პერიოდული წილადები ჩვეულებრივ წილადებამდე. ათწილადები, განმარტებები, აღნიშვნა, მაგალითები, მოქმედებები ათწილადებით

ეს სტატია ეხება ათწილადები. აქ გავიგებთ წილადი რიცხვების ათობითი აღნიშვნას, გავაცნობთ ათობითი წილადის ცნებას და მოვიყვანთ ათობითი წილადების მაგალითებს. შემდეგ ვისაუბრებთ ათობითი წილადების ციფრებზე და დავასახელებთ ციფრების სახელებს. ამის შემდეგ ყურადღებას გავამახვილებთ უსასრულო ათობითი წილადებზე, ვისაუბროთ პერიოდულ და არაპერიოდულ წილადებზე. ქვემოთ ჩამოვთვლით ძირითად მოქმედებებს ათწილადები. დასასრულს, მოდით დავადგინოთ ათობითი წილადების პოზიცია კოორდინატულ სხივზე.

გვერდის ნავიგაცია.

წილადი რიცხვის ათწილადი აღნიშვნა

ათწილადების კითხვა

მოდით ვთქვათ რამდენიმე სიტყვა ათწილადის წილადების წაკითხვის წესებზე.

ათწილადი წილადები, რომლებიც შეესაბამება სწორ ჩვეულებრივ წილადებს, იკითხება ისევე, როგორც ეს ჩვეულებრივი წილადები, ჯერ ემატება მხოლოდ "ნულოვანი მთელი რიცხვი". მაგალითად, ათობითი წილადი 0.12 შეესაბამება საერთო წილადი 12/100 (წაიკითხეთ "თორმეტი მეასედი"), ასე რომ 0.12 იკითხება "ნულოვანი წერტილი თორმეტი მეასედი".

ათწილადი წილადები, რომლებიც შეესაბამება შერეულ რიცხვებს, იკითხება ზუსტად ისე, როგორც ეს შერეული რიცხვები. მაგალითად, ათობითი წილადი 56.002 შეესაბამება შერეულ რიცხვს, ამიტომ ათწილადი 56.002 იკითხება როგორც „ორმოცდათექვსმეტი წერტილი ორი მეათასედი“.

ადგილები ათწილადებში

ათობითი წილადების ჩაწერისას, ისევე როგორც ნატურალური რიცხვების ჩაწერისას, თითოეული ციფრის მნიშვნელობა დამოკიდებულია მის პოზიციაზე. მართლაც, რიცხვი 3 ათობითი წილადში 0.3 ნიშნავს სამ მეათედს, ათწილადში 0.0003 - სამ ათი მეათასედს, ხოლო ათობითი წილადში 30000.152 - სამ ათეულ ათასს. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია ვისაუბროთ ათობითი ადგილები, ასევე ნატურალური რიცხვების ციფრების შესახებ.

ათწილადის წილადის ციფრების სახელები ათწილადამდე სრულად ემთხვევა ნატურალურ რიცხვებში მოცემული ციფრების სახელებს. ხოლო ათობითი ადგილების სახელები ათწილადის შემდეგ ჩანს შემდეგი ცხრილიდან.

მაგალითად, ათობითი წილადში 37.051, ციფრი 3 არის ათეულების ადგილზე, 7 არის ერთეულების ადგილზე, 0 არის მეათედებში, 5 არის მეასედებში და 1 არის მეათასედებში.

ათობითი წილადებში ადგილები ასევე განსხვავდება უპირატესობით. თუ ათობითი წილადის ჩაწერისას გადავალთ ციფრიდან ციფრზე მარცხნიდან მარჯვნივ, მაშინ გადავალთ უფროსებირომ უმცროსი წოდებები. მაგალითად, ასეულების ადგილი უფრო ძველია, ვიდრე მეათე ადგილი, ხოლო მილიონი ადგილი უფრო დაბალია, ვიდრე მეათე ადგილი. მოცემულ საბოლოო ათობითი წილადში შეგვიძლია ვისაუბროთ მთავარ და მცირე ციფრებზე. მაგალითად, ათობითი წილადში 604.9387 უფროსი (უმაღლესი)ადგილი არის ასობით ადგილი და უმცროსი (ყველაზე დაბალი)- ათიათასიანი ციფრი.

ათობითი წილადებისთვის, ხდება ციფრებად გაფართოება. ეს ნატურალური რიცხვების ციფრებად გაფართოების მსგავსია. მაგალითად, 45,6072 ათწილადების გაფართოება შემდეგია: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. ხოლო ათობითი წილადის ციფრებად დაშლის შედეგად შეკრების თვისებები საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ ამ ათობითი წილადის სხვა წარმოდგენებზე, მაგალითად, 45.6072=45+0.6072, ან 45.6072=40.6+5.007+0.0002, ან 45.65.0072= . 0.6.

ბოლო ათწილადები

ამ დრომდე ჩვენ მხოლოდ ათწილად წილადებზე ვისაუბრეთ, რომელთა აღნიშვნაში არის სასრული რიცხვი ათწილადის შემდეგ. ასეთ წილადებს სასრულ ათწილადებს უწოდებენ.

განმარტება.

ბოლო ათწილადები- ეს არის ათობითი წილადები, რომელთა ჩანაწერები შეიცავს სიმბოლოების (ციფრების) სასრულ რაოდენობას.

აქ მოცემულია საბოლოო ათობითი წილადების რამდენიმე მაგალითი: 0.317, 3.5, 51.1020304958, 230,032.45.

თუმცა, ყველა წილადი არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი საბოლოო ათწილადად. მაგალითად, წილადი 5/13 არ შეიძლება შეიცვალოს ტოლი წილადით ერთ-ერთი მნიშვნელით 10, 100, ..., შესაბამისად, ვერ გადაიქცევა საბოლოო ათობითი წილადად. ამის შესახებ დაწვრილებით ვისაუბრებთ თეორიის განყოფილებაში, ჩვეულებრივი წილადების ათწილადებად გადაქცევით.

უსასრულო წილადები: პერიოდული წილადები და არაპერიოდული წილადები

ათობითი წერტილის შემდეგ ათობითი წილადის დაწერისას შეიძლება ვივარაუდოთ უსასრულო რაოდენობის ციფრების შესაძლებლობა. ამ შემთხვევაში ჩვენ განვიხილავთ ეგრეთ წოდებულ უსასრულო ათობითი წილადებს.

განმარტება.

უსასრულო ათწილადები- ეს არის ათობითი წილადები, რომლებიც შეიცავს უსასრულო რიცხვს.

გასაგებია, რომ ჩვენ არ შეგვიძლია ჩავწეროთ უსასრულო ათობითი წილადები სრული სახით, ამიტომ მათი ჩაწერისას ჩვენ შემოვიფარგლებით მხოლოდ გარკვეული სასრული რაოდენობის ციფრებით ათობითი წერტილის შემდეგ და ვაყენებთ ელიფსისს, რომელიც მიუთითებს ციფრების უსასრულოდ უწყვეტ მიმდევრობას. აქ მოცემულია უსასრულო ათობითი წილადების რამდენიმე მაგალითი: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….

თუ კარგად დააკვირდებით ბოლო ორ უსასრულო ათობითი წილადს, მაშინ წილადში 2.111111111... უსასრულოდ განმეორებადი რიცხვი 1 აშკარად ჩანს, ხოლო წილადში 69.74152152152... მესამე ათწილადიდან დაწყებული რიცხვების განმეორებითი ჯგუფი. 1, 5 და 2 აშკარად ჩანს. ასეთ უსასრულო ათობითი წილადებს პერიოდული ეწოდება.

განმარტება.

პერიოდული ათწილადები(ან უბრალოდ პერიოდული წილადები ) არის უსასრულო ათობითი წილადები, რომელთა ჩანაწერში, გარკვეული ათწილადიდან დაწყებული, უსასრულოდ მეორდება რაღაც რიცხვი ან რიცხვების ჯგუფი, რომელიც ე.წ. წილადის პერიოდი.

მაგალითად, პერიოდული წილადის პერიოდი 2.111111111... არის ციფრი 1, ხოლო წილადის პერიოდი 69.74152152152... არის 152 ფორმის ციფრთა ჯგუფი.

უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადებისთვის მიღებულია აღნიშვნის სპეციალური ფორმა. მოკლედ, შევთანხმდით, რომ ჩავწეროთ პერიოდი ერთხელ, ჩავსვათ იგი ფრჩხილებში. მაგალითად, პერიოდული წილადი 2.111111111... იწერება როგორც 2,(1) , ხოლო პერიოდული წილადი 69.74152152152... იწერება როგორც 69.74(152) .

აღსანიშნავია, რომ ერთი და იგივე პერიოდული ათობითი წილადისთვის შეიძლება განისაზღვროს სხვადასხვა პერიოდი. მაგალითად, პერიოდული ათობითი წილადი 0,73333... შეიძლება ჩაითვალოს წილადად 0,7(3) 3-იანი პერიოდით, ასევე წილადად 0,7(33) 33-იანი პერიოდით და ასე შემდეგ 0,7(333), 0,7 (3333), ... ასევე შეგიძლიათ შეხედოთ პერიოდულ წილადს 0,73333 ... ასე: 0,733(3), ან ასე 0,73(333) და ა.შ. აქ, გაურკვევლობისა და შეუსაბამობების თავიდან აცილების მიზნით, ჩვენ ვეთანხმებით, რომ ათწილადი წილადის პერიოდად მივიჩნიოთ უმოკლესი ყველა შესაძლო მიმდევრობით რიცხვების განმეორებით და დაწყებული უახლოესი პოზიციიდან ათწილადამდე. ანუ ათწილადის 0,73333... პერიოდი ჩაითვლება ერთი ციფრი 3-ის მიმდევრობით, ხოლო პერიოდულობა იწყება ათწილადის შემდეგ მეორე პოზიციიდან, ანუ 0,73333...=0,7(3). კიდევ ერთი მაგალითი: პერიოდულ წილადს 4.7412121212... აქვს პერიოდი 12, პერიოდულობა იწყება ათობითი წერტილის შემდეგ მესამე ციფრიდან, ანუ 4.7412121212...=4.74(12).

უსასრულო ათწილადი პერიოდული წილადები მიიღება ათწილად წილადებად გადაქცევით ჩვეულებრივი წილადები, რომელთა მნიშვნელები შეიცავს მარტივ ფაქტორებს, გარდა 2-ისა და 5-ისა.

აქ უნდა აღინიშნოს პერიოდული წილადები 9-იანი პერიოდით. მოვიყვანოთ ასეთი წილადების მაგალითები: 6.43(9) , 27,(9) . ეს წილადები არის კიდევ ერთი აღნიშვნა პერიოდული წილადებისთვის 0 პერიოდით და ისინი ჩვეულებრივ იცვლება პერიოდული წილადებით 0 პერიოდით. ამისათვის პერიოდი 9 იცვლება 0 პერიოდით, ხოლო შემდეგი უმაღლესი ციფრის მნიშვნელობა იზრდება ერთით. მაგალითად, წილადი 7.24(9) ფორმის 9 პერიოდით იცვლება პერიოდული წილადით 7.25(0) ფორმის 0 წერტილით ან ტოლი საბოლოო ათობითი წილადი 7.25. კიდევ ერთი მაგალითი: 4,(9)=5,(0)=5. მე-9 პერიოდის მქონე წილადის და 0 პერიოდის შესაბამისი წილადის ტოლობა ადვილად დგინდება ამ ათობითი წილადების ტოლი ჩვეულებრივი წილადებით ჩანაცვლების შემდეგ.

და ბოლოს, მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ უსასრულო ათობითი წილადებს, რომლებიც არ შეიცავს უსასრულოდ განმეორებადი ციფრების თანმიმდევრობას. მათ უწოდებენ არა პერიოდულს.

განმარტება.

არაგანმეორებადი ათწილადები(ან უბრალოდ არაპერიოდული წილადები) არის უსასრულო ათობითი წილადები, რომლებსაც არ აქვთ წერტილი.

ზოგჯერ არაპერიოდულ წილადებს აქვთ პერიოდული წილადების მსგავსი ფორმა, მაგალითად, 8.02002000200002... არის არაპერიოდული წილადი. ამ შემთხვევაში განსაკუთრებული სიფრთხილით უნდა შეამჩნიოთ განსხვავება.

გაითვალისწინეთ, რომ არაპერიოდული წილადები არ გარდაიქმნება ჩვეულებრივ წილადებად; უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადები წარმოადგენს ირაციონალურ რიცხვებს.

ოპერაციები ათწილადებით

ათობითი წილადების ერთ-ერთი ოპერაცია არის შედარება და ასევე განისაზღვრება ოთხი ძირითადი არითმეტიკული ფუნქცია. ოპერაციები ათწილადებით: შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა. განვიხილოთ ცალ-ცალკე თითოეული მოქმედება ათობითი წილადებით.

ათწილადების შედარებაარსებითად ეფუძნება შედარებული ათობითი წილადების შესაბამისი ჩვეულებრივი წილადების შედარებას. თუმცა, ათობითი წილადების ჩვეულებრივ წილადებად გადაქცევა საკმაოდ შრომატევადი პროცესია და უსასრულო არაპერიოდული წილადები არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც ჩვეულებრივი წილადი, ამიტომ მოსახერხებელია ათწილადების ადგილობრივი შედარება. ათობითი წილადების ადგილის მიხედვით შედარება ნატურალური რიცხვების შედარების მსგავსია. მეტის მისაღებად დეტალური ინფორმაციაჩვენ გირჩევთ სტატიაში მასალის შესწავლას: ათობითი წილადების შედარება, წესები, მაგალითები, ამონახსნები.

მოდით გადავიდეთ შემდეგი მოქმედება - ათწილადების გამრავლება. სასრული ათობითი წილადების გამრავლება ხორციელდება ათწილადების გამოკლების მსგავსად, წესები, მაგალითები, ნატურალური რიცხვების სვეტით გამრავლების ამონახსნები. პერიოდული წილადების შემთხვევაში გამრავლება შეიძლება შემცირდეს ჩვეულებრივი წილადების გამრავლებამდე. თავის მხრივ, უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადების გამრავლება მათი დამრგვალების შემდეგ მცირდება სასრულ ათობითი წილადების გამრავლებამდე. სტატიაში მასალის შემდგომი შესწავლისთვის გირჩევთ: ათობითი წილადების გამრავლება, წესები, მაგალითები, ამონახსნები.

ათწილადები კოორდინატულ სხივზე

წერტილებსა და ათწილადებს შორის არის ერთი-ერთზე შესაბამისობა.

მოდით გავარკვიოთ, როგორ არის აგებული წერტილები კოორდინატულ სხივზე, რომლებიც შეესაბამება მოცემულ ათობითი წილადს.

ჩვენ შეგვიძლია შევცვალოთ სასრული ათობითი წილადები და უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადები თანაბარი ჩვეულებრივი წილადებით და შემდეგ ავაშენოთ შესაბამისი ჩვეულებრივი წილადები კოორდინატულ სხივზე. მაგალითად, ათობითი წილადი 1.4 შეესაბამება საერთო წილადს 14/10, ამიტომ წერტილი 1.4 კოორდინატით ამოღებულია საწყისიდან დადებითი მიმართულებით 14 სეგმენტით, რომელიც ტოლია ერთეულის სეგმენტის მეათედს.

ათწილადი წილადები შეიძლება აღინიშნოს კოორდინატულ სხივზე, დაწყებული მოცემული ათობითი წილადის ციფრებად დაშლით. მაგალითად, უნდა ავაშენოთ წერტილი 16.3007 კოორდინატით, ვინაიდან 16.3007=16+0.3+0.0007, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია მივიდეთ ამ პუნქტამდე კოორდინატების საწყისიდან 16 ერთეული სეგმენტის თანმიმდევრულად დაყენებით, 3 სეგმენტის, რომელთა სიგრძე უდრის მეათედს. ერთეულის და 7 სეგმენტი, რომელთა სიგრძე უდრის ერთეულის სეგმენტის ათიათასედს.

მშენებლობის ეს გზა ათობითი რიცხვებიკოორდინატთა სხივზე საშუალებას გაძლევთ მიუახლოვდეთ უსასრულო ათობითი წილადის შესაბამის წერტილს, როგორც გსურთ.

ზოგჯერ შესაძლებელია ზუსტად გამოსახოთ წერტილი, რომელიც შეესაბამება უსასრულო ათობითი წილადს. Მაგალითად, , მაშინ ეს უსასრულო ათობითი წილადი 1.41421... შეესაბამება კოორდინატთა სხივის წერტილს, რომელიც დაშორებულია კოორდინატების საწყისიდან კვადრატის დიაგონალის სიგრძით, გვერდითი 1 ერთეული სეგმენტით.

კოორდინატულ სხივზე მოცემული წერტილის შესაბამისი ათობითი წილადის მიღების საპირისპირო პროცესია ე.წ. სეგმენტის ათობითი გაზომვა. მოდით გავარკვიოთ, როგორ კეთდება.

დაე, ჩვენი ამოცანა იყოს საწყისიდან კოორდინატთა წრფის მოცემულ წერტილამდე მისვლა (ან უსასრულოდ მიახლოება, თუ მას ვერ მივაღწევთ). სეგმენტის ათობითი გაზომვით, ჩვენ შეგვიძლია თანმიმდევრულად გამოვყოთ საწყისიდან ნებისმიერი რაოდენობის ერთეული სეგმენტები, შემდეგ სეგმენტები, რომელთა სიგრძე უდრის მეათედი ერთეულის, შემდეგ სეგმენტები, რომელთა სიგრძე უდრის ერთეულის მეასედს და ა.შ. თითოეული სიგრძის სეგმენტების რაოდენობის ჩაწერით, ჩვენ ვიღებთ ათწილადს, რომელიც შეესაბამება კოორდინატთა სხივის მოცემულ წერტილს.

მაგალითად, ზემოთ მოცემულ ფიგურაში M წერტილამდე მისასვლელად, თქვენ უნდა გამოყოთ 1 ერთეული სეგმენტი და 4 სეგმენტი, რომელთა სიგრძე უდრის ერთეულის მეათედს. ამრიგად, M წერტილი შეესაბამება ათობითი წილადს 1.4.

ნათელია, რომ კოორდინატთა სხივის წერტილები, რომელთა მიღწევა შეუძლებელია ათობითი გაზომვის პროცესში, შეესაბამება უსასრულო ათობითი წილადებს.

ბიბლიოგრაფია.

• მათემატიკა: სახელმძღვანელო მე-5 კლასისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / ნ. ია. ვილენკინი, ვ. ი. ჟოხოვი, ა. ს. ჩესნოკოვი, ს.ი. შვარცბურდი. - 21-ე გამოცემა, წაშლილია. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 გვ.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• მათემატიკა.მე-6 კლასი: საგანმანათლებლო. ზოგადი განათლებისთვის დაწესებულებები / [ნ. ია ვილენკინი და სხვები]. - 22-ე გამოცემა, რევ. - მ.: მნემოსინე, 2008. - 288 გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Ალგებრა:სახელმძღვანელო მე-8 კლასისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედაქტორი S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ.: განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G.მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკურ სასწავლებლებში შესვლისთვის): პროკ. შემწეობა.- მ. უმაღლესი სკოლა, 1984.-351გვ., ილ.

§ 114. ჩვეულებრივი წილადის ათწილადად გადაქცევა.

საერთო წილადის ათწილადად გადაქცევა ნიშნავს ათწილადის პოვნას, რომელიც ტოლი იქნება მოცემული საერთო წილადისა. ჩვეულებრივი წილადების ათწილადებად გადაქცევისას ორ შემთხვევას შევხვდებით:

1) როდესაც ჩვეულებრივი წილადები შეიძლება გადაკეთდეს ათწილადებად ზუსტად;

2) როდესაც ჩვეულებრივი წილადები შეიძლება გადაკეთდეს მხოლოდ ათწილადებად დაახლოებით. განვიხილოთ ეს შემთხვევები თანმიმდევრულად.

1. როგორ გადავიყვანოთ ჩვეულებრივი შეუქცევადი წილადი ათწილადად, ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, როგორ შევცვალოთ ჩვეულებრივი წილადი მისი ტოლი ათწილადით?

იმ შემთხვევაში, როდესაც ჩვეულებრივი წილადები შეიძლება იყოს ზუსტადათწილადად გადაყვანილი, არსებობს ორი გზაასეთი მკურნალობა.

გავიხსენოთ, როგორ შევცვალოთ ერთი წილადი მეორეთი, რომელიც პირველის ტოლია, ან როგორ გადავიდეთ ერთი წილადიდან მეორეზე პირველის მნიშვნელობის შეცვლის გარეშე. ჩვენ ეს გავაკეთეთ, როდესაც წილადები შევამცირეთ საერთო მნიშვნელამდე (§86). როდესაც წილადებს ვამცირებთ საერთო მნიშვნელზე, ვაგრძელებთ შემდეგნაირად: ვპოულობთ ამ წილადების საერთო მნიშვნელს, ვიანგარიშებთ დამატებით კოეფიციენტს თითოეული წილადისთვის და შემდეგ ვამრავლებთ თითოეული წილადის მრიცხველს და მნიშვნელს ამ კოეფიციენტზე.

ეს რომ შევნიშნეთ, ავიღოთ შეუქცევადი წილადი 3/20 და ვცადოთ მისი გადაყვანა ათწილადად. ამ წილადის მნიშვნელი არის 20, მაგრამ თქვენ უნდა მიიყვანოთ იგი სხვა მნიშვნელზე, რომელიც წარმოდგენილი იქნება ერთით ნულებით. ჩვენ ვეძებთ ერთის უმცირეს მნიშვნელს, რასაც მოჰყვება ნულები.

პირველი გზაწილადის ათწილადად გადაქცევა ეფუძნება მნიშვნელის მარტივ ფაქტორებად დაშლას.

თქვენ უნდა გაარკვიოთ რა რიცხვი უნდა გაამრავლოთ 20-ზე ისე, რომ ნამრავლი გამოისახოს როგორც ერთი, რასაც მოჰყვება ნულები. ამის გასარკვევად, ჯერ უნდა გახსოვდეთ, თუ რა მარტივ ფაქტორებად იშლება ერთი და ნულით წარმოდგენილი რიცხვები. ეს არის დაშლა:

10 = 2 5,
100 = 2 2 5 . 5,
1 000 = 2 2 2 5 5 5,
10 000 = 2 2 2 2 5 5 5 5.

ჩვენ ვხედავთ, რომ რიცხვი, რომელიც წარმოდგენილია ერთით ნულებთან ერთად, იშლება მხოლოდ ორებად და ხუთებად და არ არსებობს სხვა ფაქტორები გაფართოებაში. გარდა ამისა, ორი და ხუთეული შედის გაფართოებაში იმავე რიცხვში. და ბოლოს, ამ და სხვა ფაქტორების რაოდენობა ცალ-ცალკე უდრის მოცემული რიცხვის გამოსახულებაში მოცემული ერთის შემდეგ ნულების რაოდენობას.

ახლა ვნახოთ, როგორ იშლება 20 მარტივ ფაქტორებად: 20 = 2 2 5. აქედან ირკვევა, რომ 20 რიცხვის დაშლისას არის ორი ორიანი და ერთი ხუთეული. ეს ნიშნავს, რომ თუ ამ ფაქტორებს ერთ ხუთს დავუმატებთ, მივიღებთ რიცხვს, რომელიც წარმოდგენილია ერთით ნულებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, იმისთვის, რომ მნიშვნელს ჰქონდეს რიცხვი, რომელიც 20-ის ნაცვლად ნულებით არის წარმოდგენილი, უნდა გაამრავლოთ 20 5-ზე და რომ წილადის მნიშვნელობა არ შეიცვალოს, მისი მრიცხველი უნდა გაამრავლოთ 5-ზე. , ე.ი.

ამრიგად, ჩვეულებრივი წილადის ათწილადად გადაქცევის მიზნით, თქვენ უნდა დაშალოთ ამ ჩვეულებრივი წილადის მნიშვნელი მარტივ ფაქტორებად და შემდეგ გაათანაბროთ მასში ორი და ხუთი რიცხვი, შეიყვანოთ მასში (და, რა თქმა უნდა, მრიცხველში). ) გამოტოვებული ფაქტორები საჭირო რაოდენობაში.

გამოვიყენოთ ეს დასკვნა ზოგიერთ წილადზე.

გადაიყვანეთ 3/50 ათწილადში. ამ წილადის მნიშვნელი გაფართოებულია შემდეგნაირად:

ეს ნიშნავს, რომ მას აკლია ერთი დეუსი. დავამატოთ:

გადაიყვანეთ 7/40 ათწილადში.

ამ წილადის მნიშვნელი იშლება შემდეგნაირად: 40 = 2 2 2 5, ანუ აკლია ორი ხუთეული. მოდით შევიყვანოთ ისინი მრიცხველში და მნიშვნელში, როგორც ფაქტორები:

ნათქვამიდან გამომდინარე, ძნელი არ არის დავასკვნათ, რომელი ჩვეულებრივი წილადები გარდაიქმნება ზუსტად ათწილადებად. აშკარაა, რომ შეუქცევადი ჩვეულებრივი წილადი, რომლის მნიშვნელი არ შეიცავს სხვა მარტივ ფაქტორებს, გარდა 2-ისა და 5-ისა, გარდაიქმნება ზუსტად ათწილადად. ათობითი წილადს, რომელიც მიიღება ზოგიერთი ჩვეულებრივი წილადის შებრუნებით, ექნება იმდენი ათწილადი, რამდენჯერაც ჩვეულებრივი წილადის მნიშვნელი მისი შემცირების შემდეგ მოიცავს რიცხობრივად გაბატონებულ ფაქტორს 2 ან 5.

თუ წილადს 9/40 ავიღებთ, მაშინ, პირველ რიგში, ის გადაიქცევა ათწილადად, რადგან მისი მნიშვნელი მოიცავს 2 2 2 5 ფაქტორებს და მეორეც, მიღებულ ათწილად წილადს ექნება 3 ათობითი ადგილი, რადგან რიცხობრივად დომინანტური ფაქტორი 2. სამჯერ შედის გაფართოებაში. Ნამდვილად:

მეორე გზა(მრიცხველის მნიშვნელზე გაყოფით).

დავუშვათ, რომ გსურთ გადაიყვანოთ 3/4 ათწილადად. ჩვენ ვიცით, რომ 3/4 არის 3-ის 4-ზე გაყოფის კოეფიციენტი. ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ეს კოეფიციენტი 3-ის 4-ზე გაყოფით. მოდით გავაკეთოთ ეს:

ამრიგად, 3/4 = 0.75.

კიდევ ერთი მაგალითი: გადაიყვანეთ 5/8 ათობითი წილადად.

ასე რომ, 5/8 = 0.625.

ასე რომ, წილადის ათწილადად გადაქცევისთვის, თქვენ უბრალოდ უნდა გაყოთ წილადის მრიცხველი მის მნიშვნელზე.

2. ახლა განვიხილოთ აბზაცის დასაწყისში მითითებული შემთხვევებიდან მეორე, ანუ შემთხვევა, როდესაც ჩვეულებრივი წილადი ზუსტ ათწილადად ვერ გადაიქცევა.

ჩვეულებრივი შეუქცევადი წილადი, რომლის მნიშვნელი შეიცავს სხვა მარტივ ფაქტორებს, გარდა 2-ისა და 5-ისა, ზუსტად ვერ გადაიქცევა ათწილადში. სინამდვილეში, მაგალითად, წილადი 8/15 ვერ გადაიქცევა ათწილადად, რადგან მისი მნიშვნელი 15 იშლება ორ ფაქტორად: 3 და 5.

ჩვენ არ შეგვიძლია გამოვრიცხოთ სამმაგი მნიშვნელიდან და ვერ ავირჩიოთ ისეთი რიცხვი, რომ მოცემული მნიშვნელის მასზე გამრავლების შემდეგ, ნამრავლი გამოვხატოთ როგორც ერთი, რასაც მოჰყვება ნულები.

ასეთ შემთხვევებში მხოლოდ საუბარი შეგვიძლია დაახლოებაჩვეულებრივი წილადები ათწილადამდე.

როგორ კეთდება? ეს ხდება საერთო წილადის მრიცხველის მნიშვნელზე გაყოფით, ანუ ამ შემთხვევაში გამოიყენება საერთო წილადის ათწილადად გადაქცევის მეორე მეთოდი. ეს ნიშნავს, რომ ეს მეთოდი გამოიყენება როგორც ზუსტი, ასევე სავარაუდო დამუშავებისთვის.

თუ წილადი გარდაიქმნება ზუსტად ათწილადად, მაშინ გაყოფა წარმოქმნის საბოლოო ათობითი წილადს.

თუ ჩვეულებრივი წილადი არ გარდაიქმნება ზუსტ ათწილადად, მაშინ გაყოფა წარმოქმნის უსასრულო ათობითი წილადს.

ვინაიდან ჩვენ არ შეგვიძლია განვახორციელოთ გაუთავებელი გაყოფის პროცესი, ჩვენ უნდა შევაჩეროთ გაყოფა რომელიმე ათობითი ადგილზე, ანუ გავაკეთოთ სავარაუდო გაყოფა. შეგვიძლია, მაგალითად, შევწყვიტოთ გაყოფა პირველ ათწილადზე, ანუ შემოვიფარგლოთ მეათედებით; საჭიროების შემთხვევაში შეგვიძლია შევჩერდეთ მეორე ათწილადზე, მივიღოთ მეასედი და ა.შ. ამ შემთხვევაში ვამბობთ, რომ ვამრგვალებთ უსასრულო ათწილადის წილადს. დამრგვალება ხდება ამ პრობლემის გადასაჭრელად საჭირო სიზუსტით.

§ 115. პერიოდული წილადის ცნება.

მუდმივი ათობითი წილადი, რომელშიც ერთი ან მეტი ციფრი უცვლელად მეორდება იმავე თანმიმდევრობით, ეწოდება პერიოდული ათობითი წილადი. Მაგალითად:

0,33333333...; 1,12121212...; 3,234234234...

იწოდება განმეორებადი რიცხვების ნაკრები პერიოდიამ ფრაქციას. ზემოთ დაწერილი წილადებიდან პირველის წერტილი არის 3, მეორე წილადის პერიოდი არის 12, მესამე წილადის პერიოდი არის 234. ეს ნიშნავს, რომ წერტილი შეიძლება შედგებოდეს რამდენიმე ციფრისგან - ერთი, ორი, სამი და ა.შ. განმეორებადი ციფრების პირველ კომპლექტს ეწოდება პირველი პერიოდი, მეორეს მთლიანობა - მეორე პერიოდი და ა.შ., ე.ი.

პერიოდული ფრაქციები შეიძლება იყოს სუფთა ან შერეული. პერიოდულ წილადს სუფთა ეწოდება, თუ მისი პერიოდი იწყება ათწილადის წერტილის შემდეგ. ეს ნიშნავს, რომ ზემოთ დაწერილი პერიოდული წილადები სუფთა იქნება. პირიქით, პერიოდულ წილადს ეწოდება შერეული, თუ მას აქვს ერთი ან მეტი არაგანმეორებადი ციფრი ათწილადსა და პირველ წერტილს შორის, მაგალითად:

2,5333333...; 4,1232323232...; 0,2345345345345... 160

ასოს შესამცირებლად შეგიძლიათ ფრჩხილებში ჩაწეროთ წერტილის რიცხვები ერთხელ და ფრჩხილების შემდეგ არ ჩადოთ ელიფსები, ანუ 0,33-ის ნაცვლად... შეგიძლიათ დაწეროთ 0,(3); 2.515151-ის ნაცვლად... შეგიძლიათ დაწეროთ 2,(51); 0.2333-ის ნაცვლად... შეგიძლიათ დაწეროთ 0.2(3); 0.8333-ის ნაცვლად... შეგიძლიათ დაწეროთ 0.8(3).

პერიოდული წილადები იკითხება ასე:

0,(3) - 0 მთელი რიცხვი, 3 წერტილში.

7,2(3) - 7 მთელი რიცხვი, 2 წერტილამდე, 3 წერტილში.

5.00(17) - 5 მთელი რიცხვი, ორი ნული წერტილამდე, 17 პერიოდში.

როგორ წარმოიქმნება პერიოდული წილადები? ჩვენ უკვე ვნახეთ, რომ წილადების ათწილადებად გადაქცევისას შეიძლება იყოს ორი შემთხვევა.

ჯერ ერთი, ჩვეულებრივი შეუქცევადი წილადის მნიშვნელი არ შეიცავს 2-ისა და 5-ის გარდა სხვა ფაქტორებს; ამ შემთხვევაში, ჩვეულებრივი წილადი ხდება საბოლოო ათწილადი.

Მეორეც,ჩვეულებრივი შეუქცევადი წილადის მნიშვნელი შეიცავს ნებისმიერ მარტივ ფაქტორს, გარდა 2-ისა და 5-ისა; ამ შემთხვევაში ჩვეულებრივი წილადი არ გადაიქცევა საბოლოო ათწილადად. Იმაში უკანასკნელი შემთხვევაროდესაც ცდილობთ წილადის ათწილადად გადაქცევას მრიცხველის მნიშვნელზე გაყოფით, შედეგი არის უსასრულო წილადი, რომელიც ყოველთვის პერიოდული იქნება.

ამის სანახავად, მოდით შევხედოთ მაგალითს. ვცადოთ წილადი 18/7 გადაიყვანოთ ათწილადში.

ჩვენ, რა თქმა უნდა, წინასწარ ვიცით, რომ ასეთი მნიშვნელის მქონე წილადი ვერ გადაიქცევა საბოლოო ათწილადად და საუბარია მხოლოდ სავარაუდო გარდაქმნაზე. გაყავით მრიცხველი 18 მნიშვნელზე 7.

ჩვენ მივიღეთ რვა ათობითი ადგილი კოეფიციენტში. დაყოფის გაგრძელება აღარ არის საჭირო, რადგან ის მაინც არ დასრულდება. მაგრამ აქედან ირკვევა, რომ გაყოფა შეიძლება გაგრძელდეს განუსაზღვრელი ვადით და ამით მივიღოთ ახალი რიცხვები კოეფიციენტში. ეს ახალი ნომრები გაჩნდება, რადგან ჩვენ ყოველთვის გვექნება ნარჩენები; მაგრამ არცერთი ნაშთი არ შეიძლება იყოს გამყოფზე დიდი, რომელიც ჩვენთვის არის 7.

ვნახოთ რა ნაშთები გვქონდა: 4; 5; 1; 3; 2; b, ანუ ეს იყო 7-ზე ნაკლები რიცხვები. ცხადია, მათგან ექვსზე მეტი არ შეიძლება იყოს და გაყოფის შემდგომი გაგრძელებით ისინი უნდა განმეორდეს და მათ შემდეგ განმეორდება კოეფიციენტის ციფრები. ზემოაღნიშნული მაგალითი ადასტურებს ამ აზრს: ათწილადის ათწილადები არის შემდეგი თანმიმდევრობით: 571428 და ამის შემდეგ კვლავ გამოჩნდა რიცხვები 57. ეს ნიშნავს, რომ პირველი პერიოდი დასრულდა და მეორე იწყება.

ამრიგად, უსასრულო ათობითი წილადი, რომელიც მიღებულია საერთო წილადის შებრუნებით, ყოველთვის პერიოდული იქნება.

თუ ამოცანის ამოხსნისას პერიოდული წილადი შეგვხვდება, მაშინ ის ამოცანების პირობებით მოთხოვნილი სიზუსტითაა აღებული (მეათემდე, მეასედამდე, მეათასედამდე და ა.შ.).

§ 116. ერთობლივი მოქმედებები ჩვეულებრივი და ათობითი წილადებით.

სხვადასხვა ამოცანის ამოხსნისას შევხვდებით შემთხვევებს, როცა ამოცანა მოიცავს როგორც ჩვეულებრივ, ისე ათობითი წილადებს.

ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ სხვადასხვა გზით წახვიდეთ.

1. გადაიყვანეთ ყველა წილადი ათწილადებად.ეს მოსახერხებელია, რადგან ათობითი წილადების გამოთვლა უფრო ადვილია, ვიდრე ჩვეულებრივი წილადებით. Მაგალითად,

გადავიყვანოთ წილადები 3/4 და 1 1/5 ათწილადებად:

2. ყველა წილადის გადაქცევა ჩვეულებრივ წილადებად.ეს ყველაზე ხშირად კეთდება იმ შემთხვევებში, როდესაც არის ჩვეულებრივი წილადები, რომლებიც არ გადაიქცევა საბოლოო ათწილადებად.

Მაგალითად,

გადავიყვანოთ ათობითი წილადები ჩვეულებრივ წილადებად:

3. გამოთვლები ხორციელდება ზოგიერთი წილადის სხვებზე გადაყვანის გარეშე.

ეს განსაკუთრებით სასარგებლოა, როდესაც მაგალითი მოიცავს მხოლოდ გამრავლებას და გაყოფას. Მაგალითად,

მოდით გადავწეროთ მაგალითი ასე:

4. ზოგიერთ შემთხვევაში ყველა წილადის გადაქცევა ათწილადებად(თუნდაც ისინი, რომლებიც პერიოდულად გადაიქცევიან) და იპოვონ სავარაუდო შედეგი. Მაგალითად,

გადავიყვანოთ 2/3 ათწილად წილადად, შემოვიფარგლოთ მეათასედებით.

ამ სტატიაში განვიხილავთ როგორ წილადების ათწილადებად გადაქცევადა ასევე გაითვალისწინეთ საპირისპირო პროცესი- ათობითი წილადების გადაქცევა ჩვეულებრივ წილადებად. აქ ჩვენ გამოვყოფთ წილადების გარდაქმნის წესებს და დეტალურ გადაწყვეტილებებს მივაწვდით ტიპიურ მაგალითებს.

გვერდის ნავიგაცია.

წილადების ათწილადებად გადაქცევა

ავღნიშნოთ თანმიმდევრობა, რომლითაც შევეხებით წილადების ათწილადებად გადაქცევა.

პირველ რიგში, ჩვენ განვიხილავთ, თუ როგორ უნდა წარმოვადგინოთ წილადები 10, 100, 1000, ... ათწილადების სახით. ეს აიხსნება იმით, რომ ათობითი წილადები არსებითად არის ჩვეულებრივი წილადების ჩაწერის კომპაქტური ფორმა 10, 100, ....

ამის შემდეგ, ჩვენ უფრო შორს წავალთ და ვაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა დავწეროთ ნებისმიერი ჩვეულებრივი წილადი (არა მხოლოდ 10, 100, ...) წილადის სახით. როდესაც ჩვეულებრივი წილადები ასე განიხილება, მიიღება როგორც სასრული ათობითი წილადები, ასევე უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადები.

ახლა მოდით ვისაუბროთ ყველაფერზე თანმიმდევრობით.

10, 100, ... მნიშვნელებით საერთო წილადების გადაყვანა ათწილადებად

ზოგიერთი სწორი წილადი მოითხოვს "წინასწარ მომზადებას" ათწილადებად გადაქცევამდე. ეს ეხება ჩვეულებრივ წილადებს, რომელთა რიცხვი მრიცხველში ნაკლებია მნიშვნელში ნულების რიცხვზე. მაგალითად, საერთო წილადი 2/100 ჯერ უნდა მომზადდეს ათობითი წილადად გადასაყვანად, მაგრამ 9/10 წილადს არანაირი მომზადება არ სჭირდება.

ათწილად წილადებზე გადასაყვანად სათანადო ჩვეულებრივი წილადების „წინასწარი მომზადება“ შედგება მრიცხველის მარცხნივ იმდენი ნულის მიმატებისგან, რომ იქ ციფრების საერთო რაოდენობა მნიშვნელში ნულების რაოდენობის ტოლი ხდება. მაგალითად, წილადი ნულების დამატების შემდეგ გამოიყურება ასე.

მას შემდეგ რაც მოამზადებთ სათანადო წილადს, შეგიძლიათ დაიწყოთ მისი ათწილადის გადაქცევა.

მივცეთ 10, ან 100, ან 1000, ... მნიშვნელობის მქონე სწორი საერთო წილადის ათწილად წილადად გადაქცევის წესი. იგი შედგება სამი ეტაპისგან:

• დაწერე 0;
• ამის შემდეგ ჩვენ ვსვამთ ათობითი წერტილი;
• რიცხვს ვწერთ მრიცხველიდან (დამატებულ ნულებთან ერთად, თუ დავამატეთ).

განვიხილოთ ამ წესის გამოყენება მაგალითების ამოხსნისას.

მაგალითი.

გადააქციეთ შესაბამისი წილადი 37/100 ათწილადში.

გამოსავალი.

მნიშვნელი შეიცავს რიცხვს 100, რომელსაც აქვს ორი ნული. მრიცხველი შეიცავს რიცხვს 37, მის აღნიშვნას აქვს ორი ციფრი, შესაბამისად, ამ წილადის მომზადება არ არის საჭირო ათობითი წილადში გადასაყვანად.

ახლა ვწერთ 0-ს, ვსვამთ ათწილადს და ვწერთ რიცხვს 37 მრიცხველიდან და მივიღებთ ათწილად წილადს 0.37.

პასუხი:

0,37 .

10, 100, ... მრიცხველებით სწორი ჩვეულებრივი წილადების ათწილად წილადებად გადაქცევის უნარ-ჩვევების გასაძლიერებლად, ჩვენ გავაანალიზებთ სხვა მაგალითის ამოხსნას.

მაგალითი.

ჩაწერეთ სწორი წილადი 107/10,000,000 როგორც ათობითი.

გამოსავალი.

მრიცხველში ციფრების რაოდენობა არის 3, ხოლო ნულების რიცხვი მნიშვნელში არის 7, ამიტომ ეს საერთო წილადი უნდა მომზადდეს ათწილადში გადასაყვანად. მრიცხველში მარცხნივ უნდა დავამატოთ 7-3=4 ნული ისე, რომ იქ ციფრების ჯამური რაოდენობა მნიშვნელში ნულების რაოდენობის ტოლი გახდეს. ვიღებთ.

რჩება მხოლოდ საჭირო ათობითი წილადის შექმნა. ამისთვის ჯერ ვწერთ 0-ს, მეორედ ვსვამთ მძიმით, მესამედ ვწერთ რიცხვს მრიცხველიდან ნულებთან ერთად 0000107, შედეგად გვაქვს ათობითი წილადი 0.0000107.

პასუხი:

0,0000107 .

არასწორი წილადები არ საჭიროებს რაიმე მომზადებას ათწილადებად გადაყვანისას. შემდეგი უნდა დაიცვან 10, 100, ... მნიშვნელებით არასწორი წილადების ათწილადად გადაქცევის წესები:

• ჩაწერეთ რიცხვი მრიცხველიდან;
• ჩვენ ვიყენებთ ათობითი წერტილის გამოსაყოფად იმდენი ციფრის მარჯვნივ, რამდენიც არის ნული საწყისი წილადის მნიშვნელში.

მოდით შევხედოთ ამ წესის გამოყენებას მაგალითის ამოხსნისას.

მაგალითი.

გადაიყვანეთ არასწორი წილადი 56,888,038,009/100,000 ათწილადად.

გამოსავალი.

პირველ რიგში, ჩვენ ვწერთ რიცხვს მრიცხველიდან 56888038009 და მეორეც, გამოვყოფთ 5 ციფრს მარჯვნივ ათობითი წერტილით, რადგან თავდაპირველი წილადის მნიშვნელს აქვს 5 ნული. შედეგად, ჩვენ გვაქვს ათობითი წილადი 568880.38009.

პასუხი:

568 880,38009 .

შერეული რიცხვის ათწილად წილადად გადასაყვანად, რომლის წილადი ნაწილის მნიშვნელი არის რიცხვი 10, ან 100, ან 1000, ..., შეგიძლიათ შერეული რიცხვი გადაიყვანოთ არასწორ ჩვეულებრივ წილადად და შემდეგ გადაიყვანოთ მიღებული. წილადი ათწილად წილადად. მაგრამ თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი 10, ან 100, ან 1000, ... წილადი მნიშვნელობით შერეული რიცხვების ათწილად წილადებად გადაქცევის წესი:

• საჭიროების შემთხვევაში, შეასრულეთ " წინასწარი მომზადება» თავდაპირველი შერეული რიცხვის წილადი ნაწილი, მიმატება საჭირო თანხანულები მარცხნივ მრიცხველში;
• ჩაწერეთ თავდაპირველი შერეული რიცხვის მთელი რიცხვი;
• დააყენოს ათობითი წერტილი;
• რიცხვს ვწერთ მრიცხველიდან დამატებულ ნულებთან ერთად.

მოდით შევხედოთ მაგალითს, რომელშიც ჩვენ ვასრულებთ ყველა საჭირო ნაბიჯს შერეული რიცხვის ათწილადის სახით წარმოსადგენად.

მაგალითი.

შერეული რიცხვის ათწილადად გადაქცევა.

გამოსავალი.

წილადი ნაწილის მნიშვნელს აქვს 4 ნული, ხოლო მრიცხველი შეიცავს რიცხვს 17, რომელიც შედგება 2 ციფრისგან, ამიტომ მრიცხველში მარცხნივ უნდა დავამატოთ ორი ნული ისე, რომ იქ ციფრების რაოდენობა ტოლი გახდეს. ნულები მნიშვნელში. ამის შემდეგ, მრიცხველი იქნება 0017.

ახლა ვიწერთ თავდაპირველი რიცხვის მთელ ნაწილს, ანუ რიცხვს 23, ვსვამთ ათწილადს, რის შემდეგაც ვწერთ რიცხვს მრიცხველიდან დამატებულ ნულებთან ერთად, ანუ 0017 და ვიღებთ სასურველ ათწილადს. ფრაქცია 23.0017.

მოკლედ ჩამოვწეროთ მთელი გამოსავალი: .

რა თქმა უნდა, პირველ რიგში, შერეული რიცხვის წარმოდგენა შეიძლება, როგორც არასწორი ფრაქცია, შემდეგ გადაიყვანეთ იგი ათობითი წილადად. ამ მიდგომით გამოსავალი ასე გამოიყურება: .

პასუხი:

23,0017 .

წილადების გადაყვანა სასრულ და უსასრულო პერიოდულ ათწილადებად

თქვენ შეგიძლიათ გადაიყვანოთ არა მხოლოდ ჩვეულებრივი წილადები 10, 100, ... მნიშვნელებით, არამედ ჩვეულებრივი წილადები სხვა მნიშვნელებით. ახლა ჩვენ გავარკვევთ, თუ როგორ კეთდება ეს.

ზოგიერთ შემთხვევაში, თავდაპირველი ჩვეულებრივი წილადი ადვილად მცირდება ერთ-ერთ მნიშვნელამდე 10, ან 100, ან 1000, ... (იხ. ჩვეულებრივი წილადის ახალ მნიშვნელზე მიყვანა), რის შემდეგაც რთული არ არის მიღებული წილადის წარმოდგენა. როგორც ათობითი წილადი. მაგალითად, აშკარაა, რომ წილადი 2/5 შეიძლება შემცირდეს წილადად 10 მნიშვნელით, ამისათვის საჭიროა მრიცხველი და მნიშვნელი გაამრავლოთ 2-ზე, რაც მისცემს წილადს 4/10, რომელიც, შესაბამისად. წინა აბზაცში განხილული წესები, ადვილად გარდაიქმნება ათობითი წილადად 0, 4.

სხვა შემთხვევაში, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ჩვეულებრივი წილადის ათწილადად გადაქცევის სხვა მეთოდი, რომლის განხილვასაც ახლა გადავდივართ.

ჩვეულებრივი წილადის ათწილადად გადაქცევისთვის, წილადის მრიცხველი იყოფა მნიშვნელზე, მრიცხველი ჯერ იცვლება ტოლი ათობითი წილადით ნებისმიერი რაოდენობის ნულით ათწილადის შემდეგ (ამაზე ვისაუბრეთ განყოფილებაში ტოლი და არათანაბარი ათობითი წილადები). ამ შემთხვევაში გაყოფა ხდება ისევე, როგორც გაყოფა ნატურალური რიცხვების სვეტით, ხოლო კოეფიციენტში მოთავსებულია ათობითი წერტილი, როდესაც მთავრდება დივიდენდის მთელი ნაწილის გაყოფა. ეს ყველაფერი ცხადი გახდება ქვემოთ მოცემული მაგალითების გადაწყვეტილებებიდან.

მაგალითი.

გადააქციეთ წილადი 621/4 ათწილადად.

გამოსავალი.

მრიცხველში 621 რიცხვი წარმოვიდგინოთ ათწილადის სახით, დავამატოთ ათწილადი წერტილი და რამდენიმე ნული მის შემდეგ. ჯერ დავამატოთ 2 ციფრი 0, მოგვიანებით, საჭიროების შემთხვევაში, ყოველთვის შეგვიძლია მეტი ნულების დამატება. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს 621.00.

ახლა რიცხვი 621000 გავყოთ 4-ზე სვეტით. პირველი სამი ნაბიჯი არაფრით განსხვავდება ნატურალური რიცხვების სვეტზე გაყოფისგან, რის შემდეგაც მივდივართ შემდეგ სურათზე:

ასე მივდივართ დივიდენდის ათწილადამდე, ხოლო ნაშთი განსხვავდება ნულისაგან. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვსვამთ ათწილადს კოეფიციენტში და ვაგრძელებთ დაყოფას სვეტში, არ ვაქცევთ ყურადღებას მძიმეებით:

ამით სრულდება გაყოფა და შედეგად ვიღებთ ათობითი წილადს 155.25, რომელიც შეესაბამება თავდაპირველ ჩვეულებრივ წილადს.

პასუხი:

155,25 .

მასალის კონსოლიდაციისთვის, განიხილეთ სხვა მაგალითის გამოსავალი.

მაგალითი.

გადააქციეთ წილადი 21/800 ათწილადად.

გამოსავალი.

ამ საერთო წილადის ათწილადად გადაქცევისთვის, ჩვენ ვყოფთ ათწილადის სვეტს 21000... 800-ზე. პირველი ნაბიჯის შემდეგ, ჩვენ უნდა ჩავდოთ ათწილადი წერტილი, შემდეგ კი გავაგრძელოთ გაყოფა:

საბოლოოდ, მივიღეთ დარჩენილი 0, ეს ასრულებს 21/400 საერთო წილადის გადაქცევას ათობითი წილადზე და მივედით ათწილადის 0,02625-მდე.

პასუხი:

0,02625 .

შეიძლება მოხდეს, რომ მრიცხველის ჩვეულებრივი წილადის მნიშვნელზე გაყოფისას მაინც არ მივიღოთ 0-ის ნაშთი. ამ შემთხვევაში, გაყოფა შეიძლება გაგრძელდეს განუსაზღვრელი ვადით. თუმცა, გარკვეული საფეხურიდან დაწყებული, ნაშთები პერიოდულად იწყებენ გამეორებას, ასევე მეორდება კოეფიციენტის რიცხვები. ეს ნიშნავს, რომ საწყისი წილადი გარდაიქმნება უსასრულო პერიოდულ ათობითი წილადად. მოდით ვაჩვენოთ ეს მაგალითით.

მაგალითი.

წილადი 19/44 ჩაწერეთ ათწილადის სახით.

გამოსავალი.

ჩვეულებრივი წილადის ათწილადად გადაქცევისთვის, შეასრულეთ გაყოფა სვეტების მიხედვით:

უკვე ნათელია, რომ გაყოფის დროს ნარჩენებმა 8 და 36 გამეორება დაიწყეს, კოეფიციენტში კი 1 და 8 რიცხვები მეორდება. ამრიგად, საწყისი საერთო წილადი 19/44 გარდაიქმნება პერიოდულ ათობითი წილადად 0.43181818...=0.43(18).

პასუხი:

0,43(18) .

ამ პუნქტის დასასრულებლად, ჩვენ გავარკვევთ, რომელი ჩვეულებრივი წილადები შეიძლება გარდაიქმნას სასრულ ათწილად წილადებად და რომელი მხოლოდ პერიოდულ წილადებად.

მოდით, ჩვენს წინ გვქონდეს შეუქცევადი ჩვეულებრივი წილადი (თუ წილადი კლებადია, მაშინ ჯერ წილადს ვამცირებთ) და უნდა გავარკვიოთ რომელ ათობითი წილადად შეიძლება გადავიტანოთ - სასრულ თუ პერიოდულად.

გასაგებია, რომ თუ ჩვეულებრივი წილადი შეიძლება შემცირდეს ერთ-ერთ მნიშვნელზე 10, 100, 1000, ..., მაშინ მიღებული წილადი ადვილად გარდაიქმნება საბოლოო ათობითი წილადად წინა აბზაცში განხილული წესების მიხედვით. მაგრამ მნიშვნელებს 10, 100, 1000 და ა.შ. ყველა ჩვეულებრივი წილადი არ არის მოცემული. მხოლოდ ის წილადები, რომელთა მნიშვნელი მაინც არის 10, 100, ... რიცხვებიდან ერთ-ერთი მაინც შეიძლება შემცირდეს ასეთ მნიშვნელებზე და რა რიცხვები შეიძლება იყოს 10, 100, ... გამყოფები? ამ კითხვაზე პასუხის გაცემის საშუალებას მოგვცემს რიცხვები 10, 100, ... და ისინი შემდეგია: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1000 = 2 2 2 5 5 5, .... აქედან გამომდინარეობს, რომ გამყოფები არის 10, 100, 1000 და ა.შ. შეიძლება არსებობდეს მხოლოდ რიცხვები, რომელთა დაშლა მარტივ ფაქტორებად შეიცავს მხოლოდ 2 და (ან) 5 რიცხვებს.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ ზოგადი დასკვნა ჩვეულებრივი წილადების ათწილადებად გადაქცევის შესახებ:

• თუ მნიშვნელის მარტივ ფაქტორებად დაშლისას მხოლოდ რიცხვები 2 და (ან) 5 გვხვდება, მაშინ ეს წილადი შეიძლება გადაკეთდეს საბოლოო ათობითი წილადად;
• თუ ორებისა და ხუთების გარდა არის სხვა მარტივი რიცხვები მნიშვნელის გაფართოებაში, მაშინ ეს წილადი გარდაიქმნება უსასრულო ათობითი პერიოდულ წილადად.

მაგალითი.

ჩვეულებრივი წილადების ათწილადებად გადაქცევის გარეშე, მითხარით, რომელი წილადებიდან 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 გადაიყვანება საბოლოო ათწილადად და რომელი მხოლოდ პერიოდულ წილადად.

გამოსავალი.

47/20 წილადის მნიშვნელი გამრავლებულია მარტივ ფაქტორებად, როგორც 20=2·2·5. ამ გაფართოებაში არის მხოლოდ ორები და ხუთები, ამიტომ ეს წილადი შეიძლება შემცირდეს ერთ-ერთ მნიშვნელზე 10, 100, 1000, ... (ამ მაგალითში, მნიშვნელზე 100), შესაბამისად, შეიძლება გარდაიქმნას საბოლოო ათწილადში. წილადი.

7/12 წილადის მნიშვნელის დაშლას მარტივ ფაქტორებად აქვს ფორმა 12=2·2·3. ვინაიდან ის შეიცავს 3-ის მარტივ კოეფიციენტს, რომელიც განსხვავდება 2-დან და 5-ისგან, ეს წილადი არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი სასრულ ათწილადად, მაგრამ შეიძლება გარდაიქმნას პერიოდულ ათწილადად.

ფრაქცია 21/56 – კონტრაქტული, შეკუმშვის შემდეგ იღებს ფორმას 3/8. მნიშვნელის ფაქტორირება მარტივ ფაქტორებად შეიცავს სამ ფაქტორს, რომელიც უდრის 2-ს, შესაბამისად, საერთო წილადი 3/8 და, შესაბამისად, ტოლი წილადი 21/56, შეიძლება გარდაიქმნას საბოლოო ათობითი წილადად.

დაბოლოს, 31/17 წილადის მნიშვნელის გაფართოება არის 17, ამიტომ ეს წილადი ვერ გადაიქცევა სასრულ ათწილადად, მაგრამ შეიძლება გადაიზარდოს უსასრულო პერიოდულ წილადად.

პასუხი:

47/20 და 21/56 შეიძლება გარდაიქმნას სასრულ ათობითი წილადად, მაგრამ 7/12 და 31/17 შეიძლება გადაკეთდეს მხოლოდ პერიოდულ წილადად.

ჩვეულებრივი წილადები არ გარდაიქმნება უსასრულო არაპერიოდიულ ათწილადებად

წინა აბზაცში მოცემული ინფორმაცია ბადებს კითხვას: „შეიძლება თუ არა წილადის მრიცხველის მნიშვნელზე გაყოფის შედეგად წარმოიქმნას უსასრულო არაპერიოდული წილადი?

პასუხი: არა. საერთო წილადის გადაქცევისას შედეგი შეიძლება იყოს სასრული ათობითი წილადი ან უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადი. მოდით განვმარტოთ, რატომ არის ეს ასე.

ნაშთით გაყოფის თეორემიდან ირკვევა, რომ ნაშთი ყოველთვის ნაკლებია გამყოფზე, ანუ თუ რომელიმე მთელ რიცხვს გავყოფთ q რიცხვზე, მაშინ ნაშთი შეიძლება იყოს მხოლოდ 0, 1, 2 რიცხვებიდან ერთ-ერთი. , ..., q−1. აქედან გამომდინარეობს, რომ მას შემდეგ, რაც სვეტი დაასრულებს ჩვეულებრივი წილადის მრიცხველის მთელი ნაწილის გაყოფას q მნიშვნელზე, არაუმეტეს q საფეხურზე წარმოიქმნება შემდეგი ორი სიტუაციიდან ერთი:

• ან მივიღებთ 0-ის ნაშთს, ამით დასრულდება გაყოფა და მივიღებთ საბოლოო ათობითი წილადს;
• ან მივიღებთ ნაშთს, რომელიც უკვე გამოჩნდა ადრე, რის შემდეგაც ნაშთები დაიწყებენ გამეორებას, როგორც წინა მაგალითში (რადგან ტოლი რიცხვების q-ზე გაყოფისას მიიღება თანაბარი ნაშთები, რაც გამომდინარეობს უკვე ხსენებული გაყოფის თეორემიდან), გამოიწვევს უსასრულო პერიოდულ ათობითი წილადს.

სხვა ვარიანტები არ შეიძლება იყოს, ამიტომ ჩვეულებრივი წილადის ათწილად წილადად გადაქცევისას უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადის მიღება შეუძლებელია.

ამ აბზაცში მოცემული მსჯელობიდან ასევე გამომდინარეობს, რომ ათობითი წილადის პერიოდის ხანგრძლივობა ყოველთვის ნაკლებია შესაბამისი ჩვეულებრივი წილადის მნიშვნელის მნიშვნელობაზე.

ათწილადების გადაქცევა წილადებად

ახლა მოდით გაერკვნენ, თუ როგორ გადავიტანოთ ათობითი წილადი ჩვეულებრივ წილადად. დავიწყოთ ბოლო ათობითი წილადების ჩვეულებრივ წილადებად გადაქცევით. ამის შემდეგ განვიხილავთ უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადების ინვერსიის მეთოდს. დასასრულს, ვთქვათ უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადების ჩვეულებრივ წილადებად გადაქცევის შეუძლებლობაზე.

ბოლო ათწილადების გადაყვანა წილადებად

წილადის მიღება, რომელიც იწერება როგორც საბოლოო ათწილადი, საკმაოდ მარტივია. საბოლოო ათობითი წილადის საერთო წილადად გადაქცევის წესიშედგება სამი ეტაპისგან:

• უპირველეს ყოვლისა, ჩაწერეთ მოცემული ათობითი წილადი მრიცხველში, მანამდე გააუქმეთ ათობითი წერტილი და ყველა ნული მარცხნივ, ასეთის არსებობის შემთხვევაში;
• მეორეც, ჩაწერეთ ერთი მნიშვნელში და დაამატეთ მას იმდენი ნული, რამდენი ციფრია ათწილადის შემდეგ თავდაპირველ ათობითი წილადში;
• მესამე, საჭიროების შემთხვევაში, შეამცირეთ მიღებული ფრაქცია.

მოდით შევხედოთ მაგალითების გადაწყვეტილებებს.

მაგალითი.

გადაიყვანეთ ათწილადი 3.025 წილადად.

გამოსავალი.

თუ ათწილადს ამოვიღებთ თავდაპირველ ათობითი წილადს, მივიღებთ რიცხვს 3025. მარცხნივ არ არის ნულები, რომლებსაც ჩვენ გავაუქმებდით. ასე რომ, ჩვენ ვწერთ 3025-ს სასურველი წილადის მრიცხველში.

ჩვენ ვწერთ რიცხვს 1 მნიშვნელში და ვამატებთ 3 ნულს მის მარჯვნივ, რადგან თავდაპირველ ათობითი წილადში არის 3 ციფრი ათწილადის წერტილის შემდეგ.

ასე რომ, მივიღეთ საერთო წილადი 3,025/1,000. ეს წილადი შეიძლება შემცირდეს 25-ით, მივიღებთ .

პასუხი:

.

მაგალითი.

ათწილადი წილადი 0,0017 გადააქციეთ წილადად.

გამოსავალი.

ათობითი წერტილის გარეშე, თავდაპირველი ათობითი წილადი ჰგავს 00017-ს, მარცხნივ ნულების უგულებელყოფით მივიღებთ რიცხვს 17, რომელიც არის სასურველი ჩვეულებრივი წილადის მრიცხველი.

ჩვენ ვწერთ ერთს ოთხი ნულით მნიშვნელში, რადგან თავდაპირველ ათობითი წილადს აქვს 4 ციფრი ათწილადის შემდეგ.

შედეგად, გვაქვს ჩვეულებრივი წილადი 17/10000. ეს წილადი შეუქცევადია და ათობითი წილადის გადაქცევა ჩვეულებრივ წილადად დასრულებულია.

პასუხი:

.

როდესაც თავდაპირველი საბოლოო ათობითი წილადის მთელი რიცხვი არ არის ნულოვანი, ის შეიძლება დაუყოვნებლივ გარდაიქმნას შერეულ რიცხვად, საერთო წილადის გვერდის ავლით. მივცეთ საბოლოო ათობითი წილადის შერეულ რიცხვად გადაქცევის წესი:

• ათწილადამდე რიცხვი უნდა ჩაიწეროს სასურველი შერეული რიცხვის მთელი რიცხვის სახით;
• წილადი ნაწილის მრიცხველში თქვენ უნდა დაწეროთ რიცხვი, რომელიც მიღებულია საწყისი ათობითი წილადის წილადი ნაწილიდან, მარცხნივ ყველა ნულის გადაგდების შემდეგ;
• წილადი ნაწილის მნიშვნელში თქვენ უნდა ჩაწეროთ რიცხვი 1, რომელსაც დაამატეთ იმდენი ნული მარჯვნივ, რამდენი ციფრია ათწილადის შემდეგ თავდაპირველ ათობითი წილადში;
• საჭიროების შემთხვევაში, შეამცირეთ მიღებული შერეული რიცხვის წილადი ნაწილი.

მოდით შევხედოთ ათობითი წილადის შერეულ რიცხვად გადაქცევის მაგალითს.

მაგალითი.

გამოხატეთ ათობითი წილადი 152.06005 შერეული რიცხვის სახით

გაყოფის ოპერაცია მოიცავს რამდენიმე ძირითადი კომპონენტის მონაწილეობას. პირველი მათგანი არის ე.წ. დივიდენდი, ანუ რიცხვი, რომელიც ექვემდებარება გაყოფის პროცედურას. მეორე არის გამყოფი, ანუ რიცხვი, რომლითაც ხდება გაყოფა. მესამე არის კოეფიციენტი, ანუ დივიდენდის გამყოფზე გაყოფის მოქმედების შედეგი.

გაყოფის შედეგი

Ყველაზე მარტივი ვარიანტიშედეგი, რომელიც შეიძლება მივიღოთ, როდესაც ორი დადებითი რიცხვი გამოიყენება დივიდენდად და გამყოფად, არის კიდევ ერთი დადებითი რიცხვი. მაგალითად, 6-ის 2-ზე გაყოფისას კოეფიციენტი იქნება 3-ის ტოლი. ეს სიტუაცია შესაძლებელია, თუ დივიდენდი არის გამყოფი, ანუ მასზე იყოფა ნაშთის გარეშე.

თუმცა, არის სხვა ვარიანტებიც, როცა ნარჩენების გარეშე გაყოფის ოპერაციის განხორციელება შეუძლებელია. ამ შემთხვევაში არამთლიანი რიცხვი ხდება კოეფიციენტი, რომელიც შეიძლება ჩაიწეროს როგორც მთელი რიცხვის და წილადი ნაწილის კომბინაცია. მაგალითად, 5-ის 2-ზე გაყოფისას კოეფიციენტი არის 2,5.

რიცხვი პერიოდში

ერთ-ერთი ვარიანტი, რომელიც შეიძლება გამოვიდეს, თუ დივიდენდი არ არის გამყოფის ჯერადი, არის ე.წ. ის შეიძლება წარმოიშვას გაყოფის შედეგად, თუ კოეფიციენტი აღმოჩნდება რიცხვების უსასრულოდ განმეორებადი სიმრავლე. მაგალითად, რიცხვი პერიოდის განმავლობაში შეიძლება გამოჩნდეს რიცხვი 2-ზე 3-ზე გაყოფისას. ამ სიტუაციაში, შედეგი, როგორც ათობითი წილადი, გამოიხატება ათწილადის შემდეგ უსასრულო რაოდენობის 6 ციფრის კომბინაციით.

ასეთი დაყოფის შედეგის მითითების მიზნით გამოიგონეს განსაკუთრებული გზარიცხვების ჩაწერა წერტილში: ასეთი რიცხვი აღინიშნება ფრჩხილებში განმეორებადი ციფრის მოთავსებით. მაგალითად, 2-ის 3-ზე გაყოფის შედეგი დაიწერება ამ მეთოდის გამოყენებით, როგორც 0,(6). ეს აღნიშვნა ასევე გამოიყენება, თუ გაყოფის შედეგად მიღებული რიცხვის მხოლოდ ნაწილი მეორდება.

მაგალითად, 5-ის 6-ზე გაყოფისას შედეგი არის პერიოდული ნომერი, რომელსაც აქვს ფორმა 0.8(3). ამ მეთოდის გამოყენება, ჯერ ერთი, უფრო ეფექტურია, ვიდრე რიცხვის რიცხვის ყველა ან მისი ნაწილის ჩაწერის მცდელობა პერიოდში, და მეორეც, მას აქვს უფრო დიდი სიზუსტე ასეთი რიცხვების გადაცემის სხვა მეთოდთან - დამრგვალებასთან შედარებით და გარდა ამისა, ეს საშუალებას გაძლევთ განასხვავოთ რიცხვები პერიოდში ზუსტი ათობითი წილადისგან შესაბამისი მნიშვნელობით ამ რიცხვების სიდიდის შედარებისას. ასე, მაგალითად, აშკარაა, რომ 0.(6) მნიშვნელოვნად აღემატება 0.6-ს.

უკვე შევიდა დაწყებითი სკოლამოსწავლეები ხვდებიან წილადებს. და მერე ჩნდებიან ყველა თემაში. თქვენ არ შეგიძლიათ დაივიწყოთ მოქმედებები ამ ნომრებით. ამიტომ, თქვენ უნდა იცოდეთ ყველა ინფორმაცია ჩვეულებრივი და ათობითი წილადების შესახებ. ეს ცნებები არ არის რთული, მთავარია ყველაფერი წესრიგში გავიგოთ.

რატომ არის საჭირო წილადები?

ჩვენს ირგვლივ სამყარო შედგება მთელი ობიექტებისგან. ამიტომ აქციების საჭიროება არ არის. მაგრამ ყოველდღიური ცხოვრებისმუდმივად უბიძგებს ადამიანებს საგნების და ნივთების ნაწილებთან მუშაობისკენ.

მაგალითად, შოკოლადი შედგება რამდენიმე ცალისაგან. განვიხილოთ სიტუაცია, როდესაც მისი ფილა თორმეტი მართკუთხედით არის ჩამოყალიბებული. თუ ორად გაყოფთ, მიიღებთ 6 ნაწილად. ის ადვილად შეიძლება დაიყოს სამად. მაგრამ ხუთ ადამიანს შოკოლადის ნაჭრების მთელი რაოდენობის მიცემა არ იქნება შესაძლებელი.

სხვათა შორის, ეს ნაჭრები უკვე წილადებია. და მათი შემდგომი დაყოფა იწვევს უფრო რთული რიცხვების გამოჩენას.

რა არის "ფრაქცია"?

ეს არის რიცხვი, რომელიც შედგება ერთეულის ნაწილებისგან. გარეგნულად, ის ჰგავს ორ რიცხვს, რომლებიც გამოყოფილია ჰორიზონტალურად ან ხაზებით. ამ მახასიათებელს წილადი ეწოდება. ზედა (მარცხნივ) დაწერილ რიცხვს მრიცხველი ეწოდება. რაც არის ბოლოში (მარჯვნივ) არის მნიშვნელი.

არსებითად, ხაზი გამოდის გაყოფის ნიშანი. ანუ მრიცხველს შეიძლება ეწოდოს დივიდენდი, ხოლო მნიშვნელს - გამყოფი.

რა წილადები არსებობს?

მათემატიკაში არსებობს მხოლოდ ორი ტიპი: ჩვეულებრივი და ათობითი წილადები. სკოლის მოსწავლეები პირველად ხვდებიან დაწყებითი სკოლა, მათ უბრალოდ "ფრაქციებს" უწოდებს. ამ უკანასკნელს მე-5 კლასში ისწავლიან. სწორედ მაშინ ჩნდება ეს სახელები.

საერთო წილადები არის ყველა ის, ვინც იწერება წრფით გამოყოფილი ორი რიცხვის სახით. მაგალითად, 4/7. ათწილადი არის რიცხვი, რომელშიც წილადის ნაწილს აქვს პოზიციური აღნიშვნა და გამოყოფილია მთელი რიცხვისგან მძიმით. მაგალითად, 4.7. მოსწავლეებმა ნათლად უნდა გაიგონ, რომ მოცემული ორი მაგალითი სრულიად განსხვავებული რიცხვია.

ყოველი მარტივი წილადიშეიძლება დაიწეროს ათობითი ფორმით. ეს განცხადება თითქმის ყოველთვის მართალია პირიქით. არსებობს წესები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ დაწეროთ ათობითი წილადი, როგორც საერთო წილადი.

რა ქვეტიპები აქვთ ამ ტიპის წილადებს?

ჯობია დაიწყო ქრონოლოგიური თანმიმდევრობა, რადგან მათი შესწავლა მიმდინარეობს. საერთო წილადები პირველ რიგში მოდის. მათ შორის შეიძლება გამოიყოს 5 ქვესახეობა.

სწორი. მისი მრიცხველი ყოველთვის ნაკლებია მის მნიშვნელზე.

არასწორი. მისი მრიცხველი მეტია ან ტოლია მის მნიშვნელზე.

შემცირებადი / შეუმცირებელი. ეს შეიძლება აღმოჩნდეს სწორი ან არასწორი. კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი ისაა, აქვთ თუ არა მრიცხველსა და მნიშვნელს საერთო ფაქტორები. თუ არსებობს, მაშინ აუცილებელია წილადის ორივე ნაწილის მათზე გაყოფა, ანუ შემცირება.

შერეული. მთელი რიცხვი ენიჭება მის ჩვეულებრივ რეგულარულ (არარეგულარულ) წილად ნაწილს. უფრო მეტიც, ის ყოველთვის მარცხნივ არის.

კომპოზიტური. იგი წარმოიქმნება ერთმანეთის მიერ გაყოფილი ორი წილადისგან. ანუ ის შეიცავს ერთდროულად სამ წილად ხაზს.

ათწილადურ წილადებს მხოლოდ ორი ქვეტიპი აქვთ:

სასრული, ანუ ის, რომლის წილადი ნაწილი შეზღუდულია (აქვს დასასრული);

უსასრულო - რიცხვი, რომლის ციფრებიც ათწილადის შემდეგ არ მთავრდება (ისინი შეიძლება დაუსრულებლად დაიწეროს).

როგორ გადავიყვანოთ ათობითი წილადი საერთო წილადად?

თუ ეს არის სასრული რიცხვი, მაშინ ასოციაცია გამოიყენება წესის საფუძველზე - როგორც მესმის, ისე ვწერ. ანუ, თქვენ უნდა წაიკითხოთ სწორად და ჩაწეროთ, მაგრამ მძიმის გარეშე, მაგრამ წილადი ზოლით.

როგორც მინიშნება საჭირო მნიშვნელის შესახებ, უნდა გახსოვდეთ, რომ ის ყოველთვის არის ერთი და რამდენიმე ნული. ამ უკანასკნელთაგან იმდენი უნდა დაწეროთ, რამდენი ციფრია მოცემული რიცხვის წილადში.

როგორ გადავიყვანოთ ათობითი წილადები ჩვეულებრივ წილადებად, თუ მათი მთელი ნაწილი აკლია, ანუ ნულის ტოლია? მაგალითად, 0.9 ან 0.05. მითითებული წესის გამოყენების შემდეგ აღმოჩნდება, რომ თქვენ უნდა დაწეროთ ნულოვანი რიცხვები. მაგრამ ეს არ არის მითითებული. რჩება მხოლოდ წილადი ნაწილების ჩაწერა. პირველ რიცხვს ექნება მნიშვნელი 10, მეორეს მნიშვნელი 100. ანუ მოცემულ მაგალითებს პასუხად ექნება შემდეგი რიცხვები: 9/10, 5/100. უფრო მეტიც, გამოდის, რომ ეს უკანასკნელი შეიძლება შემცირდეს 5-ით. ამიტომ, მისთვის შედეგი უნდა დაიწეროს როგორც 1/20.

როგორ შეგიძლიათ გადაიყვანოთ ათობითი წილადი ჩვეულებრივ წილადად, თუ მისი მთელი ნაწილი განსხვავდება ნულიდან? მაგალითად, 5.23 ან 13.00108. ორივე მაგალითში იკითხება მთელი ნაწილი და იწერება მისი მნიშვნელობა. პირველ შემთხვევაში ეს არის 5, მეორეში არის 13. შემდეგ თქვენ უნდა გადახვიდეთ წილადის ნაწილზე. იგივე ოპერაცია უნდა ჩატარდეს მათთანაც. პირველი რიცხვი ჩნდება 23/100, მეორე - 108/100000. მეორე მნიშვნელობა კვლავ უნდა შემცირდეს. პასუხი ასე გამოიყურება შერეული ფრაქციები: 5 23/100 და 13 27/25000.

როგორ გადავიყვანოთ უსასრულო ათობითი წილადი ჩვეულებრივ წილადად?

თუ ეს არაპერიოდულია, მაშინ ასეთი ოპერაცია შეუძლებელი იქნება. ეს ფაქტი განპირობებულია იმით, რომ ყოველი ათობითი წილადი ყოველთვის გარდაიქმნება სასრულ ან პერიოდულ წილადად.

ერთადერთი, რისი გაკეთებაც შეგიძლიათ ასეთ წილადთან, არის მისი დამრგვალება. მაგრამ მაშინ ათწილადი იქნება დაახლოებით იმ უსასრულობის ტოლი. ის უკვე შეიძლება გადაიქცეს ჩვეულებრივად. მაგრამ საპირისპირო პროცესი: ათწილადში გადაყვანა არასოდეს მისცემს საწყის მნიშვნელობას. ანუ უსასრულო არაპერიოდული წილადები არ გარდაიქმნება ჩვეულებრივ წილადებად. ეს უნდა ახსოვდეს.

როგორ დავწეროთ უსასრულო პერიოდული წილადი ჩვეულებრივ წილადად?

ამ რიცხვებში ყოველთვის არის ერთი ან მეტი ციფრი, რომელიც მეორდება ათობითი წერტილის შემდეგ. მათ პერიოდს უწოდებენ. მაგალითად, 0.3 (3). აქ "3" არის პერიოდში. ისინი კლასიფიცირდება როგორც რაციონალური, რადგან ისინი შეიძლება გარდაიქმნას ჩვეულებრივ წილადებად.

მათ, ვინც შეხვდა პერიოდულ წილადებს, იცის, რომ ისინი შეიძლება იყოს სუფთა ან შერეული. პირველ შემთხვევაში, წერტილი დაუყოვნებლივ იწყება მძიმიდან. მეორეში, წილადი ნაწილი იწყება რამდენიმე რიცხვით, შემდეგ კი გამეორება.

წესი, რომლითაც თქვენ უნდა დაწეროთ უსასრულო ათწილადი, როგორც საერთო წილადი, განსხვავებული იქნება მითითებული ორი ტიპის რიცხვისთვის. საკმაოდ მარტივია სუფთა პერიოდული წილადების ჩვეულებრივ წილადებად დაწერა. როგორც სასრულის შემთხვევაში, ისინი უნდა გარდაიქმნას: ჩაწერეთ წერტილი მრიცხველში და მნიშვნელი იქნება რიცხვი 9, განმეორდება იმდენჯერ, რამდენჯერაც შეიცავს რიცხვების რაოდენობას.

მაგალითად, 0, (5). რიცხვს არ აქვს მთელი ნაწილი, ამიტომ დაუყოვნებლივ უნდა დაიწყოთ წილადი ნაწილით. მრიცხველად ჩაწერეთ 5 და მნიშვნელად 9. ანუ პასუხი იქნება წილადი 5/9.

წესი, თუ როგორ უნდა დავწეროთ ჩვეულებრივი ათობითი პერიოდული წილადი, რომელიც შერეულია.

შეხედეთ პერიოდის ხანგრძლივობას. აი რამდენი 9-იანი ექნება მნიშვნელს.

ჩაწერეთ მნიშვნელი: ჯერ ცხრა, შემდეგ ნული.

მრიცხველის დასადგენად, თქვენ უნდა ჩაწეროთ ორი რიცხვის განსხვავება. ათწილადის შემდეგ ყველა რიცხვი მინიფიცირებული იქნება წერტილთან ერთად. გამოიქვითება - ის პერიოდის გარეშეა.

მაგალითად, 0.5(8) - ჩაწერეთ პერიოდული ათობითი წილადი, როგორც საერთო წილადი. პერიოდის წინ წილადი ნაწილი შეიცავს ერთ ციფრს. ასე რომ, იქნება ერთი ნული. ასევე არის მხოლოდ ერთი რიცხვი პერიოდში - 8. ანუ არის მხოლოდ ერთი ცხრა. ანუ მნიშვნელში უნდა ჩაწეროთ 90.

მრიცხველის დასადგენად 58-ს უნდა გამოაკლოთ 5. გამოდის 53. მაგალითად, პასუხი უნდა დაწეროთ როგორც 53/90.

როგორ გარდაიქმნება წილადები ათწილადად?

უმარტივესი ვარიანტია რიცხვი, რომლის მნიშვნელი არის რიცხვი 10, 100 და ა.შ. შემდეგ მნიშვნელი უბრალოდ უგულებელყოფილია და წილადს შორის და მთლიანად ნაწილებადმძიმით ემატება.

არის სიტუაციები, როცა მნიშვნელი ადვილად იქცევა 10, 100 და ა.შ. მაგალითად, რიცხვები 5, 20, 25. საკმარისია მათი გამრავლება შესაბამისად 2, 5 და 4-ზე. თქვენ უბრალოდ უნდა გაამრავლოთ არა მხოლოდ მნიშვნელი, არამედ მრიცხველიც იმავე რიცხვზე.

ყველა სხვა შემთხვევისთვის სასარგებლოა მარტივი წესი: გაყავით მრიცხველი მნიშვნელზე. ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ მიიღოთ ორი შესაძლო პასუხი: სასრული ან პერიოდული ათობითი წილადი.

მოქმედებები ჩვეულებრივი წილადებით

შეკრება და გამოკლება

მოსწავლეები მათ სხვებზე ადრე ეცნობიან. და ჯერ წილადებისთვის იგივე მნიშვნელებიდა შემდეგ განსხვავებული. Ძირითადი წესებიშეიძლება შემცირდეს ასეთ გეგმამდე.

იპოვეთ მნიშვნელების უმცირესი საერთო ჯერადი.

დაწერეთ დამატებითი ფაქტორები ყველა ჩვეულებრივი წილადისთვის.

გაამრავლეთ მრიცხველები და მნიშვნელები მათთვის მითითებულ ფაქტორებზე.

დაამატეთ (გამოაკლეთ) წილადების მრიცხველები და დატოვეთ საერთო მნიშვნელი უცვლელი.

თუ მინუენდის მრიცხველი ქვეტრაენდზე ნაკლებია, მაშინ უნდა გავარკვიოთ, გვაქვს თუ არა შერეული რიცხვი თუ სწორი წილადი.

პირველ შემთხვევაში, თქვენ უნდა ისესხოთ ერთი მთლიანი ნაწილიდან. დაამატეთ მნიშვნელი წილადის მრიცხველს. და შემდეგ გააკეთე გამოკლება.

მეორეში აუცილებელია გამოვიყენოთ უფრო დიდი რიცხვის მცირე რიცხვს გამოკლების წესი. ანუ, სუბტრაჰენდის მოდულს გამოაკელით მინუენდის მოდული და საპასუხოდ დაადეთ ნიშანი „-“.

ყურადღებით დააკვირდით შეკრების (გამოკლების) შედეგს. თუ თქვენ მიიღებთ არასწორ წილადს, მაშინ უნდა აირჩიოთ მთელი ნაწილი. ანუ მრიცხველი გავყოთ მნიშვნელზე.

გამრავლება და გაყოფა

მათი შესასრულებლად წილადებს საერთო მნიშვნელამდე დაყვანა არ სჭირდება. ეს აადვილებს მოქმედებების შესრულებას. მაგრამ ისინი მაინც მოითხოვენ წესების დაცვას.

წილადების გამრავლებისას თქვენ უნდა დააკვირდეთ რიცხვებს მრიცხველებსა და მნიშვნელებში. თუ რომელიმე მრიცხველს და მნიშვნელს აქვს საერთო ფაქტორი, მაშინ მათი შემცირება შესაძლებელია.

გაამრავლეთ მრიცხველები.

გაამრავლეთ მნიშვნელები.

თუ შედეგი არის შემცირებადი ფრაქცია, მაშინ ის კვლავ უნდა გამარტივდეს.

გაყოფისას ჯერ გაყოფა უნდა შეცვალოთ გამრავლებით, ხოლო გამყოფი (მეორე წილადი) საპასუხო წილადით (გაცვალეთ მრიცხველი და მნიშვნელი).

შემდეგ გააგრძელეთ გამრავლება (დაწყებული 1 წერტილიდან).

იმ ამოცანებში, სადაც საჭიროა გამრავლება (გაყოფა) მთელ რიცხვზე, ეს უკანასკნელი უნდა ჩაიწეროს არასწორ წილადად. ანუ მნიშვნელით 1. შემდეგ იმოქმედეთ ისე, როგორც ზემოთ იყო აღწერილი.



ოპერაციები ათწილადებით

შეკრება და გამოკლება

რა თქმა უნდა, თქვენ ყოველთვის შეგიძლიათ გადაიყვანოთ ათწილადი წილადად. და იმოქმედეთ უკვე აღწერილი გეგმის მიხედვით. მაგრამ ზოგჯერ უფრო მოსახერხებელია მოქმედება ამ თარგმანის გარეშე. მაშინ მათი შეკრებისა და გამოკლების წესები ზუსტად იგივე იქნება.

გაათანაბრეს რიცხვების რიცხვი რიცხვის წილადში, ანუ ათობითი წერტილის შემდეგ. დაამატეთ მას დაკარგული ნულების რაოდენობა.

დაწერეთ წილადები ისე, რომ მძიმით იყოს მძიმის ქვემოთ.

ნატურალური რიცხვების მსგავსად დამატება (გამოკლება).

ამოიღეთ მძიმე.

გამრავლება და გაყოფა

მნიშვნელოვანია, რომ არ დაგჭირდეთ აქ ნულების დამატება. წილადები უნდა დარჩეს ისე, როგორც ეს მოცემულია მაგალითში. და შემდეგ წადი გეგმის მიხედვით.

გასამრავლებლად, თქვენ უნდა დაწეროთ წილადები ერთმანეთის ქვემოთ, მძიმეების უგულებელყოფით.

ნატურალური რიცხვების მსგავსად გამრავლება.

პასუხში ჩადეთ მძიმით, პასუხის მარჯვენა ბოლოდან დათვალეთ იმდენი ციფრი, რამდენიც არის ორივე ფაქტორის წილადებში.

გასაყოფად ჯერ უნდა გადაიყვანოთ გამყოფი: შეასრულე იგი ბუნებრივი რიცხვი. ანუ გავამრავლოთ ის 10-ზე, 100-ზე და ა.შ. იმის მიხედვით, თუ რამდენი ციფრია გამყოფის წილადში.

გაამრავლეთ დივიდენდი იმავე რიცხვზე.

ათობითი წილადის გაყოფა ნატურალურ რიცხვზე.

დადეთ მძიმით თქვენს პასუხში იმ მომენტში, როდესაც სრულდება მთელი ნაწილის გაყოფა.



რა მოხდება, თუ ერთი მაგალითი შეიცავს ორივე ტიპის წილადს?

დიახ, მათემატიკაში ხშირად არის მაგალითები, რომლებშიც საჭიროა მოქმედებების შესრულება ჩვეულებრივ და ათობითი წილადებზე. ასეთ ამოცანებში ორი შესაძლო გამოსავალია. თქვენ უნდა ობიექტურად აწონოთ რიცხვები და აირჩიოთ ოპტიმალური.

პირველი გზა: წარმოადგინეთ ჩვეულებრივი ათწილადები

შესაფერისია, თუ გაყოფისას ან თარგმნისას მიიღებთ საბოლოო წილადები. თუ მინიმუმ ერთი რიცხვი იძლევა პერიოდულ ნაწილს, მაშინ ეს ტექნიკა აკრძალულია. ამიტომ, მაშინაც კი, თუ არ მოგწონთ ჩვეულებრივ წილადებთან მუშაობა, მოგიწევთ მათი დათვლა.

მეორე გზა: ჩაწერეთ ათობითი წილადები, როგორც ჩვეულებრივი

ეს ტექნიკა მოსახერხებელი აღმოჩნდება, თუ ათობითი წერტილის შემდეგ ნაწილი შეიცავს 1-2 ციფრს. თუ მათგან მეტია, შეგიძლიათ მიიღოთ ძალიან დიდი ჩვეულებრივი ფრაქცია და ათობითი აღნიშვნებისაშუალებას მოგცემთ გამოთვალოთ დავალება უფრო სწრაფად და მარტივად. ამიტომ, თქვენ ყოველთვის ფხიზელი უნდა შეაფასოთ დავალება და აირჩიოთ გადაჭრის უმარტივესი მეთოდი.