პერიოდული წილადების ჩვეულებრივ წილადებად გადაქცევის წესები. წილადის გადაყვანა ათწილადად და პირიქით, წესები, მაგალითები

ამ სტატიაში განვიხილავთ როგორ წილადების ათწილადებად გადაქცევადა ასევე გაითვალისწინეთ საპირისპირო პროცესი- ათობითი წილადების გადაქცევა ჩვეულებრივ წილადებად. აქ ჩვენ გამოვყოფთ წილადების გარდაქმნის წესებს და დეტალურ გადაწყვეტილებებს მივაწვდით ტიპიურ მაგალითებს.

გვერდის ნავიგაცია.

წილადების ათწილადებად გადაქცევა

ავღნიშნოთ თანმიმდევრობა, რომლითაც შევეხებით წილადების ათწილადებად გადაქცევა.

პირველ რიგში, ჩვენ განვიხილავთ, თუ როგორ უნდა წარმოვადგინოთ წილადები 10, 100, 1000, ... ათწილადების სახით. ეს აიხსნება იმით, რომ ათობითი წილადები არსებითად არის ჩვეულებრივი წილადების ჩაწერის კომპაქტური ფორმა 10, 100, ....

ამის შემდეგ, ჩვენ უფრო შორს წავალთ და ვაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა დავწეროთ ნებისმიერი ჩვეულებრივი წილადი (არა მხოლოდ 10, 100, ...) წილადის სახით. როდესაც ჩვეულებრივი წილადები ასე განიხილება, მიიღება როგორც სასრული ათობითი წილადები, ასევე უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადები.

ახლა მოდით ვისაუბროთ ყველაფერზე თანმიმდევრობით.

10, 100, ... მნიშვნელებით საერთო წილადების გადაყვანა ათწილადებად

ზოგიერთი სწორი წილადი მოითხოვს "წინასწარ მომზადებას" ათწილადებად გადაქცევამდე. ეს ეხება ჩვეულებრივ წილადებს, რომელთა რიცხვი მრიცხველში ნაკლებია მნიშვნელში ნულების რიცხვზე. მაგალითად, საერთო წილადი 2/100 ჯერ უნდა მომზადდეს ათობითი წილადად გადასაყვანად, მაგრამ 9/10 წილადს არანაირი მომზადება არ სჭირდება.

ათწილად წილადებზე გადასაყვანად სათანადო ჩვეულებრივი წილადების „წინასწარი მომზადება“ შედგება მრიცხველის მარცხნივ იმდენი ნულის მიმატებისგან, რომ იქ ციფრების საერთო რაოდენობა მნიშვნელში ნულების რაოდენობის ტოლი ხდება. მაგალითად, წილადი ნულების დამატების შემდეგ გამოიყურება ასე.

სწორი მომზადების შემდეგ საერთო წილადიშეგიძლიათ დაიწყოთ მისი ათწილადის წილადის გადაქცევა.

მივცეთ 10, ან 100, ან 1000, ... მნიშვნელობის მქონე სწორი საერთო წილადის ათწილად წილადად გადაქცევის წესი. იგი შედგება სამი ეტაპისგან:

• დაწერე 0;
• ამის შემდეგ ჩვენ ვსვამთ ათობითი წერტილი;
• რიცხვს ვწერთ მრიცხველიდან (დამატებულ ნულებთან ერთად, თუ დავამატეთ).

განვიხილოთ ამ წესის გამოყენება მაგალითების ამოხსნისას.

მაგალითი.

გადააქციეთ შესაბამისი წილადი 37/100 ათწილადში.

გამოსავალი.

მნიშვნელი შეიცავს რიცხვს 100, რომელსაც აქვს ორი ნული. მრიცხველი შეიცავს რიცხვს 37, მის აღნიშვნას აქვს ორი ციფრი, შესაბამისად, ამ წილადის მომზადება არ არის საჭირო ათობითი წილადში გადასაყვანად.

ახლა ვწერთ 0-ს, ვსვამთ ათწილადს და ვწერთ რიცხვს 37 მრიცხველიდან და მივიღებთ ათწილად წილადს 0.37.

პასუხი:

0,37 .

10, 100, ... მრიცხველებით სწორი ჩვეულებრივი წილადების ათწილად წილადებად გადაქცევის უნარ-ჩვევების გასაძლიერებლად, ჩვენ გავაანალიზებთ სხვა მაგალითის ამოხსნას.

მაგალითი.

ჩაწერეთ სწორი წილადი 107/10,000,000 როგორც ათობითი.

გამოსავალი.

მრიცხველში ციფრების რაოდენობა არის 3, ხოლო ნულების რიცხვი მნიშვნელში არის 7, ამიტომ ეს საერთო წილადი უნდა მომზადდეს ათწილადში გადასაყვანად. მრიცხველში მარცხნივ უნდა დავამატოთ 7-3=4 ნული ისე, რომ იქ ციფრების ჯამური რაოდენობა მნიშვნელში ნულების რაოდენობის ტოლი გახდეს. ვიღებთ.

რჩება მხოლოდ საჭირო ათობითი წილადის შექმნა. ამისთვის ჯერ ვწერთ 0-ს, მეორედ ვსვამთ მძიმით, მესამედ ვწერთ რიცხვს მრიცხველიდან ნულებთან ერთად 0000107, შედეგად გვაქვს ათობითი წილადი 0.0000107.

პასუხი:

0,0000107 .

არასწორი წილადები არ საჭიროებს რაიმე მომზადებას ათწილადებად გადაყვანისას. შემდეგი უნდა დაიცვან 10, 100, ... მნიშვნელებით არასწორი წილადების ათწილადად გადაქცევის წესები:

• ჩაწერეთ რიცხვი მრიცხველიდან;
• ჩვენ ვიყენებთ ათობითი წერტილის გამოსაყოფად იმდენი ციფრის მარჯვნივ, რამდენიც არის ნული საწყისი წილადის მნიშვნელში.

მოდით შევხედოთ ამ წესის გამოყენებას მაგალითის ამოხსნისას.

მაგალითი.

გადაიყვანეთ არასწორი წილადი 56,888,038,009/100,000 ათწილადად.

გამოსავალი.

პირველ რიგში, ჩვენ ვწერთ რიცხვს მრიცხველიდან 56888038009 და მეორეც, გამოვყოფთ 5 ციფრს მარჯვნივ ათობითი წერტილით, რადგან თავდაპირველი წილადის მნიშვნელს აქვს 5 ნული. შედეგად, ჩვენ გვაქვს ათობითი წილადი 568880.38009.

პასუხი:

568 880,38009 .

შერეული რიცხვის ათწილად წილადად გადასაყვანად, რომლის წილადი ნაწილის მნიშვნელი არის რიცხვი 10, ან 100, ან 1000, ..., შეგიძლიათ გადაიყვანოთ შერეული რიცხვიარასწორ წილადად და შემდეგ მიღებული წილადი გადააკეთეთ ათობითი წილადად. მაგრამ თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი 10, ან 100, ან 1000, ... წილადი მნიშვნელობით შერეული რიცხვების ათწილად წილადებად გადაქცევის წესი:

• საჭიროების შემთხვევაში, შეასრულეთ " წინასწარი მომზადება» თავდაპირველი შერეული რიცხვის წილადი ნაწილი, მიმატება საჭირო თანხანულები მარცხნივ მრიცხველში;
• ჩაწერეთ თავდაპირველი შერეული რიცხვის მთელი რიცხვი;
• დააყენოს ათობითი წერტილი;
• რიცხვს ვწერთ მრიცხველიდან დამატებულ ნულებთან ერთად.

მოდით შევხედოთ მაგალითს, რომელშიც ჩვენ ვასრულებთ ყველა საჭირო ნაბიჯს შერეული რიცხვის ათწილადის სახით წარმოსადგენად.

მაგალითი.

შერეული რიცხვის ათწილადად გადაქცევა.

გამოსავალი.

წილადი ნაწილის მნიშვნელს აქვს 4 ნული, მაგრამ მრიცხველი შეიცავს რიცხვს 17, რომელიც შედგება 2 ციფრისგან, ამიტომ მრიცხველში მარცხნივ უნდა დავამატოთ ორი ნული ისე, რომ იქ ციფრების რაოდენობა ტოლი გახდეს. ნულები მნიშვნელში. ამის შემდეგ, მრიცხველი იქნება 0017.

ახლა ვიწერთ თავდაპირველი რიცხვის მთელ ნაწილს, ანუ რიცხვს 23, ვსვამთ ათწილადს, რის შემდეგაც ვწერთ რიცხვს მრიცხველიდან დამატებულ ნულებთან ერთად, ანუ 0017 და ვიღებთ სასურველ ათწილადს. ფრაქცია 23.0017.

მოკლედ ჩამოვწეროთ მთელი გამოსავალი: .

რა თქმა უნდა, პირველ რიგში, შერეული რიცხვის წარმოდგენა შეიძლება, როგორც არასწორი ფრაქცია, შემდეგ გადაიყვანეთ იგი ათობითი წილადად. ამ მიდგომით გამოსავალი ასე გამოიყურება: .

პასუხი:

23,0017 .

წილადების გადაყვანა სასრულ და უსასრულო პერიოდულ ათწილადებად

თქვენ შეგიძლიათ გადაიყვანოთ არა მხოლოდ ჩვეულებრივი წილადები 10, 100, ... მნიშვნელებით, არამედ ჩვეულებრივი წილადები სხვა მნიშვნელებით. ახლა ჩვენ გავარკვევთ, თუ როგორ კეთდება ეს.

ზოგიერთ შემთხვევაში, თავდაპირველი ჩვეულებრივი წილადი ადვილად მცირდება ერთ-ერთ მნიშვნელამდე 10, ან 100, ან 1000, ... (იხ. ჩვეულებრივი წილადის ახალ მნიშვნელზე მიყვანა), რის შემდეგაც რთული არ არის მიღებული წილადის წარმოდგენა. როგორც ათობითი წილადი. მაგალითად, აშკარაა, რომ წილადი 2/5 შეიძლება შემცირდეს წილადად 10 მნიშვნელით, ამისათვის საჭიროა მრიცხველი და მნიშვნელი გაამრავლოთ 2-ზე, რაც მისცემს წილადს 4/10, რომელიც, შესაბამისად. წინა აბზაცში განხილული წესები, ადვილად გარდაიქმნება ათობითი წილადად 0, 4.

სხვა შემთხვევაში, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ჩვეულებრივი წილადის ათწილადად გადაქცევის სხვა მეთოდი, რომლის განხილვასაც ახლა გადავდივართ.

ჩვეულებრივი წილადის ათწილადად გადაქცევისთვის, წილადის მრიცხველი იყოფა მნიშვნელზე, მრიცხველი ჯერ იცვლება ტოლი ათობითი წილადით ნებისმიერი რაოდენობის ნულით ათწილადის შემდეგ (ამაზე ვისაუბრეთ განყოფილებაში ტოლი და არათანაბარი ათობითი წილადები). ამ შემთხვევაში გაყოფა ხდება ისევე, როგორც გაყოფა ნატურალური რიცხვების სვეტით, ხოლო კოეფიციენტში მოთავსებულია ათობითი წერტილი, როდესაც მთავრდება დივიდენდის მთელი ნაწილის გაყოფა. ეს ყველაფერი ცხადი გახდება ქვემოთ მოცემული მაგალითების გადაწყვეტილებებიდან.

მაგალითი.

გადააქციეთ წილადი 621/4 ათწილადად.

გამოსავალი.

მრიცხველში 621 რიცხვი წარმოვიდგინოთ ათწილადის სახით, დავამატოთ ათწილადი წერტილი და რამდენიმე ნული მის შემდეგ. ჯერ დავამატოთ 2 ციფრი 0, მოგვიანებით, საჭიროების შემთხვევაში, ყოველთვის შეგვიძლია მეტი ნულების დამატება. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს 621.00.

ახლა რიცხვი 621000 გავყოთ 4-ზე სვეტით. პირველი სამი ნაბიჯი არაფრით განსხვავდება ნატურალური რიცხვების სვეტზე გაყოფისგან, რის შემდეგაც მივდივართ შემდეგ სურათზე:

ასე მივდივართ დივიდენდის ათწილადამდე, ხოლო ნაშთი განსხვავდება ნულისაგან. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვსვამთ ათწილადს კოეფიციენტში და ვაგრძელებთ დაყოფას სვეტში, არ ვაქცევთ ყურადღებას მძიმეებით:

ამით სრულდება გაყოფა და შედეგად ვიღებთ ათობითი წილადს 155.25, რომელიც შეესაბამება თავდაპირველ ჩვეულებრივ წილადს.

პასუხი:

155,25 .

მასალის კონსოლიდაციისთვის, განიხილეთ სხვა მაგალითის გამოსავალი.

მაგალითი.

გადააქციეთ წილადი 21/800 ათწილადად.

გამოსავალი.

ამ საერთო წილადის ათწილადად გადაქცევისთვის, ჩვენ ვყოფთ ათწილადის სვეტს 21000... 800-ზე. პირველი ნაბიჯის შემდეგ, ჩვენ უნდა ჩავდოთ ათწილადი წერტილი, შემდეგ კი გავაგრძელოთ გაყოფა:

საბოლოოდ, მივიღეთ დარჩენილი 0, ეს ასრულებს 21/400 საერთო წილადის გადაქცევას ათობითი წილადზე და მივედით ათწილადის 0,02625-მდე.

პასუხი:

0,02625 .

შეიძლება მოხდეს, რომ მრიცხველის ჩვეულებრივი წილადის მნიშვნელზე გაყოფისას მაინც არ მივიღოთ 0-ის ნაშთი. ამ შემთხვევაში, გაყოფა შეიძლება გაგრძელდეს განუსაზღვრელი ვადით. თუმცა, გარკვეული საფეხურიდან დაწყებული, ნაშთები პერიოდულად იწყებენ გამეორებას, ასევე მეორდება კოეფიციენტის რიცხვები. ეს ნიშნავს, რომ საწყისი წილადი გარდაიქმნება უსასრულო პერიოდულ ათობითი წილადად. მოდით ვაჩვენოთ ეს მაგალითით.

მაგალითი.

წილადი 19/44 ჩაწერეთ ათწილადად.

გამოსავალი.

ჩვეულებრივი წილადის ათწილადად გადაქცევისთვის, შეასრულეთ გაყოფა სვეტების მიხედვით:

უკვე ნათელია, რომ გაყოფის დროს ნარჩენებმა 8 და 36 გამეორება დაიწყეს, კოეფიციენტში კი 1 და 8 რიცხვები მეორდება. ამრიგად, საწყისი საერთო წილადი 19/44 გარდაიქმნება პერიოდულ ათობითი წილადად 0.43181818...=0.43(18).

პასუხი:

0,43(18) .

ამ პუნქტის დასასრულებლად, ჩვენ გავარკვევთ, რომელი ჩვეულებრივი წილადები შეიძლება გარდაიქმნას სასრულ ათწილად წილადებად და რომელი მხოლოდ პერიოდულ წილადებად.

მოდით, ჩვენს წინ გვქონდეს შეუქცევადი ჩვეულებრივი წილადი (თუ წილადი კლებადია, მაშინ ჯერ წილადს ვამცირებთ) და უნდა გავარკვიოთ რომელ ათობითი წილადად შეიძლება გადავიტანოთ - სასრულ თუ პერიოდულად.

გასაგებია, რომ თუ ჩვეულებრივი წილადი შეიძლება შემცირდეს ერთ-ერთ მნიშვნელზე 10, 100, 1000, ..., მაშინ მიღებული წილადი ადვილად გარდაიქმნება საბოლოო ათობითი წილადად წინა აბზაცში განხილული წესების მიხედვით. მაგრამ მნიშვნელებს 10, 100, 1000 და ა.შ. ყველა ჩვეულებრივი წილადი არ არის მოცემული. მხოლოდ ის წილადები, რომელთა მნიშვნელი მაინც არის 10, 100, ... რიცხვებიდან ერთ-ერთი მაინც შეიძლება შემცირდეს ასეთ მნიშვნელებზე და რა რიცხვები შეიძლება იყოს 10, 100, ... გამყოფები? ამ კითხვაზე პასუხის გაცემის საშუალებას მოგვცემს რიცხვები 10, 100, ... და ისინი შემდეგია: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1000 = 2 2 2 5 5 5, .... აქედან გამომდინარეობს, რომ გამყოფები არის 10, 100, 1000 და ა.შ. შეიძლება არსებობდეს მხოლოდ რიცხვები, რომელთა დაშლა მარტივ ფაქტორებად შეიცავს მხოლოდ 2 და (ან) 5 რიცხვებს.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ ზოგადი დასკვნა ჩვეულებრივი წილადების ათწილადებად გადაქცევის შესახებ:

• თუ მნიშვნელის მარტივ ფაქტორებად დაშლისას მხოლოდ რიცხვები 2 და (ან) 5 გვხვდება, მაშინ ეს წილადი შეიძლება გადაკეთდეს საბოლოო ათობითი წილადად;
• თუ ორებისა და ხუთების გარდა არის სხვა მარტივი რიცხვები მნიშვნელის გაფართოებაში, მაშინ ეს წილადი გარდაიქმნება უსასრულო ათობითი პერიოდულ წილადად.

მაგალითი.

ჩვეულებრივი წილადების ათწილადებად გადაქცევის გარეშე, მითხარით, რომელი წილადებიდან 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 გადაიყვანება საბოლოო ათწილადად და რომელი მხოლოდ პერიოდულ წილადად.

გამოსავალი.

47/20 წილადის მნიშვნელი გამრავლებულია მარტივ ფაქტორებად, როგორც 20=2·2·5. ამ გაფართოებაში არის მხოლოდ ორები და ხუთები, ამიტომ ეს წილადი შეიძლება შემცირდეს ერთ-ერთ მნიშვნელზე 10, 100, 1000, ... (ამ მაგალითში, მნიშვნელზე 100), შესაბამისად, შეიძლება გარდაიქმნას საბოლოო ათწილადში. წილადი.

7/12 წილადის მნიშვნელის დაშლას მარტივ ფაქტორებად აქვს ფორმა 12=2·2·3. ვინაიდან ის შეიცავს 3-ის მარტივ კოეფიციენტს, რომელიც განსხვავდება 2-დან და 5-ისგან, ეს წილადი არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი სასრულ ათწილადად, მაგრამ შეიძლება გარდაიქმნას პერიოდულ ათწილადად.

ფრაქცია 21/56 – კონტრაქტული, შეკუმშვის შემდეგ იღებს ფორმას 3/8. მნიშვნელის ფაქტორირება მარტივ ფაქტორებად შეიცავს სამ ფაქტორს, რომელიც უდრის 2-ს, შესაბამისად, საერთო წილადი 3/8 და, შესაბამისად, ტოლი წილადი 21/56, შეიძლება გარდაიქმნას საბოლოო ათობითი წილადად.

დაბოლოს, 31/17 წილადის მნიშვნელის გაფართოება არის 17, ამიტომ ეს წილადი ვერ გადაიქცევა სასრულ ათწილადად, მაგრამ შეიძლება გადაიზარდოს უსასრულო პერიოდულ წილადად.

პასუხი:

47/20 და 21/56 შეიძლება გარდაიქმნას სასრულ ათობითი წილადად, მაგრამ 7/12 და 31/17 შეიძლება გადაკეთდეს მხოლოდ პერიოდულ წილადად.

ჩვეულებრივი წილადები არ გარდაიქმნება უსასრულო არაპერიოდიულ ათწილადებად

წინა აბზაცში მოცემული ინფორმაცია ბადებს კითხვას: „შეიძლება თუ არა წილადის მრიცხველის მნიშვნელზე გაყოფის შედეგად წარმოიქმნას უსასრულო არაპერიოდული წილადი?

პასუხი: არა. საერთო წილადის გადაქცევისას შედეგი შეიძლება იყოს სასრული ათობითი წილადი ან უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადი. მოდით განვმარტოთ, რატომ არის ეს ასე.

ნაშთით გაყოფის თეორემიდან ირკვევა, რომ ნაშთი ყოველთვის ნაკლებია გამყოფზე, ანუ თუ რომელიმე მთელ რიცხვს გავყოფთ q რიცხვზე, მაშინ ნაშთი შეიძლება იყოს მხოლოდ 0, 1, 2 რიცხვებიდან ერთ-ერთი. , ..., q−1. აქედან გამომდინარეობს, რომ მას შემდეგ, რაც სვეტი დაასრულებს ჩვეულებრივი წილადის მრიცხველის მთელი ნაწილის გაყოფას q მნიშვნელზე, არაუმეტეს q საფეხურზე წარმოიქმნება შემდეგი ორი სიტუაციიდან ერთი:

• ან მივიღებთ 0-ის ნაშთს, ამით დასრულდება გაყოფა და მივიღებთ საბოლოო ათობითი წილადს;
• ან მივიღებთ ნაშთს, რომელიც უკვე გამოჩნდა ადრე, რის შემდეგაც ნაშთები დაიწყებენ გამეორებას, როგორც წინა მაგალითში (რადგან ტოლი რიცხვების q-ზე გაყოფისას მიიღება თანაბარი ნაშთები, რაც გამომდინარეობს უკვე ხსენებული გაყოფის თეორემიდან), გამოიწვევს უსასრულო პერიოდულ ათობითი წილადს.

სხვა ვარიანტები არ შეიძლება იყოს, ამიტომ ჩვეულებრივი წილადის ათწილად წილადად გადაქცევისას უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადის მიღება შეუძლებელია.

ამ აბზაცში მოცემული მსჯელობიდან ასევე გამომდინარეობს, რომ ათობითი წილადის პერიოდის ხანგრძლივობა ყოველთვის ნაკლებია შესაბამისი ჩვეულებრივი წილადის მნიშვნელის მნიშვნელობაზე.

ათწილადების გადაქცევა წილადებად

ახლა მოდით გაერკვნენ, თუ როგორ გადავიტანოთ ათობითი წილადი ჩვეულებრივ წილადად. დავიწყოთ ბოლო ათობითი წილადების ჩვეულებრივ წილადებად გადაქცევით. ამის შემდეგ განვიხილავთ უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადების ინვერსიის მეთოდს. დასასრულს, ვთქვათ უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადების ჩვეულებრივ წილადებად გადაქცევის შეუძლებლობაზე.

ბოლო ათწილადების გადაყვანა წილადებად

წილადის მიღება, რომელიც იწერება როგორც საბოლოო ათწილადი, საკმაოდ მარტივია. საბოლოო ათობითი წილადის საერთო წილადად გადაქცევის წესიშედგება სამი ეტაპისგან:

• უპირველეს ყოვლისა, ჩაწერეთ მოცემული ათობითი წილადი მრიცხველში, მანამდე გააუქმეთ ათობითი წერტილი და ყველა ნული მარცხნივ, ასეთის არსებობის შემთხვევაში;
• მეორეც, ჩაწერეთ ერთი მნიშვნელში და დაამატეთ მას იმდენი ნული, რამდენი ციფრია ათწილადის შემდეგ თავდაპირველ ათობითი წილადში;
• მესამე, საჭიროების შემთხვევაში, შეამცირეთ მიღებული ფრაქცია.

მოდით შევხედოთ მაგალითების გადაწყვეტილებებს.

მაგალითი.

გადაიყვანეთ ათწილადი 3.025 წილადად.

გამოსავალი.

თუ ათწილადს ამოვიღებთ თავდაპირველ ათობითი წილადს, მივიღებთ რიცხვს 3025. მარცხნივ არ არის ნულები, რომლებსაც ჩვენ გავაუქმებდით. ასე რომ, ჩვენ ვწერთ 3025-ს სასურველი წილადის მრიცხველში.

ჩვენ ვწერთ რიცხვს 1 მნიშვნელში და ვამატებთ 3 ნულს მის მარჯვნივ, რადგან თავდაპირველ ათობითი წილადში არის 3 ციფრი ათწილადის წერტილის შემდეგ.

ასე რომ, მივიღეთ საერთო წილადი 3,025/1,000. ეს წილადი შეიძლება შემცირდეს 25-ით, მივიღებთ .

პასუხი:

.

მაგალითი.

ათწილადი წილადი 0,0017 გადააქციეთ წილადად.

გამოსავალი.

ათობითი წერტილის გარეშე, თავდაპირველი ათობითი წილადი ჰგავს 00017-ს, მარცხნივ ნულების უგულებელყოფით მივიღებთ რიცხვს 17, რომელიც არის სასურველი ჩვეულებრივი წილადის მრიცხველი.

ჩვენ ვწერთ ერთს ოთხი ნულით მნიშვნელში, რადგან თავდაპირველ ათობითი წილადს აქვს 4 ციფრი ათწილადის შემდეგ.

შედეგად, გვაქვს ჩვეულებრივი წილადი 17/10000. ეს წილადი შეუქცევადია და ათობითი წილადის გადაქცევა ჩვეულებრივ წილადად დასრულებულია.

პასუხი:

.

Როდესაც მთელი ნაწილითავდაპირველი საბოლოო ათობითი წილადი განსხვავდება ნულიდან, მაშინ ის შეიძლება დაუყოვნებლივ გადაკეთდეს შერეულ რიცხვად, საერთო წილადის გვერდის ავლით. მივცეთ საბოლოო ათობითი წილადის შერეულ რიცხვად გადაქცევის წესი:

• ათწილადამდე რიცხვი უნდა ჩაიწეროს სასურველი შერეული რიცხვის მთელი რიცხვის სახით;
• წილადი ნაწილის მრიცხველში თქვენ უნდა დაწეროთ რიცხვი, რომელიც მიღებულია საწყისი ათობითი წილადის წილადი ნაწილიდან, მარცხნივ ყველა ნულის გადაგდების შემდეგ;
• წილადი ნაწილის მნიშვნელში თქვენ უნდა ჩაწეროთ რიცხვი 1, რომელსაც დაამატეთ იმდენი ნული მარჯვნივ, რამდენი ციფრია ათწილადის შემდეგ თავდაპირველ ათობითი წილადში;
• საჭიროების შემთხვევაში, შეამცირეთ მიღებული შერეული რიცხვის წილადი ნაწილი.

მოდით შევხედოთ ათობითი წილადის შერეულ რიცხვად გადაქცევის მაგალითს.

მაგალითი.

გამოხატეთ ათობითი წილადი 152.06005 შერეული რიცხვის სახით

უსასრულო ათწილადები

ათობითი წერტილის შემდეგ ათწილადები შეიძლება შეიცავდეს ციფრების უსასრულო რაოდენობას.

უსასრულო ათწილადები-- ეს არის ათობითი წილადები, რომელთა აღნიშვნა არის უსასრულო რიცხვინომრები

უსასრულო ათობითი წილადის სრულად ჩაწერა თითქმის შეუძლებელია, ამიტომ მათი დაწერისას ისინი შემოიფარგლება მხოლოდ გარკვეული სასრული რაოდენობის ციფრებით ათობითი წერტილის შემდეგ, რის შემდეგაც ისინი აყენებენ ელიფსისს, რაც მიუთითებს ციფრების უსასრულოდ გაგრძელებულ თანმიმდევრობაზე.

მაგალითი 1

მაგალითად, $0.443340831\dots ; 3.1415935432\წერტილები; 135.126730405\წერტილები; 4.33333333333\წერტილები; 676.68349349\dots$.

მოდით შევხედოთ ბოლო ორ უსასრულო ათწილადს. წილადში $4.33333333333\dots$ ციფრი $3$ უსასრულოდ მეორდება, ხოლო წილადში $676.68349349\dots$ რიცხვების ჯგუფი $3$, $4$ და $9$ მეორდება მესამე ათობითი ადგილიდან. ასეთ უსასრულო ათობითი წილადებს პერიოდული ეწოდება.

პერიოდული ათწილადები

პერიოდული ათწილადები(ან პერიოდული წილადები) არის უსასრულო ათწილადი წილადები, რომელთა ჩაწერისას გარკვეული რიცხვი ან რიცხვების ჯგუფი, რომელსაც ეწოდება წილადის პერიოდი, გაუთავებლად მეორდება გარკვეული ათობითი ადგილიდან).

მაგალითი 2

მაგალითად, პერიოდული წილადის პერიოდი $4.33333333333\dots$ არის ციფრი $3$, ხოლო წილადის პერიოდი $676.68349349\dots$ არის რიცხვების ჯგუფი $349$.

უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადების დაწერის სიმოკლესთვის, ჩვეულებრივად არის ჩაწერილი წერტილი ერთხელ, ფრჩხილებში ჩასმა. მაგალითად, პერიოდულ წილადზე $4.33333333333\dots$ იწერება $4,(3)$, ხოლო პერიოდულ წილადზე $676.68349349\dots$ იწერება $676.68(349)$.

უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადები მიიღება ჩვეულებრივი წილადების, რომელთა მნიშვნელები შეიცავს $2$ და $5$-ის გარდა პირველ ფაქტორებს ათწილადად გადაქცევით.

ნებისმიერი სასრული ათობითი წილადი (და მთელი რიცხვი) შეიძლება ჩაიწეროს პერიოდული წილადის სახით, უსასრულო რაოდენობის $0$-იანი ციფრების დამატებით მარჯვნივ.

მაგალითი 3

მაგალითად, სასრული ათობითი $45.12$ შეიძლება დაიწეროს პერიოდული წილადის სახით, როგორც $45.12(0)$, ხოლო მთელი რიცხვი $(74)$, როგორც უსასრულო პერიოდული ათწილადი იქნება $74(0)$.

პერიოდული წილადების შემთხვევაში, რომლებსაც აქვთ პერიოდი 9, გამოიყენეთ გადასვლა პერიოდული წილადის სხვა აღნიშვნაზე $0$ პერიოდით. მხოლოდ ამ მიზნით მე-9 პერიოდი იცვლება $0$ პერიოდით, ხოლო შემდეგი უმაღლესი ციფრის ღირებულება იზრდება $1$-ით.

მაგალითი 4

მაგალითად, პერიოდული წილადი $7.45(9)$ შეიძლება შეიცვალოს პერიოდული წილადით $7.46(0)$ ან ექვივალენტური ათობითი წილადი $7.46$.

უსასრულო ათობითი პერიოდული წილადები წარმოდგენილია რაციონალური რიცხვებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნებისმიერი პერიოდული წილადი შეიძლება გარდაიქმნას საერთო წილადად და ნებისმიერი საერთო წილადი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც პერიოდული წილადი.

წილადების გადაყვანა სასრულ და უსასრულო პერიოდულ ათწილადებად

არა მხოლოდ ჩვეულებრივი წილადები $10, 100, \dots$ მნიშვნელებით შეიძლება გადაიზარდოს ათობითი წილადად.

ზოგიერთ შემთხვევაში, თავდაპირველი საერთო წილადი ადვილად შეიძლება შემცირდეს $10$, $100$ ან $1\000$ მნიშვნელამდე, რის შემდეგაც მიღებული წილადი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ათწილადის სახით.

მაგალითი 5

$\frac(3)(5)$ წილადის გადასაყვანად წილადად $10$ მნიშვნელით, თქვენ უნდა გაამრავლოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი $2$-ზე, რის შემდეგაც მივიღებთ $\frac(6)( 10)$, რომლის თარგმნა არც ისე რთულია ათწილადის წილადზე $0.6$.

სხვა შემთხვევებისთვის გამოიყენება საერთო წილადის ათწილადად გადაქცევის სხვა მეთოდი):

მრიცხველი უნდა შეიცვალოს ათწილადი წილადით ნებისმიერი რაოდენობის ნულებით ათობითი წერტილის შემდეგ;

წილადის მრიცხველი გავყოთ მნიშვნელზე (გაყოფა შესრულებულია ნატურალური რიცხვების სვეტად დაყოფის სახით, ხოლო კოეფიციენტში ათწილადი მოთავსებულია დივიდენდის მთელი ნაწილის გაყოფის დასრულების შემდეგ).

მაგალითი 6

გადააქციეთ წილადი $\frac(621)(4)$ ათწილადად.

გამოსავალი.

წარმოვიდგინოთ რიცხვი $621$ მრიცხველში ათწილადის სახით. ამისათვის დაამატეთ ათობითი წერტილი და, დასაწყისისთვის, ორი ნული მის შემდეგ. შემდეგ, საჭიროების შემთხვევაში, შეგიძლიათ დაამატოთ მეტი ნული. ასე რომ, ჩვენ მივიღეთ $621.00$.

მოდით გავყოთ რიცხვი $621.00$ $4$-ზე სვეტად:

სურათი 1.

გაყოფამ მიაღწია დივიდენდში ათწილადს და ნაშთი არ იყო ნული. ამ შემთხვევაში, ათწილადი მოთავსებულია კოეფიციენტში და დაყოფა გრძელდება სვეტში, მძიმეების მიუხედავად:

სურათი 2.

ნაშთი არის ნული, რაც ნიშნავს, რომ გაყოფა დასრულდა.

უპასუხე: $155,25$.

შესაძლებელია, რომ ჩვეულებრივი წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფისას, ნაშთი არ გამოვიდეს $0$. ამ შემთხვევაში, გაყოფა შეიძლება გაგრძელდეს განუსაზღვრელი ვადით. გარკვეული მომენტიდან დაწყებული გაყოფის ნაშთები პერიოდულად მეორდება, რაც იმას ნიშნავს, რომ კოეფიციენტში მოცემული რიცხვებიც მეორდება. აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ეს ჩვეულებრივი წილადი გარდაიქმნება უსასრულო პერიოდულ ათობითი წილადად.

მაგალითი 7

გადააქციეთ წილადი $\frac(19)(44)$ ათწილადად.

გამოსავალი.)

საერთო წილადის ათწილადად გადასაყვანად, შეასრულეთ გრძელი გაყოფა:

სურათი 3.

გაყოფისას მეორდება ნაშთები $8$ და $36$ და კოეფიციენტში ასევე მეორდება რიცხვები $1$ და $8$. ასე რომ, საწყისი ჩვეულებრივი წილადი $\frac(19)(44)$ გადაკეთდა პერიოდულ წილადად $\frac(19)(44)=0.43181818\dots =0.43(18)$.

პასუხი: $0,43(18)$.

ზოგადი დასკვნა ჩვეულებრივი წილადების ათწილადებად გადაქცევის შესახებ:

თუ მნიშვნელი შეიძლება დაიშალოს მარტივ ფაქტორებად, რომელთა შორის იქნება მხოლოდ რიცხვები $2$ და $5$, მაშინ ასეთი წილადი შეიძლება გარდაიქმნას საბოლოო ათობითი წილადად;

თუ $2$ და $5$ რიცხვების გარდა, მნიშვნელის გაფართოება შეიცავს სხვა მარტივ რიცხვებს, მაშინ ასეთი წილადი გარდაიქმნება უსასრულო ათობითი პერიოდულ წილადად.

რომ თუ მათ იციან სერიების თეორია, მაშინ ამის გარეშე მეტამატური ცნებების შემოღება შეუძლებელია. უფრო მეტიც, ამ ადამიანებს მიაჩნიათ, რომ ვინც მას ფართოდ არ იყენებს, უცოდინარია. მოდით, ამ ადამიანების შეხედულებები მათ სინდისს მივატოვოთ. მოდით უკეთ გავიგოთ რა არის უსასრულო პერიოდული წილადი და როგორ უნდა გავუმკლავდეთ მას ჩვენ, გაუნათლებლებმა, რომლებმაც არ ვიცით საზღვრები.

მოდით გავყოთ 237 5-ზე. არა, თქვენ არ გჭირდებათ კალკულატორის გაშვება. მოდით უკეთ გავიხსენოთ საშუალო (ან თუნდაც დაწყებითი?) სკოლა და უბრალოდ დავყოთ იგი სვეტად:

აბა, გაგახსენდა? შემდეგ შეგიძლიათ საქმეს შეუდგეთ.

მათემატიკაში "წილადის" ცნებას ორი მნიშვნელობა აქვს:

1. არა მთელი რიცხვი.
2. არამთლიანი ფორმა.

არსებობს წილადების ორი ტიპი - ამ გაგებით, არამთლიანი რიცხვების ჩაწერის ორი ფორმა:

1. მარტივი (ან ვერტიკალური) წილადები, როგორიცაა 1/2 ან 237/5.
2. ათწილადი წილადები, როგორიცაა 0.5 ან 47.4.

გაითვალისწინეთ, რომ ზოგადად წილად-აღნიშვნის გამოყენება არ ნიშნავს იმას, რომ რაც წერია არის წილადი რიცხვი, მაგალითად 3/3 ან 7.0 - არა წილადები სიტყვის პირველი მნიშვნელობით, არამედ მეორეში, რა თქმა უნდა. , წილადები.

მათემატიკაში, ზოგადად, ათობითი დათვლა ყოველთვის მიღებული იყო და, შესაბამისად, ათობითი წილადები უფრო მოსახერხებელია, ვიდრე მარტივი, ანუ წილადი ათწილადის მნიშვნელით (ვლადიმერ დალ. ლექსიკონიცოცხალი დიდი რუსული ენა. "ათი").

და თუ ასეა, მაშინ მსურს ყოველი ვერტიკალური წილადი ათწილადად გავხადო („ჰორიზონტალური“). და ამისათვის თქვენ უბრალოდ უნდა გაყოთ მრიცხველი მნიშვნელზე. ავიღოთ, მაგალითად, წილადი 1/3 და ვცადოთ მისგან ათწილადის გაკეთება.

სრულიად გაუნათლებელი ადამიანიც კი შეამჩნევს: რამდენი ხანი არ უნდა გაგრძელდეს, ის არ დაშორდება: სამეული კვლავ უსასრულოდ გამოჩნდება. მოდით, ჩავწეროთ: 0.33... ჩვენ ვგულისხმობთ „რიცხვს, რომელიც მიიღება 1-ის 3-ზე გაყოფისას“, ან მოკლედ „ერთ მესამედს“. ბუნებრივია, მესამედი არის წილადი ამ სიტყვის პირველი მნიშვნელობით, ხოლო „1/3“ და „0.33...“ არის წილადები სიტყვის მეორე მნიშვნელობით, ე.ი. შესვლის ფორმებირიცხვი, რომელიც მდებარეობს რიცხვთა წრფეზე ნულიდან ისეთ მანძილზე, რომ თუ მას სამჯერ გადადებთ, მიიღებთ ერთს.

ახლა ვცადოთ 5 გავყოთ 6-ზე:

მოდი ისევ ჩავწეროთ: 0,833... ვგულისხმობთ „ რიცხვს, რომელსაც მიიღებთ 5-ის 6-ზე გაყოფისას“ ან მოკლედ „ხუთ-მეექვსედს“. თუმცა, დაბნეულობა ჩნდება აქ: ნიშნავს ეს 0.83333 (და შემდეგ სამეული მეორდება), თუ 0.833833 (და შემდეგ მეორდება 833). მაშასადამე, ელიფსისით აღნიშვნა არ გვიწყობს: გაუგებარია სად იწყება განმეორებითი ნაწილი (მას „პერიოდი“ ეწოდება). მაშასადამე, პერიოდს ჩავსვამთ ფრჩხილებში, ასე: 0,(3); 0.8 (3).

0, (3) ადვილი არ არის უდრისერთი მესამედი, ეს არის Იქ არისერთი მესამედი, რადგან ჩვენ სპეციალურად გამოვიგონეთ ეს აღნიშვნა ამ რიცხვის ათწილადის სახით წარმოსაჩენად.

ამ ჩანაწერს ე.წ უსასრულო პერიოდული წილადი, ან უბრალოდ პერიოდული წილადი.

როცა ერთ რიცხვს მეორეზე ვყოფთ, თუ სასრულ წილადს არ მივიღებთ, ვიღებთ უსასრულო პერიოდულ წილადს, ანუ ოდესღაც რიცხვების თანმიმდევრობა აუცილებლად დაიწყებს გამეორებას. რატომ არის ეს ასე, შეგვიძლია გავიგოთ წმინდა სპეკულაციით, თუ ყურადღებით დავაკვირდებით სვეტების გაყოფის ალგორითმს:

გამშვები პუნქტებით მონიშნულ ადგილებში ყოველთვის ვერ მიიღებთ შედეგებს სხვადასხვა წყვილებირიცხვები (რადგან, პრინციპში, არსებობს ასეთი წყვილების სასრული რაოდენობა). და როგორც კი იქ გამოჩნდება ასეთი წყვილი, რომელიც უკვე არსებობდა, განსხვავებაც იგივე იქნება - და შემდეგ დაიწყება მთელი პროცესის გამეორება. ამის შემოწმება არ არის საჭირო, რადგან სავსებით აშკარაა, რომ თუ იგივე ქმედებებს გაიმეორებთ, შედეგი იგივე იქნება.

ახლა რომ კარგად გავიგეთ არსიპერიოდული წილადი, მოდით ვცადოთ ერთი მესამედის სამზე გამრავლება. დიახ, რა თქმა უნდა, თქვენ მიიღებთ ერთს, მაგრამ მოდით დავწეროთ ეს წილადი ათობითი ფორმით და გავამრავლოთ იგი სვეტში (გაურკვევლობა არ წარმოიქმნება აქ ელიფსისის გამო, რადგან ათობითი წერტილის შემდეგ ყველა რიცხვი ერთნაირია):

და ისევ შევნიშნავთ, რომ ცხრა, ცხრა და ცხრა ყოველთვის გამოჩნდება ათობითი წერტილის შემდეგ. ანუ საპირისპირო ფრჩხილის აღნიშვნის გამოყენებით მივიღებთ 0,(9). ვინაიდან ჩვენ ვიცით, რომ ერთი მესამედისა და სამის ნამრავლი არის ერთი, მაშინ 0.(9) ერთის დაწერის ასეთი ლამაზი ხერხია. თუმცა, ჩაწერის ამ ფორმის გამოყენება შეუსაბამოა, რადგან ერთეული შეიძლება იდეალურად დაიწეროს წერტილის გამოყენების გარეშე, როგორიცაა: 1.

როგორც ხედავთ, 0,(9) არის ერთ-ერთი შემთხვევა, როდესაც მთელი რიცხვი იწერება წილადის სახით, მაგალითად 3/3 ან 7.0. ანუ 0,(9) არის წილადი მხოლოდ სიტყვის მეორე მნიშვნელობით, მაგრამ არა პირველი.

ასე რომ, ყოველგვარი ლიმიტებისა და სერიების გარეშე, ჩვენ გავარკვიეთ, რა არის 0.(9) და როგორ გავუმკლავდეთ მას.

მაგრამ მაინც გვახსოვდეს, რომ სინამდვილეში ჩვენ ვართ ჭკვიანი და შესწავლილი ანალიზი. მართლაც, ძნელია ამის უარყოფა:

მაგრამ, ალბათ, არავინ დაობს იმ ფაქტს, რომ:

ეს ყველაფერი, რა თქმა უნდა, მართალია. მართლაც, 0,(9) არის როგორც შემცირებული რიგის ჯამი, ასევე მითითებული კუთხის ორმაგი სინუსი და ეილერის რიცხვის ბუნებრივი ლოგარითმი.

მაგრამ არც ერთი, არც მეორე და არც მესამე არ არის განმარტება.

იმის თქმა, რომ 0,(9) არის უსასრულო სერიის ჯამი 9/(10 n), სადაც n უდრის ერთს, იგივეა, რაც იმის თქმა, რომ სინუსი არის უსასრულო ტეილორის რიგის ჯამი:

ეს აბსოლუტურად სწორი, და ეს არის ყველაზე მნიშვნელოვანი ფაქტიგამოთვლითი მათემატიკისთვის, მაგრამ ეს არ არის განმარტება და, რაც მთავარია, ეს არ აახლოებს ადამიანს გაგებასთან არსებითადსინუსი გარკვეული კუთხის სინუსის არსი არის ის უბრალოდ ყველაფერიკუთხის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

ასე რომ, პერიოდული წილადი არის უბრალოდ ყველაფერიათობითი წილადი, რომელიც მიიღება როცა სვეტით გაყოფისასრიცხვების იგივე ნაკრები მეორდება. აქ ანალიზის კვალი არ არის.

და სწორედ აქ ჩნდება კითხვა: საიდან მოდის? საერთოდავიღეთ რიცხვი 0,(9)? რას ვყოფთ რაზე სვეტით რომ მივიღოთ? მართლაც, არ არსებობს ისეთი რიცხვები, რომ როდესაც სვეტად იყოფა, ჩვენ უსასრულოდ გამოჩენილი ცხრა გვექნებოდა. მაგრამ ჩვენ მოვახერხეთ ამ რიცხვის მიღება სვეტით 0,(3) 3-ზე გამრავლებით? Ნამდვილად არ. ყოველივე ამის შემდეგ, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მარჯვნიდან მარცხნივ, რათა სწორად გაითვალისწინოთ ციფრების გადარიცხვები და ჩვენ ეს გავაკეთეთ მარცხნიდან მარჯვნივ, ეშმაკურად ვისარგებლეთ იმით, რომ გადარიცხვები მაინც არ ხდება არსად. ამიტომ, 0,(9) ჩაწერის კანონიერება დამოკიდებულია იმაზე, ვაღიარებთ თუ არა სვეტით ასეთი გამრავლების კანონიერებას.

ამიტომ, ზოგადად შეგვიძლია ვთქვათ, რომ აღნიშვნა 0,(9) არასწორია - და გარკვეულწილად სწორიც. თუმცა, ვინაიდან a ,(b) აღნიშვნა მიღებულია, უბრალოდ მახინჯია მისი მიტოვება, როდესაც b = 9; უმჯობესია გადაწყვიტოთ რას ნიშნავს ასეთი ჩანაწერი. ასე რომ, თუ ჩვენ ზოგადად მივიღებთ აღნიშვნას 0,(9), მაშინ ეს აღნიშვნა, რა თქმა უნდა, ნიშნავს ნომერ პირველს.

რჩება მხოლოდ იმის დამატება, რომ თუ გამოვიყენებდით, ვთქვათ, სამეულ რიცხვთა სისტემას, მაშინ ერთი (1 3) სვეტზე სამზე (10 3) გაყოფისას მივიღებთ 0.1 3 (წაიკითხეთ "ნულოვანი წერტილი ერთი მესამედი"), და ერთი ორზე გაყოფისას იქნება 0,(1) 3.

ასე რომ, წილადი რიცხვის პერიოდულობა არ არის წილადი რიცხვის რაიმე ობიექტური მახასიათებელი, არამედ უბრალოდ გვერდითი ეფექტიამა თუ იმ რიცხვთა სისტემის გამოყენებით.

გაყოფის ოპერაცია მოიცავს რამდენიმე ძირითადი კომპონენტის მონაწილეობას. პირველი მათგანი არის ე.წ. დივიდენდი, ანუ რიცხვი, რომელიც ექვემდებარება გაყოფის პროცედურას. მეორე არის გამყოფი, ანუ რიცხვი, რომლითაც ხდება გაყოფა. მესამე არის კოეფიციენტი, ანუ დივიდენდის გამყოფზე გაყოფის მოქმედების შედეგი.

გაყოფის შედეგი

Ყველაზე მარტივი ვარიანტიშედეგი, რომელიც შეიძლება მივიღოთ, როდესაც ორი დადებითი რიცხვი გამოიყენება დივიდენდად და გამყოფად, არის კიდევ ერთი დადებითი რიცხვი. მაგალითად, 6-ის 2-ზე გაყოფისას კოეფიციენტი იქნება 3-ის ტოლი. ეს სიტუაცია შესაძლებელია, თუ დივიდენდი არის გამყოფი, ანუ მასზე იყოფა ნაშთის გარეშე.

თუმცა, არის სხვა ვარიანტებიც, როცა ნარჩენების გარეშე გაყოფის ოპერაციის განხორციელება შეუძლებელია. ამ შემთხვევაში არამთლიანი რიცხვი ხდება კოეფიციენტი, რომელიც შეიძლება ჩაიწეროს როგორც მთელი რიცხვის და წილადი ნაწილის კომბინაცია. მაგალითად, 5-ის 2-ზე გაყოფისას კოეფიციენტი არის 2,5.

რიცხვი პერიოდში

ერთ-ერთი ვარიანტი, რომელიც შეიძლება გამოვიდეს, თუ დივიდენდი არ არის გამყოფის ჯერადი, არის ე.წ. ის შეიძლება წარმოიშვას გაყოფის შედეგად, თუ კოეფიციენტი აღმოჩნდება რიცხვების უსასრულოდ განმეორებადი სიმრავლე. მაგალითად, რიცხვი პერიოდის განმავლობაში შეიძლება გამოჩნდეს რიცხვი 2-ზე 3-ზე გაყოფისას. ამ სიტუაციაში, შედეგი, როგორც ათობითი წილადი, გამოიხატება ათწილადის შემდეგ უსასრულო რაოდენობის 6 ციფრის კომბინაციით.

ასეთი დაყოფის შედეგის მითითების მიზნით გამოიგონეს განსაკუთრებული გზარიცხვების ჩაწერა წერტილში: ასეთი რიცხვი აღინიშნება ფრჩხილებში განმეორებადი ციფრის მოთავსებით. მაგალითად, 2-ის 3-ზე გაყოფის შედეგი დაიწერება ამ მეთოდის გამოყენებით, როგორც 0,(6). ეს აღნიშვნა ასევე გამოიყენება, თუ გაყოფის შედეგად მიღებული რიცხვის მხოლოდ ნაწილი მეორდება.

მაგალითად, 5-ის 6-ზე გაყოფისას, შედეგი იქნება 0.8(3) ფორმის პერიოდული რიცხვი. ამ მეთოდის გამოყენება, ჯერ ერთი, უფრო ეფექტურია, ვიდრე რიცხვის რიცხვის ყველა ან მისი ნაწილის ჩაწერის მცდელობა პერიოდში, და მეორეც, მას აქვს უფრო დიდი სიზუსტე ასეთი რიცხვების გადაცემის სხვა მეთოდთან - დამრგვალებასთან შედარებით და გარდა ამისა, ეს საშუალებას გაძლევთ განასხვავოთ რიცხვები პერიოდში ზუსტი ათობითი წილადისგან შესაბამისი მნიშვნელობით ამ რიცხვების სიდიდის შედარებისას. ასე, მაგალითად, აშკარაა, რომ 0.(6) მნიშვნელოვნად აღემატება 0.6-ს.

პერიოდული წილადი

უსასრულო ათობითი წილადი, რომელშიც, გარკვეული წერტილიდან დაწყებული, მხოლოდ პერიოდულად გამეორებაა გარკვეული ჯგუფინომრები მაგალითად, 1.3181818...; მოკლედ, ეს წილადი ასე იწერება: 1.3(18), ანუ წერტილს ათავსებენ ფრჩხილებში (და ამბობენ: „პუნქტში 18“). P. ეწოდება სუფთა, თუ პერიოდი იწყება მაშინვე ათობითი წერტილის შემდეგ, მაგალითად 2(71) = 2.7171..., და შერეულია, თუ ათობითი წერტილის შემდეგ არის რიცხვები, რომლებიც წინ უსწრებს პერიოდს, მაგალითად 1.3(18). ათობითი წილადების როლი არითმეტიკაში განპირობებულია იმით, რომ როდესაც რაციონალური რიცხვები, ანუ ჩვეულებრივი (მარტივი) წილადები წარმოდგენილია ათობითი წილადებით, ყოველთვის მიიღება სასრული ან პერიოდული წილადები. უფრო ზუსტად: საბოლოო ათობითი წილადი მიიღება მაშინ, როდესაც შეუქცევადი მარტივი წილადის მნიშვნელი არ შეიცავს სხვა მარტივ ფაქტორებს, გარდა 2-ისა და 5-ისა; ყველა სხვა შემთხვევაში, შედეგი არის P. წილადი და, უფრო მეტიც, ის სუფთაა, თუ მოცემული შეუქცევადი წილადის მნიშვნელი საერთოდ არ შეიცავს 2 და 5 ფაქტორებს და შერეულია, თუ ამ ფაქტორებიდან ერთს მაინც შეიცავს. მნიშვნელში. ნებისმიერი P.D. შეიძლება გარდაიქმნას მარტივი წილადი(ანუ რაღაც რაციონალური რიცხვის ტოლია). სუფთა წილადი უდრის მარტივ წილადს, რომლის მრიცხველი არის წერტილი, ხოლო მნიშვნელი წარმოდგენილია რიცხვით 9, დაწერილი იმდენჯერ, რამდენჯერაც არის რიცხვი პერიოდში; შერეული წილადის მარტივ წილადად გადაქცევისას მრიცხველი არის სხვაობა მეორე პერიოდის წინა რიცხვებით წარმოდგენილ რიცხვსა და პირველი პერიოდის წინა რიცხვებით წარმოდგენილ რიცხვს შორის; მნიშვნელის შესადგენად, თქვენ უნდა დაწეროთ რიცხვი 9 იმდენჯერ, რამდენჯერაც არის რიცხვები წერტილში, და დაამატეთ იმდენი ნული მარჯვნივ, რამდენი რიცხვია წერტილის წინ. ეს წესები ვარაუდობს, რომ მოცემული P. სწორია, ანუ ის არ შეიცავს მთელ ერთეულებს; წინააღმდეგ შემთხვევაში მთელ ნაწილს განსაკუთრებული ყურადღება ექცევა.

ასევე ცნობილია მოცემული ჩვეულებრივი წილადის შესაბამისი წილადის პერიოდის სიგრძის განსაზღვრის წესები. მაგალითად, წილადისთვის ა/პ, სად R -მარტივი რიცხვი და 1 ≤ ა ≤ p- 1, პერიოდის სიგრძე არის გამყოფი R - 1. ასე რომ, რიცხვის ცნობილი მიახლოებისთვის (იხ. Pi) 22/7 და 355/113 პერიოდები უდრის შესაბამისად 6-ს და 112-ს.

Დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია. - მ.: საბჭოთა ენციკლოპედია. 1969-1978 .

სინონიმები:

ნახეთ, რა არის „პერიოდული წილადი“ სხვა ლექსიკონებში:

უსასრულო ათობითი წილადი, რომელშიც, გარკვეული ადგილიდან დაწყებული, პერიოდულად მეორდება ციფრების გარკვეული ჯგუფი (პერიოდი), მაგალითად. 0,373737... სუფთა პერიოდული ფრაქცია ან 0,253737... შერეული პერიოდული ფრაქცია... Დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი

ფრაქცია, უსასრულო წილადირუსული სინონიმების ლექსიკონი. პერიოდული წილადის არსებითი სახელი, სინონიმების რაოდენობა: 2 უსასრულო წილადი (2) ... სინონიმური ლექსიკონი

ათობითი წილადი, რომელშიც ციფრების სერია მეორდება იმავე თანმიმდევრობით. მაგალითად, 0.135135135... არის p.d., რომლის პერიოდი არის 135 და რომელიც უდრის მარტივ წილადს 135/999 = 5/37. რუსულ ენაში შეტანილი უცხო სიტყვების ლექსიკონი. პავლენკოვი ფ... რუსული ენის უცხო სიტყვების ლექსიკონი

ათწილადი არის წილადი 10n მნიშვნელით, სადაც n ბუნებრივი რიცხვი. მას აქვს აღნიშვნის სპეციალური ფორმა: ათწილადი რიცხვების სისტემაში მთელი რიცხვი, შემდეგ მძიმით და შემდეგ წილადი ნაწილი ათობითი რიცხვების სისტემაში და წილადი ნაწილის ციფრების რაოდენობა... ვიკიპედია

უსასრულო ათობითი წილადი, რომელშიც, გარკვეული წერტილიდან დაწყებული, პერიოდულად მეორდება ციფრების გარკვეული ჯგუფი (პერიოდი); მაგალითად, 0,373737... სუფთა პერიოდული წილადი ან 0,253737... შერეული პერიოდული ფრაქცია. * * * პერიოდული…… ენციკლოპედიური ლექსიკონი

გაუთავებელი ათობითი წილადი, რომელშიც გარკვეული ადგილიდან დაწყებული, განსაზღვრება პერიოდულად მეორდება. რიცხვთა ჯგუფი (პერიოტი); მაგალითად, 0.373737... სუფთა P. d. ან 0.253737... შერეული P. d. ... ბუნებისმეტყველება. ენციკლოპედიური ლექსიკონი

იხილეთ ნაწილი... რუსული სინონიმებისა და მსგავსი გამოთქმების ლექსიკონი. ქვეშ. რედ. ნ. აბრამოვა, მ.: რუსული ლექსიკონები, 1999 წ. წილადის წვრილმანი, ნაწილი; მტვერი, ბურთი, კვება, ბაკშოტი; წილადი რიცხვირუსული სინონიმების ლექსიკონი... სინონიმური ლექსიკონი

პერიოდული ათობითი- - [L.G. Sumenko. ინგლისურ-რუსული ლექსიკონი საინფორმაციო ტექნოლოგიების შესახებ. M.: სახელმწიფო საწარმო TsNIIS, 2003.] თემები საინფორმაციო ტექნოლოგიაზოგადად EN მიმოქცევაში ათწილადი განმეორებადი ათობითიპერიოდული ათობითიპერიოდული ათობითიპერიოდული ათობითი ... ტექნიკური მთარგმნელის გზამკვლევი

თუ რომელიმე მთელი რიცხვი a იყოფა სხვა მთელ რიცხვზე b, ე.ი. მოიძებნება x რიცხვი, რომელიც აკმაყოფილებს bx = a პირობას, მაშინ შეიძლება წარმოიშვას ორი შემთხვევა: ან მთელი რიცხვების სერიაში არის რიცხვი x რომელიც აკმაყოფილებს ამ პირობას, ან ის. აღმოჩნდა ,… … ენციკლოპედიური ლექსიკონი F.A. ბროკჰაუსი და ი.ა. ეფრონი

წილადი, რომლის მნიშვნელი არის 10-ის მთელი რიცხვი. წილადები იწერება მნიშვნელის გარეშე, მრიცხველში იმდენივე ციფრს გამოყოფენ მძიმით, რამდენიც ნულებია მნიშვნელში. მაგალითად, ასეთ ჩანაწერში მარცხენა ნაწილი... ... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია