილზე. იგივე ოპერაცია უნდა ჩატარდეს მათთანაც. პირველი რიცხვი ჩნდება 23/100, მეორე - 108/100000. მეორე მნიშვნელობა კვლავ უნდა შემცირდეს. პასუხი იძლევა შემდეგ შერეულ წილადებს: 5 23/100 და 13 27/25000.

როგორ გადავიყვანოთ უსასრულო ათობითი წილადი ჩვეულებრივ წილადად?

თუ ეს არაპერიოდულია, მაშინ ასეთი ოპერაცია შეუძლებელი იქნება. ეს ფაქტი განპირობებულია იმით, რომ ყოველი ათობითი წილადი ყოველთვის გარდაიქმნება სასრულ ან პერიოდულ წილადად.

ერთადერთი, რისი გაკეთებაც შეგიძლიათ ასეთ წილადთან, არის მისი დამრგვალება. მაგრამ მაშინ ათწილადი იქნება დაახლოებით იმ უსასრულობის ტოლი. ის უკვე შეიძლება გადაიქცეს ჩვეულებრივად. მაგრამ საპირისპირო პროცესი: ათწილადში გადაყვანა არასოდეს მისცემს საწყის მნიშვნელობას. ანუ უსასრულო არაპერიოდული წილადები არ გარდაიქმნება ჩვეულებრივ წილადებად. ეს უნდა ახსოვდეს.

როგორ დავწეროთ უსასრულო პერიოდული წილადი ჩვეულებრივ წილადად?

ამ რიცხვებში ყოველთვის არის ერთი ან მეტი ციფრი, რომელიც მეორდება ათობითი წერტილის შემდეგ. მათ პერიოდს უწოდებენ. მაგალითად, 0.3 (3). აქ "3" არის პერიოდში. ისინი კლასიფიცირდება როგორც რაციონალური, რადგან ისინი შეიძლება გარდაიქმნას ჩვეულებრივ წილადებად.

მათ, ვინც შეხვდა პერიოდულ წილადებს, იცის, რომ ისინი შეიძლება იყოს სუფთა ან შერეული. პირველ შემთხვევაში, წერტილი დაუყოვნებლივ იწყება მძიმიდან. მეორეში, წილადი ნაწილი იწყება რამდენიმე რიცხვით, შემდეგ კი გამეორება.

წესი, რომლითაც თქვენ უნდა დაწეროთ უსასრულო ათწილადი, როგორც ჩვეულებრივი წილადი, განსხვავებული იქნება მითითებული ორი ტიპის რიცხვისთვის. საკმაოდ მარტივია სუფთა პერიოდული წილადების ჩვეულებრივ წილადებად დაწერა. როგორც სასრულის შემთხვევაში, ისინი უნდა გარდაიქმნას: ჩაწერეთ წერტილი მრიცხველში და მნიშვნელი იქნება რიცხვი 9, განმეორდება იმდენჯერ, რამდენჯერაც შეიცავს წერტილის რაოდენობას.

მაგალითად, 0, (5). რიცხვს არ აქვს მთელი ნაწილი, ამიტომ დაუყოვნებლივ უნდა დაიწყოთ წილადი ნაწილით. ჩაწერეთ 5, როგორც მრიცხველი და 9, როგორც მნიშვნელი, ანუ პასუხი იქნება წილადი 5/9.

წესი, თუ როგორ უნდა დავწეროთ ჩვეულებრივი ათობითი პერიოდული წილადი, რომელიც შერეულია.

შეხედეთ პერიოდის ხანგრძლივობას. აი რამდენი 9-იანი ექნება მნიშვნელს.

ჩაწერეთ მნიშვნელი: ჯერ ცხრა, შემდეგ ნული.

მრიცხველის დასადგენად, თქვენ უნდა ჩაწეროთ ორი რიცხვის განსხვავება. ათწილადის შემდეგ ყველა რიცხვი მინიფიცირებული იქნება წერტილთან ერთად. გამოიქვითება - ის პერიოდის გარეშეა.

მაგალითად, 0.5(8) - ჩაწერეთ პერიოდული ათობითი წილადი, როგორც საერთო წილადი. პერიოდის წინ წილადი ნაწილი შეიცავს ერთ ციფრს. ასე რომ, იქნება ერთი ნული. ასევე არის მხოლოდ ერთი რიცხვი პერიოდში - 8. ანუ არის მხოლოდ ერთი ცხრა. ანუ მნიშვნელში უნდა ჩაწეროთ 90.

მრიცხველის დასადგენად 58-ს უნდა გამოაკლოთ 5. გამოდის 53. მაგალითად, პასუხი უნდა დაწეროთ როგორც 53/90.

როგორ გარდაიქმნება წილადები ათწილადად?

უმარტივესი ვარიანტია რიცხვი, რომლის მნიშვნელი არის რიცხვი 10, 100 და ა.შ. შემდეგ მნიშვნელი უბრალოდ უგულებელყოფილია და მძიმით იდება წილადი და მთელი რიცხვი.

არის სიტუაციები, როდესაც მნიშვნელი ადვილად იქცევა 10, 100 და ა.შ. მაგალითად, რიცხვები 5, 20, 25. საკმარისია მათი გამრავლება შესაბამისად 2, 5 და 4-ზე. თქვენ უბრალოდ უნდა გაამრავლოთ არა მხოლოდ მნიშვნელი, არამედ მრიცხველიც იმავე რიცხვზე.

ყველა სხვა შემთხვევისთვის სასარგებლოა მარტივი წესი: გაყავით მრიცხველი მნიშვნელზე. ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ მიიღოთ ორი შესაძლო პასუხი: სასრული ან პერიოდული ათობითი წილადი.

მოქმედებები ჩვეულებრივი წილადებით

შეკრება და გამოკლება

მოსწავლეები მათ სხვებზე ადრე ეცნობიან. უფრო მეტიც, ჯერ წილადებს აქვთ ერთი და იგივე მნიშვნელი, შემდეგ კი განსხვავებული. ზოგადი წესები შეიძლება შემცირდეს ამ გეგმაზე.

იპოვეთ მნიშვნელების უმცირესი საერთო ჯერადი.

დაწერეთ დამატებითი ფაქტორები ყველა ჩვეულებრივი წილადისთვის.

გაამრავლეთ მრიცხველები და მნიშვნელები მათთვის მითითებულ ფაქტორებზე.

დაამატეთ (აკლდება) წილადების მრიცხველები და უცვლელი დატოვეთ საერთო მნიშვნელი.

თუ მინუენდის მრიცხველი ქვეტრაენდზე ნაკლებია, მაშინ უნდა გავარკვიოთ, გვაქვს თუ არა შერეული რიცხვი თუ სწორი წილადი.

პირველ შემთხვევაში, თქვენ უნდა ისესხოთ ერთი მთლიანი ნაწილიდან. დაამატეთ მნიშვნელი წილადის მრიცხველს. და შემდეგ გააკეთე გამოკლება.

მეორეში აუცილებელია გამოვიყენოთ უფრო დიდი რიცხვის მცირე რიცხვს გამოკლების წესი. ანუ, სუბტრაჰენდის მოდულს გამოაკელით მინუენდის მოდული და საპასუხოდ დაადეთ ნიშანი „-“.

ყურადღებით დააკვირდით შეკრების (გამოკლების) შედეგს. თუ თქვენ მიიღებთ არასწორ წილადს, მაშინ უნდა აირჩიოთ მთელი ნაწილი. ანუ მრიცხველი გავყოთ მნიშვნელზე.

გამრავლება და გაყოფა

მათი შესასრულებლად წილადებს საერთო მნიშვნელამდე დაყვანა არ სჭირდება. ეს აადვილებს მოქმედებების შესრულებას. მაგრამ ისინი მაინც მოითხოვენ წესების დაცვას.

წილადების გამრავლებისას თქვენ უნდა დააკვირდეთ რიცხვებს მრიცხველებსა და მნიშვნელებში. თუ რომელიმე მრიცხველს და მნიშვნელს აქვს საერთო ფაქტორი, მაშინ ისინი შეიძლება შემცირდეს.

გაამრავლეთ მრიცხველები.

გაამრავლეთ მნიშვნელები.

თუ შედეგი არის შემცირებადი ფრაქცია, მაშინ ის კვლავ უნდა გამარტივდეს.

გაყოფისას ჯერ გაყოფა უნდა შეცვალოთ გამრავლებით, ხოლო გამყოფი (მეორე წილადი) საპასუხო წილადით (გაცვალეთ მრიცხველი და მნიშვნელი).

შემდეგ გააგრძელეთ გამრავლება (დაწყებული 1 წერტილიდან).

იმ ამოცანებში, სადაც საჭიროა გამრავლება (გაყოფა) მთელ რიცხვზე, ეს უკანასკნელი უნდა ჩაიწეროს არასწორ წილადად. ანუ მნიშვნელით 1. შემდეგ იმოქმედეთ ისე, როგორც ზემოთ იყო აღწერილი.



ოპერაციები ათწილადებით

შეკრება და გამოკლება

რა თქმა უნდა, თქვენ ყოველთვის შეგიძლიათ გადაიყვანოთ ათწილადი წილადად. და იმოქმედეთ უკვე აღწერილი გეგმის მიხედვით. მაგრამ ზოგჯერ უფრო მოსახერხებელია მოქმედება ამ თარგმანის გარეშე. მაშინ მათი შეკრებისა და გამოკლების წესები ზუსტად იგივე იქნება.

გაათანაბრეს რიცხვების რიცხვი რიცხვის წილადში, ანუ ათობითი წერტილის შემდეგ. დაამატეთ მას დაკარგული ნულების რაოდენობა.

დაწერეთ წილადები ისე, რომ მძიმით იყოს მძიმის ქვემოთ.

ნატურალური რიცხვების მსგავსად დამატება (გამოკლება).

ამოიღეთ მძიმე.

გამრავლება და გაყოფა

მნიშვნელოვანია, რომ არ დაგჭირდეთ აქ ნულების დამატება. წილადები უნდა დარჩეს ისე, როგორც ეს მოცემულია მაგალითში. და შემდეგ წადი გეგმის მიხედვით.

გასამრავლებლად, თქვენ უნდა დაწეროთ წილადები ერთმანეთის ქვემოთ, მძიმეების უგულებელყოფით.

ნატურალური რიცხვების მსგავსად გამრავლება.

პასუხში ჩადეთ მძიმით, პასუხის მარჯვენა ბოლოდან დათვალეთ იმდენი ციფრი, რამდენიც არის ორივე ფაქტორის წილადებში.

გასაყოფად ჯერ უნდა გარდაქმნათ გამყოფი: გახადეთ იგი ნატურალურ რიცხვად. ანუ გავამრავლოთ ის 10-ზე, 100-ზე და ა.შ. იმის მიხედვით, თუ რამდენი ციფრია გამყოფის წილადში.

გაამრავლეთ დივიდენდი იმავე რიცხვზე.

ათობითი წილადის გაყოფა ნატურალურ რიცხვზე.

დადეთ მძიმით თქვენს პასუხში იმ მომენტში, როდესაც სრულდება მთელი ნაწილის გაყოფა.



რა მოხდება, თუ ერთი მაგალითი შეიცავს ორივე ტიპის წილადს?

დიახ, მათემატიკაში ხშირად არის მაგალითები, რომლებშიც საჭიროა მოქმედებების შესრულება ჩვეულებრივ და ათობითი წილადებზე. ასეთ ამოცანებში ორი შესაძლო გამოსავალია. თქვენ უნდა ობიექტურად აწონოთ რიცხვები და აირჩიოთ ოპტიმალური.

პირველი გზა: წარმოადგინეთ ჩვეულებრივი ათწილადები

შესაფერისია, თუ გაყოფა ან თარგმნა იწვევს სასრულ წილადებს. თუ მინიმუმ ერთი რიცხვი იძლევა პერიოდულ ნაწილს, მაშინ ეს ტექნიკა აკრძალულია. ამიტომ, მაშინაც კი, თუ არ მოგწონთ ჩვეულებრივ წილადებთან მუშაობა, მოგიწევთ მათი დათვლა.

მეორე გზა: ჩაწერეთ ათობითი წილადები, როგორც ჩვეულებრივი

ეს ტექნიკა მოსახერხებელი აღმოჩნდება, თუ ათობითი წერტილის შემდეგ ნაწილი შეიცავს 1-2 ციფრს. თუ მათგან მეტია, შეიძლება დასრულდეს ძალიან დიდი საერთო წილადი და ათობითი აღნიშვნა დავალების უფრო სწრაფ და მარტივ გამოთვლას გახდის. ამიტომ, თქვენ ყოველთვის ფხიზელი უნდა შეაფასოთ დავალება და აირჩიოთ გადაჭრის უმარტივესი მეთოდი.

გახსოვთ, როგორ ვთქვი პირველივე გაკვეთილზე ათწილადების შესახებ, რომ არის რიცხვითი წილადები, რომლებიც არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ათწილადების სახით (იხ. გაკვეთილი „ათწილადები“)? ჩვენ ასევე ვისწავლეთ წილადების მნიშვნელების ფაქტორები, რათა დავინახოთ, იყო თუ არა სხვა რიცხვები 2-ისა და 5-ის გარდა.

ასე რომ: მოვიტყუე. და დღეს ჩვენ ვისწავლით თუ როგორ გადავიტანოთ აბსოლუტურად ნებისმიერი რიცხვითი წილადი ათწილადად. ამავდროულად, ჩვენ გავეცნობით წილადების მთელ კლასს უსასრულო მნიშვნელოვანი ნაწილით.

პერიოდული ათობითი არის ნებისმიერი ათწილადი, რომელიც:

1. მნიშვნელოვანი ნაწილი შედგება უსასრულო რაოდენობის ციფრებისგან;
2. გარკვეული ინტერვალებით, მნიშვნელოვანი ნაწილის რიცხვები მეორდება.

განმეორებადი ციფრების სიმრავლეს, რომლებიც ქმნიან მნიშვნელოვან ნაწილს, ეწოდება წილადის პერიოდულ ნაწილს, ხოლო ამ სიმრავლის ციფრთა რაოდენობას - წილადის პერიოდი. მნიშვნელოვანი ნაწილის დარჩენილ სეგმენტს, რომელიც არ მეორდება, ეწოდება არაპერიოდული ნაწილი.

ვინაიდან მრავალი განმარტება არსებობს, ღირს ამ წილადებიდან რამდენიმე დეტალურად განხილვა:

ეს ფრაქცია ყველაზე ხშირად ჩნდება პრობლემებში. არაპერიოდული ნაწილი: 0; პერიოდული ნაწილი: 3; პერიოდის ხანგრძლივობა: 1.

არაპერიოდული ნაწილი: 0,58; პერიოდული ნაწილი: 3; პერიოდის ხანგრძლივობა: ისევ 1.

არაპერიოდული ნაწილი: 1; პერიოდული ნაწილი: 54; პერიოდის ხანგრძლივობა: 2.

არაპერიოდული ნაწილი: 0; პერიოდული ნაწილი: 641025; პერიოდის ხანგრძლივობა: 6. მოხერხებულობისთვის განმეორებადი ნაწილები ერთმანეთისგან გამოყოფილია სივრცეთი - ეს არ არის აუცილებელი ამ გადაწყვეტაში.

არაპერიოდული ნაწილი: 3066; პერიოდული ნაწილი: 6; პერიოდის ხანგრძლივობა: 1.

როგორც ხედავთ, პერიოდული წილადის განმარტება ემყარება კონცეფციას რიცხვის მნიშვნელოვანი ნაწილი. ამიტომ, თუ დაგავიწყდათ რა არის, გირჩევთ გაიმეოროთ - იხილეთ გაკვეთილი "".

პერიოდულ ათობითი წილადზე გადასვლა

განვიხილოთ a /b ფორმის ჩვეულებრივი წილადი. მოდით გავამრავლოთ მისი მნიშვნელი პირველ ფაქტორებად. არსებობს ორი ვარიანტი:

1. გაფართოება შეიცავს მხოლოდ 2 და 5 ფაქტორებს. ეს წილადები ადვილად გარდაიქმნება ათწილადებად - იხილეთ გაკვეთილი „ათწილადები“. ჩვენ არ გვაინტერესებს ასეთი ხალხი;
2. გაფართოებაში არის რაღაც სხვა, გარდა 2-ისა და 5-ისა. ამ შემთხვევაში, წილადი არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ათწილადად, მაგრამ შეიძლება გადაკეთდეს პერიოდულ ათწილადად.

პერიოდული ათობითი წილადის დასადგენად, თქვენ უნდა იპოვოთ მისი პერიოდული და არაპერიოდული ნაწილები. Როგორ? გადააქციეთ წილადი არასწორ წილადად და შემდეგ გაყავით მრიცხველი მნიშვნელზე კუთხის გამოყენებით.

შემდეგი მოხდება:

1. ჯერ გაიყოფა მთელი ნაწილი, თუ ის არსებობს;
2. ათობითი წერტილის შემდეგ შეიძლება იყოს რამდენიმე რიცხვი;
3. ცოტა ხნის შემდეგ ნომრები დაიწყება გაიმეორეთ.

Სულ ეს არის! ათწილადის შემდეგ განმეორებადი რიცხვები აღინიშნება პერიოდული ნაწილით, ხოლო წინა რიცხვები აღინიშნება არაპერიოდული ნაწილით.

დავალება. გადაიყვანეთ ჩვეულებრივი წილადები პერიოდულ ათწილადებად:

ყველა წილადი მთელი რიცხვის გარეშე, ასე რომ, ჩვენ უბრალოდ ვყოფთ მრიცხველს მნიშვნელზე "კუთხით":

როგორც ხედავთ, ნარჩენები მეორდება. წილადი ჩავწეროთ „სწორი“ სახით: 1,733 ... = 1,7(3).

შედეგი არის წილადი: 0,5833 ... = 0,58(3).

ჩვენ ვწერთ მას ნორმალური ფორმით: 4.0909 ... = 4,(09).

ვიღებთ წილადს: 0.4141 ... = 0.(41).

პერიოდული ათობითი წილადიდან ჩვეულებრივ წილადზე გადასვლა

განვიხილოთ პერიოდული ათობითი წილადი X = abc (a 1 b 1 c 1). საჭიროა მისი კლასიკურ „ორსართულიან“ გადაქცევა. ამისათვის შეასრულეთ ოთხი მარტივი ნაბიჯი:

1. იპოვეთ წილადის პერიოდი, ე.ი. დათვალეთ რამდენი ციფრია პერიოდულ ნაწილში. ეს იყოს რიცხვი k;
2. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა X · 10 კ. ეს უდრის ათწილადის სრული წერტილის მარჯვნივ გადატანას - იხილეთ გაკვეთილი „ათწილადების გამრავლება და გაყოფა“;
3. ორიგინალური გამოხატულება უნდა გამოკლდეს მიღებულ რიცხვს. ამ შემთხვევაში პერიოდული ნაწილი "იწვა" და რჩება საერთო წილადი;
4. იპოვეთ X მიღებულ განტოლებაში. ჩვენ ყველა ათობითი წილადს ვცვლით ჩვეულებრივ წილადებად.

დავალება. გადააქციე რიცხვი ჩვეულებრივ არასწორ წილადად:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

ჩვენ ვმუშაობთ პირველ წილადთან: X = 9, (6) = 9,666 ...

ფრჩხილები შეიცავს მხოლოდ ერთ ციფრს, ამიტომ წერტილი არის k = 1. შემდეგ, ამ წილადს ვამრავლებთ 10 k = 10 1 = 10-ზე. გვაქვს:

10X = 10 9.6666... ​​= 96.666...

გამოვაკლოთ თავდაპირველი წილადი და ამოხსენით განტოლება:

10X − X = 96,666 ... − 9,666 ... = 96 − 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

ახლა გადავხედოთ მეორე წილადს. ასე რომ X = 32, (39) = 32.393939...

პერიოდი k = 2, ასე რომ გავამრავლოთ ყველაფერი 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32.393939 ... = 3239.3939 ...

კვლავ გამოვაკლოთ საწყისი წილადი და ამოხსნათ განტოლება:

100X − X = 3239,3939 ... − 32,3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

გადავიდეთ მესამე წილადზე: X = 0.30(5) = 0.30555... დიაგრამა იგივეა, ამიტომ მხოლოდ გამოთვლებს მივცემ:

პერიოდი k = 1 ⇒ გავამრავლოთ ყველაფერი 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0.30555... = 3.05555...
10X − X = 3,0555 ... − 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.

ბოლოს ბოლო წილადი: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... ისევ მოხერხებულობისთვის პერიოდული ნაწილები ერთმანეთისგან გამოყოფილია სივრცეებით. Ჩვენ გვაქვს:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10,000;
10,000X = 10,000 0.2475 2475 = 2475.2475 ...
10000X − X = 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

როგორც ცნობილია, რაციონალური რიცხვების სიმრავლე (Q) მოიცავს მთელ რიცხვთა სიმრავლეს (Z), რომელიც თავის მხრივ მოიცავს ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს (N). მთელი რიცხვების გარდა, რაციონალურ რიცხვებში შედის წილადები.

მაშინ რატომ განიხილება რაციონალური რიცხვების მთელი სიმრავლე ზოგჯერ უსასრულო პერიოდულ ათობითი წილადებად? მართლაც, წილადების გარდა, მათში ასევე შედის მთელი რიცხვები, ისევე როგორც არაპერიოდული წილადები.

ფაქტია, რომ ყველა მთელი რიცხვი, ისევე როგორც ნებისმიერი წილადი, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადი. ანუ, ყველა რაციონალური რიცხვისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ერთი და იგივე ჩაწერის მეთოდი.

როგორ არის წარმოდგენილი უსასრულო პერიოდული ათწილადი? მასში ათწილადის შემდეგ რიცხვების განმეორებითი ჯგუფი მოთავსებულია ფრჩხილებში. მაგალითად, 1.56(12) არის წილადი, რომელშიც მეორდება რიცხვების ჯგუფი 12, ანუ წილადს აქვს მნიშვნელობა 1.561212121212... და ასე უსასრულოდ. რიცხვების განმეორებით ჯგუფს პერიოდს უწოდებენ.

თუმცა ამ ფორმით ნებისმიერი რიცხვი შეგვიძლია გამოვსახოთ, თუ მის პერიოდს მივიჩნევთ რიცხვად 0, რომელიც ასევე უსასრულოდ მეორდება. მაგალითად, რიცხვი 2 იგივეა, რაც 2.00000.... მაშასადამე, ის შეიძლება დაიწეროს როგორც უსასრულო პერიოდული წილადი, ანუ 2,(0).

იგივე შეიძლება გაკეთდეს ნებისმიერ სასრულ წილადთან. Მაგალითად:

0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)

თუმცა, პრაქტიკაში ისინი არ იყენებენ სასრულ წილადის უსასრულო პერიოდულად გარდაქმნას. ამიტომ ისინი განასხვავებენ სასრულ წილადებს და უსასრულო პერიოდულებს. ამრიგად, უფრო სწორია იმის თქმა, რომ რაციონალური რიცხვები მოიცავს

• ყველა მთელი რიცხვი
• საბოლოო წილადები,
• უსასრულო პერიოდული წილადები.

ამავე დროს, უბრალოდ დაიმახსოვრეთ, რომ მთელი რიცხვები და სასრული წილადები თეორიულად წარმოდგენილია უსასრულო პერიოდული წილადების სახით.

მეორეს მხრივ, სასრული და უსასრულო წილადების ცნებები გამოიყენება ათობითი წილადებისთვის. როდესაც საქმე ეხება წილადებს, სასრული და უსასრულო ათწილადები შეიძლება ცალსახად იყოს წარმოდგენილი წილადის სახით. ეს ნიშნავს, რომ ჩვეულებრივი წილადების თვალსაზრისით, პერიოდული და სასრული წილადები ერთი და იგივეა. გარდა ამისა, მთელი რიცხვები ასევე შეიძლება წარმოვიდგინოთ წილადად, წარმოვიდგინოთ, რომ რიცხვს ვყოფთ 1-ზე.

როგორ წარმოვიდგინოთ ათობითი უსასრულო პერიოდული წილადი ჩვეულებრივ წილადად? ყველაზე ხშირად გამოყენებული ალგორითმი დაახლოებით ასეთია:

1. შეამცირეთ წილადი ისე, რომ ათობითი წერტილის შემდეგ დარჩეს მხოლოდ წერტილი.
2. გაამრავლეთ უსასრულო პერიოდული წილადი 10-ზე ან 100-ზე ან ... ისე, რომ ათობითი წერტილი გადავიდეს მარჯვნივ ერთი წერტილით (ე.ი. ერთი წერტილი სრულდება მთელ ნაწილში).
3. გაუტოლეთ საწყისი წილადი (a) x ცვლადს და წილადი (b) მიღებული N რიცხვით Nx-ზე გამრავლებით.
4. გამოვაკლოთ x Nx-ს. b-ს ვაკლებ a. ანუ ისინი ქმნიან განტოლებას Nx – x = b – a.
5. განტოლების ამოხსნისას შედეგი არის ჩვეულებრივი წილადი.

უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადის ჩვეულებრივ წილადად გადაქცევის მაგალითი:
x = 1.13333...
10x = 11.3333...
10x * 10 = 11.33333... * 10
100x = 113.3333...
100x – 10x = 113.3333... – 11.3333...
90x = 102
x =

რომ თუ მათ იციან სერიების თეორია, მაშინ ამის გარეშე მეტამატური ცნებების შემოღება შეუძლებელია. უფრო მეტიც, ამ ადამიანებს მიაჩნიათ, რომ ვინც მას ფართოდ არ იყენებს, უცოდინარია. მოდით, ამ ადამიანების შეხედულებები მათ სინდისს მივატოვოთ. მოდით უკეთ გავიგოთ რა არის უსასრულო პერიოდული წილადი და როგორ უნდა გავუმკლავდეთ მას ჩვენ, გაუნათლებლებმა, რომლებმაც არ ვიცით საზღვრები.

მოდით გავყოთ 237 5-ზე. არა, თქვენ არ გჭირდებათ კალკულატორის გაშვება. მოდით უკეთ გავიხსენოთ საშუალო (ან თუნდაც დაწყებითი?) სკოლა და უბრალოდ დავყოთ იგი სვეტად:

აბა, გაგახსენდა? შემდეგ შეგიძლიათ საქმეს შეუდგეთ.

მათემატიკაში "წილადის" ცნებას ორი მნიშვნელობა აქვს:

1. არა მთელი რიცხვი.
2. არამთლიანი ფორმა.

არსებობს წილადების ორი ტიპი - ამ გაგებით, არამთლიანი რიცხვების ჩაწერის ორი ფორმა:

1. მარტივი (ან ვერტიკალური) წილადები, როგორიცაა 1/2 ან 237/5.
2. ათწილადი წილადები, როგორიცაა 0.5 ან 47.4.

გაითვალისწინეთ, რომ ზოგადად წილად-აღნიშვნის გამოყენება არ ნიშნავს იმას, რომ რაც წერია არის წილადი რიცხვი, მაგალითად 3/3 ან 7.0 - არა წილადები სიტყვის პირველი მნიშვნელობით, არამედ მეორეში, რა თქმა უნდა. , წილადები.

მათემატიკაში, ზოგადად, ათობითი დათვლა ყოველთვის მიღებული იყო და ამიტომ ათობითი წილადები უფრო მოსახერხებელია, ვიდრე მარტივი, ანუ წილადი ათწილადის მნიშვნელით (ვლადიმერ დალ. ცოცხალი დიდი რუსული ენის განმარტებითი ლექსიკონი. „ათი“) .

და თუ ასეა, მაშინ მსურს ყოველი ვერტიკალური წილადი ათწილადად გავხადო („ჰორიზონტალური“). და ამისათვის თქვენ უბრალოდ უნდა გაყოთ მრიცხველი მნიშვნელზე. ავიღოთ, მაგალითად, წილადი 1/3 და ვცადოთ მისგან ათწილადის გაკეთება.

სრულიად გაუნათლებელი ადამიანიც კი შეამჩნევს: რამდენი ხანი არ უნდა გაგრძელდეს, ისინი არ დაშორდებიან: სამეული განაგრძობს უსასრულოდ გამოჩენას. მოდით, ჩავწეროთ: 0.33... ჩვენ ვგულისხმობთ „რიცხვს, რომელიც მიიღება 1-ის 3-ზე გაყოფისას“, ან მოკლედ „ერთ მესამედს“. ბუნებრივია, მესამედი არის წილადი ამ სიტყვის პირველი მნიშვნელობით, ხოლო „1/3“ და „0.33...“ არის წილადები სიტყვის მეორე მნიშვნელობით, ე.ი. შესვლის ფორმებირიცხვი, რომელიც მდებარეობს რიცხვთა წრფეზე ნულიდან ისეთ მანძილზე, რომ თუ მას სამჯერ გადადებთ, მიიღებთ ერთს.

ახლა ვცადოთ 5 გავყოთ 6-ზე:

მოდი ისევ ჩავწეროთ: 0,833... ვგულისხმობთ „ რიცხვს, რომელსაც მიიღებთ 5-ის 6-ზე გაყოფისას“ ან მოკლედ „ხუთ-მეექვსედს“. თუმცა, დაბნეულობა ჩნდება აქ: ნიშნავს ეს 0.83333 (და შემდეგ სამეული მეორდება), თუ 0.833833 (და შემდეგ მეორდება 833). მაშასადამე, ელიფსისით აღნიშვნა არ გვიწყობს: გაუგებარია საიდან იწყება განმეორებითი ნაწილი (მას „პერიოდი“ ჰქვია). მაშასადამე, პერიოდს ჩავსვამთ ფრჩხილებში, ასე: 0,(3); 0.8 (3).

0, (3) ადვილი არ არის უდრისერთი მესამედი, ეს არის Იქ არისერთი მესამედი, რადგან ჩვენ სპეციალურად გამოვიგონეთ ეს აღნიშვნა ამ რიცხვის ათწილადის სახით წარმოსაჩენად.

ამ ჩანაწერს ე.წ უსასრულო პერიოდული წილადი, ან უბრალოდ პერიოდული წილადი.

როცა ერთ რიცხვს მეორეზე ვყოფთ, თუ სასრულ წილადს არ მივიღებთ, ვიღებთ უსასრულო პერიოდულ წილადს, ანუ ოდესღაც რიცხვების თანმიმდევრობა აუცილებლად დაიწყებს გამეორებას. რატომ არის ეს ასე, შეგვიძლია გავიგოთ წმინდა სპეკულაციით, თუ ყურადღებით დავაკვირდებით სვეტების გაყოფის ალგორითმს:

საკონტროლო ნიშნებით მონიშნულ ადგილებში, რიცხვების სხვადასხვა წყვილი ყოველთვის ვერ მოიპოვება (რადგან, პრინციპში, ასეთი წყვილების სასრული რაოდენობაა). და როგორც კი იქ გამოჩნდება ასეთი წყვილი, რომელიც უკვე არსებობდა, განსხვავებაც იგივე იქნება - და შემდეგ დაიწყება მთელი პროცესის გამეორება. ამის შემოწმება არ არის საჭირო, რადგან სავსებით აშკარაა, რომ თუ იგივე ქმედებებს გაიმეორებთ, შედეგი იგივე იქნება.

ახლა რომ კარგად გავიგეთ არსიპერიოდული წილადი, მოდით ვცადოთ ერთი მესამედის სამზე გამრავლება. დიახ, რა თქმა უნდა, თქვენ მიიღებთ ერთს, მაგრამ მოდით დავწეროთ ეს წილადი ათწილადის სახით და გავამრავლოთ იგი სვეტში (გაურკვევლობა არ წარმოიქმნება აქ ელიფსისის გამო, რადგან ათობითი წერტილის შემდეგ ყველა რიცხვი ერთნაირია):

და ისევ შევნიშნავთ, რომ ცხრა, ცხრა და ცხრა ყოველთვის გამოჩნდება ათობითი წერტილის შემდეგ. ანუ საპირისპირო ფრჩხილის აღნიშვნის გამოყენებით მივიღებთ 0,(9). ვინაიდან ჩვენ ვიცით, რომ ერთი მესამედისა და სამის ნამრავლი არის ერთი, მაშინ 0.(9) ერთის დაწერის ასეთი ლამაზი ხერხია. თუმცა, ჩაწერის ამ ფორმის გამოყენება შეუსაბამოა, რადგან ერთეული შეიძლება იდეალურად დაიწეროს წერტილის გამოყენების გარეშე, როგორიცაა: 1.

როგორც ხედავთ, 0,(9) არის ერთ-ერთი შემთხვევა, როდესაც მთელი რიცხვი იწერება წილადის სახით, მაგალითად 3/3 ან 7.0. ანუ 0,(9) არის წილადი მხოლოდ სიტყვის მეორე მნიშვნელობით, მაგრამ არა პირველი.

ასე რომ, ყოველგვარი ლიმიტებისა და სერიების გარეშე, ჩვენ გავარკვიეთ, რა არის 0.(9) და როგორ გავუმკლავდეთ მას.

მაგრამ მაინც გვახსოვდეს, რომ სინამდვილეში ჩვენ ვართ ჭკვიანი და შესწავლილი ანალიზი. მართლაც, ძნელია ამის უარყოფა:

მაგრამ, ალბათ, არავინ დაობს იმ ფაქტს, რომ:

ეს ყველაფერი, რა თქმა უნდა, მართალია. მართლაც, 0,(9) არის როგორც შემცირებული რიგის ჯამი, ასევე მითითებული კუთხის ორმაგი სინუსი და ეილერის რიცხვის ბუნებრივი ლოგარითმი.

მაგრამ არც ერთი, არც მეორე და არც მესამე არ არის განმარტება.

იმის თქმა, რომ 0,(9) არის უსასრულო სერიის ჯამი 9/(10 n), სადაც n უდრის ერთს, იგივეა, რაც იმის თქმა, რომ სინუსი არის უსასრულო ტეილორის რიგის ჯამი:

ეს აბსოლუტურად სწორიდა ეს არის ყველაზე მნიშვნელოვანი ფაქტი გამოთვლითი მათემატიკისთვის, მაგრამ ეს არ არის განმარტება და, რაც მთავარია, არ აახლოებს ადამიანს გაგებასთან. არსებითადსინუსი გარკვეული კუთხის სინუსის არსი არის ის უბრალოდ ყველაფერიკუთხის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

ასე რომ, პერიოდული წილადი არის უბრალოდ ყველაფერიათობითი წილადი, რომელიც მიიღება როცა სვეტით გაყოფისასრიცხვების იგივე ნაკრები მეორდება. აქ ანალიზის კვალი არ არის.

და სწორედ აქ ჩნდება კითხვა: საიდან მოდის? საერთოდავიღეთ რიცხვი 0,(9)? რას ვყოფთ რაზე სვეტით რომ მივიღოთ? მართლაც, არ არსებობს ისეთი რიცხვები, რომ როდესაც სვეტად იყოფა, ჩვენ უსასრულოდ გამოჩენილი ცხრა გვექნებოდა. მაგრამ ჩვენ მოვახერხეთ ამ რიცხვის მიღება სვეტით 0,(3) 3-ზე გამრავლებით? Ნამდვილად არ. ყოველივე ამის შემდეგ, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მარჯვნიდან მარცხნივ, რათა სწორად გაითვალისწინოთ ციფრების გადარიცხვები და ჩვენ ეს გავაკეთეთ მარცხნიდან მარჯვნივ, ეშმაკურად ვისარგებლეთ იმით, რომ გადარიცხვები მაინც არ ხდება არსად. მაშასადამე, 0,(9) ჩაწერის კანონიერება დამოკიდებულია იმაზე, ვაღიარებთ თუ არა სვეტით ასეთი გამრავლების კანონიერებას.

ამიტომ, ზოგადად შეგვიძლია ვთქვათ, რომ აღნიშვნა 0,(9) არასწორია - და გარკვეულწილად სწორიც. თუმცა, ვინაიდან a ,(b) აღნიშვნა მიღებულია, უბრალოდ მახინჯია მისი მიტოვება, როდესაც b = 9; უმჯობესია გადაწყვიტოთ რას ნიშნავს ასეთი ჩანაწერი. ასე რომ, თუ ჩვენ ზოგადად მივიღებთ აღნიშვნას 0,(9), მაშინ ეს აღნიშვნა, რა თქმა უნდა, ნიშნავს ნომერ პირველს.

რჩება მხოლოდ იმის დამატება, რომ თუ გამოვიყენებდით, ვთქვათ, სამეულ რიცხვთა სისტემას, მაშინ ერთი (1 3) სვეტით სამზე (10 3) გაყოფისას მივიღებთ 0.1 3 (წაიკითხეთ "ნულოვანი წერტილი ერთი მესამედი"), ხოლო ერთი ორზე გაყოფისას იქნება 0,(1) 3.

ასე რომ, წილადი რიცხვის პერიოდულობა არ არის წილადი რიცხვის რაიმე ობიექტური მახასიათებელი, არამედ მხოლოდ ამა თუ იმ რიცხვთა სისტემის გამოყენების გვერდითი ეფექტი.

უსასრულო ათწილადები

ათობითი წერტილის შემდეგ ათწილადები შეიძლება შეიცავდეს ციფრების უსასრულო რაოდენობას.

უსასრულო ათწილადები- ეს არის ათობითი წილადები, რომლებიც შეიცავს უსასრულო რიცხვს.

უსასრულო ათობითი წილადის სრულად ჩაწერა თითქმის შეუძლებელია, ამიტომ მათი დაწერისას ისინი შემოიფარგლება მხოლოდ გარკვეული სასრული რაოდენობის ციფრებით ათობითი წერტილის შემდეგ, რის შემდეგაც ისინი აყენებენ ელიფსისს, რაც მიუთითებს ციფრების უსასრულოდ გაგრძელებულ თანმიმდევრობაზე.

მაგალითი 1

მაგალითად, $0.443340831\dots ; 3.1415935432\წერტილები; 135.126730405\წერტილები; 4.33333333333\წერტილები; 676.68349349\dots$.

მოდით შევხედოთ ბოლო ორ უსასრულო ათწილადს. წილადში $4.33333333333\dots$ ციფრი $3$ უსასრულოდ მეორდება, ხოლო წილადში $676.68349349\dots$ რიცხვების ჯგუფი $3$, $4$ და $9$ მეორდება მესამე ათობითი ადგილიდან. ასეთ უსასრულო ათობითი წილადებს პერიოდული ეწოდება.

პერიოდული ათწილადები

პერიოდული ათწილადები(ან პერიოდული წილადები) არის უსასრულო ათწილადი წილადები, რომელთა ჩაწერისას გარკვეული რიცხვი ან რიცხვთა ჯგუფი, რომელსაც წილადის პერიოდს უწოდებენ, უსასრულოდ მეორდება გარკვეული ათობითი ადგილიდან).

მაგალითი 2

მაგალითად, პერიოდული წილადის პერიოდი $4.33333333333\dots$ არის ციფრი $3$, ხოლო წილადის პერიოდი $676.68349349\dots$ არის რიცხვების ჯგუფი $349$.

უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადების დაწერის სიმოკლეობისთვის, ჩვეულებრივად არის ჩაწერილი წერტილი ერთხელ, ფრჩხილებში ჩასმა. მაგალითად, პერიოდულ წილადზე $4.33333333333\dots$ იწერება $4,(3)$, ხოლო პერიოდულ წილადზე $676.68349349\dots$ იწერება $676.68(349)$.

უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადები მიიღება ჩვეულებრივი წილადების, რომელთა მნიშვნელები შეიცავს $2$ და $5$-ის გარდა პირველ ფაქტორებს ათწილადად გადაქცევით.

ნებისმიერი სასრული ათობითი წილადი (და მთელი რიცხვი) შეიძლება დაიწეროს პერიოდულ წილადად უსასრულო რიცხვის $0$-ის მარჯვნივ დამატებით.

მაგალითი 3

მაგალითად, სასრული ათობითი $45.12$ შეიძლება დაიწეროს პერიოდული წილადის სახით, როგორც $45.12(0)$, ხოლო მთელი რიცხვი $(74)$, როგორც უსასრულო პერიოდული ათწილადი იქნება $74(0)$.

პერიოდული წილადების შემთხვევაში, რომლებსაც აქვთ პერიოდი 9, გამოიყენეთ გადასვლა პერიოდული წილადის სხვა აღნიშვნაზე $0$ პერიოდით. მხოლოდ ამ მიზნით მე-9 პერიოდი იცვლება $0$ პერიოდით, ხოლო შემდეგი უმაღლესი ციფრის ღირებულება იზრდება $1$-ით.

მაგალითი 4

მაგალითად, პერიოდული წილადი $7.45(9)$ შეიძლება შეიცვალოს პერიოდული წილადით $7.46(0)$ ან ექვივალენტური ათობითი წილადი $7.46$.

უსასრულო ათობითი პერიოდული წილადები წარმოდგენილია რაციონალური რიცხვებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნებისმიერი პერიოდული წილადი შეიძლება გარდაიქმნას საერთო წილადად და ნებისმიერი საერთო წილადი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც პერიოდული წილადი.

წილადების გადაყვანა სასრულ და უსასრულო პერიოდულ ათწილადებად

არა მხოლოდ ჩვეულებრივი წილადები $10, 100, \dots$ მნიშვნელებით შეიძლება გადაიზარდოს ათობითი წილადად.

ზოგიერთ შემთხვევაში, თავდაპირველი საერთო წილადი ადვილად შეიძლება შემცირდეს $10$, $100$ ან $1\000$ მნიშვნელამდე, რის შემდეგაც მიღებული წილადი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ათწილადის სახით.

მაგალითი 5

$\frac(3)(5)$ წილადის გადასაყვანად წილადად $10$ მნიშვნელით, თქვენ უნდა გაამრავლოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი $2$-ზე, რის შემდეგაც მივიღებთ $\frac(6)( 10)$, რაც არ არის რთული ათწილადის წილადად გადათარგმნა $0.6$.

სხვა შემთხვევებისთვის გამოიყენება საერთო წილადის ათწილადად გადაქცევის სხვა მეთოდი):

მრიცხველი უნდა შეიცვალოს ათწილადი წილადით ნებისმიერი რაოდენობის ნულებით ათობითი წერტილის შემდეგ;

წილადის მრიცხველი გავყოთ მნიშვნელზე (გაყოფა შესრულებულია ნატურალური რიცხვების სვეტად დაყოფის სახით, ხოლო კოეფიციენტში ათწილადი მოთავსებულია დივიდენდის მთელი ნაწილის გაყოფის დასრულების შემდეგ).

მაგალითი 6

გადააქციეთ წილადი $\frac(621)(4)$ ათწილადად.

გამოსავალი.

წარმოვიდგინოთ რიცხვი $621$ მრიცხველში ათწილადის სახით. ამისათვის დაამატეთ ათობითი წერტილი და, დასაწყისისთვის, ორი ნული მის შემდეგ. შემდეგ, საჭიროების შემთხვევაში, შეგიძლიათ დაამატოთ მეტი ნული. ასე რომ, ჩვენ მივიღეთ $621.00$.

მოდით გავყოთ რიცხვი $621.00$ $4$-ზე სვეტად:

სურათი 1.

გაყოფამ მიაღწია დივიდენდში ათწილადს და ნაშთი არ იყო ნული. ამ შემთხვევაში, ათწილადი მოთავსებულია კოეფიციენტში და გაყოფა გრძელდება სვეტში, მიუხედავად მძიმეებისა:

სურათი 2.

ნაშთი არის ნული, რაც ნიშნავს, რომ გაყოფა დასრულდა.

უპასუხე: $155,25$.

შესაძლებელია, რომ ჩვეულებრივი წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფისას ნაშთი არ გამოვიდეს $0$. ამ შემთხვევაში, გაყოფა შეიძლება გაგრძელდეს განუსაზღვრელი ვადით. გარკვეული მომენტიდან დაწყებული გაყოფის ნაშთები პერიოდულად მეორდება, რაც იმას ნიშნავს, რომ კოეფიციენტში მოცემული რიცხვებიც მეორდება. აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ეს ჩვეულებრივი წილადი გარდაიქმნება უსასრულო პერიოდულ ათობითი წილადად.

მაგალითი 7

გადააქციეთ წილადი $\frac(19)(44)$ ათწილადად.

გამოსავალი.)

საერთო წილადის ათწილადად გადასაყვანად, შეასრულეთ გრძელი გაყოფა:

სურათი 3.

გაყოფისას მეორდება ნაშთები $8$ და $36$ და კოეფიციენტში ასევე მეორდება რიცხვები $1$ და $8$. ასე რომ, საწყისი ჩვეულებრივი წილადი $\frac(19)(44)$ გადაკეთდა პერიოდულ წილადად $\frac(19)(44)=0.43181818\dots =0.43(18)$.

პასუხი: $0,43(18)$.

ზოგადი დასკვნა ჩვეულებრივი წილადების ათწილადებად გადაქცევის შესახებ:

თუ მნიშვნელი შეიძლება დაიშალოს მარტივ ფაქტორებად, რომელთა შორის იქნება მხოლოდ რიცხვები $2$ და $5$, მაშინ ასეთი წილადი შეიძლება გარდაიქმნას საბოლოო ათობითი წილადად;

თუ $2$ და $5$ რიცხვების გარდა, მნიშვნელის გაფართოება შეიცავს სხვა მარტივ რიცხვებს, მაშინ ასეთი წილადი გარდაიქმნება უსასრულო ათობითი პერიოდულ წილადად.